最新导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性

基础巩固题：

1.函数f(x)=

21

++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.021 C.a>2

1

D.a>-2

答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>2

1

.

2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≥0

B ．a <－4

C ．a ≥0或a ≤－4

D ．a >0或a <－4

答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋a

x

，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)

上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0

3．函数f (x )＝x ＋9

x

的单调区间为________．

答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2

－9

x

2，令f ′(x )<0，解得－3

故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．

4 函数3

2x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________

答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3

-∞+∞ 解析： '2

2320,0,3

y x x x x =-+===或 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.

∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4

.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)

(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).

令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.

∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．

[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <1

2

，

∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)

7．已知y ＝1

3

x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．

[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.

8.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1．

证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1．

∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．

当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．

9．已知函数y =x +

x

1

，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2

=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2

)1)(1(x

x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1

的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2

)1)(1(x

x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x

1

的单调减区间是(－1，0)和(0，1)

10．已知函数3

2

()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由

在

M(-1,f(-1))

处

的

切

线

方

程

是

76=+-y x ， 知

.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即

{{

326,23,

12 1.0,3.

b c b c b c b c b c -+=-=-∴

-+-+=-===-即

解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令

2210.x x --=即 解得 .21,2121+

=-=x x

当;0)(,21,21>'+>-

故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

11.已知函数f(x)=x 3

-2

1

x 2

+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围; 解 （1）)(x f '=3x 2

-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2

-x+b≥0,

∴b≥x -3x 2

在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2

.当x=61时，g(x)max =

121,∴b≥12

1. 1

2.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.

解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2

-2(a+1)x+a 要使函数