T(n) = 25T(n5)+n2的时间复杂度
时间复杂度分析及常用算法复杂度排名
时间复杂度分析及常用算法复杂度排名随着计算机技术的不断发展，人们对于算法的效率也提出了更高的要求。
好的算法可以大大地提高程序的运行效率，而坏的算法则会导致程序运行缓慢，浪费更多的时间和资源。
因此，在实际的开发中，需要对算法的效率进行评估和分析。
其中，时间复杂度是评估算法效率的重要指标之一，接下来就让我们来探讨一下时间复杂度分析及常用算法复杂度排名。
一、时间复杂度时间复杂度，简称时间复杂度，是指在算法中用来衡量算法运行时间大小的量。
通常情况下，时间复杂度用 O(n) 来表示，其中n 表示输入数据规模的大小。
由于常数系数和低次项不会对时间复杂度的大致表示产生影响，因此，时间复杂度的精确算法往往会被简化为最高次项的时间复杂度，即 O(n)。
二、时间复杂度的分析时间复杂度可以通过算法中的循环次数来分析。
一般来说，算法中的循环分为两种情况：一种是 for 循环，一种是 while 循环。
因为 for 循环的循环次数一般是固定的，因此可以通过循环次数来估算时间复杂度；而 while 循环的循环次数取决于输入数据的大小，因此时间复杂度的分析需要基于输入数据的规模进行分析和推导。
三、时间复杂度的常见表示法在实际的算法分析中，常常用到以下几种时间复杂度表示法：常数阶 O(1)、对数阶 O(logn)、线性阶 O(n)、线性对数阶 O(nlogn)、平方阶 O(n^2)、立方阶 O(n^3)、指数阶 O(2^n) 等。
常数阶 O(1)：表示算法的时间不随着输入规模的增加而增加，即不论输入数据的大小，算法的运行时间都是固定的。
例如，最好的情况下，二分查找的时间复杂度即为 O(1)。
对数阶 O(logn)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，但增长比较缓慢，即随着输入规模的每增加一倍，算法所需的运行时间大致增加一个常数。
例如，二分查找的时间复杂度即为 O(logn)。
线性阶 O(n)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，增长速度与输入规模成线性比例关系。
算法时间复杂度的计算公式
算法时间复杂度的计算公式算法时间复杂度是算法效率的一种度量方式，通常用大O符号来表示，例如O(1)、O(n)、O(n^2)等。
在计算算法时间复杂度时，需要考虑算法中各种操作的时间复杂度，并将它们合并为总时间复杂度。
以下是常见的算法操作时间复杂度：1. 常数级别：O(1)2. 对数级别：O(logn)3. 线性级别：O(n)4. 线性对数级别：O(nlogn)5. 平方级别：O(n^2)6. 立方级别：O(n^3)7. 指数级别：O(2^n)计算总时间复杂度的公式如下：1. 顺序执行的操作，时间复杂度直接相加。
例如，若有操作A、B、C，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)、O(c)，则总时间复杂度为O(a + b + c)。
2. 嵌套执行的操作，时间复杂度取最大值。
例如，若有操作A、B，操作A执行了n次，每次的时间复杂度为O(n)，操作B的时间复杂度为O(nlogn)，则总时间复杂度为O(n*nlogn)，即O(n^2logn)。
3. 分支语句的时间复杂度为其中时间复杂度最大的分支的时间复杂度。
例如，若有分支语句，分别包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则分支语句的时间复杂度为O(max(a,b))。
4. 循环结构的时间复杂度为循环次数乘以循环体的时间复杂度。
例如，若有循环结构，循环次数为n，循环体包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则循环结构的时间复杂度为O(n*max(a,b))。
综上所述，计算算法总时间复杂度需要考虑各个操作的时间复杂度以及它们的执行顺序、嵌套关系、分支和循环结构。
算法与数据结构_江西师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
算法与数据结构_江西师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.两个字符串相等的充分必要条件是（）参考答案:两个字符串的长度相等且对应位置上的字符也相等2.与单链表相比，双链表的优点之一是 ( ) 。
参考答案:能够方便的访问某结点的前驱结点3.对于一个头指针为H的带头结点的循环单链表，判定该表为空表的条件是H->next=NULL。
参考答案:错误4.设有两个串S和T ，其中T是S的子串，求T在S中首次出现的位置的算法称为（）参考答案:串的模式匹配5.静态链表与动态链表类似，在元素的插入、删除上也不需做元素的移动。
参考答案:正确6.哈夫曼树的带权路径长度等于其中所有结点的带权路径之和。
参考答案:错误7.哈夫曼树中除了度为1的节点外，还有度为2的节点和叶子节点。
参考答案:错误8.任何一个无向连通网的最小生成树（）。
参考答案:至少有1棵9.某算法的时间复杂度是O(n^3)，表明该算法的执行时间与n^3成正比。
参考答案:正确10.下列属于非线性数据结构的是（）参考答案:图11.n个结点的线索二叉树上含有的线索个数为（）参考答案:n+112.串的长度是指（）。
参考答案:串中所含字符的个数13.若串S=“software”，其子串个数为（）参考答案:3714.int f(char s[])函数判断字符串s 是否是回文，是回文则返回1，否则返回0；如 f("abba")返回1，f("abcba")返回1f("abab")返回0；对于（1），下列选项正确的是（）int f(char s[]){ int i=0,j=0; while(s[j]) j++; for(j--; i < j && s[i] == s[j]; i++, j--); return _______(1)_______ ;}参考答案:s[i] = = s[j]15.在求最小生成树时，Kruskal算法更适合于（）。
Google笔试题目
