翻折与平移类几何变换.学案.学生版

翻折与平移类几何变换
内容基本要求略高要求较高要求
全等三角形了解全等三角形的概
念，了解相似三角形与
全等三角形之间的关
系
掌握两个三角形全等的条件和全等
三角形的性质；会应用全等三角形的
性质与判定解决有关问题
会运用全等三角形的
知识和方法解决有关
问题
一几何变换之翻折
常用辅助线：作垂线、连接对应顶点（构造对称三角形）
技巧提炼：1．翻折之后会出现全等三角形，
2．对称轴是翻折对应点连线的中垂线．
二几何变换之平移
常用辅助线：作平行线，（构造平移三角形）
技巧提炼：
1．图形平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．2．平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等（或在同一直线上），即对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等．
3．常见的构造平移的方式：
构造平行线——平移线段
构造平行四边形或者等边三角形——平移图形．
考点一翻折模型
☞考点说明：利用翻折构造全等三角形，设未知量利用勾股解题
【例1】如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AD∥BC，AB＝DC．翻折纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF．已知DF⊥
BC．
（1）求证：EF∥AC；
（2）若AD＝3，BC＝7，求折痕EF的长．
A
C
D
B
E
F
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－
3
4
(x －6)与x 轴、y 轴分别相交于A 、D 两点，点B 在y 轴上，现将△AOB 沿AB 翻折180°，使点O 刚好落在直线AD 的点C 处．
（1）求BD 的长．
（2）设点N 是线段AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），S △NBD ＝S 1，S △NOA ＝S 2，当点N 运动
到什么位置时，S 1·S 2的值最大，并求出此时点N 的坐标．
（3）在y 轴上是否存在点M ，使△MAC 为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M 的
坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．
【例3】 如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的
坐标为(3，1)，在BC 边上选取适当的点D ，将△OCD 沿OD 翻折，点C 落在点E 处，得到△OED ． （1）若点E 在一次函数y ＝2x －1的图象上（如图1），求点D 、点E 的坐标；
（2）若点E 在抛物线y ＝ax 2
的图象上，且△EAB 是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）当线段OD 与直线EA 垂直时，在直线EA 上是否存在点P ，使得PB ＋PD 最小？若存在，求
出这个最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
x y
D
O C
E D
A B
x
y
D
O
C
E D
(备用图)
A
O
B
x
y
C
N D
【例4】 在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的直角顶点O 在坐标原点，直角边OA 、OB 分别在x 轴正半轴和
y 轴正半轴上，且OA ＝4，OB ＝3．动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发，其中点P 以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向A 点匀速运动，到达A 点后立即以原速沿AO 返回；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点匀速运动．当Q 到达B 时，P 、Q 两点同时停止运动．设运动时间为t （秒）．
（1）求△APQ 的面积S 与t 之间的函数关系式；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ 沿PQ 翻折，使点A 恰好落在AB 边的点C 处，求此时△APQ
的面积；
（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，在y 轴上是否存在点D ，使四边形PQBD 为等腰梯形？若
存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P 、Q 两点运动过程中，线段PQ 的垂直平分线EF 交PQ 于点E ，交折线QB －
BO －OP 于点F ．问：是否存在某一时刻t ，使EF 恰好经过原点O ，若存在，求相应的t 值；若不存在，请说明理由．
y
O x Q
A P B
C
图1 y
O
x
A B
备用图
y
O x Q A P B
图2
F E
【例5】 已知△ABC 中，∠ACB ＝2∠BAC ，点E 在边AC 上，且AE ＝BE ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，
连接DE ．
（1）如图1，求证：BD ＝ED ；
（2）设线段CD 、BE 相交于点P ，将∠BAC 沿直线AC 翻折得到∠B ′AC （如图2），射线AB ′ 交
BE 延长线于点Q ，连接CQ ．若DE : BC ＝2 : 3，求∠ACQ 的正切值．
考点二 平移模型
【例1】 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O 。

若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形的面积。

E
O
D
C
B A
O
D
C
B
A
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。

他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。

他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的BDE ∆即是以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形如图，请你回答图中BDE ∆的面积等于__________
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图，ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF
F E D
C
B
A
⑴在图中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、
CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹) ⑵若ABC ∆的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于___________
B
D
A
C P
E
Q
B ′
图2
B
D
A
C P
E
图1
【例2】 如图，在ABC △中，AB AC =，且30BAC ∠=︒，以AB 为腰作等腰直角三角形ABD ,以AC 为斜
边作等腰直角三角形ACE ，连接CD BE 、
交于点F ，求DFB ∠的度数． F E
D
C
B
A
【例3】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1
3
AE AC =
．
【例4】 如图，已知ABC ∆
⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．
C
B A
⑴
D
E C
B A
F
A D
E C
B
【例5】 如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=，求证：1AC BD +≥．
O
D
C
B
A
O
D
B‘C
B
A
【例6】 已知线段OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ．AOB BOC ∠=∠COD =∠DOE =∠EOF =∠60=︒．且
2A D B E C F ===．求证：3OAB OCD OEF S S S ∆∆∆++<．
F
E
D
C
B
A
O
【例7】 已知：矩形ABCD 内有定点M ，试证：2222AM CM BM DM +=+．
M D
C
B
A
【例8】 如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，
BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的
面积是多少平方厘米？
F
A
B
C
D
E
【例9】 如图所示，在长方形ABCD 中，点M 是边AD 的中点，点N 是边DC 的中点，AN 与MC 交于点
P ．若33MCB NBC ∠=∠+︒，求M PA ∠的度数．
M P
N
D C
B
A
【例10】 如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且
CN BM =．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ∠=︒．
P
N M C
B
A
【例11】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为CA ，CB 延长线上的点，AE 与BD 相交于点F ．
（1）若BE ＝AC ，AD ＝CE ，求∠AFD 的度数；
（2）若BE ＝
3 3
AC ，AD ＝
3
3
CE ，求∠AFD 的度数．
A
C B。