数学建模培训班的图论课件(李德英)

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数学建模培训班
图论及其应用
主讲老师：李德英
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天道酬勤
你的奖杯有多大，就有多少的汗水和 泪水，把奖杯敲碎后，里面就是你的 眼泪和血汗．．．
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参考书： １、高随祥《图论与网络流理论》 高等教育出版社
２、王树禾
《图论》 科学出版社
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这个问题具有挑战性的原因是因为它没有一个明显 的起始点，但如果对此建立一个图模型，问题就变得很 简单了。
握手的次数
河 南 城 建 学 院 分析：从题目我们得到了哪些信息? 史密斯和太太邀请四对夫妻参加晚会——房间里共有 10 人; 每个人都不会与自己的配偶握手——握手的两个人不 是配偶; 每个人都不会跟同一个人握手两次——两个人间的握 手最多是一次; 史密斯先生问每个人和别人握了几次手，他们的答案 都不一样——除史密斯先生外，每个人和别人握手的 次数都不一样; ——除史密斯先生外，每个人握手的次数最多是8次， 最少为0次; ——房间里除了史密斯先生外的9个人，他们与别人 握手的次数分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8次。
§ 2．图的定义与记号
河 南 V= {v1, v2 ,, vn} 是非空有限集合，称为顶点集，它的元素称 城 为图 G 的顶点； E 也是(可空)有限集合，称为边集，它 建 学 的元素称为图 G 的边。 院 (v , v )
定义 1 （1） 图 G 是一个二重组：G=（V，E） ，其中
（2） 图 G 的边 e 是一个顶点二重组：
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例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高 速公路把这些城市连接起来，使得从其中任 何一个城市都可以经高速公路直接或间接到 达另一个城市。假定已经知道了任意两个城 市之间修建高速公路的成本，那么应如何决 定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本 最小？（最小生成树 ）
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例1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车 货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路 网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司 机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速 度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到 一条从甲地到乙地的最短路。
1, mij 0,
若vi与v j相关联 若vi与vj不关联
(2)对有向图 G，其关联矩阵 M (mij )v ，其中 1, 若vi是ej的起点 mij 1, 若vi是ej的终点 0, 若v 与e 不关联 i j
关联矩阵示例
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右上图的关联矩阵是 e1 e 2 e3 e 4 e5 e6 e7 e8
图的定义与记号
(6) 既没有环也没有重边的图称为简单图。
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(7) 任意两顶点都相邻的简单图称为完全图。 记为 K n ， 其中 n 为顶点的数目。 (8) 若 V X Y , X Y ， 中任两顶点不相邻，Y 中任两 X 顶点不相邻，称 G 为二部图；若 X 中每一顶点都和 Y 中一切顶点相邻，称为完全二部图，记为 Kn,m ，其中 m，n 分别为 X 与 Y 的顶点数。 (9) 若将图 G 中的每一条边 E 都对应一个实数 W（E） ，则 称 W（E）为该边的权，并称图 G 为赋权图。
e1
1
2
e4
1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 0 1 1
e3
e5
e2
3
4
定义 2 邻接矩阵
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图的矩阵表示
(1)对无向图 G，其邻接矩阵 A (aij )vv ，其中
1 , 若vi与v j相邻 aij 0 , 若vi与v j不相邻
0 k
路径问题与连通问题
定义2 (1) 在无向图G中,若存在一条从顶点u到w的 路 河 径, 则称从u到w可达.约定每个结点到自身 南 可达; 城 (2) 任意两点均有路径的图称为连通图； 建 学 (3) 起点与终点重合的路径称为圈; 院 (4) 连通的无圈图称为树。
定义3 (1) 设 p(u, v)是赋权图G中从u到v的路径，则称 w( P) w(e) 为路径P的权;
eE ( P )
(2) 在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小 权的路P* (u , v) ，称为u到v的最短路。
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连通图例
不连通图
§ 4．图的矩阵表示
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定义 1 关联矩阵 (1) 对 无 向 图 G ， 其 关 联 矩 阵 M (mij )v ， 其 中
1 2
4
3
图的矩阵表示
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定义 3 可达矩阵：对有向图 G=（V，E） ，其 可达矩阵 P ( pij )vv ，其中
若vi与v j可达 1, pij 0, 若vi与v j不可达
可达矩阵示例
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右图的可达矩阵是
1 2 3 4 1 1 2 0 3 0 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1
(2)对有向图 G=<V，E>，其邻接矩阵 A (aij )vv ，其中
1, 若(vi , v j ) E aij 0, 若(vi , v j ) E
（3）对有向赋权图 G，其邻接矩阵 A (aij )vv ， 其中
wij , 若(vi , v j ) E,且wij为其权 aij 0, 若i j , 若(vi , v j ) E
图论简介
Konigsberg
七桥问题
A
D
A
D
C
B
B
C
是否可以 一笔画？
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1 概论
图与网络是运筹学（Operations Research） 中的一个经典和重要的分支，所研究的问题 涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算 机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多 领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流 问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图 与网络的基本问题。
2
1
4
3
二、图论模型实例分析
河 南 城 建 学 院 实例一 握手的次数 史密斯先生和他太太邀请四对夫妻参加晚会每个人 到的时候，房间里的一些人都要与别的一些人握手。当 然，每个人都不会与自己的配偶握手，也不会跟同一个 人握手两次。之后，史密斯先生问每个人和别人握了几 次手，他们的答案都不一样。那么，史密斯太太和别人 握了几次手呢?
图的定义与记号
定义 3 : 河 南 （1） 在无向图中，与顶点 v 关联的边数（环算 城 两次）称为 v 的次数（度） 记为 d (v) 。 ， 建 （2） 在有向图中，从顶点 v 引出的边数称为 v 学 院 的出度，记为 d (v) ，从顶点 v 引入的边数称为 v 的入度，记为 d (v) . d (v) d (v) d (v) 称为 v 的次 数（度） 。
1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
1
e1
e2
2
0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
e3
4
e4
3
e6
e7
5
e5
e8
右下图的关联矩阵是 e1 e 2 e3 e 4 e5
§ 3．路径问题与连通问题
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定义 1 在无向图 G=（V，E）中： (1) 顶 点 与 边 相 互 交 错 的 有 限 非 空 序 列
w (v0e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v0 到 v k 的
通路，记为 Wv0vk ； (2) 边不重复但顶点可重复的通路称为道 路，记为 Tv0vk ； (3) 边与顶点均不重复的通路称为路径，记 为 Pv v 。

