中考数学总复习-专题基础知识回顾四-三角形
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
2022年中考数学总复习微专题 第四章 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型模型一平移模型典例1(2021·湖南衡阳)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.【答案】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).平移模型的本质是两个全等的三角形,其中一个可以通过另一个平移得到,所以这种模型往往与平行相联系.常见的平移模型的图形有:模型二对称模型典例2(2021·云南)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.【答案】在△ACD和△BCD中,∴△ACD≌△BDC(SSS),∴∠DAC=∠CBD.对称模型的本质是两个全等的三角形能关于某条直线对称.常见的对称模型的图形有:模型三旋转模型类型1不共顶点的旋转模型典例3如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证:BC∥EF.【答案】∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,∴AC=DF.在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.类型2共顶点的旋转模型(手拉手模型)典例4(2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA=∠BCD,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求证:AB=ED;(2)求∠AFE的度数.【答案】(1)∵∠ECA=∠BCD,∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,即∠DCE=∠ACB.由旋转可得AC=EC,在△BCA和△DCE中,∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB=ED.(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°,又∵BC=CD,∴∠B=∠BDC=70°,∴∠ADE=180°－∠BDE=180°－70°×2=40°,∴∠AFE=∠ADE+∠A=40°+10°=50°.无论哪种类型,图中两个全等三角形都满足其中一个可以通过另一个旋转得到.其常见图形有:典例5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.【答案】如图所示,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△ACF,连接DF.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°.由旋转可知∠FCE=90°,CF=CE,AF=BE,∠FAC=∠B=45°,∴∠FAD=90°.∵∠DCE=45°,∴∠DCF=45°,∴∠DCF=∠DCE,∴△CDF≌△CDE(SAS),∴DF=DE.∵AD2+AF2=DF2,∴AD2+BE2=DE2.半角模型也是旋转模型的特殊情况.等边三角形含半角(∠BDC=120°)等腰直角三角形含半角正方形含半角模型四一线三等角模型典例6如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=3,BE=1,求DE的长.【答案】∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠ACB=∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,∴△CEB≌△ADC(AAS),∴DC=BE=1,CE=AD=3,∴DE=CE－DC=3－1=2.一线三等角模型是以一条直线构造三个相等的角构造全等三角形.常见图形有:提分训练1.如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长.解:连接BE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.∵AC=BC=6,∴AB =6.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.在Rt△BAE中,BE ==9,∴AD=9.2.(2021·陕西改编)如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,求线段CE的长度.解:过点B作BM⊥AC于点M,过点D作DN⊥CE于点N.∵BA=BC,DC=DE,∴AM=CM=3,CN=EN.∵CD⊥BC,∴∠BCD=90°,∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°,∴∠CBM=∠DCN.在△BCM和△CDN中,∴△BCM≌△CDN(AAS),∴BM=CN.在Rt△BCM中,∵BC=5,CM=3,∴CN=BM==4,∴CE=2CN=2×4=8(cm).3.(2021·贵州黔东南州)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.【探究发现】(1)如图1,若∠BAD=120°,∠ABC=∠ADC=90°.求证:AD+AB=AC; 【拓展迁移】(2)如图2,若∠BAD=120°,∠ABC+∠ADC=180°.猜想AB,AD,AC三条线段的数量关系,并说明理由.解:(1)∵AC平分∠BAD,∠BAD=120°,∴∠DAC=∠BAC=60°.∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°,∴AD=AC,∴AD+AB=AC.(2)AD+AB=AC.理由:过点C分别作CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.∵AC平分∠BAD,∴CF=CE.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠EDC+∠ADC=180°,∴∠FBC=∠EDC.在△CED和△CFB中,∴△CED≌△CFB(AAS),∴FB=DE,∴AD+AB=AD+DE+AF=AE+AF.在四边形AFCE中,由(1)知AE+AF=AC,∴AD+AB=AC.。
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解4--- 角平分线模型在三角形中的应用
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题04 角平分线模型在三角形中的应用【专题说明】在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现OP为OAB⊥于点M时，辅助∠的角平分线、PM OA线的作法大都为过点P作PN OB∆等，∆≌ONP⊥即可.即有PM PN=、OMP利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间角平分线+内垂直当已知条件中出现OP为AOB⊥于点P时，辅助线∠的角平分线,PM OP的作法大都为延长MP交OB于点N即可.即有OMN∆是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称角平分线+截线段等当已知条件中出现OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌∆，利用相关结论解决问题.ONP【模型】四、角平分线加平行线等腰现角平分线+平行线当已知条件中出现OP为AOB∠的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P作PM//OB或PM//OA即可.即有OMP∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN⊥于点D,∠=∠, P为BN上的一点，并且PD BC2BAP BCP∠+∠=︒.AB BC BD+=,求证：180【思路点拔】已知条件中出现BP为ABC⊥于点D，∠的角平分线,PD BC属于角平分线基本模型一.