Google笔试题目{HYPERLINK "/Google.htm" \o "Google" \t "_blank" |Google笔试是没有门槛的。
这样说是因为Google根本没有限制笔试的人数，开了N个教室，让N多人参加……不过笔试本身却有门槛，看了题目就知道。
本来想上午写写的，但是，嗯，出于攒人品的目的，还是等到现在才写——现在，面试通知已经发过，很显然我又被无视了……OK，那也不错，我也没怎么准备这些东西呢，倒不是说我不重视，而是事情太多……唔，多少算是一种经验了。
回来说说昨天的笔试。
题目的量并不大，除了几个单选题，剩下就是三个编程或算法题。
单选就不说了，考得比较基础，涉及C语言常识、数据结构、文法、操作系统，主要说说大题。
大题虽然题型不一，但都有一个重要特点：考递归。
精确点说，我每一题都用到了递归。
第一个的题目（嗯，记的不是很完整）：在一棵（排序？）二叉树中搜索指定值，数据结构定义为（唉唉，数据结构的具体名字都不记得了，my god）：struct Node{Node * lnext;Node * rnext;int value;};函数定义为（情况同上，啥都记不清了）：Node * search(Node * root, int value){}实现这个search函数。
用递归，经典的树的遍历，pass先。
第二个的题目：计算Tribonaci队列（嗯，九成九记错了那个单词……），规则是T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + T(n -3)，其中T(0) = T(1) = 1，T(2) = 2。
函数定义：int Tribonaci(int n) {}备注，不考虑证整数溢出，尽可能优化算法。
这一题我一看就知道要考什么，很显然的递归定义，但也是很显然的，这里所谓的优化是指不要重复计算。
简单的说，在计算T(n)的时候要用到T(n - 1)、T(n - 2)和T(n - 3)的结果，在计算T(n - 1)的时候也要用到T(n - 2)和T(n - 3)的结果，所以在各项计算的时候必须把以前计算的结果记录下来，去掉重复计算。
算法时间复杂度的计算
算法时间复杂度的计算 [整理]基本的计算步骤时间复杂度的定义一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。
根据定义，可以归纳出基本的计算步骤1. 计算出基本操作的执行次数T(n)基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。
在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。
2. 计算出T(n)的数量级求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：忽略常量、低次幂和最高次幂的系数令f(n)=T(n)的数量级。
3. 用大O来表示时间复杂度当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=O(f(n))。
一个示例：(1) int num1, num2;(2) for(int i=0; i<n; i++){(3) num1 += 1;(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){(5) num2 += num1;(6) }(7) }分析：1.语句int num1, num2;的频度为1；语句i=0;的频度为1；语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n2.忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数f(n) = n*log2n3.lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)= 2*(1/n)*(1/log2n) +4*(1/log2n) + 3当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0所以极限等于3。
数据结构求时间复杂度例题
数据结构中的时间复杂度分析是计算机科学中一个重要的概念，它帮助我们理解算法的效率。
时间复杂度通常表示为\(O\) 符号，表示算法运行时间随着输入规模增长的增长率。
接下来，我将通过一个具体的例题来解释如何分析算法的时间复杂度。
例题：归并排序归并排序是一种经典的排序算法，其基本思想是将数组分成若干个子序列，先使每个子序列有序，然后再使子序列段间有序。
归并排序的算法描述如下：1. 将数组分成若干个子序列，每个子序列包含一个元素。
2. 对每个子序列进行排序。
3. 重复步骤1 和2，直到整个数组排序完成。
要求：分析归并排序算法的时间复杂度。
解答：归并排序算法的时间复杂度分析可以从两个方面入手：一是分解过程，二是合并过程。
1. 分解过程：在分解过程中，每次将数组分成两个子序列，需要进行一次比较和交换操作。
设数组的长度为\(n\)，那么分解过程需要进行\(n-1\) 次操作。
由于每次分解操作都将问题规模减半，因此分解过程的时间复杂度为\(O(n)\)。
2. 合并过程：在合并过程中，需要将两个有序子序列合并成一个有序序列。
设每个子序列的长度为\(m\)，那么合并过程需要进行\(m\) 次比较和交换操作。
由于每次合并操作都将问题规模减半，因此合并过程的时间复杂度为\(O(m)\)。
综合分解过程和合并过程，归并排序算法的总时间复杂度为\(O(n)\)。
需要注意的是，归并排序的空间复杂度为\(O(n)\)，因为在排序过程中需要使用与输入数组相同大小的辅助数组。
在实际应用中，归并排序的效率受到存储空间和输入规模的影响，但对于大规模数据排序，归并排序仍然是一种高效的算法。
总结：通过以上分析，我们可以得出归并排序算法的时间复杂度为\(O(n)\)，空间复杂度为\(O(n)\)。
在解决实际问题时，需要根据问题的规模和数据特点选择合适的排序算法。
对于大规模数据排序，归并排序是一种较好的选择。
