控制系统仿真与CAD第2章控制系统的数学模型
《自动控制原理》第2章控制系统的数学模型精品PPT课件
FB(t)
f
dy(t) dt
FK (t) 为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即
FK(t)ky(t)
d 2 y(t)
a为物体的加速度，即
a dt 2
消除中间变量，将式子标准化可得
mdd 2y2 (tt)fdd(ty)tk(yt)F(t)
2.3用拉普拉斯变换求解线性微 分方程
2.3.1拉普拉斯变换定义 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则 2.3.4拉普拉斯反变换变换 2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程
第2章 控制系统的数学模型
• 本章的主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式
2.1系统数学模型概述
数学模型：用数学的方法和形式来表示 和描述系统中各变量间的关系。 三种形式：输入输出描述
状态空间描述 方块图或信号流图描述
对上式取拉氏变换得 c(t)et sint
2.4传递函数
利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在 复数域的数学模型——传递函数。 2.4.1 传递函数的定义 2.4.2典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的定义
线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与 输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。
G (s)C R ((ss))b0 ssnm ab 11 ssnm 1 1 ab n m 1 s1s ab nm
例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量 为 u r ，输出量 u c 。
L K(t) fK(s F )
2.微分定理
函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘 以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。 同理，若初始条件 f(0 )f'(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
计算机与CAD仿真第2章 控制系统的数学模型及其转换
(1) 利用 利用MATLAB描述在控制系统中常见的几种数学模型; 描述在控制系统中常见的几种数学模型; 描述在控制系统中常见的几种数学模型 (2) 利用 利用MATLAB实现任意数学模型之间的相互转换; 实现任意数学模型之间的相互转换; 实现任意数学模型之间的相互转换 (3) 利用 利用MATLAB求解系统经过串联,并联和反馈连接后的系统 求解系统经过串联, 求解系统经过串联 模型; 模型; (4) 利用 利用MATLAB获取一些典型系统的模型; 获取一些典型系统的模型; 获取一些典型系统的模型 (5) 利用 利用MATLAB实现连续系统的离散化和离散系统的连续化; 实现连续系统的离散化和离散系统的连续化; 实现连续系统的离散化和离散系统的连续化 (6) 利用 利用MATLAB求取系统的特性函数. 求取系统的特性函数. 求取系统的特性函数
15】 【例2-15】 求下列两系统并联后的系统模型
2.3 系统模型的连接
在一般情况下,控制系统常常由若干个环节通 过串联,并联和反馈连接的方式而组成,对在各种 连接模式下的系统能够进行分析就需要对系统的模 型进行适当的处理, 在MATLAB的控制系统工具箱中 提供了大量的对控制系统的简单模型进行连接的函 数.
sys = append(sys1,sys2,...,sysN) sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) sys = feedback(sys1,sys2) sys = lft(sys1,sys2,nu,ny) sysc = connect(sys,Q,inputs,outputs) 子系统合成对角形式 串联连接 反馈连接 模型连接 框图建模 sys = parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2) 并联连接
《控制系统数字仿真与cad》第2章控制系统的数学模型及其转换
(s z j )
m
式中 zj(j=1,2,…,m) 和pi(i=1,2,…,n) 称为 系统的零点和极点，它们既可以为实数又可 以为复数，而K称为系统的增益。 在MATLAB下零极点模型可以由增益 K和零、 极点所构成的列向量唯一确定出来。即 Z=[z1;z2;…;zm]; P=[p1;p2;…;pn];K=K
例2-3 对于单输入多输出系统 3s 2 s 3 2s 5 G ( s) 3 3s 5s 2 2s 1
解 则可将其用下列MATLAB语句表示 >>num=[0 0 3 2;1 0 2 5];den=[3 5 2 1]; Printsys(num,den) 执行结果为：
对于单输入多输出系统，列向量P中 储存为系统的极点；零点储存在矩阵Z的 列中, Z的列数等于输出向量的维数，每 列对应一个输出，对应增益则在列向量K 中。 因此，系统的零极点模型在MATLAB命 令中可用一个增益向量、零点向量和极 点向量来唯一确定。
【例2－4】已知单入双出系统的零极点模型
执行结果为 num/den= 6s ^3 12s ^ 2 6s 10
s ^ 4 2s ^3 3s ^ 2 s 1
其中MATLAB的printsys( )函数可按特殊格式打印出 状态空间和传递函数表示的系统。 printsys(num,den,‘s’) %显示∕打印连续系统的传 递函数，默认方式； printsys(num,den,‘z’) %显示∕打印离散系统的脉 冲传递函数；
2.1 线性系统数学模型的基本描述方法
根据系统数学描述方法的不同，系统可建立不 同的数学模型。 2.1.1 传递函数 单入单出系统可用高阶微分方程来表示，其一 般形式为：
控制系统数字仿真与CAD2、控制系统的数学描述
169
(6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为
Ke s e0.35s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
控制系统的数学描述
1.4 控制系统建模的基本方法 3
混合模型法
当对控制的内部结构和特性有部分了解，但又难以完全用机理模型的 方法表述出来，这是需要结合一定的实验方法确定另外一部分不甚了 解的结构特性，或是通过实际测定来求取模型参数。这种方法是机理 模型法和统计模型法的结合，故称为混合模型法。
3
状态方程与传递函数或零极点增益形式 ss2tf()和tf2ss用来状态方程与传递函数间转换 如 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
控制系统的数学描述
1.2 数学模型的转换
ss2zp()和zp2ss用来状态方程与零极点增益形式间转换 如 [z,p,k]=ss2tf(A,B,C,D);[A,B,C,D]=tf2ss(z,p,k)
