3.4圆周角与圆心角关系
北师大版数学九年级下册：3.4 《圆周角和圆心角的关系》 练习
3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论1基础题知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝35°，则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2019·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2019·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A .∠2B .∠3C .∠4D .∠58.(2019·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠A DB ＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°.中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A .64°B .58°C .32°D .26°13.(2019·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F ，则∠BAF 等于(B)A .12.5°B .15°C .20°D .22.5°14.(2019·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A .45°B .60°C .75°D .85°15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值.解：(1)连接OB.∵OD⊥A B ，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB，OC ＝3，OA ＝6，∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°.∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°， ∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC ，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2019·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2019·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.(1)求证：四边形ABFC 是菱形；(2)若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积.解：(1)证明：∵AB 为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC ，∴CE＝BE ，又∵EF＝AE ，∴四边形ABFC 是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC 是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x.∵AB 为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋x)2－72＝42－x 2.∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S 半圆＝12×π×42＝8π. ∴BD＝15.∴S 菱形ABFC ＝815.综合题17.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE 的长.解：(1)证明：∵四边形ABED 为⊙O 的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A. 又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DE BA ＝CE CA， ∵AB 为⊙O 的直径，⊙O 的半径为23， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB ＝4 3.在Rt△AEC 中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°. ∴DE BA ＝CE CA ＝12，即DE ＝2 3.。
3.4圆周角和圆心角的关系第1课时(课件)九年级数学下册(北师大版)
即∠C= ∠AOB.
（1）
二、自主合作，探究新知
试一试：你能将图（2）、（3）转化成图（1）吗？与同伴交流，并尝
试证明．
二、自主合作，探究新知
想一想：（1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形
成的三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC大小有什么关系？你能用圆周角定
理证明你的结论吗？
？你是怎么发现的？与同伴进行交流．
（1）∠D=∠E= ∠F=40°
F
使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等．
（2）∠D=∠E=
∠F= ∠AOB.
利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的
圆心角80°的一半．
二、自主合作，探究新知
议一议：在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结
⌒
它们都是AC所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC度
数的一半，所以这三个角相等．
二、自主合作，探究新知
（2）如图，在☉O中 A B = E F ，那么∠C和∠G的大小有什么关系?
为什么?
C
G
O
A
F
B
E
圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，OA,OB,OC都是☉O的半径，∠AOB=50°,
∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.
⌒ ,
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为 AB
1
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
2
1
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
2
O .
A
70°
C
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。
此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。
三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。
2.圆周角定理的证明及其推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。
平面几何中的圆心角和圆周角的关系
平面几何中的圆心角和圆周角的关系在平面几何中，圆是一种重要的几何图形，它的特殊性质在数学中被广泛研究和应用。
其中，圆心角和圆周角的关系也成为了数学中一道重要的题目。
一、圆心角和圆周角的定义圆是由一条固定的线段，称为半径，围绕着一个固定点，称为圆心，所形成的几何图形。
圆心角是以圆心为顶点的角，圆周角是圆上的两条弧所夹的角。
在一个圆心角所对的弧中，圆周角为其一半。
二、圆心角和圆周角的比例关系圆周角是在圆弧上所夹的角，其大小与所夹圆弧的长度有关，其大小越大，所夹的圆弧也越大。
而圆心角是以圆心为顶点的角，其大小与所夹的弧长也有关，当弧长相等时，圆心角越大，其夹角也越大。
而在同一圆上，对于圆心角和圆周角，其夹角的大小正好呈比例关系。
具体地说，设在同一圆上，圆周角所对的弧为a, 圆心角所对的弧为b。
则它们的夹角大小满足如下公式：圆周角a / 弧长a = 圆心角b / 弧长b通常情况下，弧长等于圆周长的1/4，即弧长= πd / 2，其中d 为圆的直径。
故上述公式可以进一步简化为：圆周角a / πd = 圆心角b / 2这就意味着，同一圆上的圆心角和圆周角的夹角大小，与其所对的弧长是成正比例的。
这是圆形的独特性质，也是许多圆形问题的基础。
三、圆心角和圆周角的应用在实际应用中，圆心角和圆周角的性质经常被用于计算弧长、圆周长和面积等问题。
同时，这些性质也与很多其它数学问题有关。
例如，在三角函数中，圆的等分问题可以转化为求解三角函数值，并利用圆心角和圆周角的性质进行计算；在计算机图形学中，圆的描述和计算也往往基于圆心角和圆周角的性质。
此外，圆心角和圆周角的比例关系还有一种特殊情况，即当圆弧所对角为直径时，其圆心角大小为180度，圆周角大小为半圆弧长。
这种情况下，圆心角和圆周角的夹角大小为定值，可以被用于计算任意角的大小。
例如，在求解三角函数值时，通过将任意角转化为以直径为所对角的圆心角，然后再利用圆心角和圆周角的性质，就可以得出任意角的三角函数值。
北师大版数学九年级下册3.4.1圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.1“圆周角和圆心角的关系”是本章节的重要内容，涉及到圆周角定理及其推论。在教学过程中，我以一个生活中的实例为背景，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
在案例中，我设计了一个关于自行车轮子的问题：一个自行车轮子上有36个齿，当车轮转过一周时，齿所形成的圆周角是多少度？通过这个问题，学生可以直观地感受到圆周角的概念。接着，我引导学生思考：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这时，学生已初步掌握了圆周角定理，能够运用定理解决问题。
2.运用分组讨论、展示等形式，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队协作能力。
3.设计不同难度的练习题，让学生在课后进行巩固，培养学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
2.通过圆周角定理的学习，使学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
（二）问题导向
在教学中，我设计了一系列问题来引导学生思考和探究。例如，当学生了解了圆周角的概念后，我提出问题：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这个问题引导学生思考圆周角和圆心角之间的关系，激发他们的探究欲望。通过问题导向，我引导学生积极主动地参与学习，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我设计了一系列有关圆周角和圆心角的问题，让学生分组讨论和解决问题。例如，我让学生设计一个关于圆周角和圆心角的实例，并展示给其他同学。通过小组讨论，学生能够互相交流、合作，共同解决问题，提高他们的团队协作能力和沟通能力。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案3一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三单元“圆”的一部分。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，并理解其含义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生掌握圆周角定理，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质和圆的周长、面积计算。
但学生对于圆周角和圆心角的关系可能较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：引导学生发现圆周角定理，理解圆周角定理的含义，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等方法，培养学生动手操作能力和团队协作能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
