普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷)(含解析)2
全国高考理科数学考试试卷(山东)参考答案
高考理科数学考试真题（山东卷）参考答案1．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 2．C 【解析】|1|213x x -<⇒-<<，∴(1,3)A =-，[1,4]B =。
∴[1,3)A B ⋂=．3．C 【解析】2222(log )10log 1log 1x x x ->⇒><-或，解得1202x x ><<或，故选C ． 4．A 【解析】 “至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．5．D 【解析】由已知得x y >，此时22,x y 大小不定，排除A,B ；由正弦函数的性质，可知C 不成立；故选D ．6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．C 【解析】第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为20500.4=，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为500.3618⨯=，故第三组中有疗效的人数为18-6=12． 8．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<． 9．B 【解析】解法一 如图可知目标函数在(2,1)处取得最小值，故2a b +=224420a b ab +==，又224224ab a b a b =⨯⨯+≤， ∴()22222220445a b a b a b+++=+≤，所以224a b +≥，当且仅当2a b =时取得，即a b ==时等号成立． 解法二 如图上图可知目标函数在(2,1)处取得最小值，故2a b +=把2a b +=作平面直角坐标下aOb 中的直线，则22a b +的几何意义是直线2a b +=坐标原点距离的平方，显然22a b +的最小值是坐标原点到直线2a b +=方，即24=． 10．A 【解析】1C的离心率为a ，2C的离心率为a，=，得424a b =，即a =， ∴2C的渐近线的方程为y =，即0x =． 11．3【解析】214130,2,1x n -⨯+==≤；224230,3,2x n -⨯+==≤；234330,4,3x n -⨯+==≤；244430,5,4x n -⨯+>==，此时输出n 值，故输出n 的值为3．12．16【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅，∴由cos tan AB AC A A ⋅=，得23AB AC ⋅=，故ABC 的面积为11||||sin 266AB AC π=．13．14【解析】如图，设C 点到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则213V Sh =，1111132212E ADB V V S h Sh -==⨯⨯=，∴1214V V =． 14．2【解析】266123166()()rrr r r r rr b T C ax C a b xx---+==，令1230r -=，得3r =，故333620C a b =，∴221,22ab a b ab =+=≥，当且仅当1a b ==或1ab ==-时等号成立．15．)+∞【解析】函数()g x 的定义域为[1,2]-，根据已知得()()()2h xg x f x +=，所以()=2()()62h x f x g x x b -=+()()h x g x >恒成立，即62x b +，令3y x b =+，y =，则只要直线3y x b =+在半圆224(0)x y y +=≥2>，解得b >，故实数b的取值范围是)+∞． 16．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ∴()sincos1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴12122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(山东卷,包括解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.（2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C. （5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+2cos601λ==+，解得：λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110xx x g x exe x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
普通高等学校招生全国统一考试数学理(山东卷,解析版)
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（山东卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2. 【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C. 答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =3. 【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+C. 23π+π 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为213⨯=所以该几何体的体积为2π+. 答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地侧(左)视图正(主)视图俯视图计算出.几何体的体积.5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.6. 函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）DABC P第7题图A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C 。
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普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B 为A {1,2,4}B {2,3,4}C {0,2,4}D {0,2,3,4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U 。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题(理科)解析版
高考山东卷理科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += （A ）54i - （B ）54i + （C ）34i - （D ）34i + 1.【答案】D【解析】 i a -与bi +2互为共轭复数，1,2==∴b ai i i i bi a 4344)2()(222+=++=+=+∴（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2] （B ）(1,3) （C ）[1,3) （D ）(1,4) 2.【答案】C【解析】.31,212,21<<-∴<-<-∴<-x x x]4,1[]2,0[,2∈∴∈=y x y x)3,1[=∴B A（3）函数()f x =的定义域为（A ）1(0,)2 （B ）(2,)+∞ （C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞3.【答案】C【解析】01)(log 22>-x 1log 1log 22-<>∴x x 或2102<<>∴x x 或（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根 （B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根 （D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 4.【答案】A【解析】“至少有一个”的对立面应是“没有”,故选A（5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是 （A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y > （D ）22x y > 5.【答案】D【解析】y x a a a y x >∴<<<10, 但不能判断22y x >（如1,0-==y x ）∴排除A,B;x y sin = 是周期函数，∴排除C;3x y = 是单调递增函数，∴D 正确.（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22 （B ）42 （C ）2 （D ）4 6.【答案】D【解析】联立⎩⎨⎧==24xy xy ，且在第一象限，得)8,2(),0,0(B A ∴所求面积4|)412()4(2042203=-=-=⎰x x dx x x S（A ）1 （B ）8 （C ）12 （D ）18 7.【答案】C【解析】第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4，12618,1836.050,804.020=-=⨯=÷（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞8.【答案】B【解析】画出)(x f 的图像，最低点是)1,2(，kx x g =)(过原点和)1,2(时斜率最小为21；斜率最大时)(x g 的斜率与1)(-=x x f 的斜率一致.（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5 （B ）4 （C （D ）2 9.【答案】B【解析】联立⎩⎨⎧≥--≤--03201y x y x ，得交点坐标)1,2(，则522=+b a ，即圆心（0,0）到直线0522=-+b a 的距离的平方4)552(2=. （10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±= 10.【答案】A【解析】,,22222222222221a b a a c e a b a a c e +==-==43)(444221=-=∴a b a e e 22±=∴a b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 . 11.【答案】3【解析】根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x 输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x 第四次判断不满足条件，结束循环，输出3=n（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .12.【答案】61【解析】由条件可知A A cb AC AB tan cos ==⋅当61sin 21,32,6====∆A bc S bc A ABC π（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 13.【答案】41 【解析】分别过C E ,向平面PAB 做高21,h h ，由E 为PC 的中点得2121=h h ，由D 为PB 的中点得ABP ABD S S ∆∆=21，所以41)31(:)31(:2121=⋅⋅=∆∆h S h S V V ABP ABD（14）若62)(xbax +的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 . 14.【答案】2【解析】将62)(xb ax +展开，得到rr r r r x b a C T 312661--+=，令3,3312==-r r 得. 由203336=b a C ，得1=ab ，所以2222=≥+ab b a .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 15.【答案】102>b【解析】由题意得)()(x h x g 与的图像位于直线b x x f +=3)(的两侧，要使)()(x g x h >恒成立，则)(x g 的图像应位于直线b x x f +=3)(的右下方.根据图像分析得，当b x x f +=3)(与24)(x x g -=在第二象限相切时，102=b ，由)()(x g x h >恒成立得102>b .三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.16.