20014中考复习第32讲_圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则：则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=. （2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________.分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等1-变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=，（1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==l CP ⊥时取等号，故max d .所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. C. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD ==B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________.解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x += 变式1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.例 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l的距离1d ==，解得43k =-或34k =-.所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题. 例 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）C. D. 2 变式2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则：（1） 两圆外离12r r d ⇔+<；（2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=；（5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r =圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，（1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问.解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=，解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡⎣B. (),11⎡-∞⋃++∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.1112. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行请说明理由.。
九年级下册数学课件：3.3__圆与圆的位置关系
（
）
A．相交 B．外切
C．内切 D．相离
答案:C
【规律方法】要确定两圆的位置关系，关键是计算出数 据d.R+r和|R-r|这三个量,再把它们进行大小比较.
1.圆和圆的位置关系及其对应的数量关系 （1）两圆外离 d>R+r （2）两圆外切 d=R+r （3）两圆相交 R-r<d<R+r （R>r） （4）两圆内切 d=R-r （R>r） （5）两圆内含 0≤d<R-r （R>r） 2.相切两圆的性质 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.
解:(1)设⊙O与⊙P外切于点A，则 OP=OA+AP，AP＝OP－OA，∴PA＝8－5 B O A P ＝3cm (2)设⊙O与⊙P内切于点B，则 OP＝PB-OB，PB＝OP＋OB＝8+5＝13cm
1.填写表格
R
r
d
两圆的位置关系
3
1
5
外离
2
4
2
内切
5
3
8
外切
3
4
0.5
内含
4
3
2
相交
要确定两圆的位置关系，关键是计算出数据d、 R+r和|R–r|这三个量,再把它们进行大小比较.
d
位
置
关
系
数
字
同 心
内
内相
外外
化
圆
含
切交O2
· ·· O1 O2 A
相切两圆的性质 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.
例1：如图，⊙0的半径为5cm,点P是⊙0外一点，OP＝8cm， 求：（1）以P为圆心，作⊙P与⊙O外切，小圆P的半径是多少？ （2）以P为圆心，作⊙P与⊙O内切， 大圆P的半径是多少？
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则： 则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.（2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例9.28 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于1变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=， （1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例9.31 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD == B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线. 例9.33 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.由圆的切线的性质，5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例9.34 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l 的距离1d ==，解得43k =-或34k =-. 所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式 1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系 思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.例9.35 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==，||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 3B.2C. 