辅助线的作法可尝试过点P 作PE AB ⊥，即有PE PD =, BPE ∆≌BPD ∆等，利用相关结论解决问题.证明 过点P 作PE AB ⊥于点E .,,PE AB PD BC ⊥⊥且ABP CBP ∠=∠,PE PD ∴=.在Rt PBE ∆和Rt PBC ∆中， BP BP =,PE PD =Rt PBE ∴∆≌Rt PBC ∆,BE BD ∴=.2,,,AB BC BD BC CD BD AB BE AE +==+=-AE CD ∴=.,,PE AB PD BC ⊥⊥90PEB PDB ∴∠=∠=︒.在PAE ∆和Rt PCD ∆中, PE PD =PEB PDC ∠=∠AE DC =∴Rt PAE ∆≌Rt PCD ∆,PCB EAP ∴∠=∠.180BAP EAP ∠+∠=︒,180BAP BCP ∴∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【思路点拨】已知条件中出现CD 为ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ，属于角平分线基本模型二.辅助线的作法可尝试延长AD 交BC 于点F ，即有CAF ∆是等腰三角形、CD 是三线，利用相关结论解决问题.证明 延长AD 交BC 于点F . CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=∆,AD FD∴∆≌FDCADC∴=.又DE∥BC,EA EB∴=.3、已知:如图7,2,,⊥.=∠=∠=，求证:DC ACAB AC BAD CAD DA DB【思路点拨】已知条件中出现AD为BAC∠的角平分线，DC不具备特殊位置，属于角平分线基本模型三.辅助线的作法可尝试在AB上截取AE AC=，连结∆DE.即有ACD≌AED∆，利用相关结论解决问题.证明在AB上截取AE AC=，连结DE.=，且AE AC= , EA EB2AB AC∴=.又,=∴⊥.DA DB ED AB又,,,∠=∠==BAD CAD AE AC AD ADACD ∴∆≌AED ∆,AED ACD ∴∠=∠,即有DC AC ⊥.4、如图8,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【思路点拨】已知条件中出现AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠，点E 为角平分线上任一点时，猜侧属于角平分线基本模型四.辅助线的作法可尝试过点E 作EM //AB ，或EM //CD .即有MDE ∆(MAE ∆)是等腰三角形，利用相关结论解决问题.解 过点E 作EM //AB . EM ∥AB ,MEA BAE ∴∠=∠.又AE 平分BAD ∠,MAE BAE ∴∠=∠即MEA MAE ∠=∠,AM EM ∴=.又AB ∥CD ,EM ∴∥CD ,同理可得DM EM =.又,2AM DM AD AD EM +=∴=.∴线段AD 上存在点M ，使得2AD EM =.以上四个例题并不复杂，但对研究含有角平分线的几何证明题具有指导意义.在教学过程中，要利用基本模型将复杂的几何证明简单化，要真正看透问题的本质，并将课本知识内化为自己的知识，从而提高自己探究问题的能力和数学绘合素养.。
相似三角形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第四单元 三角形专题4.4 相似三角形知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例1】已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是( ) A.x:y=3:2 B.x:3=2:y C.x:y=2:3 D.x:2=y:3A1.线段的比：在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比；2.比例线段：对于四条线段a,b,c,d,若其中两条线段的比与另两条线段的比相等(a:b=c:d).我们就说这四条线段成比例,简称比例线段.3.比例的基本性质:4.更比定理:考点聚集ad=bc知识点一典例精讲比例线段1.已知 ,则 的值是____.2.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底之比是 .某人测得头顶至肚脐长约65cm,肚脐至足底长约102cm,为尽可能达到黄金比的美感效果,作为形象设计师的你,对于她的着装建议为穿一双( )cm的高跟鞋(精确到1cm) A.2 B.3 C.4 D.5B 知识点一强化训练比例线段知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例2】如图,已知△ABC中,∠BAC=90º,延长BA到点D,使AD=0.5AB,点E,F分别是边BC,AC的中点.求证：DF=BE 方法一：证△ADF≌△FEC(SAS)AFDBCE方法二：证△ADF∽△BCA方法三：连接AE,利用平行四边形证明知识点二典例精讲相似三角形的性质与判定1.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠AED B.AB:AD=AC:AE C.∠B=∠D D.AB:AD=BC:DE2.如图,△ABC 中,∠A =78º,AB =4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )DA 1CEBD2知识点二强化训练三角形相似的性质与判定CAC B78ºAC B78ºAAC B14DAC B 23CAC B 78ºB3.如图,在□ABCD中,连接AC,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S △AEF =4,则S △ADF 的值为_____.4.如图,一束光线从点A(4,4)射出,经y轴上的点C的反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是( ) A.(0,0.5) B.(0,0.8) C.(0,1) D.(0,2)5.在□ABCD中,E是AD上的一点,且点E将AD分为2:3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S △AEF :S △CBF =_______.AFE DCB10知识点二强化训练三角形相似的性质与判定B AyxC OB(1,0)知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例3】如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=_____m.5.5 DAE BFC 知识点三典例精讲相似三角形的应用3.如图,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证：AM:AD=HG:BC;(2)求矩形EFGH的周长。
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示， 当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4． 设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5． 综合所述，BD 的长为 2 或 5．
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C； （2）两腰相等，即 AB＝AC； 性质 （3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD； （4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设 未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第四单元三角形微专题半角模型
K
例1题图③
微专题 半角模型
∴△AHK≌△AHG(SAS)，
∴HK＝HG，
K
∵△ABD为等腰5°， ∴∠HDK＝90°，
例1题图③
在Rt△HDK中，由勾股定理得HK2＝DK2＋HD2，
∴GH2＝BG2＋HD2.