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选手注意：试题纸共有*页，答题纸共有*页，满分100分。
请在答题纸上作答，写在试题纸上的一律无效。
不得使用任何电子设备（如计算器、手机、电子词典等）或查阅任何书籍资料。
***由于评测规则，请大家在写主观题答案时，表达式中间以及行末请不要有多余的空格。
一、选择题（每题1.5分，共计30分，每题有4个选项，前十题为单选，后十题为多选，全部选对才得分）1、____年____月____日在国际电信标准组织3GPP RAN第78次全体会议上，5G NR首发版本正式发布，这是全球第一个可商用部署的5G标准。
（）A、2017年8月18日B、2018年1 月1日。
C、2017年12月25日D、2017年12月21日2、一个有2333个节点的有根二叉树最多有几个叶子节点。
（）A、1167B、1166C、1165D、12333、以下几种存储器的访问速度第二快的是（）A、CacheB、ROMC、RAMD、金士顿DT100G3（32GB）4、设无向图G中有n个顶点e条边，则其对应的邻接表中的表头结点和表结点的个数分别为（）。
A、n，eB、e，nC、2n，eD、 n，2e5、已知2018年10月7日是星期日，那么1296年8月17日是星期（）A、星期一B、星期二C、星期五D、星期六6、设一组初始记录关键字序列为(50，40，95，20，15，70，60，45)，则以增量d=4的一趟希尔排序结束后前4条记录关键字为（）。
A、40，50，20，95B、15，40，60，20C、15，20，40，45D、45，40，15，207、在c++中，(-7)%(-5)等于（）A、2B、-2C、3D、-38、下列各数中最大的是（）A、12530（六进制）B、4AB（十三进制）C、2111022（三进制）D、887 (十五进制）9、请给以下四个事件发生的时间排序（）1. 举办第一次NOIP2. 举办第一次NOI网络同步赛3. NOIP提高组由四题改为三题4. 举办第一次APIOA、1234B、1243C、2134D、214310、设某哈夫曼树中有199个结点，则该哈夫曼树中有（）个叶子结点。
时间复杂度计算方法
(2)
T(n-2)=T(n-3)+n-2
(3)
T(n-3)=T(n-4)+n-3
(4)
……
T(3)=T(2)+3
(n-2)
T(2)=T(1)+2
(n-1)
T(1)=T(0)+1
(n)
将(n)式带回(n-1) 式,将(n-1)式带回(n-2) 式，将式子依次带回，最后带回(4) 式，(3) 式，(2) 式，(1) 式。带入式子结果如下: T(n)=T(0)+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n 计算结果如下： T(n)=1+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n T(n)=1+(1+n)*n/2 故算法的时间复杂度为 O(n2)
因为：a=25,b=5,d=2,f(n) = n^2
所以此例符合Master method 中的第二种情况，所以 直接就可以得到：T(n) = n^2 * logn
2.形如 T(n) = a * T(n-1) + f(n) 的时间复杂度计算方法
这种形式的复杂度计算，只能用递推的方式
例1：
T(n)=T(n-1)+n
网络错误503请刷新页面重试持续报错请尝试更换浏览器或网络环境
时间复杂度计算方法
1.形如 T(n) = a * T(n/b) + f(n) 的时间复杂度计算方法
有一种方法叫做主方法（Master method）是用来专门计算这种形式的时间复杂度的，方法具体如下：
下边举例进行说明：
例1：
常用的排序算法的时间复杂度和空间复杂度
常用的排序算法的时间复杂度和空间复杂度排序法最差时间分析平均时间复杂度稳定度空间复杂度冒泡排序O(n2) O(n2) 稳定O(1)快速排序O(n2) O(n*log2n) 不稳定O(log2n)~O(n) 选择排序O(n2) O(n2) 稳定O(1)二叉树排序O(n2) O(n*log2n) 不一顶O(n) 插入排序O(n2) O(n2) 稳定O(1)堆排序O(n*log2n) O(n*log2n) 不稳定O(1)希尔排序O O 不稳定O(1)1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。
(整理)时间复杂度的计算
时间复杂度计算首一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。
n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但是有时候，我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数，是问题规模 n 的某个函数，用T(n)表示。
若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度。
时间频度不相同时，渐进时间复杂度Ｏ(f(n)) 有可能相同，如T(n)=n^2+3n+4与T(n)=4n^2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n^2)。
•现在我们根据一些书本上和网络上对时间复杂度概念的描述进行一下总结：T(n)，语句频度，时间频度，亦称为时间复杂度。
O(f(n))，渐进时间复杂度。
前者T(n)是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模 n的函数，而后者O(f(n))是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。
当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度O(f(n))，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
注意：算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。