变式 2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则： （1） 两圆外离12r r d ⇔+<； （2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=； （5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例9.36 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上， （1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例9.37 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问. 解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=， 解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡-⎣B. (),11⎡-∞⋃+∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ）A. 221a b +≤B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由.。
初三数学《圆与圆的位置关系》课件
学生常见错误分析
混淆圆与圆的位置关系
01
学生容易将相切和相交的位置关系混淆，导致解题思路出现偏
差。
计算错误
02
在判断圆与圆位置关系的过程中，学生可能会在计算两圆半径
之和或差时出现误差。
对公共弦、外公切线理解不清
03
对于两圆相交时产生的公共弦和外公切线，学生可能无法准确
理解其性质和作用。
难点突破方法
定理
两圆的公共弦被连心线垂直平分；两圆的连心线等于两圆半径之差（或和）等。
02
圆与圆的五种位置关系
相切关系
总结词
两圆相切是指两圆只有一个公共点，这个公共点称为切点。
详细描述
相切关系包括内切和外切两种情况。内切是指一个圆的圆心 在另一个圆的内部，而外切是指一个圆的圆心在另一个圆的 外部。
相交关系
加强概念理解
运用多媒体教学
教师需帮助学生深入理解圆与圆的位 置关系的定义和判定方法，通过实例 和图示进行讲解。
利用多媒体课件展示两圆位置关系的 动态变化，帮助学生直观理解。
强化计算训练
通过大量的练习题，提高学生的计算 能力和准确性，减少因计算错误导致 的问题。
解题技巧总结
利用数形结合
结合图形和数学表达式来判断两 圆的位置关系，使解题过程更加
设计一些难度适中的题目，让学生通过思考和实践，提高解题能力 和思维水平。
挑战题目
安排一些具有挑战性的题目，激发学生的探索精神，培养他们解决问 题的能力。
作业的布置与要求
1 2
作业量适度
根据学生的学习情况和课程进度，合理安排作业 量，确保学生在规定时间内能够完成。
明确要求
布置作业时，应明确作业要求，如解题步骤、答 案格式等，以便学生更好地理解和完成作业。
圆与圆有关的位置关系基础知识PPT
05
圆与圆和直线位置关系的 实际应用
几何作图
确定圆心位置
通过已知的两个点或一个点和一个半径，可以确定一个圆的圆心位 置。
确定半径长度
根据已知的两个点或一个点和一个角度，可以确定一个圆的半径长 度。
判断相交或相切
通过比较两个圆的圆心距和半径之和或半径之差，可以判断两个圆是 相交、相切还是相离。
建筑设计
性质
相交的直线与圆有两个公共点， 即交点。
判定
若圆心到直线的距离小于圆的半 径，则直线与圆相交。
相离
定义
当直线与圆心的距离大于圆的半径时，直线与圆 相离。
性质
相离的直线与圆没有公共点。
判定
若圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线与圆 相离。
03
圆与圆和直线位置关系的 判定
圆心距与半径之和或差的关系
相离的两个圆心之间的距离大于两圆 的半径之和。
分类
根据相离的程度，可以分为外离和内 离两种情况。
02
圆与直线的位置关系
相切
定义
当直线与圆心的距离等于圆的半 径时，直线与圆相切。
性质
相切的直线与圆只有一个公共点， 即切点。
判定
若圆心到直线的距离等于圆的半径， 则直线与圆相切。
相交
定义
当直线与圆心的距离小于圆的半 径时，直线与圆相交。
当两个圆相交时，它们会有两个交点。
交点处的切线
在交点处，每个圆都有一个切线，这两个切线是平行的。
公共弦
两个圆相交时，连接两个交点的线段叫做公共弦。
相离的性质
两圆心距离
当两个圆相离时，它们的圆心之间的距离是两个圆的半径之和或 差。
无交点
当两个圆相离时，它们之间没有交点。
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第31讲 与圆有关的位置关系课件 新人教版
1．已知⊙O 的直径等于 12 cm，圆心 O 到直线 l 的距 离为 5 cm，则直线 l 与⊙O 的交点个数为( C A．0 C．2 B．1 D．无法确定 )
解析：∵⊙O 的直径为 12 cm，∴⊙O 的半径为 6 cm. 又圆心到直线的距离为 5 cm,6 cm>5 cm， ∴直线与圆相交， 因此直线与圆有 2 个交点．故选 C.
第31讲
与圆有关的位置关系
考点一
过三点的圆
1．经过三点作圆 (1)经过同一直线上的三点不能作圆； (2)经过不在同一直线上的三点，能且只能作一 个圆．
2．三角形的外接圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外 接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个 圆的内接三角形．
3．三角形外接圆的作法 (1) 确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为 外心； (2)确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个 顶点的距离作为半径．
解析：如图，以 P(0,4)为圆心， PC 为半径的圆恰 好与 OA 所在的直线相切．连接 PC，作 PD⊥ OC 于点 D，则 ∠POC＝ 90° － ∠ AOC＝ 90° － 60° ＝ 30° .∴ OD＝ 3 3 OP＝ × 4＝ 2 3.∴ OC＝ 2OD＝ 4 3， ∴OA＝ OC 2 2 ＝ 4 3，则 t＝ 4 3－ 1.
7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D. (1)求证：AC 平分∠BAD； (2)若 AC＝2 5，CD＝2，求⊙O 的直径．
解：(1)证明：如图，连接 OC. ∵直线 DC 切 ⊙ O 于点 C， ∴ OC⊥ DC. ∵ AD⊥ DC， ∴ OC∥ AD. ∴∠ OCA＝ ∠ DAC. ∵ OA＝ OC， ∴∠ OAC＝ ∠ OCA， ∴∠ DAC＝ ∠ OAC，即 AC 平分 ∠ BAD.
