高中数学人教A版选修2-13.2第5课时 利用向量知识求距离

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.2第5课时 利用向量知识求距离一、选择题1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.32B.24 C.12D.33[答案] B[解析] 以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，C 1O →＝12C 1A 1→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0，平面ABC 1D 1的法向量DA 1→＝(1,0,1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1→·C 1O →||DA 1→|＝122＝24.2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱A 1A ＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离是( )A ．5 B.132 C.6013D ．8[答案] C[解析] 解法一：∵B 1C 1∥BC ，且B 1C 1⊄平面A 1BCD 1，BC ⊂平面A 1BCD 1， ∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1.从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离即为所求．过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于E 点．∵BC ⊥平面A 1ABB 1，且B 1E ⊂平面A 1ABB 1， ∴BC ⊥B 1E .又BC ∩A 1B ＝B ，∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1， 在Rt △A 1B 1B 中，B 1E ＝A 1B 1·B 1B A 1B ＝5×1252＋122＝6013，因此直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离为6013.解法二：以D 为原点，DA →、DC →、DD 1→的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则C (0,12,0)，D 1(0,0,5)，设B (x,12,0)，B 1(x,12,5) (x ≠0) 设平面A 1BCD 1的法向量n ＝(a ，b ，c )， 由n ⊥BC →，n ⊥CD 1→得n ·BC →＝(a ，b ，c )·(－x,0,0)＝－ax ＝0， ∴a ＝0，n ·CD 1→＝(a ，b ，c )·(0，－12,5)＝－12b ＋5c ＝0， ∴b ＝512c ，∴可取n ＝(0,5,12)，B 1B →＝(0,0，－5)， ∴B 1到平面A 1BCD 1的距离d ＝|B 1B →·n ||n |＝6013.3．将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 间的距离为( )A.32a B.32a C.34aD.34a [答案] C[解析] 折起后如图，取BD 中点M ，则AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， 取AC 中点N ，则BN ⊥AC ，DN ⊥AC 故AC ⊥平面BDN ，BD ⊥平面AMC . 连结MN 则MN ⊥AC 且MN ⊥BD ，∴MN 即为AC 与BD 间的距离，可求得MN ＝34a .4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( )A.2B.3C.23D.33[答案] D[解析] 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＋z ＝0，令z ＝－1，则n ＝(1,1，－1)， 显然n ·BD →＝0，n ·BC 1→＝0， ∴n 也是平面BDC 1的法向量， ∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1， ∴其距离为d ＝|AB →·n ||n |＝33.5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM MC 1＝12，N 为BB 1的中点，则|MN |的长为( )A.216aB.66aC.156aD.153a [答案] A[解析] 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，由条件知，MN →＝AN →－AM → ＝12(AB →＋AB 1→)－13AC 1→ ＝12(AB →＋AB →＋AA 1→)－13(AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→)＝12(2a －c )－13(－c ＋a ＋b )＝23a －13b －16c ， |MN →|2＝⎝⎛⎭⎫23a －13b －16c 2＝19(2a －b －12c )2 ＝19(4|a |2＋|b |2＋14|c |2－4a ·b －2a ·c ＋b ·c ) ＝21a 236，∴|MN →|＝216a . 6．二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( )A.2B.3 C ．2D. 5[答案] C[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于120°，∴CA →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD →|＝2.7．△ABC 中，∠C ＝90°，点P 在△ABC 所在平面外，PC ＝17，点P 到AC 、BC 的距离PE ＝PF ＝13，则点P 到平面ABC 的距离等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] 解决本题的关键在于找点P 在平面ABC 内的射影．易知点P 在平面ABC 内的射影在∠C 的角平分线上．8．已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB ＝8 cm ，CD ＝12 cm ，AB 和CD 在α内的射影的比为，则α、β间的距离为( ) A.5cmB.17cmC.19cmD.21cm[答案] C[解析] 设α、β间距离为d ，AB 、CD 在α内的射影长分别为3x,5x ，由⎩⎪⎨⎪⎧d 2＋9x 2＝64，d 2＋25x 2＝144， 解得d ＝19. 二、填空题9．矩形ABCD 中，∠BCA ＝30°，AC ＝20，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝5，则P 到BC 的距离为________．[答案] 5 5[解析] 由已知得AB ＝20sin30°＝10， 又P A ＝5，∴PB ＝52＋102＝5 5.10．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．