解：（Ⅰ）已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos6sin)12(=+=∴πππn m f234cos 34sin )32(-=+=πππn m f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+∴2212332321n m 解得⎩⎨⎧==13n m （Ⅱ）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f)(x f 左移ϕ后得到)622sin(2)(πϕ++=x x g设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 2)22sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππz k k x k ∈≤≤+-∴,222πππz k k x k ∈≤≤+-,2πππ)(x f ∴的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.17.解：（Ⅰ）连接1AD1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M 为AB 的中点，1=∴AMB 1C 1D 1A 1DCBMAAM CD //∴,AM CD = 11//D C AM ∴,11D C AM = 11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴又111ADD A M C 平面⊄ 111ADD A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面∴（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1 则NC D 1∠即为所求二面角在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴M D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 21=<∴n n . 显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为555515321523cos 11====∠∴N D NC CN D（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.18.解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A10354615165)(=⨯+⨯=A P（II ）643210，，，，，的可能取值为ξ 1015121)6(,301151315321)4(15251615121)3(,515331)2(6153615131)1(,3015161)0(=⨯===⨯+⨯===⨯+⨯===⨯===⨯+⨯===⨯==ξξξξξξP P P P P P的分布列为ξ∴ξ12346P30161 51 152 3011 101309110163011415235126113010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 其数学期望为.（19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.解：（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比解得12,11-=∴=n a a n （II ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n)121121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1221211+=+-=∴n nn T n )121121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122（20）（本小题满分13分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.20.解：（I ）函数)(x f y =的定义域为),0(+∞23242')2(2)12(2)(x x k x e xe x x k x xe e x x f x x x x ---=+---=3))(2(x kx e x x --=由0≤k 可得0>-kx e x ，所以 当)2,0(∈x 时，0)('<x f ，函数)(x f y =单调递减，当),2(+∞∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =单调递增，所以，)(x f y =的单调递减区间为)2,0(，单调递增区间为),2(+∞.(II)由（I ）知，0≤k 时，函数)(x f 在)2,0(内单调递减，所以)(x f 在)2,0(内不存在极值点；当0>k 时，设函数[)+∞∈-=,0,)(x kx e x g x .x x x e e k e x g ln ')(-=-= ，当10≤<k 时，当)2,0(∈x 时，)(,0)('x g y k e x g x =>-= 单调递增.所以)(x f 在)2,0(内不存在两个极值点；当1>k 时，得：当)ln ,0(k x ∈时，0)('<x g ，函数)(x g y =单调递减，当),(ln +∞∈k x 时，0)('>x g ，函数)(x g y =单调递增.所以函数)(x g y =的最小值为)ln 1()(ln k k k g -=.函数)(x f 在)2,0(内存在两个极值点,当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<><>2ln 00)2(0)(ln 0)0(k g k g g 解得22e k e <<综上所述，函数)(x f 在)2,0(内存在两个极值点时，k 的取值范围为)2,(2e e .（21）（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.（21）解：（I ）由题意知)0,2(p F . 设，则FD 的中点为).0,42(t p + FD FA = ,由抛物线的定义知223p t p -=+， 解得33-=+=t p t 或（舍去） 由,342=+t p 解得.2=p 所以抛物线C 的方程为x y 42=.（II ）（i ）由（I ）知)0,1(F设),0)(0,(),0)(,(0000>≠D D x x D y x y x A11,0+=-∴=x x FD FA D ，由0>D x 得).0,2(,200+∴+=x D x x D所以直线AB 的斜率.20y k AB -= 因为直线1l 与直线AB 平行，所以设直线1l 的方程为b x y y +-=20， 代入x y 42=，得,088002=-+y b y y y由题意得,03264020=+=∆y b y 得.20y b -= 设),(E E y x E ,则2004,4y x y y E E =-=. 当420≠y 时，4444420020200000-=-+-=--=y y y y y y x x y y k E E ，由x y 420=，整理得)1(44200--=x y y y ，直线AE 恒过点).0,1(F当420=y 时，直线AE 的方程为1=x ，过点).0,1(F 所以 直线AE 过定点).0,1(F（ii ）由（i ）得直线AE 过焦点).0,1(F .21)11()1(0000++=+++=+=∴x x x x PF AF AE设直线AE 的方程为,1+=my x 因为点),(00y x A 在直线AE 上，.10y x m -=∴设),(11y x B ,直线AB 的方程为),(2000x x y y y --=-00022,0x y y x y ++-=∴≠ ， 代入抛物线方程，得：.0488002=--+x y y y.44,8,8001001010++=--=-=+∴x x x y y y y y y 所以点B 到直线AE 的距离为).1(4)1(411)8(4400020000x x x x m y y m x x d +=+=+-++++=则ABC ∆的面积,16)21)(1(421000≥+++⨯=x x x x S 当且仅当001x x =，即10=x 时等号成立. 所以ABC ∆的面积的最小值为16.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含详细讲解
2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k kn k n nP k C p p k n -=-=L ，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =g ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =I ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。
集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =g ，则zz等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。
可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=14cos 25αα=，714sin()sin()sin cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318L ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,正式版解析)
绝密★启用前2020 年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题（山东卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色署名笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的地点上。
2.第Ⅰ卷每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，在选涂其余答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷一定用 0.5 毫米黑色署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内相应的地点，不可以写在试卷上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；不可以使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参照公式：假如事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合要求的（ 1）若复数 z 知足2 zz 32i,此中 i 为虚数单位，则 z=（A ） 1+2i（B）1 2 i（ C） 1 2i（ D ） 1 2i 【答案】 B考点：注意共轭复数的观点 .（ 2）设会合A{ y | y2x , x R}, B { x | x2 1 0}, 则 AUB=（A）(1,1)（ B ） (0,1)（C）( 1, )（D） (0, )【答案】 C【分析】试题剖析：A{ y | y0}， B{ x |1x 1}，则A B { x | x1}，选 C.考点：此题波及到求函数值域、解不等式以及会合的运算.（ 3）某高校检查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如下图的频次散布直方图，此中自习时间的范围是[17.5,30] ，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].依据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间许多于（A ）56 （ B）6022.5 小时的人数是（ C） 120（D）140【答案】 D考点：频次散布直方图ìx + y ? 2,??（ 4）若变量x， y 知足?2 x - 3y ? 9, 则22íx + y 的最大值是??锍x0,?（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】 C【分析】试题剖析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3), B(0,2),C(3, -1) 为极点的三角形地区 , x2y 2表示点（x,y）到原点距离的平方 ,最大值必在极点处取到,经考证最大值OC210 ,应选C.考点：线性规划求最值（ 5）一个由半球和四棱锥构成的几何体，其三视图如下图.则该几何体的体积为（A）12π（B）12π（C）12π（D）12π3333366【答案】 C考点：依据三视图求体积.（ 6）已知直线a，b 分别在两个不一样的平面α，β内.则“直线a和直线b订交”是“平面α和平面β订交”的（ A ）充足不用要条件（B）必需不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】试题剖析：直线 a 与直线 b 订交 ,则,必定订交,若,订交,则a,b可能订交，也可能平行,应选 A.