中考数学知识点总结圆的位置
中考数学知识点总结圆的位置中考数学知识点总结圆的位置中学数学中的圆是一个基础的几何图形，其位置关系也是需要掌握的数学知识点之一。
在中考中，圆的位置关系常常与其他几何图形相结合，考查学生对几何形状的理解和应用能力。
下面将对中考中关于圆的位置关系进行总结。
1. 圆的内外关系对于两个不同的圆，它们之间有三种可能的位置关系：内含、外切和相离。
（1）内含：若一个圆完全位于另一个圆内部，则称这两个圆是内含关系。
内含关系中，小圆的半径小于大圆的半径。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，两个圆的半径相等。
（3）相离：若两个圆没有公共点，则称这两个圆是相离关系。
相离关系中，两个圆的半径大小没有固定关系。
2. 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系主要有内切、外切和相割三种情况。
（1）内切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是内切关系。
内切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心且垂直于半径。
（2）外切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是外切关系。
外切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心但不垂直于半径。
（3）相割：若直线与圆相交，并且不是内切或外切关系，则称该直线与圆是相割关系。
相割关系中，直线与圆有两个交点。
3. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系主要有内切、外切和相交三种情况。
（1）内切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是内切关系。
内切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之差等于切点到两个圆心的距离。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之和等于切点到两个圆心的距离。
（3）相交：若两个圆有两个交点，则称这两个圆是相交关系。
相交关系中，两个圆的半径之和大于切点到两个圆心的距离，但小于两个圆的半径之和。
4. 圆心角与弦的位置关系圆心角与弦的位置关系是圆心角的一种特殊情况。
圆心角的度数与其所对应的弧度相等。
九年级微专题复习之圆与圆位置关系
九年级微专题复习之圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系一直是圆中位置关系的难点，在近几年的在中考中也频频出现。
单纯地看圆与圆的位置关系其实不难，难的是将位置关系与弧、弦、弦心距、圆心角、垂径定理及公共弦相结合起来的综合应用，本文首先将进行知识梳理，再进行简单应用，最后分析经典压轴题，让大家对圆与圆的位置关系有一个系统、完整、全面的认识。
一、两圆位置关系的示意图
二、连心线与公共弦
1、2、3、问是教材基础知识的缩影，分别涉及了点与圆，直线与圆，圆与圆三种位置关系，引导学生对基础知识及解题方法进行了回顾。
本题综合了直线与圆、圆与圆的两种位置关系，在思考时，考虑充分，将几何问题转化为代数关系，进而通过建立方程与不等式（组）解决问题，学会用方程思想解决问题。
本题是对相交两圆连心线和公共弦性质定理的考察。
通过作图、分析，得到两圆相交可以分为圆心在公共弦同侧或异侧的两种情况，从而体会解决此类问题的本质。
抓住性质定理，回归知识本源，从而解决问题。
参考文献：
王晓红.核心素养下的中考数学专题复习例题及作业设计研究[J].上海中学数学，2018(7-8):22-23.。
九年级数学圆与圆的位置关系PPT课件
（5） O1O2=0.5厘米；
（6） O1和O2重合。
⊙O1和⊙O2的位置的半径是1厘米。
（1）设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离
是多少？点P可以在什么样的线上移动？
（2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
位置关系 d 和R、 r关系 交 位
性R―质r
d R+r
点置
d >R+ r 0
关
d =R+ r 1
系
判定 内
R− r <d <R+ r 2
外
数
切
R− r =d切 相交R− r >d
外1 离0
字 化
例2 已知⊙A、 ⊙B相切，圆 心距为10cm，其中⊙A的半径 为4cm，求⊙B的半径．
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和 4cm，当圆心距O1O2分别为下列数值时 ，判断两圆位置关系． （１）2cm （２）4 cm (3) 6 cm
圆与
系
圆
关
的
置位
2 新 北 京0 新0 8 奥 运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
交
精彩源于发现
o1 R
r o2
d
d>R+r
o1
T o2
九年级数学《圆和圆的位置关系》课件
________.
4.两个圆内切，圆心距是2cm，如果一个 圆的半径是5cm，那么另一个圆的半径是 ________。
判断正误：
1、假设两圆只有一个交点,那么这两圆外切. ×〔 〕
2离、.×如果两圆没有交点，那么这两圆的〔位置关〕系是外 3、当O1O2=0时,两圆是同心圆. 〔 √〕
(3)O1O2=5cm (5)O1O2=0cm
______相__内__交__含__ (同心(4圆)O)1O2=1cm
__内__切_____
3、⊙O1、⊙O2的半径为r1、r2，如果r1＝ 5，r2＝3，且⊙O1、⊙O2相切，那么圆心距
d=___8_或__2.