微专题 半角模型
【方法二】翻折法 【方法二】证明：如图，将△ABG和△ADH分别沿AG和AH 翻折， ∵∠BAG＋∠DAH＝90°－∠GAH＝45°， AB＝AD， ∴AB，AD翻折后重合在AM上， ∴MG＝BG，MH＝DH，
∴G，B，C 三点共线，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAE＋∠BAG
＝120°－∠EAF＝60°，
∴∠GAE＝∠EAF，
G
例2题图
微专题 半角模型
在△AGE和△AFE中，
AG AF GAE FAE , AE AE
∴△AGE≌△AFE(SAS)， ∴EF＝GE＝BE＋BG＝BE＋DF.
G
例1题图②
微专题 半角模型
在△ANM和△AGM中，
AN AG MAN MAG , AM AM
∴△ANM≌△AGM(SAS)，
∴MN＝MG，
∵MG＝BM＋BG＝BM＋DN，
∴MN＝MG＝BM＋DN；
G
例1题图②
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
M 例1题图③
微专题 半角模型
∵∠B＝∠D＝45°， ∴∠AMG＝∠AMH＝45°， ∴∠GMH＝90°， ∴GM2＋MH2＝GH2， ∴GH2＝BG2＋HD2.
M 例1题图③
精选-中考数学总复习第四单元三角形第21课时直角三角形与勾股定理课件
(1)把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,所以每个命题都有逆命题.
(2)原命题成立,其逆命题不一定成立
若一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 互逆定理
互逆定理
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4
课前双基巩固 考点四 命题、定义、定理、公理
定义
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它 们下定义
第 21 课时 直角三角形与勾股定理
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1
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
定义
性质
判定 常见 结论
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有一个角是①
直角
的三角形叫做直角三角形
(1)直角三角形的两个锐角② 互余
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的③ 一半
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的④ 一半
最新
精选中小Hale Waihona Puke 课件7课前双基巩固
3. [七下 P161 习题第 1(2)题改编] 已知命题:“自然数是整数.”写
出它的逆命题:
.该逆命题是
(填
“真”或“假”)命题.
[答案] 整数是自然数 假 [解析] 交换原命题的条件和结论,可得 到其逆命题.举一个反例,可说明这是一 个假命题,如“-2 是整数,但-2 不是自然 数”,可知该逆命题为假命题.
2
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课前双基巩固 考点二 勾股定理及逆定理
勾股定理 直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即① a2+b2=c2
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.三角形的定义：三条线段首尾顺次连接组成的图形。
2.三角形的分类：①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。
等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。
3.三角形的中线、高线、角平分线：①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。
平分三角形的面积。
②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。
得到两个直角三角形。
③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。
4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
专项练习题1．（2022•大庆）下列说法不正确的是（）A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形概念可判断A，C，由等腰三角形，等边三角形定义可判断B，D．【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；故选：A．2．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，故选：A．5．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，故选：D．6．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD 的面积是．【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC 的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．7．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【解答】解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C．8．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项A符合题意，故选：A．9．（2022•南通）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．10．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，．解得＜a＜3．所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集．∴a只能取2．故选：B．11．（2022•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．10 D．11【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，∴6﹣4＜a＜6+4，∴2＜a＜10，∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．12．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．13．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．14．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．15．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，故选：A．。
中考数学复习：专题4-4 例说三角形三边关系的几种典型运用
专题04 例说三角形三边关系的几种典型运用【专题综述】三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-bb+c>a,b>a-ca+c>b,c>b-a这个定理及推论在解题中有着较为重要的应用.【方法解读】一、已知两边求第三边的取值范围例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．【举一反三】（2017春•吉安月考）已知三角形的三边长分别为a、b、c，且a＞b＞c，若b=7，c=5，那么a的取值范围是．二、判定三条线段能否围成三角形例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）.A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，5cm【举一反三】（2017秋•宁河县期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，4cm，6cm B．2cm，2cm，5cmC．4cm，6cm，9cm D．2cm，3cm，6cm三、确定组成三角形的个数问题例3 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4【举一反三】（2017春•闵行区校级期末）在长度分别为4厘米、5厘米、9厘米、12厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个四、确定三角形的边长例4 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．【举一反三】（2016秋•长春期末）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．9五、化简代数式问题例5 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值．