但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。
以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch( int a[], const int n, const int x){int i = 0;for (; a[i] != x && i < n ; i++ );if ( i == n) return -1;else return i;}这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。
时间复杂度的表达形式
时间复杂度的表达形式
时间复杂度的表达形式通常使用大O符号，表示算法执行时间与输入规模的增长率之间的关系。
以下是几种常见的时间复杂度表达形式：
1. O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间恒定，不随输入规模变化而变化，如访问数组中的某个元素。
2. O(log n)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的对数关系。
常
见的算法有二分查找、树的遍历等。
3. O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模成正比。
常见的算法
有线性搜索、插入排序等。
4. O(n log n)：线性对数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模乘以其对
数关系。
常见的算法有快速排序、归并排序等。
5. O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
常
见的算法有冒泡排序、插入排序等。
6. O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的指数关系。
常见
的算法有求解TSP问题的暴力穷举算法等。
这些表达形式中，大O符号用来表示算法的上界，即算法最坏情况下的执行时间；它并不表示实际运行时间，只是用来比较不同算法之间的执行效率。
实际运行时间可能会受到不同硬件环境、编程语言等因素的影响。
算分-PRIORITIZING
算分-PRIORITIZINGHeaps and Heapsort: 堆是⼀种快速访问最⼤优先级元素的数据结构，这是快速实现选择排序的基础，但是总体来说平均速度⽐快排要慢⼀点，不过其最坏情况和平均情况是差不多的。
⾸先是堆的定义，每个结点⽐它的孩⼦结点都⼩（所以⽗节点最⼩），或者每个结点都⽐它的孩⼦结点⼤（⽗节点最⼤），把A[1,n]看做⼀个堆，i的两个孩⼦结点分别是2i和2i+1，这个⾮常⽅便实⽤。
接着是删除堆的最⼩值（最⼤值同理），想法就是先删除最⼩值，然后把最后⼀个元素放到根节点并且不断sift-down，这个是⼀个结点下沉操作，即当前结点和两个⼦结点（如果有的话）中的最⼩者交换，继续下沉。
然后是插⼊堆元素，想法是在最后的⼀个位置(i = n + 1)加⼊元素，然后sift-up,也就是和⽗节点⽐较，⼩的往上，⼤的下沉。
同时⽆论是sift-down或者是sift-up都是O(logn)的。
于是我们可以提出堆排序的想法，也就是每次都删除最值，然后整理我们的堆，最后的总代价是O(nlogn)的，因为最差的代价t(n) <=t(2/3n) + t(1/3n) + O(logn)，同时建堆的复杂度也是O(n)的，所以这个算法还是可以接受的。
Fibonacci Heaps: 在介绍斐波那契堆之前先来介绍⼆项树，⾼度为h的⼆项树由两棵⾼度为h-1的⼆项树得到，其中⼀棵⼆项树的根接到另外⼀棵⼆项树上⾯。
h = 0的时候只有⼀个单⼀结点，由此可以递推得到其他的情况。
⽤⼆项树来存结点的话需要⽤多棵⼆项树；举个例⼦，如果我们要存n 个东西，那么我们先把n⼆进制表⽰，如果第i位是1(i >= 0)，那么就构造⼀棵⾼度为i的⼆项树，这样⼀来就得到若⼲的⼆项树，结点数⽬之和为n。
每棵树都是按照堆结构来存储，但是最⼩的那个元素并没有预先规定存在哪棵⼆项树⾥⾯，举个例⼦说:我们本来要存11个元素，再加⼊1个元素，那么就会得到下⾯的图： 这⾥我们发现⼆项树的规模从8，2，1变成8，2，1，1变成8，2，2变成8，4。
2024届江苏苏州部分高中高三4月适应性检测(高考指导卷)数学试题+答案
2024届高三年级苏州市部分高中4月适应性检测（高考指导卷）数学2024．04注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1．已知{1,2,3}A B = ，{1}A B = ，则满足条件的集合A 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．72．记i 是虚数单位，复数z 满足3443iz i+=−，则||z =（ ）A ．2BCD ．13．对于()2()221T n nn =++单位时间（表示代码中一条语句执行一次的耗时）的算法A 来说，由于分析的是代码执行总时间()T n 和代码执行次数n 之间的关系，可不考虑单位时间．此外，若用()f n 来抽象表示一个算法的执行总次数，前面提到的算法便可以抽象为2()221f n n n =++，因此我们可以记作()(())T n O f n =，其中O 表示代码的执行总时间()T n 和其执行总次数()f n 成正比．这种表示称为大O记法，其表示算法的时间复杂度．在大O 记法中，非最高次项及各项之前的系数及对数的底数可以忽略，即上面所提的算法A 的时间复杂度可以表示为()2O n ．对于如下流程所代表的算法，其时间复杂度可以表示为（ ）A ．(log )O nB ．(log )O n nC ．()2O nD ．(1)O4．已知甲乙两组数据的区间分别为[23,27]，[20,26]，则（ ） A ．甲组数据中位数为23.5B ．乙组数据中第70百分位数为23C ．两组数据中乙更稳定D ．两组数据中甲更集中5．下列说法中，正确的是（ ）A ．