4、两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的
半径分别为4和1，那么它们与墙的切点A，
B间的距离为〔
〕C
A、3
B、8
C、4
O1 A
D、5
B C O2
小结
性质
1.圆与圆的位置关系 判定 d,R,r数量关系
位置关系 图形 交点个数 d与R、r的关系
外离 相离
内含
d＞R+r
0
0 ≤ d＜R-r
相交
2
R-r ＜d＜R+r
外切 相切 内切
d=R+r
1
d=R-r
两圆内含
交流互两学圆：的位置关系 d与R和r的关系
心距〔如两果圆外 外两圆离 切个心圆的的距<<半离＝＝径〕>>分为别dd，d为>=当RRR和两++r圆r〔r 外r<离R〕时，，圆d 与R和r有怎相样交的关系<？＝反>过来R，-r当<dd与<RR和+rr满足这 样的关系时内，切两圆一<定＝外>离吗d？=R-r
人教版九年级下期数学中考复习：和圆有关的位置关系 课件(共13张PPT)
切线判定：
例3、如图，已知直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB，那么直线AB 是⊙O的切线吗?为什么
有切点，连半径，证垂直
例4、如图，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，腰AB与O相切 于点D. 求证：AC是O的切线。
无切点，作垂直，证半径
检测：1、如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的 切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
检测题：1.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm, 则圆的半径为( )
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm
2、RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边上的高等 于（ ）；若以点C为圆心作与AB相切的圆，则该圆的半径 为r＝（ ）；若以C为圆心，以5为半径作圆，则该圆与AB 的位置关系是（ ）。
中考复习 与圆有关的位置关系
复习目标
1. 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆， 直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理 解，加强对各种位置关系的认识.
2. 巩固对切线的判定与性质的理解和应用， 并了解切线长定理.在解决问题的过程中体会 对比，分类思想.
知识网络
根据知识网络的提示，复习课本中 相关知识点。（课上提问）
(1)若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长； (2)若D为AP的中点，求证：直线CD 是⊙O的切线．
2、如图，BC是圆O的直径，点D是圆上一点，点A在BC 的延长线上，连接CD，BD，且 ADC DBC
（1）求证：AD是圆O的切线； （2）若A 30，AC 2，求BD的长.
检测3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的 外接圆 （1）求证：AC是⊙O的切线；
九年级数学第三十三课 圆与圆的位置关系
第33课圆与圆的位置关系知识点：圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线大纲要求：1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r之间的关系;3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;4．注意 (1)圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；(2)在解题中把两个圆中有关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；(3)涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。
公共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；(4)涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决有关两圆公切线等问题。
考查重点与常甩题型：1．判断基本概念、基本定理等的正误。
在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是 ( )(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。
预习练习：1．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）(A)内含 (B)内切 (C)相交 (D) 外切2．已知半径为R和r的两个圆相外切。
则它的外公切线长为（）(A)R＋r (B)R2+r2 (C) R+r (D) 2Rr3.已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）(A)1cm (B)7cm (C) 10cm (D) 1cm或7cm4.两圆半径为5和r，圆心距为8，当两圆相交时，r取值范围是5．两圆直径分别为6、8，圆心距为10，则这两圆的最多公切线条数是考点训练：1．已知半径为R和r的两个圆外切，R＝2＋ 3 ，r＝2－ 3 ，两圆的一条公切线与连心线的夹角为α，则角α的度数为（）(A)30 ° (B)45 ° (C) 60 ° (D) 无法确定2．如图，两个同心圆，点A在大圆上，ABC为小圆的割线，若AB·AC＝8，则圆环的面积为（）(A)8π(B)12π(C) 4π(D) 16π。
【中考复习方案】2015中考数学总复习 第32课时 与圆有关的位置关系课件(考点聚焦+京考探究+热考京讲)
第32课时┃与圆有关的位置关系
热考五
切线长定理的应用
例 5 [2014· 曲靖] 如图 32－3，PA，PB 是⊙O 的 切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC，PB 的 延长线相交于点 D. (1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数； (2)当∠1 为多少度时，OP＝OD？并说明理由．
[解析] 设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d， ∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直线 l 与圆相交．
考点聚焦
京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
方法点析