例6 运输问题（transportation problem）

某种原材料有多个产地，现在需要将原材 料从产地运往多个使用这些原材料的工厂。 假定个产地的产量和家工厂的需要量已知， 单位产品从任一产地到任一工厂的运费已 知，那么如何安排运输方案可以使总运输 成本最低？
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上述问题有两个共同的特点：一是它们的目 的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种 意义下的最优安排或方案，数学上把这种问 题称为最优化或优化（optimization）问题； 二是它们都易于用图形的形式直观地描述和 表达，数学上把这种与图相关的结构称为网 络（network）。与图和网络相关的最优化问 题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的 问题都是网络优化问题。
图的定义与记号
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(3)每条边都是无向边的图称为无向图；每条边都是有向边 的图称为有向图；我们仅讨论无向图和有向图。 (4)不与任何结点邻接的顶点称为孤立点，全为孤立点组成 的图(无向图和有向图均可)称为空图。 (5) 在无向图中两顶点间(包括顶点自身)若多于一条边， 则称这几条边为重边.在有向图中若同始点和同终点的边 多于一条,则称这几条边为重边.
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例3 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项 任务，每人一项。由于各员工的特点不 同，不同的员工去完成同一项任务时所 获得的回报是不同的。如何分配工作方 案可以使总回报最大？（二部图的匹配）
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例4 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。 如何为他（她）设计一条最短的投递路 线（从邮局出发，经过投递区内每条街 道至少一次，最后返回邮局）？由于这 一问题是我国管梅谷教授1960年首先提 出的，所以国际上称之为中国邮递员问 题。