【举一反三】（2016秋•黄冈校级月考）已知a、b、c是三角形的三边长，①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；②若a+b=11，b+c=9，a+c=10，求这个三角形的各边．【强化训练】1.已知三角形的三边长为a，b，c，若a≤3，b≤15，则c的取值范围是．2.（2014秋•台安县期中）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是4和7，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（）A．1个B．3个C．5个D．7个3.（2016春•淄博期中）在下列所给的条件中，能组成三角形的是（）A ．三条线段的比为2：3：4B ．三条线段的比为1：2：3C ．三条线段的比为4：5：9D ．三条线段的比为7：4：34.（2016秋•涞水县期末）满足下列条件的三条线段a 、b 、c ，能组成三角形的有（ ）①a=2，b=3，c=4；②a=3，b=5，c=2；③a ：b ：c=1：2：3；④a=m+1，b=m+2，c=2m （m ＞2）A ．①②B ．③④C ．①④D ．①③5.（2017秋•济源期中）有四条线段，长分别是3cm 、5cm 、7cm 、9cm ，如果用这些线段中的三条线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.（2015春•平度市期末）已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M=（a+b+c ）（a+b ﹣c ）（a ﹣b ﹣c ），那么（ ）A ．M ＞0B ．M=0C ．M ＜0D ．不能确定7.（2017秋•秀屿区校级月考）三角形的两条边为2cm 和4cm ，第三边长是一个偶数，第三边的长是 ．8.（2016秋•杜尔伯特县期中）三角形的两条边长分别是4和9，且第三边长是奇数，则第三边长为 ． 9.已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足+|b ﹣5|=0，求c 的取值范围．10.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，根据三角形三边的关系化简：=---++22)()(c b a c b a ．。
中考数学复习：专题4-16 双等腰直角三角形问题前解法分析
专题16 双等腰直角三角形问题前解法分析【专题综述】一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.【方法解读】一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1 （2016内蒙古呼和浩特市）已知，如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 边上一点．（1）求证：△ACE ≌△BCD ； （2）求证：2222=CD AD DB ．【举一反三】如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD=∠BGC ． (1)求证：AD=BC ； (2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD:EF 的值．【来源】湖北武汉市硚口区六十中学2017年九年级数学中考模拟试卷二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例2 如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；（3）如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小.【举一反三】已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【来源】2013年初中毕业升学考试（湖南常德卷）数学（带解析）三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例3 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量．．及位置．．关系，并证明你的猜想．【举一反三】如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE 与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题：（1）求证：△GAF∽△GBA；（2）求证：AF2=FG•FC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论．【来源】2016届江苏省南京市汇文中学九年级上学期期中数学试卷（带解析）四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例4 （2016四川省资阳市）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE ；③若AC=1，则四边形CEOD 的面积为14；④22222AD BE OP DP PE +-=⋅，其中所有正确结论的序号是 ．【举一反三】已知：△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【来源】2012-2013年福建仙游承璜第二学校八年级上期末考试数学试题（带解析）【强化训练】1.如图，已知，△ABC 与△DCE 为一小一大的两个等腰直角三角形，顶点C 互相重合。
中考数学复习：专题4-10 全等三角形创新题
专题10 全等三角形创新题【专题综述】随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场。
近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界。
【方法解读】一、实际应用型例1 如图1，一块三角形模具的阴影部分已破损．只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带'''？请简要说明理残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A B C由．【举一反三】如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知塔松高6米，则小杨树高______.【来源】北师大版七年级数学下册第四章三角形单元检验题二、操作探索型例2 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图2，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC 内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图2的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图3给出证明．【举一反三】在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC= α，∠DCE= β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；α与β之②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时间的数量关系（不需证明）．【来源】北京市第四十四中学2017—2018学年度上期期中测试八年级数学试题三、开放探究型例3 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③【来源】浙江杭州余杭区2016-2017学年八年级上学期期末数学试题4.已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，PC⊥ON于C.（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.【来源】北京师大附中2017-2018学年上学期初中八年级期末考试数学试卷5.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图一，若△ABC是等边三角形，且AB=AC=2,点D在线段BC上，①求证：∠BCE+∠BAC=180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC 60°，当点D在射线．．上移动，则∠BCE和∠BAC 之间有怎样的数量关系？并说明理．．BC由.【来源】浙江省吴兴区2017-2018学年八年级上学期期终模拟数学试题6.如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。
中考数学总复习《直角三角形与勾股定理》考点梳理及典例讲解课件
A.2，3，4 B.3，4，5 C.4，5，6 D.5，6，7
2.如果一个三角形三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是( )
B
A. B. C. D.
3.三角形的三边长分别为,,，且满足，则此三角形是( )
B
A.以为斜边的直角三角形 B.以为斜边的直角三角形C.以为斜边的直角三角形 D.以,为腰的等腰三角形
3，或
（2） 如图，在中，已知,,于点，且，点是边上的一动点.若为直角三角形，则的长为____________________.