直线与圆的位置关系分为三种情况：相交、相切和相离．解决此类问题主要有两种方 法： (1)根据定义，由直线与圆的交点情况直接判断； (2)可通过比较圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系完成判定．设圆的半径为 r， 点 O 到直线 l 的距离为 d，若 d＜r，则直线与圆相交；若 d＝r，则直线与圆相切；若 d＞r， 则直线与圆相离． 在判断其关系时，要结合题目的已知条件选择正确的方法．
方法点析
点与圆的位置关系的判断： 设点到圆心的距离为 d， 圆 的半径为 R，则当 d＝R 时，点在圆上；当 d＞R 时，点在 圆外；当 d＜R 时，点在圆内．
考点聚焦
京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
热考二
直线与圆的位置关系
例 2 [2014· 陇南] 已知⊙O 的半径是 6 cm， 点 O 到同一 平面内直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ( A ) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
考点聚焦
京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
方法点析
切线的两种常用证明方法 (1)有交点， 连半径， 证垂直． 已知此线过圆上某点， 连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可． (2)无交点， 作垂直， 证半径． 当此线与圆无交点时， 过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段等于半径．
人教版数学九年级上册圆和圆的位置关系PPT精品课件
4.开篇写 湘君眺 望洞庭 ，盼望 湘夫人 飘然而 降，却 始终不 见，因 而心中 充满愁 思。续 写沅湘 秋景， 秋风扬 波拂叶 ，画面 壮阔而 凄清。
5.以景物 衬托情 思，以 幻境刻 画心理 ，尤其 动人。 凄清、 冷落的 景色， 衬托出 人物的 惆怅、 幽怨之 情，并 为全诗 定下了 哀怨不 已的感 情基调 。
.
2系0是08_北_外_京_奥_离运会自行车比赛会标在图中两圆的位置关
欣 赏
3·没有哪种位置关系？ 内切
两个等圆有几种位置关系？
位置关系 图形
?
1 外离 2 外切 3 相交
想 怎样由两圆的位置关系来判断圆心距d与
一 两圆半径R与r的数量关系
?
想
R
r
•
O1
d O• 2
R
r
•
O1
d
O• 2
R
•
O1
2cm或8cm .
变(二)已知⊙O的半径为5cm,则与⊙O
相切且半径为2cm 动？
的圆的o·圆P ·心怎样移
o
· ·P
以O点为圆心，以7cm或3cm为半径的圆上移动
轨迹
忆一忆
圆与圆的位置关系
性质
判定 d,R,r数量关系
位置关系 图形 交点个数 d与R、r的关系
相离说内外说含离 这节课你0的收获d0＞≤R吧d+＜r ！R-r
6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物 ，要立 于善于 运用想 像来刻 画他们 各自的 动作、 语言和 神态； 还要补 充一些 事实上 已经发 生却被 诗人隐 去的故 事情节 。
7.文学本身就是将自己生命的感动凝 固成文 字，去 唤醒那 沉睡的 情感， 饥渴的 灵魂， 也许已 是跨越 千年， 但那人 间的真 情却亘 古不变 ，故事 仿佛就 在昨日 一般亲 切，光 芒没有 丝毫的 暗淡减 损。
4.2.2 圆与圆的位置关系.pptx
方 两个圆的位置．
生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，
法 利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．
6．如何判断两个圆的位置关系呢？
师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？ 引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善 判断两个圆的位置关系的方法．
重点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
难点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
问题与情境及教师活动 过程与方法：
学生活动
1.初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；
教
学生：回顾知识点时，可互相交流．
学 2. 判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 过 教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答
4
学
5
过
当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆C2 内切； 当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆C2 内含；
程
及
方
法
学生活动
教
1 通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
学
2 判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
小
结
3 如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
何把这些直观的事实转化为数学语言呢？
学 海 无涯
教师课时教案
教
问题与情境及教师活动
学生活动
学 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题． 过 生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方
人教版数学九年级上册《圆与圆的位置关系》ppt课件
当堂检测:
1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和 4cm，若两圆外切，则d＝ .若两圆内 切，则d＝____．
2.两圆半径分别为10 cm和R,圆心距为13cm ， 若这两圆相切，则R的值是___ . 3．半径为5cm的⊙O外一点P，则以点P 为圆心且与⊙O相切的⊙P能画______个．
PA O B
练习
1、举出一些能表示两个圆不同位置关系的实例。
2、 ⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，设
（1） O1O2=8厘米； （2） O1O2=7厘米；
（3） O1O2=5厘米； （4） O1O2=1厘米；
（5） O1O2=0.5厘米； （6） O1和O2重合。
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
4.两圆半径之比为3：5，当两圆内切时， 圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的 长为____．
5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时 圆心距是5，两圆半径分别为 、 .
