高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)学案(无答案)新人教A版必

§1.2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一 sin α＋k ·2π＝sin α， cos α＋k ·2π＝cos α，tan α＋k ·2π＝tan α， 其中k ∈Z .1．sin α，cos α，tan α的大小与点P (x ，y )在角α的终边上的位置有关．( × )提示 三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P (x ，y )在终边上的位置无关． 2．终边相同的角的同名三角函数值相等．( √ )提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr ，cos α＝x r.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝－3a2＋4a2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值解 当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)，所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5， 所以sin α＝y r ＝－35＝－35，cos α＝x r ＝45， tan α＝y x ＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4,3)，所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5，所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝3－4＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.(2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角．类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点 诱导公式一题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A ．45 B ．35 C ．－35D ．－45考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 D解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2．sin 13π6的值是( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32考点 诱导公式一 题点 诱导公式一 答案 B解析 sin 13π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝sin π6＝12.3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 D解析 根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.4．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.5．已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 ①当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.②当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.一、选择题1．(2020·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12考点 诱导公式一题点 诱导公式一 答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2020·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋－32＝2，∴sin α＝－32.3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 D解析 ∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2020·黄山检测)θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号 答案 C解析 因为θ是第二象限角，所以θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0.6．某点从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角．二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32.9．(2020·广州检测)设角θ的终边经过点P (－3,4)，那么sin θ＋2cos θ＝________. 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 －25 解析 根据三角函数的定义，sin θ＝y r ，cos θ＝x r (其中r ＝x 2＋y 2)，由角θ的终边经过点P (－3,4)，可得r ＝－32＋42＝5，sin θ＝45，cos θ＝－35， 所以sin θ＋2cos θ＝45－2×35＝－25. 10．(2020·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________．考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上，sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3.11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. 12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋3a 2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3a a ＝ 3.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12， tan α＝3aa ＝ 3.13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________. 考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是________________． 考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。