考点：直线与平面的地点关系；充足、必需条件的判断.（7）函数 f（x） =（3 sinx+cosx）（3 cosx –sinx）的最小正周期是π3π（ A ）（B）π（C）（D）2π22【答案】 B【分析】试题剖析： f x 2sin x2cos x2sin 2x,故最小正周期T 2,应选 B.6632考点：三角函数化简求值，周期公式（ 8）已知非零向量 m ， n 知足 4│m │=3│n │， cos<m ，n>= 1.若 n ⊥（ tm+n ），则实数 t 的值为3 （A ）4（B ）–4（ C ）9 94（D ）–4【答案】 B考点：平面向量的数目积（ 9）已知函数 f(x)的定义域为R.当 x<0 时， f ( x)x 3 1 ；当 1x 1 时， f ( x)f ( x) ；当 x 1112时， f ( x ) f (x) .则 f(6)=2 2（ A ）- 2（B ）- 1（C ）0（D ）2【答案】 D【分析】试题剖析：当x 1 时， f ( x 1)f ( x1) ,所以当 x1 时，函数 f (x) 是周期为 1的周期函数，所以2222f (6) f (1)f (x) 是奇函数，所以 f (1) f ( 1)3，又因为函数 1 1 2，应选 D.考点：此题考察了函数的周期性、奇偶性，灵巧变换求得函数性质是解题的重点.（ 10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y=f(x)拥有 T 性质 .以下函数中拥有 T 性质的是（ A ）y=sin x （B ） y=ln x （C ） y=e x （ D ） y=x 3【答案】 A【分析】试题剖析： 当 y sin x 时， ycos x ，cos0 cos 1 ，所以在函数 y sin x 图象存在两点 x 0, x使条件建立，故 A 正确；函数 yln x, y e x , y x 3 的导数值均非负 ，不切合题意，应选 A.考点：此题 注意本质上是查验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分。
普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx
绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A I B=（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）（2）若复数Z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z = （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i（3）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 （4）已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则BD CD ⋅=u u u r u u u r（A ）- 32a 2 （B ）- 34a 2 （C ） 34a 2 （D ） 32a 2 （5）不等式152x x ---<的解集是（A ）（-∞，4） （B ）（-∞，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5）1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩（6）已知x,y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3（7）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）2π3 （B ）4π3 （C ） 5π3 （D ）2π（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ²）），则P （μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P （μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A ）−53或−35 （B ）−32或−23 （C ）−54或−45 （D ）−43或−34 （10）设函数f(x)={3x −1 ,x <12x ,x ≥1 ,则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（） （A ）[23,1] （B ）[0,1] （C ）[23 ,+∞） （D ）[1, +∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）观察下列各式：C 10=40011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=L .(12)若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . （13）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .(14)已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += （15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线 ()22:20C x py p =>交于O ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .三、解答题：本答题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设f （x ）=sin cos cos x x -2（x+4π）.（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f （2A ）=0,a=1,求ABC ∆面积的最大值. (17)(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF-ABC 中，AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点.（Ⅰ）求证：BC//平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE, ∠BAC=045 ,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.（18）（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S.已知2n S =3n +3. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .（19）（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . （20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E:x 24a 2+y 24b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线 y =kx +m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q .( i )求|OQ||OP|的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值.(21)(本小题满分14分)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.。
高考山东理科数学试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 〔1〕【2021年山东，理1】集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，那么A B =〔 〕〔A 〕()1,3 〔B 〕()1,4 〔C 〕()2,3 〔D 〕()2,4 〔2〕【2021年山东，理2】假设复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，那么z =〔 〕 〔A 〕1i - 〔B 〕1i + 〔C 〕1i -- 〔D 〕1i -+〔3〕【2021年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像〔 〕〔A 〕向左平移12π个单位〔B 〕向右平移12π个单位〔C 〕向左平移3π个单位〔D 〕向右平移3π个单位 〔4〕【2021年山东，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，那么BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =〔 〕 〔A 〕232a - 〔B 〕234a - 〔C 〕234a 〔D 〕232a〔5〕【2021年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是〔 〕〔A 〕(,4)-∞ 〔B 〕(,1)-∞ 〔C 〕(1,4) 〔D 〕(1,5)〔6〕【2021年山东，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩假设z ax y =+的最大值为4，那么a =〔 〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕-2 〔D 〕-3 〔7〕【2021年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔 〕〔A 〕23π 〔B 〕43π 〔C 〕53π 〔D 〕2π〔8〕【2021年山东，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为〔 〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=〕〔A 〕4.56% 〔B 〕13.59% 〔C 〕27.18% 〔D 〕31.74% 〔9〕【2021年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，那么反射光线所在的直线的斜率为〔 〕〔A 〕53-或35- 〔B 〕32-或23- 〔C 〕54-或45- 〔D 〕43-或34-〔10〕【2021年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩那么满足()(())2f a f f a =的取值范围是〔 〕〔A 〕2[,1]3 〔B 〕[0,1] 〔C 〕2[,)3+∞ 〔D 〕[1,)+∞第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分 〔11〕【2021年山东，理11】观察以下各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．〔12〕【2021年山东，理12】假设“[0,],tan 4x x m π∀∈≤〞是真命题，那么实数m 的最小值为 ．〔13〕【2021年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．〔14〕【2021年山东，理14】函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，那么a b += ．〔15〕【2021年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，假设OAB ∆的垂心为2C 的焦点，那么1C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2021年山东，理16】〔本小题总分值12分〕设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅰ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设()0,12Af a ==，求ABC ∆面积．〔17〕【2021年山东，理17】〔本小题总分值12分〕如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． 〔Ⅰ〕求证：//BD 平面FGH ；〔Ⅰ〕假设CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角〔锐角〕的大小．〔18〕【2021年山东，理18】〔本小题总分值12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，233nn S =+．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅰ〕假设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．〔19〕【2021年山东，理19】〔本小题总分值12分〕假设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称n 为“三位递增数〞〔如137，359，567等〕．