，或
1.小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他可以选择的三条线段的长度是( )
解法归纳 探究直角三角形，直角三角形的顶点不确定时，可分类讨论直角顶点是哪个顶点或哪条边为斜边.其中有关线段长度的计算方法有：①利用勾股定理列方程求解；②利用相似三角形的对应边成比例列方程求解；③借助直角三角形边角关系中的三角函数求解；④利用图形的面积相等列方程求解.
（1） （原创）在矩形中，,，点在上，，点在上，连接，点是的中点.若是直角三角形，则的长度可能是_______________.
体验3 [2023·南昌模拟] 下图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度12.李老师乘扶梯从底端以的速度用时到达顶端，则李老师上升的垂直高度为____．
类型一 直角三角形的性质与判定
例 1 如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接.
（1）若， ，则 .
（2）若，．
① 求证：是直角三角形.
② 求的长．
类型二 与直角三角形有关的分类探究题
例 2 如图，将矩形按如图所示方式放置，点，点是线段，上的动点（不与线段端点重合）.将沿直线折叠，得到,连接，．当为直角三角形时，点的坐标可能是_____________________.
2024年中考数学总复习考点梳理第四章第三节等腰三角形与直角三角形
第三节 等腰三角形与直角三角形
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考情及趋势分析
考情分析
类型 年份 题号 题型 分值 图形背景
设问
等边
25(1 解答题
2018
3 直角三角形 填空：角度
三角形
) (三)
2021 16 填空题 4 平行四边形 求正弦值
20(2 解答题
直角 2021
3 直角三角形
) (一)
三角形
求正切值
2020 17 填空题 4 直角三角形 求线段最值
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考情分析
类型 年份 题号 题型 分值 结合知识点 设问
方法
溯源教材 教材改编维度
人教八上
解答题
证等腰三 两底角相等
改变设问及条
等腰 2020 20
6 全等三角形
P40例3(图
(一)
角形
，两腰相等
件
三角
形)
形
解答题
证等腰三 两底角相等
2018 22(2)
4 全等三角形
/
/
(二)
角形
，两腰相等
【考情总结】
返回目录 第1题图
第三节 等腰三角形与直角三角形
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2. [人教八下P61习题改编]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是
AB边上一点，连接CD.
(1)若∠B＝30°，AC＝2，则AB＝____4____；
(2)若D是AB边的中点．
①当∠B＝25°时，则∠ACD＝___6_5_°___； ②当AC＝3，BC＝4时，则CD＝___52_____；
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教材改编题课前测
1. [北师八下P30习题改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为
多边形证明(复习讲义)(三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形)(解析)-中考数学重难点题型专题汇总
题型四--多边形证明（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01三角形全等及性质一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形5．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．6．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．7．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．8．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．四、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．五、直角三角形与勾股定理9．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．10．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形1.如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．2.如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF =EC ，AB =DE ，∠B =∠E.求证：∠A =∠D ．【答案】证明：∵BF =EC ，∴BF +CF =EC +CF ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠E BC =EF ，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠A =∠D ．3.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．4.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE =BC ．5.(2022·浙江省杭州市)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM 上，EF ⊥AC 于点F ，连接CM ，CE.已知∠A =50°，∠ACE =30°．(1)求证：CE =CM ．(2)若AB =4，求线段FC 的长．【答案】(1)证明：∵∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，∴MC =MA =MB ，∴∠MCA =∠A ，∠MCB =∠B ，∵∠A =50°，∴∠MCA =50°，∠MCB =∠B =40°，∴∠EMC =∠MCB +∠B =80°，∵∠ACE =30°，∴∠MEC =∠A +∠ACE =50°，∴∠MEC =∠EMC ，∴CE =CM ；(2)解：∵AB =4，∴CE =CM =12AB =2，∵EF ⊥AC ，∠ACE =30°，∴FC =CE ⋅cos30°=3．6.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．7.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．8.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出∠ADE ，再利用平行线的性质求出∠ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1） BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2） 65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．9.（2021·福建中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点，,⊥⊥DE AC DF AB ，垂足分别为E ，F ，且,DE DF CE BF ==．求证：B C ∠=∠．【答案】见解析【分析】由,⊥⊥DE AC DF AB 得出90DEC DFB ∠=∠=︒，由SAS 证明DEC DFB ≌，得出对应角相等即可．【详解】证明：∵,⊥⊥DE AC DF AB ，∴90DEC DFB ∠=∠=︒．在DEC 和DFB △中，,,,DE DF DEC DFB CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DEC DFB ≌，∴B C ∠=∠．【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．10.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．考点02相似六、相似三角形的判定及性质11．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．12．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．13．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．七、相似多边形14．定义对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．15．性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．八、位似图形16．定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．27．性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或–k ；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．18．找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．19．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．11.（2021·云南中考真题）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是,BC AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ，若6BF ，则BE 的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE=12AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到12DE EFAB BF==，求出EF，可得BE．【详解】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，∴DE=12AB，DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴12 DE EFAB BF==，∵BF=6，∴EF=3，∴BE=6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF．12.（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AE AC的值．【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果．【解析】∵BC∥DE，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =AE AC ，即4AB =DE 4=AE AC ，∴AB •DE ＝16，∵AB+DE ＝10，∴AB ＝2，DE ＝8，∴AE AC =DE BC =84=2，故答案为：2．13.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH =⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，∴DEH FEH ∠=∠，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．14.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）若AB ＝23，AD ＝4，求EC 的长；（3）若AE ﹣DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠FAE ＝β，求tan α+tan β的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC ＝x ，证明△ABF ∽△FCE ，可得AB CF =BF EC ，由此即可解决问题．