四. 教学重难点1.圆周角定理的发现和理解。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和练习，引导学生观察、操作、交流，发现圆周角定理。
2.问题驱动法：提出问题，激发学生思考，引导学生探究圆周角和圆心角的关系。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和练习。
2.练习题：准备一些有关圆周角和圆心角的练习题，用于巩固和拓展。
3.教学道具：准备一些圆形道具，用于展示和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个圆形，引导学生观察圆周角和圆心角的关系。
提出问题：“你们认为圆周角和圆心角有什么关系？”让学生思考并发表自己的观点。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现几个实例，让学生观察圆周角和圆心角的关系。
引导学生发现圆周角定理：一个圆周角等于它所对的圆心角的一半。
让学生用自己的语言阐述圆周角定理的含义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个关于圆周角和圆心角的练习题，并互相交换解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
圆周角和圆心角的关系ppt课件
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3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
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3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
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3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计
（3）课后作业和测试，了解学生对知识点的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导。
4.教学反思：
教师应在课后对教学过程进行反思，了解学生在学习过程中的困惑和问题，不断调整教学策略，以提高教学效果。同时，关注学生的情感态度，鼓励学生克服困难，树立自信心，使他们在数学学习中获得成功体验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示生活中的实例，如自行车轮子、风扇叶片等，引导学生观察并思考这些物体上的角度特点，从而引出圆周角和圆心角的概念。
2.提问：询问学生对圆的基本概念、性质和角度计算方法的掌握情况，为新课的学习做好铺垫。
3.复习：简要复习圆的基本性质，如圆的半径相等、圆的周长和面积公式等，为新课的学习打下基础。
2.合作交流：鼓励学生在小组合作中，学会倾听、表达、交流，培养学生的团队协作能力。
3.理性思考：培养学生用数学的眼光看待问题，善于从多个角度分析问题，形成理性思考的习惯。
4.求知欲：通过解决实际问题，激发学生的求知欲，培养学生勇于探索、追求真理的精神。
二、学情分析
九年级学生在学习圆周角和圆心角的关系这一章节时，已具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对圆的基本概念、性质以及圆中角度的计算方法有了一定的了解，这为学习圆周角和圆心角的关系奠定了基础。然而，学生在解决涉及圆周角和圆心角的复杂问题时，可能会遇到以下困难：
第四步：总结规律，教师引导学生总结圆周角和圆心角的性质，并给出严谨的证明。
第五步：巩固练习，设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中巩固所学知识。
第六步：拓展提高，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和能力。
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即圆周角定理。
圆周角是顶点在圆周上的角，圆心角是顶点在圆心上的角。
圆周角和圆心角的性质和定理
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。
3、圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。
4、直径所对的圆周角是直角;90度的圆周角所对的弦是直径。
5、圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三章第四节的内容。
本节课的主要内容是探究圆周角和圆心角的关系，即圆周角定理。
这个定理是圆的基础知识之一，对于学生理解和掌握圆的相关概念和性质有着重要的意义。
教材中，首先通过观察和思考，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系。
然后通过证明，使学生理解圆周角定理。
接着，通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析九年级的学生，已经学习了平面几何的基础知识，对一些几何图形的性质和概念有一定的了解。
但是，对于圆的相关知识，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生复习一些与圆有关的基础知识，如圆的定义，圆心角的定义等。
同时，九年级的学生，抽象思维能力较强，善于通过逻辑推理来解决问题。
因此，在教学过程中，可以引导学生通过观察，思考，证明等方法，来理解和掌握圆周角定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解圆周角定理，并能运用圆周角定理解决一些与圆有关的问题。
2.过程与方法目标：通过观察，思考，证明等方法，学生能够发现和理解圆周角和圆心角之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理的发现和证明。