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数〞中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得-1分；假设能被10整除，得1分．〔Ⅰ〕写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；〔Ⅰ〕假设甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．〔20〕【2021年山东，理20】〔本小题总分值13分〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅰ〕设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．〔i 〕求||||OQ OP 的值；〔ii 〕求ABQ ∆面积最大值．〔21〕【2021年山东，理21】〔此题总分值14分〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．2021年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 〔1〕【2021年山东，理1】集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，那么A B =〔 〕〔A 〕()1,3 〔B 〕()1,4 〔C 〕()2,3 〔D 〕()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，应选C ．〔2〕【2021年山东，理2】假设复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，那么z =〔 〕 〔A 〕1i - 〔B 〕1i + 〔C 〕1i -- 〔D 〕1i -+ 【答案】A【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+，1i z =-，应选A ．〔3〕【2021年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像〔 〕〔A 〕向左平移12π个单位〔B 〕向右平移12π个单位〔C 〕向左平移3π个单位〔D 〕向右平移3π个单位 【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，应选B ．〔4〕【2021年山东，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =〔 〕 〔A 〕232a - 〔B 〕234a - 〔C 〕234a 〔D 〕232a【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，应选D ．〔5〕【2021年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是〔 〕〔A 〕(,4)-∞ 〔B 〕(,1)-∞ 〔C 〕(1,4) 〔D 〕(1,5) 【答案】A【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，那么14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立．综上4x <，应选A ． 〔6〕【2021年山东，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩假设z ax y =+的最大值为4，那么a =〔 〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕-2 〔D 〕-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >，应选B ． 〔7〕【2021年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔 〕〔A 〕23π 〔B 〕43π 〔C 〕53π 〔D 〕2π【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，应选C ．〔8〕【2021年山东，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为〔 〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=〕〔A 〕4.56% 〔B 〕13.59% 〔C 〕27.18% 〔D 〕31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，应选D ．〔9〕【2021年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，那么反射光线所在的直线的斜率为〔 〕〔A 〕53-或35- 〔B 〕32-或23- 〔C 〕54-或45- 〔D 〕43-或34-【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，那么22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++，解得43k =-或34-，应选D ． 〔10〕【2021年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩那么满足()(())2f a f f a =的取值范围是〔 〕〔A 〕2[,1]3 〔B 〕[0,1] 〔C 〕2[,)3+∞ 〔D 〕[1,)+∞【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，那么121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，应选C ．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分〔11〕【2021年山东，理11】观察以下各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= 〔12〕【2021年山东，理12】假设“[0,],tan 4x x m π∀∈≤〞是真命题，那么实数m 的最小值为 ． 【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤〞是真命题，那么tan 14m π≥=，于是实数m 的最小值为1．〔13〕【2021年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．〔14〕【2021年山东，理14】函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，那么a b += ．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，那么13222a b +=-=-．〔15〕【2021年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，假设OAB ∆的垂心为2C 的焦点，那么1C 的离心率为 ． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，那么22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ，那么22222AF pb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2021年山东，理16】〔本小题总分值12分〕设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅰ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设()0,12Af a ==，求ABC ∆面积．解：〔Ⅰ〕由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=-，由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，那么()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈； 由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，那么()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈．〔Ⅰ〕在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==，6A π=，而1a =，由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即12323bc ≤=+-，11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤故ABC ∆面积的最大值为234+．〔17〕【2021年山东，理17】〔本小题总分值12分〕如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． 〔Ⅰ〕求证：//BD 平面FGH ；〔Ⅰ〕假设CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角〔锐角〕的大小．解：〔Ⅰ〕证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，那么2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ，那么//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，那么TH DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．〔Ⅰ〕由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，那么GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直，以点G 为坐标原点， ,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,那么1,22,2DE CF AC AG ====,22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,,0)22B C F H ---， 那么平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，那么2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取21x =，那么221,2y z ==，2(1,1,2)n =，1211cos ,2112n n <>==++，故平面FGH 与平面ACFD 所成角〔锐角〕的大小为60．〔18〕【2021年山东，理18】〔本小题总分值12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，233nn S =+．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅰ〕假设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：〔Ⅰ〕由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥，而11133a -=≠，那么13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩．〔Ⅰ〕由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，可得3111log 3113n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩ 2311123133333n n n T --=+++++，2234111123213333333n n n n n T ---=++++++，22312231211111111111111()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n n n n n n nn n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅- 113211243n n n T -+=-⋅ 〔19〕【2021年山东，理19】〔本小题总分值12分〕假设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称n 为“三位递增数〞〔如137，359，567等〕．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数〞中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得-1分；假设能被10整除，得1分．