（3）首先证明tan α+tan β=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BC AB ，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ，解直角三角形求出a ，b 之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由翻折可知，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB+∠EFC ＝90°，∠EFC+∠CEF ＝90°，∴∠AFB ＝∠FEC ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF==2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)2=a−x∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=考点03多边形十、多边形20．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．21．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2360°. 22．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．15.（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．16.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵ABCDE 是正五边形，∴108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∴36BCA BAC ∠=∠=︒,∴1083672ACD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．17.（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；C.过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；D.三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．18．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720 ，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．19．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【详解】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯-=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．20．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒-︒=︒故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．21．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2)×180°．【详解】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n-2)×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2)×180°”考点04平行四边形十一、平行四边形的性质23．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.24．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．25．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．26．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE 平分∠BAD ，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE 为等腰三角形，即AB=BE ．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD ≌△CDB ；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD ≌△COB,△AOB ≌△COD ；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O 的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE ≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E 为AD 上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S △BEC =S △ABE +S △CDE .（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE ·BC=AF ·CD ．十二、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．十三、矩形的性质与判定27．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S △ABD =4S △AOB ．（如图）28．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．十四、菱形的性质与判定29．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．30．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．十五、正方形的性质与判定31．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；=4S△AOB．（3）面积=边长×边长=2S△ABD32．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．十六、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等（8）有三个角都是直角．十七、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4.22.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC ．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．23.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．24.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，根据SAS 证明△BEC ≌△DFC ，可得CE=CF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．25.（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．求证：DE=BF．【答案】证明见试题解析．【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE ，AB ∥CD ，故四边形DEBF 是平行四边形，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，又E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴DF=BE ，又AB ∥CD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE=BF ．考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定．26.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE 是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．。
2021年中考数学总复习第四章 三角形 微专题 八大常考全等模型
微专题 八大常考全等模型
模型应用
2. 如图，△CDF和△ABD均是等腰直角三角形，且F在AD边上，若BF是∠ABD的平
分线，则 CD 的值为( BD
C
)
A. 1
2
B. 2
2
C. 2 －1
D. 2 ＋1
第2题图
微专题 八大常考全等模型
3. 如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点 E处，AE交CD于点F，连接DE.若矩形ABCD的周长为18，则△EFC的周长为 ____9____．
例2 证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE， ∠BAC ∠DAE 在△ABC和△ADE中， AC AE,
∠C ∠E
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
例2题图
微专题 八大常考全等模型
模型分析
有公共边 模型 展示
有公共顶点
模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完 特点 全重合 解题 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相 思路 等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD、 模型
CE.正方形ABFC中，AB＝AC，正方形ADGE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE 特点 ＝90°，连接BD、CE.
微专题 八大常考全等模型
解题 思路
结论
证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组 对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得 到两组对应边相等 △CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8字型”证角相等)
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(一) 解直角三角形的实际应用
得起点 B 的仰角为 40°.斜坡 CD 的坡度为 i＝1∶2.4，底端点 C 与顶端
点 D 的距离为 26 m．参赛运动员们将从点 A 出发乘车沿水平方向行驶 100
m 到达点 C 处，再沿斜坡 CD 行驶至点 D 处，最后乘垂直于水平方向的电
梯到达点 B 处，则电梯 BD 的高度约为(参考数据：sin 40°≈0.64，cos
结
BD＝AB
CD＝EA，BD＋DA＝BA AD＋CE＋FB＝AB
1．(2021·南岸区校级期中)如图，某大楼 AB 正前方有一栋小楼 ED，小
明从大楼顶端 A 测得小楼顶端 E 的俯角为 45°，从大楼底端 B 测得小楼
顶端 E 的仰角为 24°，小楼底端 D 到大楼前梯坎 BC 的底端 C 有 90 m，
在坡比为 5∶12 的山坡上走了 1 300 m，此时小明看山顶的角度为 60°，
则山高为
( B)
A．(600－250 5)m
B．(600 3－250)m
C．(350＋350 3)m
D．500 3 m
6．(2021·重庆一中三模)如图，小欢同学为了测量建筑物 AB 的高度，