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问题
系统的动能：
1 1 2 2 2 m 2 y m T m0 ( x m 0 y m 0 ) m( x ) 2 2
系统拉格朗日方程为：
控制系统的建模实例
2.2 龙门起重机运动控制问上述模型线性化：
4)小车水平方向运动可描述为
d 2x F Fx m0 2 dt
控制系统的建模实例
2.1 独轮自行车实物仿真问题
精确模型：
2 m2l 2 g sin cos ( J ml 2 ) F lm( J ml 2 )sin x ( J ml 2 )(m m0 ) m2l 2 cos 2 2 2 2 (m m)m lg sin ml cos F m l sin cos 0 2 2 2 2 m l cos ( J ml )(m m0 )
第2章：控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程的建立及线性化 2-3 传递函数 2-4 控制系统的结构图 2-5 信号流图 2-6 反馈控制系统的传递函数
1
1.数学模型定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的
数学表达式即为数学模型。数学模型是分析 和设计自动控制系统的基础。
输入
输出
黑盒
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称
为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用， 较准确而方便地建立系统的数学模型。
7
实际控制系统的数学模型往往是很复杂 的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响 较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾， 简化与准确性。不能过于简化，而使数学模 型变的不准确，也不能过分追求准确性，使 系统的数学模型过于复杂。
工程上进一步允许忽略Ra,J时,方程变为:
Ce(t)ua(t)
这是代数方程,表示电机为一个线性元件.
[需要讨论的问题之二]：由上例可见,经不同的适当的工程处 理,同一物理系统可以有不同形式的数学模型.(输入输出不变)
31
二 非线性数学模型线性化
§实际的物理元件都存在一定的非线性，例如： 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有 关; 电动机本身的摩擦、死区
电枢电路电压平衡方程
ea Ce
电机反电势方程
mCmia
电磁转矩方程
J ddt mmc
电机轴上转矩平衡方程
整理 (消去中间变量i=ia, ea , m,保留输入和输出的关系)得:
C L e a C J m d d 2 2 tC R e a C J m d d t C u a e C L e C a m d d c m tC R e a C m m c
第二章控制系统的数学模型.ppt
数学模型：描述控制系统输入变量、输出变量和内部 变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。 描述控制系统动态特性的数学模型，称为动态模型。 在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述变量之间 关系的代数方程称为静态模型。
常用数学模型：常用解析形式的动态模型有微分方程、 差分方程、传递函数；常用图形形式的动态模型有动 态结构图、信号流图、频率特性。
讨论：(1) 两个完全不同的系统可能具有相同的传递函数。 (2) 相似系统：物理量不同的两个系统具有相同形式的微 分方程(数学模型)，这种系统称为相似系统。而在微分方 程中占据相同位置的物理量称为相似量。
表:相似量(uc=q/C)
机械系统 F m f k y v
L(ss)IR(sI)C 1Is(s)U r(s)
1
I(s) Cs
Uc(s)
例2-2 设有一质量-弹簧-阻尼器的 机械平移系统，如图2-4所示。外力F(t)
F(t)
k
为输入量， 质量块的位移y(t) 为输出量， 试求系统的传递函数G(s)。
m
解：弹簧的恢复力 F1(t)ky(t)
阻尼器的阻力
F2(t)
设r(t)和c(t)及其各阶系数在0时的值均为零，即零初始条 件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]， R(s)[r(t)]，可得s的代数方程为：
[ a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ] C ( s ) [ b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s a m ] R ( s )
LC ，
1 2
RC L则Fra bibliotekG(s)T2s2
1
2Ts1
令T
m ， 1
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
第二章控制系统的数学模型
返回
1.线性元件的微分方程
控制系统是由各种物理元件有机组合构成的，因此，在 研究控制系统的数学模型之前，我们有必要对常见控制 系统中常用的物理元件的数学模型进行研究，最终将这 些元件的数学模型合理组合起来就构成了整个控制系统 的数学模型。
T1T2
d
2u0 (t) dt 2
+
(T1
+ T2
+
T3 )
du0 (t) dt
+
u0 (t)
=
ui
(t)
该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。
（两个储能元件）
LC
d 2 (t) dt 2
+
RC
du0 (t) dt
+
u0
(t)
=
ui
(t)
讨论：
比较两个例题的时域表达式的形式
T1T2
d
2u0 (t) dt 2
a0
d nc(t) dt n
+
a1
d n−1c(t) dt n−1
+"+
an−1
dc(t) dt
+
a n c(t )
=
b0
d mr(t) dt m
+
b1
d m−1r(t) dt m−1
+"+
bm−1
自动控制原理 课件 第二章 控制系统的数学模型
sX
(s)
x(0)
L
d
2 x(t)
dt 2
s2
X (s)
sx(0)
x (0)
若 x(0) x(0) 0 ,则
… L
dx(t dt
)
sX
(s)
L
d
2 x(t)
dt 2
s2
X
(s)
L
d
n x(t dt n
)
sn
X
(
s)
3)积分定律
L x(t)dt 1 X (s) 1 x(1)(0)
C
的网络微分方程式。
uc(t)
解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略 输出端负载效应。
RL
（3）由KVL写原始方程： L di Ri uc ur
ur(t)
C
dt
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
i C duc dt
存在，则
x(0
)
lim
s
sX
(
s)
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
L
x
t a
aX
(as)
8)卷积定理
X1 ( s)
X2(s)
L
t 0
x1 (t
)
x2
(