〔Ⅰ〕写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；〔Ⅰ〕假设甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔Ⅰ〕125，135，145，235，245，345；〔Ⅰ〕X 的所有取值为-1，0，1．32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．〔20〕【2021年山东，理20】〔本小题总分值13分〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅰ〕设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．〔i 〕求||||OQ OP 的值；〔ii 〕求ABQ ∆面积最大值．解：〔Ⅰ〕由椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>c e a ==，而222a b c =+那么2,a b c =， 左、右焦点分别是12(,0),,0)FF ,圆1F ：22()9,x y +=圆2F ：22()1,x y += 由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上，那么224134b b =⋅，整理得424510b b -+=，解得21b =，214b =〔舍去〕， 故21b =，24a =，椭圆C 的方程为2214xy +=．〔Ⅰ〕〔i 〕椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==． 〔ii 〕点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-=．2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->，||AB = 211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立．而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ，那么2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解， 即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥， 那么上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，那么S ∆==(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆=ABQ ∆面积最大值为12．〔21〕【2021年山东，理21】〔此题总分值14分〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．解：〔Ⅰ〕2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-， 假设809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 假设89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，那么12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增．因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，()f x 的有两个 极值点．〔Ⅰ〕由〔Ⅰ〕可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 那么当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意； 当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 那么当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，那么当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．另解：〔Ⅰ〕2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞ 21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++， 当0a =时，1()01f x x '=>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-，当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．假设(98)0a a ∆=-≤，即809a <≤时，()0g x ≥，()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 假设(98)0a a ∆=->，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g -≥ 此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点； 当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点； 综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时， ()f x 的极值点个数为2．〔Ⅰ〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln 20≥恒成立；当1x >时，20x x ->，2ln(1)0x a x x++≥-； 当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立． 故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，那么只需0a ≥； 当01x <<时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，那么需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>，都有 ()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤．另解：〔Ⅰ〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立， 当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+， 那么0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-， 令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增， 那么2()(1)11(13)g t g >-=-=--+，那么1a ≤，于是01a ≤≤． 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，那么当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是别离参数法，求相应函数的最值或取值范围以到达解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的局部进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．。
2023年高考数学试题全国卷2(理)全解全析
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号．不能答在试卷卷上．3．本卷共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．参考公式:如果事件A B ，互斥,那么球地表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R=如果事件A B ，相互独立,那么 其中R 表示球地半径()()()P A B P A P B = 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次地概率 其中R 表示球地半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ，，，，一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，， C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【解析】B【解析】{}1,0,1,2--=M ,{}3,2,1,0,1-=N ,∴{}1,0,1-=N M 【高考考点】集合地运算,整数集地符号识别2．设a b ∈R ，且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则（ ）A ．223b a=B ．223a b=C ．229b a=D ．229a b=【解析】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+,因是实数且 0b ≠,所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数地基本运算3．函数1()f x x x=-地图像关于（ ）A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【解析】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数,所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性地性质4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，,则（ ）A ．a <b <c B ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a【解析】C【解析】由0ln 111<<-⇒<<-x x e ,令x t ln =且取21-=t 知b <a <c 5．设变量x y ，满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥,则y x z 3-=地最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解析】D【解析】如图作出可行域,知可行域地顶点是A （－2,2）、B(32,32)及C(－2,－2)于是8)(min -=A z 6．从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到地3名同学中既有男同学又有女同学地概率为（ ）A ．929B ．1029C ．1929D ．2029【解析】D【解析】2920330110220210120=+=C C C C C P 7．64(1(1-地展开式中x 地系数是（ ）A ．4-B ．3- C ．3D ．4【解析】B【解析】324156141604262406-=-+=-+C C C C CC【易错提醒】容易漏掉1416C C 项或该项地负号8．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =地图像分别交于M N ，两点,则MN 地最大值为（ ）A ．1BCD ．2【解析】B【解析】在同一坐标系中作出x x f sin )(1=及x x g cos )(1=在]2,0[π地图象,由图象知,当43π=x ,即43π=a 时,得221=y ,222-=y ,∴221=-=y y MN 【高考考点】三角函数地图象,两点间地距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新地问题9．设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+地离心率e 地取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(2【解析】B【解析】222222)11(1)1()(a aa a a c e ++=++==,因为a 1是减函数,所以当1a >时 110<<a,所以522<<e ,即52<<e 【高考考点】解析几何与函数地交汇点10．已知正四棱锥S ABCD -地侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 地中点,则AE SD ，所成地角地余弦值为（ ）A ．13B C D ．23【解析】C【解析】连接AC 、BD 交于O,连接OE,因OE ∥SD.所以∠AEO 为所求。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(山东卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（山东卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=L .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =U ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2. 【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C. 答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =3. 【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+4π+C. 2π+π【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为2133⨯=所以该几何体的体积为2π+答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地侧(左)视图正(主)视图俯视图计算出.几何体的体积.5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.6. 函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）DABC P第7题图A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 【解析】:因为2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,含答案)(2)