从建筑物底端点 B 出发，经过一段坡度 i＝1∶2.4 的斜坡，到达 C 点，
则高楼 AB 的高度为(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan
22°≈0.40)
(D)
A．60 m
B．70 m
C．80 m
D．90 m
4．如图，斜坡 AB 长 20 m，其坡度 i＝1∶0.75，BC⊥AC，斜坡 AB 正前
方一座建筑物 ME 上悬挂了一幅巨型广告，小明在点 B 测得广告顶部 M 点
梯坎 BC 长 65 m，梯坎 BC 的坡度 i＝1∶2.4，则大楼 AB 的高度为(结果
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中考数学总复习专题基础知识回顾四三角形一、单元知识网络：二、考试目标要求：1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.2．探索并掌握三角形中位线的性质.3．了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件.4．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；了解等边三角形的概念并探索其性质.5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.6．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.三、知识考点梳理知识点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.知识点二、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.知识点三、全等三角形1．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2．性质：(1)对应边相等(2)对应角相等(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等(4)周长、面积相等3．判定：(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS)(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.知识点四、等腰三角形1．定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点五、直角三角形1．定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；(7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.知识点六、线段垂直平分线和角平分线1．线段垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的定理：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.2．角平分线的性质：(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合.四、规律方法指导1．数形结合思想本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题.2．分类讨论思想在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.3. 化归与转化思想在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化.4．注意观察、分析、总结应将三角形的判定及性质作为重点，对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养，淡化纯粹的几何证明.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想.经典例题透析考点一、三角形的概念及其性质1．（1）（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形思路点拨：三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40°、60°、80°，是锐角三角形.答案：B（2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( )A．-6＜a＜-3 B．-5＜a＜-2 C．2＜a＜5 D．a＜-5或a＞-2思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.解析：根据三角形三边关系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，应选B.举一反三：【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.解析：∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c＜0， b-a-c＜0∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( )A.1种B.2种C.3种D.4种解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.思路点拨：要分类讨论，给出的边长中，可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10；(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.2．（1）（2010宁波市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个 C．3个 D．2个考点：等腰三角形答案：A（2）如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.考点：直角三角形两锐角互余.解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.3．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中( )A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形考点：三角形内角和180°.思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴∠A=45°，∴选A，其它三个答案不能确定.举一反三：【变式1】下图能说明∠1＞∠2的是( )考点：三角形外角性质.思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.解析：A中∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不一定相等；C中∠1是三角形的一个外角，∠2是和它不相邻的内角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.总结升华：三角形内角和180°以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要注意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准.【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论.解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C.【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B.考点二、三角形的“四心”和中位线4．（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )A.二条中线的交点B. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点考点：线段垂直平分线的定理.思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.（２）（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．考点：三角形中位线找规律思路点拨：图①有１个正三角形；图②有（１＋４）个正三角形；图③有（１＋４＋４）个正三角形；图④有（１＋４＋４＋４）个正三角形；图⑤有（１＋４＋４＋４＋４）个正三角形；…．答案：175．一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.举一反三：【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求∠BOC的度数.考点：三角形外心、内心、垂心性质.解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°；(2)O为内心时，∠BOC=90°+∠A=119°；(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形解析：三角形的内心都在三角形内部；锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的( )A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到.解析：三角形的一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A.6．（1）（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）A、15米B、20米C、25米D、30米思路点拨：ＢＥ=ＡＥ＝５，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０答案：C（2）已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=12厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC 的中点，则△DEF的周长是________.考点：三角形中位线定理.思路点拨：本题考查三角形的中位线，先求出△ABC各边的边长，由三条中位线构成的△DEF是原三角形周长的一半.解析：由已知求出△ABC另两边长为BC=8厘米，AC=16厘米∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线∴DE=AC=8 EF=AB=6 DF=BC=4，∴△DEF的周长等于8+6+4=18厘米.举一反三：【变式1】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.思路点拨：本题考查三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.解析：已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：AE、DF互相平分.证明：连结DE、EF∵AD=DB，BE=CE∴DE∥AC(三角形中位线定理)同理EF∥AB∴四边形ADEF是平行四边形∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分).【变式2】已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?思路点拨：考虑到E、F是AB、BC的中点，因此连结AC，就得到EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，，同理，则EF∥GH，EF=GH，所以四边形EFGH是平行四边形.证明：连结AC∵E、F是AB、BC的中点，∴EF=，EF∥AC同理，GH=，GH∥AC，∴EF∥GH，EF=GH∴四边形EFGH是平行四边形.考点三、全等三角形7．