已知一系列样本点(),(1,2,3)i i x y i = 一个经验回归方程ˆˆ3y x a =+，若样本点(,3)m 与(2,)m 的残差相等，则311m n +=B ．已知随机变量()2~0,N ζσ，若(2)0.2P ζ>=，则(22)0.4P ζ−≤≤= C ．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240D ．每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为36．已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且为偶函数，则()f x 的一个递减区间为（ ） A ．,44ππ−B ．3,44ππC ．,02π−D ．0,2π7．已知定义在区间(,)(0)m m m −>上，值域为R 的函数()f x 满足：①当0x m <<时，()f x 0>；②对于定义域内任意的实数a 、b 均满足：()()()1()()f a f b f a b f a f b ++=−．则（ ）A ．(0)1f =B ．()()12f x f x >C ．函数()f x 在区间(0,)m 上单调递减D ．函数()f x 在区间(,)m m −上单调递增8．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B ′；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EMEB EB ′=+ ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111A B C D 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ．则梯形1111A B C D 的面积最小值为（ ）A ．6B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，P 是矩形ABCD 所在平面外一点，2,3,AB BC PA PB ====P AB C −−为60°，F 为PA 中点．则下列说法正确的是（ ）A ．BF =B ．PMO ∠是二面角P ABC −−的平面角C ．tan PCO ∠D ．PC 与BD 10．已知函数()1f x x =+，设1()()g x f x =，()()*1()()1,N n n g x f g x n n −=>∈．且关于x 的函数()2*1()N ni i y x g x n ==+∈∑．则（ ）A ．()n g x x n =+或()1n g xnx =+ B ．22242n n n yx +=++C ．当2n ≤时，存在关于x 的函数y 在区间(,1]−∞−上的最小值为6，0n =D ．当2n >时，存在关于x 的函数在区间(,1]−∞−上的最小值为6，4n =11．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，抛物线24x y =的焦点F 是椭圆E 的一个顶点，A 、B 分别是椭圆的左右顶点．动点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为12,k k ，且212k k =．则（ ）A ．AP 的斜率可能不存在，且不为0B ．P 点纵坐标为2442kk + C ．直线AP 的斜率2118k ≠D ．直线PQ 过定点2,03三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在ABC △中，若321AB BC BC CA CA AB⋅⋅⋅==，则tan tan tan B A C =+___________．13．已知“0,0a b >>”与“1a b +=”互为充要条件，则“14a a b+”和“22118a b a b +++”的最小值之和为___________．14．已知随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()4P B =，()34P A B =，则()P B A =___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数22()2sin 3sin cos cos 4f x x x x x a π=++++． （1）若R x ∈，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π∈时函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值． 16．（15分）在三棱柱111ABC A B C −中，11A B 是1AC 和11B C 的公垂线段，1A B 与平面ABC 成60°角，AB =，1A AAC ==（1）求证：AB ⊥平面1A BC ； （2）求1A 到平面ABC 的距离； （3）求二面角1A AC B −−的大小． 17．（15分）已知函数2()ln (R)f x x ax a a =−+∈，()ln (R)mg x x m x=+∈． （1）当1m =时，求函数()y g x =的最小值；（2）是否存在1230x x x <<<，且123,,x x x 依次成等比数列，使得()1g x ，()2g x ，()3g x 依次成等比数列？请证明；（3）当12a >时，函数()f x 有两个零点12,x x ，是否存在1221x x a a +−>+的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系． 18．（17分）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．（1）求P 点的轨迹方程；（2）设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a=−平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；（3）在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上． 