2.教学难点：圆周角定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察，思考，证明的教学方法，引导学生发现和理解圆周角定理。
2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角之间的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一些与圆有关的问题，引导学生复习圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究：引导学生观察和思考，发现圆周角和圆心角之间的关系。
然后通过证明，使学生理解圆周角定理。
3.应用：通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。
34圆周角和圆心角的关系(教案)
课题 3.4 圆周角和圆心角的关系教学目标知识技能：1.理解圆周角概念和圆周角与圆心角的关系定理及推论；2.会用定理进行简单的说明或推理.过程方法：1.经历观察、猜想、推理论证等探索圆周角定理的过程，掌握从特殊情况入手，通过转化来解决一般性问题的方法；2.感悟分类讨论、转化的数学思想.德育目标：通过观察、实验、类比、猜想、论证、反思，使学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点和严谨的科学态度.教学重、难点重点：对圆周角与圆心角关系的剖析与论证. 难点：定理证明中的分类化归思想.教法学法分析为了更好地突出重点、突破难点，圆满完成教学任务，采用探究式教学方法，着眼引导学生通过动手实践、自主探索、合作交流的学习方式，着重于探索、发现、归纳能力的培养.教学过程教学环节教学内容设计意图温故知新教师提出问题：问题1：点和圆有哪几种位置关系？问题2：什么叫圆心角？学生回答问题，并进行画图展示，从而得到圆周角.由点和圆的位置关系及圆心角概念，通过画图得到圆周角，实现了知识的整体性，又为学习新知做好铺垫.概念引领1.教师引导学生说出圆周角的定义.教师进行板书：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.教师引导学生分析圆周角所具备的两个条件：①顶点；②两边.2.辨一辨：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.此环节是为了让学生根据角的特征归纳圆周角的定义.同时进一步加强学生对圆周角定义中“角的顶点在圆上”“角的两边与圆还有一个交点”两个要素的理解.探究活动问题：1.在⊙O中，弧AB所对的圆心角有几个？所对的圆周角呢？一是为了让学生动手通过画图感受同弧所对的圆周角有无数多个，并用几何画板演示移动一个圆周角的顶点，让同学们从动态感受相同的结论；二是为引导学生观察圆心与圆周角的位置关系作铺垫.2.在上图中，你认为圆周角和圆心的位置关系有几种情况？为了让学生在合作学习和教师的演示中经历观察、发现、归纳总结的过程，并巧妙地化解“分类讨论”这个难点.3.如图所示，你知道∠C和∠AOB的数量关系吗？让学生运用多种方法得到同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，为根据图形写出已知、求证、证明打好基础.探究活动根据同弧所对的圆周角与圆心的三种位置关系，学生分三种情况进行证明.教师提出：问题1：三类图形中，应从哪一个着手证明，为什么？问题2：如何证明特殊情况？并总结其中用到的几何知识.问题3：另外两个图形是否能通过作适当的辅助线转化为特殊情况？学生自主思考，小组合作完成证明过程.教师巡视，深入小组内适时点拨.指导一名学生板演证明过程，集体评价.让学生体会推理的严谨性，感悟从特殊到一般的数学思想，并体会用此种数学方法去解决问题的妙处，同时领会辅助线的数学价值和分类化归的数学方法.。
北师大版九年级下册3.4圆周角与圆心角关系(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角与圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过观察和测量，让学生亲身体验圆周角与圆心角的关系。
6.课后作业的布置：为了让学生更好地巩固所学知识，我应该在课后布置一些具有代表性的练习题，让学生在实践中进一步理解和运用圆周角与圆心角的知识。
解决方法：通过画图和实际操作，让学生观察圆内接四边形的性质，引导他们发现对角互补的规律。
（4）解决实际问题：学生在解决与圆周角和圆心角相关的问题时，往往难以将理论知识与实际问题相结合。
解决方法：提供丰富的实际问题案例，让学生学会分析问题，将理论知识应用于实际情境。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
4.学生讨论的指导：在学生小组讨论环节，我应该关注每个小组的讨论进度，及时给予指导和启发。此外，要鼓励学生积极发表自己的观点，培养他们的表达能力和团队合作意识。
5.课堂总结的针对性：在课堂总结时，我应该针对学生在本次课程中的表现，有针对性地指出他们的优点和不足，以便他们在课后能够有针对性地进行复习和巩固。
具体内容包括：
（1）圆周角定义：圆周角是由圆上两条弧所对的角，其顶点在圆周上。
（2）圆心角定义：圆心角是由圆上两条弧所对的角，其顶点在圆心上。
（3）圆周角与圆心角关系：圆周角是圆心角的一半。
（4）圆周角定理：圆周角相等。
（5）圆周角定理推论：圆内接四边形的对角互补。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过观察、操作、推理等过程，使学生能够理解和运用圆周角与圆心角的概念，提高空间想象力和直观感知能力。
圆周角课件
的度数。
7.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
五、补充知识
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
●O
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 70°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A
O
B A
C α２ O １２０º
B
∠α３＝ 120°，∠α４＝ 140° .