6．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半
径为5，另一个圆的半径为
.
课堂练习：
当两圆外切时，圆心距为18， 当两圆内切时，圆心距为8， 求这两个圆的半径.
例1 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP
=8cm，求（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P
的半径是多少？（பைடு நூலகம்）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆
⊙P的半径是多少？
解: (1)设⊙O与⊙P外切于点A，则
PA=OP-OA ∴ PA=3cm. (2)设⊙O 与⊙P内切于点B，则
PB=OP+OB ∴PB=13cm.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
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2．(2010中考变式题)已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分
别是(0,2)和(0，－4)，那么两圆的位置关系是(
A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
)
【解析】∵圆心的坐标是(0,2)和(0，－4)，∴两圆圆心距为6>3 ＋2，∴两圆外离． 【答案】D
3．(2010中考变式题)已知相互内含的两圆半径为6和2，则两圆
A．外离
C．内切或外切
B．相交
D．内含
(2)(2010·芜湖)若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10， 则另一个圆的半径为________． (3)(2010·益阳)如图，分别以A、B为圆心，线段AB的长为半径的两
个圆相交于C、D两点，则∠CAD的度数为________．
【点拨】理解本讲基础知识是作此类题的关键．
圆内切．
【答案】B
5．(2010中考变式题)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小
圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为
________cm.( )
A．4
B ．5
C ．6
D ．8
【解析】连接OC、OA，因为AB是小圆的切线，所以OC⊥AB，又因为两同心 圆的半径分别为3 cm和5 cm.所以在Rt△OCA中，OC＝3，OA＝5，所以AC＝4，所
是大圆的直径．大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、F.AD、BE相交于点G， 连接BD.
(1)求BD的长；
(2)求∠ABE＋2∠D的度数；
BG (3)求 的值． AG
答案： (1)10 (2)180° BG OB 13 (3) ＝ ＝ (提示： 证△BGO∽△AGB) AG AB 24
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2011·青岛)已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4 cm和6 cm，O1O2
＝5 cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是( A．外离 B．外切 C．相交 )
D．内切
【解析】由题知，⊙O1和⊙O2的半径分别为2 cm和3 cm，所以R1
＋R2＝2＋3＝5(cm)，所以圆心距等于两半径之和，两圆外切． 【答案】B
1．相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹
的角．(注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线判定“到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上”，很容易证明) 2．相切两圆的连心线必经过切点． 3．两不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线 的夹角．
E
C A O1 B F
P
的圆心距可能是(
A．8 B ．4
)
C ．2 D ．5
【解析】∵两圆内含，∴圆心距d<6－2，即d<4，故选C. 【答案】C
4．(中考预测题)已知两圆的半径R、r分别为方程x2－5x＋6＝0的两 根，两圆的圆心距为1，则两圆的位置关系是( A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 )
【解析】解x2－5x＋6＝0，得x1＝2，x2＝3.∵圆心距1＝3－2，∴两
11．(2011·福州)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小 圆半径r之间满足( )
A．R＝ 3r
B．R＝3r
C．R＝2r
D．R＝2 2r
1 【解析】连接 OC，则 OC⊥AB，∠BOC＝ ∠AOB＝60° ， 2 ∴∠B＝30° ，∴OB＝2OC，即 R＝2r.
(2010·十堰)如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线， ⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C. (1)求证：O2C⊥O1O2； (2)证明：AB·BC＝2O2B·BO1； 【点拨】(1)题利用切线性质及等边对等角证明． (2)题考查相似三角形的判定和性质． 【解答】(1)∵AO1是⊙O2的切线,∴O1A⊥AO2，∠O2AB＋∠BAO1＝90°. 又O2A＝O2C，O1A＝O1B，∴∠O2CB＝∠O2AB，∠O2BC＝∠ABO1＝∠BAO1.