19．（17分）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线3:C y x =上的点()111,P x y 作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于()222,P x y ，过点2P 作曲线C 的切线2l 与曲线C 交于点()333,P x y ，依此类推，可得到点列：()111,P x y ，()222,P x y ，()333,Px y ，…，(),n n n P x y ，…，已知11x =．（1）求数列{}n x 、{}n y 的通项公式；（2）记点n P 到直线1n l +（即直线12n n P P ++）的距离为n d ， （I ）求证：1211149n d d d +++> ； （II ）求证：1211181192n n d d d +++>−，若n 值()*0,N n n >∈与（I ）相同，则求此时1211181192n n d d d+++>−的最小值． 苏州市2024届高三年级高考指导卷（部分高中4月联考）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDADDDDB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号9 10 11答案BD BD CD 注意：选择题答案设置不规律，目的是全面考察学生数学能力．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．15．（13分）解：（1）1cos2 32()1cos2sin222xf x x x aπ++=−+++，3sin2cos22x x a=−++3242x aπ−++3222242k x kπππππ+≤−<+，3788k x kππππ+≤≤+，∴减区间为：37,88k k k Zππππ++∈．（2）02xπ≤≤，02xπ≤≤，32444xπππ−≤−≤，sin214xπ≤−≤，当sin24xπ−时，()f x有最小值为312a−++，由已知122a+=，32a∴=．16．（15分）解：（1） 三棱柱111ABC A B C−中11A B是1AC与11B C的公垂线段，AB BC∴⊥，1AB AC⊥．又111AC A B A=，AB∴⊥平面1A BC．（2）AB⊂平面ABC，AB⊥平面1A BC∴过平面ABC⊥平面1A BC作1AO BC⊥垂足为O，则1AO⊥平面ABC，1A BC∠为1A B与平面ABC所成角，即160A BC°∠=，在1Rt A AB△中，12A B=，2BC = ，12AC ∴=，O 为BC中点1AO = 即1A 到平面ABC．（3）由O 引垂线OH AC ⊥垂足为H ，连接1A H 由三垂线定理可证1AC A H ⊥，1A HO ∴∠为二面角1A AC B −−平面角，在ABC △中解得OH =，在1OA H △中解得11tan AO AOH OH ∠=， ∴二面角1A AC B −−大小为 注意：若有其他正确解答，可按步骤给分． 17．（15分）解：（1）当1m =时，1()ln g x x x =+，()21x g x x−′=， 故1x =是极小值点，min()(1)1g x g ==． （2）1313221322132132112112ln ln 2ln ln 00m m m x xx x x m m x x x x x x x x x x +++=+⇒++−=⇒+−=， ①若m 等于0，存在； ②若m 不等于0，则()()21321322132131321120222x x x x x x x x x x x x x x x +−=⇒=+⇒=+⇒=+， 代入2213x x x =得：()2130x x −=与题意1230x x x <<<矛盾，故此时不存在．（3）()f x 有两个零点，不妨设1201x x <<<，则211ln x ax a =−，222ln x ax a =−．设函数2(1)()ln 1x F x x x −=−+，则(1)0F =，22214(1)()0(1)(1)x F x x x x x −′=−=≥++，所以()F x 在R 上单调递增，故当(0,1)x ∈时，()0F x <，即2(1)ln 1x x x −<+，当(1,)x ∈+∞时，()0F x >，即2(1)ln 1x x x −>+， 所以()1211211x ax a x −−<+，()2222211x ax a x −−>+，所以()()()()()()221112221210121ax a x x ax a xx −+−−<<−+−−，整理可得：()()()222121220a x x a a x x −+−−−<，即()2122a x x a a +>−+，所以1221x x a a+>+−． 18．（17分）解：（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−− ，(1,1)PC x y =−− ， 则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅−⋅−+−⋅−+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+． （2）由（1）知2131:22C y x x =−+， 又31,416a =− ，∴平移公式为34116x x y y ′=−′=+ 即34116x x yy ′=+ ′=− ，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 213331164242y x x ′′′−=+−++，即2y x ′′=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b = =+消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x k x x b +=−=− ， 点M ，N 在抛物线上：211222y x y x =∴ = ()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMONOM ON ⋅∴∠=>⋅ ，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=−=−=− 对2y x =求导可得2y x ′=∴抛物线2C 在点()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−， 由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x −=− ≠ −=−，解得交点R 的坐标(,)x y ． 