绝密★启用并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为() A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i （2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 （3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+ ,则f(-1)=()（A ）-2（B ）0（C ）1（D ）2（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三棱柱,若P为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 () （A ）（B ）（C ）（D ）（5）将函数y=sin （2x +φ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为 （A ）（B ） （C ）0 （D ）（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）（D ）（7）给定两个命题p ，q 。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）133+π（C ）136+π（D ）16+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
招生国统一考试数学理试题精品解析山东卷试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考卷理数试题解析〔精编〕150120分钟.在在考试完毕之后以后，将将本套试卷和答题卡一起交回.本卷须知：1.写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效.3.第二卷必须用毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求答题之答案无效.4.填空题直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.参考公式：假设事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第一卷〔一共50分〕一、 选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求的〔1〕【2021高考，理1】集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,那么A B =〔〕 〔A 〕〔1，3〕〔B 〕〔1，4〕〔C 〕〔2，3〕〔D 〕〔2，4〕【答案】C 【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<.应选：C.【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算.【名师点睛】此题考察集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，此题属根底题，要求学生最根本的算运求解才能.〔2〕【2021高考，理2】假设复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，那么z =〔〕 〔A 〕1i -〔B 〕1i +〔C 〕1i --〔D 〕1i -+【答案】A【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】此题考察复数的概念和运算，采用复数的乘法和一共轭复数的概念进展化简求解.此题属于根底题，注意运算的准确性.〔3〕【2021高考，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象〔〕 〔A 〕向左平移12π个单位 〔B 〕向右平移12π个单位 〔C 〕向左平移3π个单位 〔D 〕向右平移3π个单位 【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】此题考察了三角函数的图象，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下列图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.〔4〕【2021高考，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC∠=,那么BD CD ⋅=〔〕 〔A 〕232a -〔B 〕234a -〔C 〕234a 〔D 〕232a 【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】此题考察了平面向量的根底知识，重点考察学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属根底题，要注意结合图形的性质，灵敏运用向量的运算解决问题.〔5〕【2021高考，理5】不等式152x x ---<的解集是〔〕〔A 〕〔-∞，4〕〔B 〕〔-∞，1〕〔C 〕〔1，4〕〔D 〕〔1，5〕【答案】A【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】此题考察了含绝对值的不等式的解法，重点考察学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式〔组〕从而求解的才能，此题属中档题.〔6〕【2021高考，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，假设z ax y =+的最大值为4，那么a =〔〕〔A 〕3〔B 〕2〔C 〕-2〔D 〕-3【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如以下列图中的阴影局部所示，假设zax y =+的最大值为4，那么最优解可能为1,1x y ==或者2,0x y ==，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a =；1,1x y ==不是最优解.应选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】此题考察了简单的线性规划问题，通过确定参数a 的值，考察学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵敏性，意在考察学生利用线性规划的知识分析解决问题的才能.〔7〕【2021高考，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔〕〔A 〕23π〔B 〕43π〔C 〕53π〔D 〕2π【答案】C【考点定位】1、空间几何体的构造特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】此题考察了空间几何体的构造特征及空间几何体的体积的计算，重点考察了圆柱、圆锥的构造特征和体积的计算，表达了对学生空间想象才能以及根本运算才能的考察，此题属中档题.〔8〕【2021高考，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=， ()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,含答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷，含答案）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.（1）已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2},则U Mð=（A）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x≤-1或x≥3}(2) 已知2(,)a ib i a bi+=+2a ib ii+=+（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3(5)已知随机变量Z服从正态分布N（0，2e）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=(A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977(6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为(A) 65(B)65(C) 2 (D)2(7)由曲线y=2x,y=3x围成的封闭图形面积为（A）112(B)14(C)13(D)712（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种（9）设｛a n｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛a n｝是递增数列的（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件、（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）设变量x 、y 满足约束条件2,5100,80,x y o x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩,则目标函数z =3x －4y 的最大值和最小值分别为（A ）3，－11 （B) －3, －11 (C)11, －3(D)11,3(11)函数y =2x-2x 的图像大致是(12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =令a b mq np =-，下面说法错误的是（A ）若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 （B ）a ⊙b=b ⊙a(C)对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b=λ（a ⊙b ）(D) （a ⊙b ）2+(a ·b )2=22ab二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值为 ． （14）若对任意0x ＞，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ．（15）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．（16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分． （17）（本小题满分12分） 已知函数()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＜＜，其图象过点（π6,12）．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，求函数()g x 在[0, π4]上的最大值和最小值．