B
D
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
C
由此，你能得到什么结论
圆周角定理推论： 圆内接四边形对角互补。 （注：顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
. O
A
B
7、如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
∠C=130º
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
(2)
(3)
8、如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么? ∠B=∠D=∠E
9、如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?∠C=90º
10、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如 果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。
教案：圆周角与圆心角的关系
教案：圆周角与圆心角的关系。
一、圆周角与圆心角的定义圆周角：在一个圆上，两个相邻的线段所夹的角叫做圆周角。
圆周角的度数等于其所对应的圆弧的度数。
圆心角：在一个圆上，以圆心为顶点，两条切线所夹的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。
二、圆周角与圆心角的性质1.圆周角和圆心角的度数是正比例关系。
根据圆周角的定义可知，一个圆上的所有圆周角的度数之和等于360度。
而根据圆心角的定义可知，一个圆上的所有圆心角的度数之和也等于360度。
因此，我们可以得出圆周角和圆心角的度数是正比例关系。
2.圆周角和其所对应的圆弧的大小相等。
因为圆周角的度数等于其所对应的圆弧的度数，所以圆周角和其所对应的圆弧的大小相等。
3.圆心角是其所对应的圆弧的一半。
根据圆心角的定义可知，圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。
因此，圆心角是其所对应的圆弧的一半。
4.在同一个圆上，圆周角相等的两条弧所对应的圆心角也相等。
根据圆周角的定义可知，两个圆周角的度数相等当且仅当它们所对应的圆弧的长度相等。
而圆心角的度数是其所对应的圆弧的一半，因此，在同一个圆上，圆周角相等的两条弧所对应的圆心角也相等。
5.在同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。
由圆心角的定义可知，同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。
这是因为圆心角只与它所对应的圆弧的长度有关，而圆周角则与整个圆弧的长度有关。
三、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角之间有以下的关系：1.在同一个圆上，相等的圆心角所对应的圆弧长度大的圆周角也大。
由圆心角的定义可知，圆心角的度数等于其所对应的圆弧的度数的一半。
因此，相等的圆心角所对应的圆弧长度大的圆周角也大。
2.在同一个圆上，圆周角相等的两个弧所对应的圆心角不一定相等。
由圆心角的定义可知，同一个圆上，圆心角相等的两个弧所对应的圆周角不一定相等。
这是因为圆心角只与它所对应的圆弧的长度有关，而圆周角则与整个圆弧的长度有关。
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§3.4圆周角与圆心角的关系（1）
编写：肖 雷 审阅：张宏涛
◆ 学习目标：
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征
2．经历探索圆周角定理的过程，知道“由特殊到一般”的证明方法 3．能熟练的应用圆周角定理进行简单的计算
4．积极地参与到课堂中来，在小组交流中不断地提高应用数学的能力
◆ 学法指导：①独立自主与合作交流相结合；②画、说和写相结合；④体会由特殊到一般 数学思想.
◆ 学习过程： 一、自学交流：
1．内容：课本108--110页
2．学法：先独自阅读思考，理解圆周角的定义，知道一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角的关系，后小组内部交流；能在小组内交流圆周角与圆心角关系的证明方法. 3．时间：自学8分钟,交流2分钟左右. 二、展示释疑：
要求：①结合图形能说出圆周角的定义和判断方法；②能证明圆周角与圆心角的关系定理；③每个同学都可争先到前面展示给大家看.
如图,观察圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
对于上图1给出证明，交流后两种证明。
三、反馈训练：
1、从圆周角的定义中总结圆周角的特征并判断下列各角是不是圆周角
P
P
P
P
A
B
C
O A B
C
O
A
B
C O
2、下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
3、画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?
4、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB 、∠ADB的度数？
5、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
6、如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O 上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是。
四、归纳总结：
通过本节课的学习结合一下几个方面的知识技能进行总结：
1、什么是圆周角？有什么特征？
2、圆周角定理是什么？怎么证明？
3、证明中应用的
由特殊到一般的思想
学后练习：
（一）基础训练：
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
B C
O
A
B C
O
A
B
C
O D
A
B
C
O
D
A
B C
O
C
A
B
O
2、如图，△ABC 是等边三角形，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A 、B 重合，则∠BPC
等于（ ）
A 、30°；
B 、60°；
C 、90°；
D 、45° 3、求圆中角X 的度数
(二)能力提高：
1、已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数．
2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC
3、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________． (三)拔高训练：
1、已知AB 为⊙O 的直径，AC 和AD 为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD 的度数。
2、如图，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E ．（1）求证：△DOE 是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB ≠AC ，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？ 学后反思：
C
A
B
P
B
A
O .
70° x
A
O .
X 120°。