满足12122x x x yx x + ==⋅ 即22k x y = =− ，R ∴点在定直线2y =−上．19．（17分）解：（1）曲线C 上点(),n n n P x y 处的切线n l 的斜率为23n n x x n k y x =′==， 故得到的方程为()23n n n y y x x x −⋅−，联立方程()3233n n n nn y x y y x x x y x = −⋅− = 消去y 得：323320nn x x x x −⋅+= 化简得：()()220n n x x x x −⋅+=，所以：n x x =或2n x x =−．由n x x =得到点n P 的坐标(),n n x y ，由2n x x =−就得到点1n P +的坐标()()32,2n n x x −−，所以：12n n x x +=−，故数列{}n x 为首项为1，公比为2−的等比数列所以：1(2)n n x −−，1(8)n n y +−．（2）（I ）由（1）知：()1(2),(8)n n n P +−−，()112(2),(8)n n n P +++−−，所以直线n l 的方程为：()11(8)(8)(8)(2)(2)(2)n n nn n n y x ++−−−−−=−−−−− 化简得：342(8)0n nx y ⋅−−⋅−=，1322789.232n n n n d −−⋅=<=⋅， 所以311192n n d −>⋅．12111818141192929n n d d d ∴+++>−≥−= ．（II ）2131211111119222n n d d d −−− +++>+++2111221811199212n n − −=⋅=− −与（I ）中相同，当1n =时，此时最小值为49．。
国家二级VB机试模拟试卷178_真题(含答案与解析)-交互
国家二级（VB）机试模拟试卷178(总分86, 做题时间90分钟)1. 选择题1.下列叙述中正确的是( )。
SSS_SINGLE_SELA 算法的时间复杂度与算法程序中的语句条数成正比B 算法的时间复杂度与计算机的运行速度有关C 算法的时间复杂度与运行算法时特定的输入有关D 算法的时间复杂度与算法程序编制者的水平有关分值: 2答案:C解析：算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
为了能够比较客观地反映出一个算法的效率，在度量一个算法的工作量时，不仅应该与所使用的计算机、程序设计语言以及程序编制者无关，而且还应该与算法实现过程中的许多细节无关。
为此，可以用算法在执行过程中所需基本运算的执行次数来度量算法的工作量。
算法所执行的基本运算次数还与问题的规模有关；对应一个固定的规模，算法所执行的基本运算次数还可能与特定的输入有关。
故本题答案为C选项。
2.下列各排序法中，最坏情况下的时间复杂度最低的是( )。
SSS_SINGLE_SELA 希尔排序B 快速排序C 堆排序D 冒泡排序分值: 2答案:C解析：堆排序最坏情况时间下的时间复杂度为O(nlog2n)；希尔排序最坏情况时间下的时间复杂度为O(n 1.5 )；快速排序、冒泡排序最坏情况时间下的时间复杂度为O(n 2 )。
故本题答案为C选项。
3.设栈的存储空间为S(1：50)，初始状态为top=51。
现经过一系列正常的入栈与退栈操作后，top=50，则栈中的元素个数为( )。
SSS_SINGLE_SELA 1B 0C 50D 49分值: 2答案:A解析：栈是一种特殊的线性表，它所有的插入与删除都限定在表的同一端进行。
入栈运算即在栈顶位置插入一个新元素，退栈运算即取出栈顶元素赋予指定变量。
栈为空时，栈顶指针top=0，经过入栈和退栈运算，指针始终指向栈顶元素。
初始状态为top=51，当top=50时，则栈中S(50：51)存储着元素，51—50=1，元素个数为1。
数据结构算法时间复杂度的计算
数据结构算法时间复杂度的计算时间复杂度的定义一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O 是数量级的符号)，简称时间复杂度。
根据定义，可以归纳出基本的计算步骤1. 计算出基本操作的执行次数T(n)基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。
在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。
2. 计算出T(n)的数量级求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：忽略常量、低次幂和最高次幂的系数令f(n)=T(n)的数量级。
3. 用大O来表示时间复杂度当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=O(f(n))。
一个示例：(1) int num1, num2;(2) for(int i=0; i<="" p="">(3) num1 += 1;(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){(5) num2 += num1;(6) }(7) }分析：1.语句int num1, num2;的频度为1；语句i=0;的频度为1；语句i<="">语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n2.忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数f(n) = n*log2n3.lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0所以极限等于3。