（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥P —ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB =22，BC =2AE =4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．（20）（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的E ξ.（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.(22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使 12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.山东理数答案 一．选择题1.C2.B3.D4.D5.C6.D7.A8.B9.C 10.A 11.A 12.B 二．填空题 13.54-14.1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15.6π 16.30x y +-= {}21211111111(1).....1....44(1)122311110,cos(4)1cos(2)cos()()(2)cos(4)42323323n nn n n n a b T b b b b n n n n n x x y g x f x x πππππϕϕ--+++-+-++-+++⎡⎤-≤-≤=-=-===-⎢⎥⎣⎦三.解答题（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos(2)23x π-，将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知1()(2)cos(4)23g x f x x π==- 因为 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以 []40,x π∈，因此 24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故 1cos(4)123x π-≤-≤。
普通高等学校招生国统一考试数学理试题山东卷,含答案 试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共4页，满分是150分，考试用时120分钟，在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.考前须知：黑色签字笔将本人的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写上在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3. 第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求答题之答案无效。
4.填空题请直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径. 球的外表积公式：S=4πR2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 假如事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共l2小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〔1〕设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},那么M ∩N = 〔A 〕[1,2) 〔B 〕[1,2] 〔C 〕( 2,3] 〔D 〕[2,3]〔2〕复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限 〔3〕假设点〔a,9〕在函数3xy =的图象上，那么tan=6a π的值是： 〔A 〕0 〔B 〕33〔C 〕1 〔D 〕3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是〔A 〕[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) 〔D 〕(-∞，-4]∪[6,+∞) 〔5〕对于函数y=f 〔x 〕，x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴〞是“y=f 〔x 〕是奇函数〞的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件〔6〕假设函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω=〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕32 〔D 〕23〔7〕某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为〔A 〕63.6万元 〔B 〕65.5万元 〔C 〕67.7万元 〔D 〕72.0万元〔8〕双曲线22221x y a b-=〔a>0,b>0〕的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为〔A 〕22154x y -= 〔B 〕22145x y -=〔C 〕221x y 36-= 〔D 〕221x y 63-=〔9〕函数2sin 2xy x =-的图象大致是〔10〕f 〔x 〕是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f 〔x 〕=x 3-x ，那么函数y=f 〔x 〕的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 〔A 〕6〔B 〕7〔C 〕8〔D 〕9〔11〕右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定以下三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如以下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如以下图．其中真命题的个数是〔A 〕3 〔B 〕2〔C 〕1 〔D 〕0〔12〕设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,那么称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，那么下面说法正确的选项是 〔A 〕C 可能是线段AB 的中点 〔B 〕D 可能是线段AB 的中点 〔C 〕C ，D 可能同时在线段AB 上 〔D 〕C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷〔一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〔13〕执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，那么输出的y 的值是 .(14)假设6x ⎛ ⎝展开式的常数项为60，那么常数a 的值是 .〔15〕设函数()2xf x x =+〔x ＞0〕，观察：()()12xf x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1〔x 〕)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2〔x 〕)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3〔x 〕)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m 〔x 〕=f 〔f m-1〔x 〕〕= . 〔16〕函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分. 〔17〕〔本小题满分是12分〕在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.cos A-2cos C 2c-a=cos B b. 〔Ⅰ〕求sin sin CA的值； 〔Ⅱ〕假设cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.〔18〕〔本小题满分是12分〕红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进展围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果互相HY 。
招生国统一考试数学理试题山东卷,正式解析试题
绝密★启用前2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共4页。
满分是150分。
考试用时120分钟。
在在考试完毕之后以后，将将本套试卷和答题卡一起交回。
考前须知：1.答卷前，所有考生必须用毫米黑色签字笔将本人的姓名、座号、考生号、县区和科类填写上在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第二卷必须用毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求答题之答案无效。
4.填空题直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.参考公式：假如事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第一卷〔一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的〔1〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z =〔A 〕1+2i〔B 〕1-2i〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B考点：注意一共轭复数的概念.〔2〕设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 那么AB =〔A 〕(1,1)-〔B 〕(0,1) 〔C 〕(1,)-+∞ 〔D 〕(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，那么}1|{->=x x B A ，选C. 考点：此题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.〔3〕某高校调查了200名学生每周的自习时间是〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间是的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]〔A 〕56 〔B 〕60 〔C 〕120 〔D 〕140【答案】D考点：频率分布直方图〔4〕假设变量x ，y 满足2,239,0,xyx yx 那么22x y 的最大值是〔A 〕4 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点〔x ,y 〕到原点间隔 的平方,最大值必在顶点处取到,经历证最大值210OC =,应选C. 考点：线性规划求最值〔A 〕1233+π 〔B 〕1233+π 〔C 〕1236+π 〔D 〕216+π【答案】C考点：根据三视图求体积.〔6〕直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.那么“直线a 和直线b 相交〞是“平面α和平面β相交〞的〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,那么,αβ一定相交,假设,αβ相交,那么a ,b 可能相交，也可能平行,应选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.〔7〕函数f 〔x 〕=3sin x +cos x 〕3cos x –sin x 〕的最小正周期是〔A 〕2π〔B 〕π 〔C 〕23π〔D 〕2π 【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,应选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式〔8〕非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.假设n ⊥〔t m +n 〕，那么实数t 的值是〔A 〕4 〔B 〕–4 〔C 〕94 〔D 〕–94【答案】B考点：平面向量的数量积〔9〕函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .那么f (6)= 〔A 〕−2〔B 〕−1〔C 〕0〔D 〕2 【答案】D 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，应选D.考点：此题考察了函数的周期性、奇偶性，灵敏变换求得函数性质是解题的关键.〔10〕假设函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称y =f (x〔A 〕y =sin x 〔B 〕y =ln x 〔C 〕y =e x 〔D 〕y =x 3【答案】A 【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，应选A.考点：此题注意本质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第二卷〔一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。