)d
4.举例
例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
1) 微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2) 传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 3) 频率特性：频域 分析方法不同，各有所长
控制系统数字仿真与CAD第二章习题答案
2-1 思考题：（1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式，各有什么特点？（2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？（3）控制系统建模的基本方法有哪些？他们的区别和特点是什么？（4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？（5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？答：（1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他数学模型表达式的基础。
状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多输入多输出系统。
传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。
零极点增益形式可用于分析系统的稳定性和快速性。
利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。
（2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。
（3）控制系统的建模方法大体有三种：机理模型法，统计模型法和混合模型法。
机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的分析简化建立起来的各物理量间的关系。
该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了解，精度高。
统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系统辨识等理论建立的系统模型。
该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。
混合法是上述两种方法的结合。
（4）“实现问题”就是根据建立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程，通过计算来使之正确的反映系统各变量动态性能，得到可靠的仿真结果。
（5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速度和并保证计算结果的稳定。
2-2.用matlab语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：(1) G（s）=324327242410355024s s ss s s s+++++++(2).X=2.25 -5 -1.25 -0.542.25 -4.25 -1.25 -0.2520.25 -0.5 -1.25 -121.25 -1.75 -0.25 -0.75 0X⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦u y=[0 2 0 2] X（1）解：（1）状态方程模型参数:编写matlab程序如下>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [A B C D]=tf2ss(num,den)得到结果：A=-10 -35 -50 -241 0 0 00 1 0 00 0 1 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,B=1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,C=[]1 7 24 24,D=[0]所以模型为:.X=-10 -35 -50 -241 0 0 00 1 0 00 0 1 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦X+1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦u,y=[]1 7 24 24X(2)零极点增益:编写程序>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [Z P K]=tf2zp(num,den)得到结果Z= -2.7306 + 2.8531 , -2.7306 - 2.8531i ,-1.5388P= -4, -3 ,-2 ,-1K=1(3) 部分分式形式:编写程序>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [R P H]=residue(num,den)得到结果R= 4.0000 ,-6.0000, 2.0000, 1.0000P= -4.0000, -3.0000 , -2.0000 ,-1.0000H=[]G(s)=46214321s s s s -+++++++（2）解：（1）传递函数模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)得到结果num = 0 4.0000 14.0000 22.0000 15.0000 den =1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500324324 s + 14 s + 22 s + 15()s + 4 s + 6.25 s + 5.25 s + 2.25G s =(2) 零极点增益模型参数:编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D)得到结果Z =-1.0000 + 1.2247i -1.0000 - 1.2247i -1.5000P= -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.5000 -1.5000 K = 4.0000表达式 ()()()()()4s+1-1.2247i s+1+1.2247i ()s+0.5-0.866i s+0.5+0.866i s+1.5G s =（3）部分分式形式的模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)>> [R,P,H]=residue(num,den)得到结果R = 4.0000 -0.0000 0.0000 - 2.3094i 0.0000 + 2.3094iP = -1.5000 -1.5000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i H =[]4 2.3094 2.3094() 1.50.50.8660.50.866i iG s s s i s i=-+++-++2-3.用欧拉法求下面系统的输出响应y(t)在0≤t ≤1上，h=0.1时的数值。