时间复杂度怎么算？如何计算时间复杂度？时间复杂度
时间复杂度怎么算？如何计算时间复杂度？时间复杂度 ⑴找出算法中的基本语句； 算法中执⾏次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。
⑵计算基本语句的执⾏次数的数量级； 只需保留f(n)中的最⾼次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最⾼次幂的系数。
⑶⽤⼤Ο记号表⽰算法的时间性能。
将基本语句执⾏次数的数量级放⼊⼤Ο记号中。
如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。
例如： for (i=1; i<=n; i++) x++; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) x++; 第⼀个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第⼆个for循环的时间复杂度为Ο(n²)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n²)=Ο(n²)。
注、加法原则：T(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(fn,gn)) 常见的算法时间复杂度由⼩到⼤依次为： Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)<O(n^n)Ο(1)表⽰基本语句的执⾏次数是⼀个常数，⼀般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。
Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，⽽Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。
计算机科学家普遍认为前者是有效算法，把这类问题称为P类问题，⽽把后者称为NP问题。
对于⼀个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。
void aFunc(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1) }}此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。
时间复杂度计算公式
时间复杂度计算公式现代计算机科学所研究的领域之一是算法分析。
算法分析一般用来衡量程序的执行时间和所需的内存空间。
算法的执行时间可以用时间复杂度来衡量，这取决于程序的输入大小和复杂度。
时间复杂度是一种用来度量算法复杂度的方法。
它用来描述算法在不同输入规模下执行时间的变化情况。
对于某个给定的算法，时间复杂度表示算法执行时间上随着输入规模增长而增长的变化程度。
时间复杂度一般用大O表示法来描述，这种描述方式通过表示算法最坏情况下的时间增长率来表明算法的复杂程度，从而可以比较各种不同的算法的复杂度。
一般来说，越低的时间复杂度表示算法的执行效率越高。
大O表示法一般按照运行时间增长率进行表示，主要有以下几种： 1. O(1)：常数复杂度，当算法的输入规模无论大小，其执行时间都是一个常量，与输入的大小无关；2. O(log2n)：对数复杂度，指算法的时间复杂度随着输入的数据规模的增长而以对数方式增长；3. O(n)：即线性复杂度，指算法的时间复杂度随着输入的数据规模的增长而以线性方式增长；4. O(n2)：即平方复杂度，指算法的时间复杂度随着输入的数据规模的增长而以平方方式增长；5. O(2n)：即指数复杂度，指算法的时间复杂度随着输入的数据规模的增长而以指数方式增长；6. O(n!)：即阶乘复杂度，指算法的时间复杂度随着输入的数据规模的增长而以阶乘方式增长。
以上是各种常见的时间复杂度表示法，时间复杂度一般会根据算法的复杂度从低到高进行排序，算法复杂度越低，代表运行速度越快，反而算法复杂度越高，代表运行速度越慢。
因此，时间复杂度计算公式一般应用在计算机程序设计中，可以用来衡量算法的执行效率。
通过对比比较不同的算法的执行时间，可以知道哪个算法的执行时间更少，从而提高计算机程序的执行效率。
另外，时间复杂度计算公式还可以用来建立程序的时间复杂度的优化方案，从而节省时间。
通常，我们可以通过减少算法中的循环次数、减少判断次数来实现算法的复杂度优化。
圈复杂度计算方法
圈复杂度计算方法
1循环复杂度
循环复杂度（Loop Complexity）是一种度量一个算法执行时间所需资源的量度。
它反映了算法中的基本操作的执行次数，可以是运行时间或者内存占用空间，测量在增长规模上的算法效率。
一般在度量一个算法的时间复杂度与空间复杂度时，计算的是主要的操作的复杂度。
循环复杂度通常反映的是次要操作的消耗。
它考虑的是不同规模的输入数据时算法中循环体的执行次数，可以更有效地评价算法优劣。
可以将程序中所有循环体串联起来，由外层循环到内层循环，复杂度表示方法是T(K)=T(K-1)*T(K-2)*...*T(1)，考虑最坏情况，循环复杂度就是最后一个循环体的循环次数。
2评估循环复杂度
1、嵌套循环：嵌套循环是一种简单的结构，包括一个外层循环和一个内层循环，循环控制语句位于两个循环之间。
嵌套循环的复杂度一般为O(N*M)，N为外层循环的迭代次数，M为内层循环的迭代次数。
2、双重循环：循环内部有两个循环，复杂度一般既取决于内层循环迭代次数，又取决于外层循环的迭代次数，复杂度一般为O(N*N)。
3、多循环：当循环体中存在多个循环时，则可以将各个循环次数相乘，即复杂度为这些循环次数的乘积。
3总结
循环复杂度是对算法中循环体的执行次数进行量化的一种度量，更有效地评价算法的优劣，因此编程时要构建有效的循环并做出合理的优化，评估出最优的复杂度以达到最优的性能。