高考数学一轮复习课时跟踪检测合情推理与演绎推理理

课时跟踪检测（三十六） 合情推理与演绎推理普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．(2018·衡水三调)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.4．在用演绎推理证明通项公式为a n ＝cq n(cq ≠0)的数列{a n }是等比数列的过程中，大前提是( )A ．a n ＝cq nB.a na n －1＝q (n ≥2)C ．若数列{a n }满足a n ＋1a n(n ∈N *)是常数，则{a n }是等比数列 D ．若数列{a n }满足a n ＋1a n(n ≥2)是常数，则{a n }是等比数列 解析：选C 证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为a n ＋1a n(n ∈N *)或a na n －1(n ≥2)是常数． 5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ，a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ，在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…， 故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．(2018·渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．66解析：选B 第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.7．(2018·咸阳二模)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，……，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ×n ＋1<n ＋122(n ∈N *)．答案：1×2＋2×3＋…＋n ×n ＋1<n ＋1228．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n －1)＝6n ＋2.答案：6n ＋29．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.答案：33210．(2018·岳阳月考)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为______________．解析：观察给出的式子可得出如下规律： 1>12， 1＋12＋13＝1＋12＋122－1>1＝22， 1＋12＋13＋…＋17＝1＋12＋13＋…＋123－1>32，1＋12＋13＋…＋115＝1＋12＋13＋…＋124－1>2＝42， 1＋12＋13＋…＋131＝1＋12＋13＋…＋125－1>52， ……猜想：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2，n ∈N *.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2，n ∈N *B 级——中档题目练通抓牢1．在等比数列{a n }中，若a m ＝1，则有a 1a 2…a n ＝a 1a 2…a 2m －1－n (n <2m －1，且n ∈N *)成立，在等差数列{b n }中，若b m ＝0，类比上述性质，则有( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2m －1－n (n <2m －1，且n ∈N *) B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2m －n ＋1(n <2m ＋1，且n ∈N *)C ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2m －1－n (n <2m －1，且n ∈N *) D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2m －n ＋1(n <2m ＋1，且n ∈N *)解析：选 C 等比数列的“比”对应等差数列的“差”，类比上述性质，等比数列的“积”对应等差数列的“和”，由此排除A 、B ，对于C 、D ，注意项数的变化知C 正确．2．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )解析：选A 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(x ，y )，则x ＝m ，y ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1)．3．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.4．(2018·襄阳优质高中联考)将三项式(x 2＋x ＋1)n展开，当n ＝0,1,2,3，…时，得到以下等式：(x 2＋x ＋1)0＝1， (x 2＋x ＋1)1＝x 2＋x ＋1，(x 2＋x ＋1)2＝x 4＋2x 3＋3x 2＋2x ＋1，(x 2＋x ＋1)3＝x 6＋3x 5＋6x 4＋7x 3＋6x 2＋3x ＋1， ……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k 行共有2k ＋1个数，若(x 2＋x ＋1)5(1＋ax )的展开式中，x 7项的系数为75，则实数a 的值为________．广义杨辉三角 第0行 1 第1行 1 1 1 第2行 1 2 3 2 1 第3行 1 3 6 7 6 3 1 第4行 1 4 10 16 19 1610 4 1……解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行为： 1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，故(1＋ax )(x 2＋x ＋1)5的展开式中，x 7项的系数为30＋45a ＝75，解得a ＝1. 答案：15.(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．解析：椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×b 2×a －13π×b 2×a ＝43πb 2a .答案：43πb 2a6．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .7．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体ABCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V OBCD V ABCD.同理有OF DF ＝V O ABC V DABC；OG BG ＝V OACD V BACD；OH CH ＝V OABD V CABD.∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V OBCD＋V OABC＋V OACD＋V OABDV ABCD＝V A BCD V ABCD＝1.C 级——重难题目自主选做某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°c os α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。