2018-2019学年北师版九年级数学下册3.4 圆周角和圆心角的关系

3.4圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1．在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
2．如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )
A．2对 B．3对 C．4对D．5对
3．如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝53，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．
4．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）
A．180° B．15 0° C．135° D．120°
6.下列命题中，正确的命题个数是（）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③900的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。

A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
二、填空题
7．如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB ＝．
8．如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC ＝．
9．如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD 的度数．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________
11．如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。

12．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在 AB上，则∠C的度数是________-.
三、解答题
13．如图3－68所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．
14．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
15．如图3－70所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝12 cm，BC＝16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长．
16．如图3－71所示，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，D是 AC的中点，DH⊥AB，H是垂足，AC分别交BD，DH于E，F，试说明DF＝EF．
参考答案
1．C
2．C
3．60°[提示：如图3－72所示，作OD ⊥AB ，垂足为D ，则BD ＝12AB ＝532．∴sin ∠BOD ＝32
BD OB ，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOA ＝120°，∴∠BCA ＝12
∠BOA ＝60°．故填60°．] 4.分析： 因为∠BOD=100°，所以∠C=50°，所以∠A=130°，因为圆内接四边形的对角互补。

答案：D
5.分析： ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E 是圆周角，所对的弧之和恰好是整个圆周。

答案：A
6.分析：本题考查圆周角的概念，①不对，两边要于圆相交；②，④不对，应加上在同圆中。

③正确。

答案：A
7．65°
8．3
9．解：连接OD．∵AB是直径，CD⊥AB，∴∠AOC＝∠AOD．又∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ABD＝1
2
∠AOD＝
1
2
×60°＝30°．
10.分析：本题考查圆周角的概念。

因为AB是直径，弧AD的度数是80°，所
以弧BD的度数是100°。

所以∠BOC=50°。

答案：50°。

11.分析：因为 AB=CD，所以弧AB=弧CD，所以∠2=∠5=∠6=∠1
答案：3个
12.分析：如图连OA,OB.因为AB=OA.所以△AOB 是等边三角形，所以∠
O=60°，所以∠C=30°。

答案：30°
13．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－70°－70°＝40°，∴∠BOD＝2∠A＝80°．在△OBE中，∵OB＝OE，∴∠ABC ＝∠OEB＝70°，∠BOE＝180°－2∠ABC＝40°．∴∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝80°－40°＝40 °．
14．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠CAB =∠BDC =90°．
∵在直角△CAB 中，BC =10，AB =6，
∴由勾股定理得到：AC ===8．
∵AD 平分∠CAB ， ∴=， ∴CD =B D ．
在直角△BDC 中，BC =10，CD 2+BD 2=BC 2
，
∴易求BD =CD =5
；
（Ⅱ）如图②，连接OB ，O D ．
∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB =60°，
∴∠DAB =∠CAB =30°，
∴∠DOB =2∠DAB =60°．
又∵OB =OD ，
∴△OBD 是等边三角形，
∴BD =OB =O D ．
∵⊙O 的直径为10，则OB =5，
∴BD =5．
15．解：连接BD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°．在Rt △ACB 中，AB ＝22221216AC BC +=+＝20(cm)．∵CD 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2，∴ AD BD =．∴AD ＝BD ．在Rt △ABD 中，∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ＝BD ＝22AB ＝22
×20＝102(cm)．
16．解：连接BC，∵AB为直径，∴∠C＝90°，∴∠CBD＋∠BEC＝90°．∵DH⊥AB，∴∠HDB＋∠ABD＝90°．∵
AD CD
，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠HDB＝∠BEC，又∠BEC＝∠FED，∴∠FDE＝∠FED，∴DF＝EF．。