招生国统一考试数学理试题精品解析山东卷试题
2021年高考卷理数试题解析〔精编版〕150120分钟.在在考试完毕之后以后，将将本套试卷和答题卡一起交回.考前须知：1.答卷前，所有考生必须用毫米黑色签字笔将本人的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效.3. 第二卷必须用毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求答题之答案无效.4.填空题直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.参考公式：假如事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第一卷〔一共50分〕一、 选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的〔1〕【2021高考，理1】集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,那么A B =〔 〕〔A 〕〔1，3〕 〔B 〕〔1，4〕 〔C 〕〔2，3〕 〔D 〕〔2，4〕【答案】C 【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<.应选：C.【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算.【名师点睛】此题考察集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，此题属根底题，要求学生最根本的算运求解才能.〔2〕【2021高考，理2】假设复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，那么z =〔 〕 〔A 〕1i - 〔B 〕1i + 〔C 〕1i -- 〔D 〕1i -+【答案】A【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】此题考察复数的概念和运算，采用复数的乘法和一共轭复数的概念进展化简求解.此题属于根底题，注意运算的准确性.〔3〕【2021高考，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象〔 〕 〔A 〕向左平移12π个单位 〔B 〕向右平移12π个单位〔C 〕向左平移3π个单位 〔D 〕向右平移3π个单位 【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】此题考察了三角函数的图象，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.〔4〕【2021高考，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,那么BD CD ⋅=〔 〕 〔A 〕232a -〔B 〕234a - 〔C 〕 234a 〔D 〕 232a 【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】此题考察了平面向量的根底知识，重点考察学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属根底题，要注意结合图形的性质，灵敏运用向量的运算解决问题. 〔5〕【2021高考，理5】不等式152x x ---<的解集是〔 〕〔A 〕〔-，4〕 〔B 〕〔-，1〕 〔C 〕〔1，4〕 〔D 〕〔1，5〕【答案】A【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】此题考察了含绝对值的不等式的解法，重点考察学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式〔组〕从而求解的才能，此题属中档题.〔6〕【2021高考，理6】,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，假设z ax y=+的最大值为4，那么a=〔〕〔A〕3 〔B〕2 〔C〕-2 〔D〕-3 【答案】B【解析】不等式组2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如以下图中的阴影局部所示，假设z ax y =+的最大值为4，那么最优解可能为1,1x y == 或者2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.应选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】此题考察了简单的线性规划问题，通过确定参数a 的值，考察学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵敏性，意在考察学生利用线性规划的知识分析解决问题的才能.〔7〕【2021高考，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔 〕 〔A 〕23π 〔B 〕43π 〔C 〕53π 〔D 〕2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的构造特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】此题考察了空间几何体的构造特征及空间几何体的体积的计算，重点考察了圆柱、圆锥的构造特征和体积的计算，表达了对学生空间想象才能以及根本运算才能的考察，此题属中档题.〔8〕【2021高考，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔 〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.（1） 已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【答案】C【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U=R ，所以U C M={}x|x<-1x>3或,故选C. 【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. (2) 已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B. 【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
(3)在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D(7)由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （A ）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230x -x )dx=⎰（1111-1=3412⨯⨯,故选A 。
【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种【答案】B可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线z=3x-4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选A。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y 的几何意义是解答好本题的关键。
(11)函数y =2x-2x 的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x-2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2x =14<04-，故排除D ，所以选A 。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。
(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ）A.若a 与b 共线，则ab=0 B.ab=baC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D. 2222(ab)+(ab)=|a||b|【答案】B【解析】若a 与b 共线，则有a b=mq-np=0，故A 正确；因为b a pn-qm =，而a b=mq-np ，所以有ab b a ≠，故选项B 错误，故选B 。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值为 ． 【答案】54-【解析】当x=10时，y=110-1=42⨯，此时|y-x|=6；当x=4时，y=14-1=12⨯，此时|y-x|=3；当x=1时，y=111-1=-22⨯，此时|y-x|=32；当x=12-时，y=115-1=-224⨯-（），此时|y-x|=3<14，故输出y的值为54-。
【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。
【答案】x+y-3=0【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥P —ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．【解析】（Ⅰ）证明：因为∠ABC =45°，AB =2，BC =4，所以在ABC ∆中，由余弦定理得：222AC+4-24cos45=8⨯，解得所以222AB +AC =8+8=16=BC ，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCDE ，所以PA ⊥AB ， 又PA AC A ⋂=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB ∥CD ，所以AC CD ⊥平面P ，又因为CD CD ⊂平面P ，所以平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作AH C ⊥P 于H ，则AH CD ⊥平面P ，又AB ∥CD，AB ⊄平面CD P 内，所以AB 平行于平面CD P ，所以点A 到平面CD P 的距离等于点B 到平面CD P 的距离，过点B 作BO ⊥平面CD P 于点O ，则PBO ∠为所求角，且AH=BO ，又容易求得AH=2，所以1sin PBO=2∠，即PBO ∠=30，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30； （Ⅲ）由（Ⅰ）知AC CD ⊥平面P ，所以AC CD ⊥，又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形，又容易求得DE =，AC=ACDE 的面积为132=（，所以四棱锥P —ACDE 的体积为133⨯=P(=4)=ξ312+423⨯⨯112423⨯⨯311423⨯⨯=1124， 所以ξ的分布列为数学期望E ξ=28⨯+324⨯+4⨯24=3。
【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。
（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a =2，得a =，又22a c +=4(，所以可解得a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=。
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。
其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， (22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈.(Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使 12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.（Ⅱ）当14a =时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即2922bx x ≥+，即922b x x≥+∈1117[,]24， 所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11[,)4+∞。