A．内含
B．内切
C．相交
D．外切
【解析】⊙O向右平移1个单位长后与⊙B有唯一的交点，由图可知⊙A与 ⊙B外切． 【答案】D
8．(中考预测题)如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且
AB∥OP.若阴影部分的面积为9π ，则弦AB的长为(
)
A．3
B．4
C ．6
D ．9
E
【解析】连接PC，则PC⊥AB，过O作OE⊥AB于E，则四边形OECP是矩形， ∴OE＝PC，又S阴影＝S⊙O－S⊙P＝π ·OA 2－π ·PC
以AB＝2AC＝2×4＝8(cm)．
【答案】D
6．(2011·温州)已知线段AB＝7 cm，现以点A为圆心，2 cm为半 径画⊙A；再以点B为圆心，3 cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系 是( ) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
【解析】因为2＋3＜7，故⊙A与⊙B外离． 【答案】D
7．(2010中考变式题)如图，在7×4的方格(每个方格的边长为1个单位长) 中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A与静止的⊙B的位置关系是( )
2 2
，∴⊙O1 的半径为 2. (2)设⊙O1 与 AB 交于点 E，连接 O1E. ∵BD 为正方形 ABCD 的对角线，∴∠ABO＝45°. ∵O1E＝O1B，∴∠BEO1＝∠EBO1＝45°，∴∠BO1E＝90°. 90 1 2 2 ∴S 阴影＝4(S 扇形 O1BE－S△O1BE)＝4[ ×π ·( 2) － ·( 2) ]＝2π 360 2 －4.
扇形 2 2 2
AOB ＝
1 2
1 90 2 2 π (2 2) ＋ ×2 2×4 2－ π ×4 ＝4π ＋8－4π ＝8. 2 360
【答案】8
三、解答题(共32分) 18．(10分)(2010中考变式题)已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm， 其中⊙A的半径为4 cm，求⊙B的半径． 【答案】解：设⊙B的半径为R. ①如果两圆外切，那么d＝10＝4＋R，R＝6. ②如果两圆内切，那么d＝|R－4|＝10，R＝－6(舍去)，R＝14.故： 综上所述⊙B的半径为6 cm或14 cm.
【解析】数形结合法，分切点在右侧和左侧两种情况．
【答案】4或6
15．(中考预测题)如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心 坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围是________．
【解析】∵|a－0|<5－3，∴－2<a<2. 【答案】－2<a<2
16．(中考预测题)如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A＝50°，则 ∠BOC为________度．
【答案】B
二、填空题(每小题4分，共20分)
13．(2010中考变式题)若两圆相外切，圆心距
为8，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径
是________．
【解析】由题意知，d＝R＋r，则R＝d－r＝8
－3＝5.
【答案】5
14．(2010中考变式题)如图在8×6的网格图(每个小正方形的边长均为1 个单位长度)中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使 运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移________个单位长 度．
第32讲 圆与圆的位置关系
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
考点一
两圆的位置关系
设R、r为两圆的半径，d为圆心距． (1)两圆外离⇔d>R＋r； (2)两圆外切⇔d＝R＋r；
(3)两圆相交⇔R－r<d<R＋r(R≥r)；
(4)两圆内切⇔d＝R－r(R>r)； (5)两圆内含⇔d<R－r(R>r)． (注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆)
【解答】(1)B ∵1<d<5，即3－2＜d＜3＋2，∴两圆相交．故选B. (2)3或17 由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R
－r，即|10－r|＝7，∴r＝3或17.
(3)120° 连接BC、BD，得△ACB和△ADB为等边三角形，∴∠CAD＝ ∠CAB＋∠DAB＝60°＋60°＝120°.
2
＝π (OA 2-OE 2)＝π ·AE 2＝9π ，∴AE＝3，∴AB＝2AE＝6. 【答案】C
9．(2010中考变式题)如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3两两相外切，⊙O1的半 径r1＝1，⊙O2的半径r2＝2，⊙O3的半径r3＝3，则△O1O2O3是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【解析】由图知，O1O2＝3，O1O3＝4，O2O3＝5，∴O1O＋O1O＝O2O，由
R ·
O1
d
d>R+r 内含
r ·
R · O1 d
O2
r · O2
外离
内 切
外切
相交
外 切
d=R+r
外离
·
R-r
·
R+r
·
· A
d
A R r · · d O2 O1 B
相交
· · O1 O2
A B · · O O
1 2
|R-r|<d<R+r
内切
d=|R-r|
内含
0≤d<|R-r|
考点二
相交、相切两圆的性质
勾股定理逆定理得△O1O2O3是直角三角形．
【答案】B
10．(中考预测题)若⊙O和⊙O′相切，它们的半径分别为5 cm和 3 cm，则圆心距OO′为( A．8 cm C．8 cm或2 cm ) B．2 cm D．以上答案都不对
【解析】相切分为内切和外切两种，当内切时OO′＝2 cm，当外