[答案]217[解析] 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)， 则C 1A →＝⎝⎛⎭⎫32，12，－1，C 1B 1→＝(0,1,0)，C 1B →＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧C 1A →·n ＝0C 1B →·n ＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎫33，1，1， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪C 1B 1→·n |n |＝113＋1＋1＝217.∴h ＝217.11．在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________．[答案]2[解析] 由已知AB ，AD ，AP 两两垂直．∴以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，PB →＝(2,0，－2)．BC →＝(0,2,0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －2c ＝0b ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又AB ＝(2,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝ 2.三、解答题12．三棱柱ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AB 1D 的距离．[解析] (1)证明：取AB 1中点M ，则DM →＝DC →＋CA →＋AM →，又DM →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →. ∴2DM →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →..2DM →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0,2DM →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|CB →|2－|CA →|2＝0， ∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB .∴DM ⊥平面ABB 1A 1. ∵DM ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. (2)解：∵A 1B ⊥DM ，A 1B ⊥AB 1.∴A 1B ⊥平面AB 1D . ∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量． ∴点C 到平面AB 1D 的距离为 d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·(A 1A →＋AB →)|2a＝|AC →·AB →|2a ＝12a 22a ＝24a .13．如图所示，AB 和CD 是两条异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ＝a ，点M ，N 分别是BD ，AC 的中点．(1)求证：MN ⊥BD ；(2)若AB 与CD 所成的角为60°，求MN 的长．[解析] (1)证明：由点M ，N 分别是BD 、AC 的中点可知，MB →＋MD →＝0， MN →＝12(MA →＋MC →)＝12(MB →＋BA →＋MD →＋DC →)＝12(BA →＋DC →)， ∴MN →·BD →＝12(BA →＋DC →)·BD →＝12(BA →·BD →＋DC →·BD →)， ∵BA →⊥BD →，DC →⊥BD →，∵BA →·BD →＝0，DC →·BD →＝0. ∵MN →·BD →＝0，∴MN ⊥BD . (2)证明：MN →＝12(BA →＋DC →)，∴|MN →|2＝14(BA →＋DC →)2＝14(BA →2＋2BA →·DC →＋DC →2) ＝14a 2＋14×2a 2cos60°＋14a 2＝34a 2. 所以|MN →|＝32a .14．如图所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离．[解析] 设AP →、AE →、EC →的单位向量分别为e 1、e 2、e 3，选取{e 1，e 2，e 3}作为空间向量的一组基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3， PF →＝P A →＋AF →＝P A →＋12AC →＝P A →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3，设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎨⎧(x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0(x e 1＋y e 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0⇒⎩⎨⎧26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝22，∴n ＝22e 1＋e 3∴直线AE 与平面α间的距离为 d ＝|AP →·n ||n|＝|2e 1·(22e 1＋e 3)||22e 1|2＋|e 3|2＝233.15．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.[解析] 以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，E (1，x,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)(1)因为DA 1→·D 1E →＝(1,0,1)·(1，x ，－1)＝0，所以DA 1→⊥D 1E →.(2)因为E 为AB 的中点，则E (1,1,0)，从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2b ＝0－a ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b a ＝c ，从而n ＝(2,1,2)，所以点E 到平面AD 1C 的距离为h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.(3)设平面D 1EC 的法向量n ＝(a ，b ，c )∴CE →＝(1，x －2,0)，D 1C →＝(0,2，－1)，DD 1→＝(0,0,1) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C →＝0n ·CE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝0a ＋b (x －2)＝0，令b ＝1，∴c ＝2，a ＝2－x ，∴n ＝(2－x,1,2) 依题意cos π4＝|n ·DD 1→||n |·|DD 1→|＝22⇒2(x －2)2＋5＝22，∴x 1＝2＋3(不合题意，舍去)，x 2＝2－3， ∴AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.。