对于下列各组条件，不能判定△≌△的一组是( )A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′思路点拨：判定三角形全等的条件中，已知两边及一角必须是两边及其夹角，而已知两角一边和三边都可以判定三角形全等.解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是两边和一边对角对应相等，不能判定三角形全等.故选C.举一反三：【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是( )A.一边和任意两个角B.两边和它们的夹角C.两个角和它们一角的对边D.三角对应相等思路点拨：两个三角形中，三角对应相等不能证明三角形全等.解析：A的判定方法为ASA或AAS；B的判定方法为SAS；C的判定方法为AAS；要判定三角形全等必须有一个元素是边，所以D不能判定.故选D.8．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．第8题图考点：三角形全等的判定及性质.思路点拨：（1）利用ASA判定;(2) 利用△BEC≌△DEC答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°又EC＝EC∴△ABE≌△ADE（2）∵△ABE≌△ADE∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF∴∠EFD＝60°+45°＝105°举一反三：【变式1】如图，已知:AC =DB，要使≌，只需增加一个条件是___________.考点：三角形全等的判定.思路点拨：增加条件判定三角形全等时，题中已有一条公共边这一条件，答案不唯一.解析：填AB=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS.【变式2】如图，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB 的距离是________.考点：利用三角形全等的性质证明线段或角相等.思路点拨：本题作出M到AB的距离，可以利用证三角形全等求距离.更简单的是利用角平分线上的点到角两边距离相等.解法一：过M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90°∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM∵AM=AM，∴△AMC≌△AMD(AAS)，∴MD=CM=20cm解法二：过M作MD⊥AB于D∵∠C=90°，∴MC⊥AC∵AM平分∠CAB，∴MD=CM=20cm考点四、等腰三角形与直角三角形9．（1）（2010湖北黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_____________.思路点拨：等腰三角形的性质答案：45°（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B. 顶角的一半C. 顶角D. 底角的一半思路点拨：本题适用于任何一种等腰三角形.总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.解析：如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-(180-∠A)= ∠A，答案：B.10．△ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论.思路点拨：本题是先猜想再验证的探索性题型，关键是掌握等边三角形及三线合一的性质.答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD；⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等.总结升华：等腰三角形是特殊的三角形，具有对称性，边、角之间的联系较多；三线合一的性质在解题时应用广泛，但经常被忽略，应注意灵活运用.举一反三：【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50°、80°，则这个三角形是_________三角形.考点：等腰三角形的判定.思路点拨：会根据三角形内角的度数判断三角形的形状.解析：三角形的两个内角分别为50°、80°，则另一个内角为50°，这个三角形有两个角相等，所以是等腰三角形.总结升华：三角形是按边和角进行分类的，会根据题意判断三角形的形状.【变式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC的度数.思路点拨：本题利用三角形内角和求出∠C，从而得出结论.解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180°∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°=18°.【变式3】把腰长为的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________.解析：本题是动手操作题型，展开后会发现小三角形一边恰好是原三角形的中位线，从而得出小三角形的周长就是原三角形周长的一半.答案：.11．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( )A. 1：2：4B. 1：3：5C. 3：4：7D. 5：12：13考点：考查勾股定理的逆定理.思路点拨：常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌握.解析：D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D.12．（1）（2010年江苏无锡）①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°,∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （2）仍然成立．在边AB上截取AE=MC，连接ME∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）（2）将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )A. B. C. D.考点：勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.思路点拨：考查学生了解折叠前后图形的变化，找出对应相等的量，运用勾股定理解答.解析：由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.总结升华：直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理.举一反三：【变式1】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( )(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C.A.1个B.2个C.3个D.4个考点：直角三角形三个内角之间关系.解析:三角形中有一个角是90°，就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC 中∠C =90°.故选D.【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )A. B. C. D.5考点：勾股定理和线段垂直平分线定理.解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=故选B.【变式3】已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.图1 图2思路点拨：(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.(2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.解析：(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°又∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°，∴∠BAC =∠ABD，∴ BD=AD；(2)解法一：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴=45°∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠BAP=，∠ABP=即∠BAP+∠ABP=45°∴∠APB=180°-45°=135°解法二：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°∴=45°∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠DBC=，∠PAC=∴∠DBC+∠PAD=45°∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.中考题萃1．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．92．(沈阳市)(3分)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A. B. C.或 D.或3.(太原市)(3分)在中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC=10，则DE的长为( )A.3B.4C.5D.64.(太原市)(3分)如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是( )A.15B.16C.8D.75.(湛江市)(3分)已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )A. B. C. D.6.(成都市)(3分)如图,在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )A.∠B=∠E，BC=EFB.BC=EF，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠ED.∠A=∠D，BC=EF7.(湖南省邵阳市)(3分)如图，点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是( )A.B.C.D.8.(广东省)(4分)已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是_______.9.（2010江苏无锡）如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=____°.10. （2010湖南郴州）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_____________度．11. （2010贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是_____.12．(江苏省宿迁市)(4分)等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______.13．(江苏徐州巿)(3分)边长为a的正三角形的面积等于______.14．(沈阳市)(3分)已知中，，，的平分线交于点，则的度数为__________.15．(海南省)(3分)已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_________.16．(湖北省黄冈市)(3分)如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_________.17．(湖南省邵阳市)(3分)如图，已知中，，平分,点为的中点,请你写出一个正确的结论：__________.18．(佳木斯市)(3分)如图，，请你添加一个条件：__________，使(只添一个即可).19. （2010四川凉山）已知三角形两边长是方程的两个跟,则三角形的第三边的取值范围是________。