高考数学理一轮复习课时检测 第二章 第十节 《函数模型及其应用》
2019版高考数学(理)一轮复习：函数模型及其应用含解析
课时分层作业十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选 B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150.则生产者不亏本时的最低产量为150台.4.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第二章 第十节 函数模型及其应用 理
第二章 第十节 函数模型及其应用一、选择题1．(2012·惠州模拟)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝(12)xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数y ＝(12)x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求．答案：D2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) ∵210<211.6，故方法①省钱． 答案：D3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2012年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(1.0110≈1.1045)( )A ．90B ．87C ．85D ．80解析：到2012年底该城市人口有500×(1＋1%)10，则500×1＋1%10×7－500×610≈86.6(万 m 2)．答案：B4．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为()解析：注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D5．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：设原光线的强度为a ，重叠x 块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y ，则y ＝a (1－110)x (x ∈N *)，令y ＜13a ，即a (1－110)x ＜13a ，∴(910)x ＜13，∴x ＞lg 13lg 910. ∵lg 13lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.477 12×0.477 1－1≈10.4.即x ＞10.4. 答案：B6．将长度为2的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为( )A.4π＋4B.5π＋4C.7π＋4D.8π＋4解析：设铁丝分成的两段长分别为x ，y (x ＞0，y ＞0)，x ＋y ＝2.面积之和为S ＝(x4)2＋π(y2π)2＝116x 2＋2－x 24π＝π＋416πx 2－1πx ＋1π，当S 取得最小值时，x ＝8π＋4. 答案：D 二、填空题7．(2012·徐州模拟)在不考虑空气阻力的情况下，设火箭的最大速度是v m/s ，燃料的质量为M kg ，火箭(除燃料外)的质量为m kg ，三者之间的函数关系是v ＝2 000·ln(1＋M/m )．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 解析：∵2 000·ln(1＋M/m )≤12 000，∴Mm≤e 6－1. 答案：e 6－18．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一： (1)按照使用面积缴纳，每平方米4元； (2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积为60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．解析：按方案(1)，李明家需缴240元，故设李明家建筑面积为x 平方米，则3x ≤240，解得x ≤80.答案：809．(2011·湖北高考)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．答案：6 10 000 三、解答题10．(2012·盐城模拟)某市出租车的计价标准是：3 km 以内(含3 km)10元；超过3 km 但不超过18 km 的部分1元/km ；超出18 km 的部分2元/km.(1)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km ，他要付多少车费？(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？解：(1)乘车行驶了20 km ，付费分三部分，前3 km 付费10(元)，3 km 到18 km 付费(18－3)×1＝15(元)，18 km 到20 km 付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．设付车费y 元，当0<x ≤3时，车费y ＝10； 当3<x ≤18时，车费y ＝10＋(x －3)＝x ＋7； 当x >18时，车费y ＝25＋2(x －18)＝2x －11.(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km ，且小于18 km ，前3 km 付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km ，故此人乘车行驶了15 km.11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为：3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：f (x )＝(100－x －3 00050)(x－150)－x －3 00050×50，整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以，当x ＝4 050时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )有最大值为 －15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元。
第二章 第十节 函数的模型与应用 解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习
第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln2．解得t=1λ故答案为1λln2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 33010=0a +blog 39010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3Q 10⩾2，即 log 3Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg2x >lg300即 xlg2>2+lg3∴x >2+lg3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log32700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
高三数学一轮复习 2.10 函数模型及其应用课件 理 新课标
由二次函数的性质得，经过8.5 min，放水停止,
共出水34×8.5=289(L)，289÷65≈4.45.
故至多可供4人洗浴. 答案：(1)y=0.95m5x0 ,x∈N*
(2)对数函数模型
(3)
利用函数刻画实际问题 【方法点睛】 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最 小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的 缓急等)相吻合即可.
每年最多
每件产品 可生产的
销售价
件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产 A产品的原材料价格决定,预计m∈［6,8］,另外,年销售x件B产 品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能 在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相 应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划.
(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函
数值先减小，后增大(a＞0).
f1(x), x D1
(6)分段函数模型：y f2 (x), x D2 ,其特点是每一段自变量变
fn (x)，x Dn
(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k≠0),将点(0.1,1)代入可得
k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入y=( 1 )t,a得a= 1 .
高考数学一轮复习 第二章 函数2.10函数模型及其应用教学案 理 新人教A版
2.10 函数模型及其应用)考纲要求1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)幂函数模型 f (x )＝ax n＋b (a ，b 为常数，a ≠0 (2)三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数y ＝a x (a ＞1)与幂函数y ＝x n(n ＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定范围内a x 会小于x n，但由于a x 的增长____x n 的增长，因而总存在一个x 0，当x ＞x 0时有______．②对数函数y ＝log a x (a ＞1)与幂函数y ＝x n(n ＞0)对数函数y ＝log a x (a ＞1)的增长速度，不论a 与n 值的大小如何总会____y ＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x 0，使x ＞x 0时有______．由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x 0，使x ＞x 0时有__________．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：1．下列函数中，随x 的增大函数值增大速度最快的是( )．A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x2．2006年8月30日到银行存入a 元，若年利率为x ，且按复利计算，到2014年8月30日可取回( )．A ．a (1＋x )8元B ．a (1＋x )9元C ．a (1＋x 8)元D ．a ＋(1＋x )8元3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )．A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 3xD ．y ＝2x－24．有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为__________(围墙厚度不计)．5．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．一、一次函数与分段函数模型【例1－1】 已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，到达B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (时)的函数，则下列正确的是( )．A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50t ，3.5<t ≤6.5C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50t －3.5，3.5<t ≤6.5【例1－2】 根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P 与时间t 的关系用图(1)中的一条折线表示，销量Q 与时间t 的关系用图(2)中的线段表示(t ∈N *)．(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系P ＝f (t )，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q ＝g (t )；(2)这种商品的销售额S (销售量与价格之积)的最大值及此时的时间． 方法提炼1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．提醒：分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．请做演练巩固提升5 二、二次函数模型【例2】 某加工厂需定期购买材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最少，并求出这个最少总费用．方法提炼1．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．提醒：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．2．形如f (x )＝kx ＋a x(ka ＞0)的函数，实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数，根据其图象特点，通常称其为“对勾函数”，这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用．常常利用“基本不等式”求解，有时也利用函数单调性求解．请做演练巩固提升1 三、指数函数模型【例3】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210) 方法提炼1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．请做演练巩固提升4函数模型应用解答题的规范解答【典例】 (12分)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．规范解答：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(2分)(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，(4分) 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(6分)(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．(8分) 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.(9分) 当x ∈(0,20)时，V ′＞0； 当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．(11分)此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.(12分)答题指导：1．在解答本题时有两点容易造成失分： (1)忽视实际问题对变量x 的限制即定义域．(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确．2．解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注： (1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型． (2)对涉及的相关公式记忆错误． (3)在求解的过程中计算错误．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．1．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台2．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )．A ．a 12－1B ．(1＋a )12－1 C ．a D ．a －13．已知y 与x (x ≤100)之间的部分对应关系如下表：x 11 12 13 14 15 …y 297 148 295 147 293… 则x 和y 可能满足的一个关系式是__________．4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时才能开车．(精确到1小时)5．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？参考答案基础梳理自测知识梳理1．(2)①快于 a x ＞x n ②慢于 log a x ＜x na x ＞x n ＞log a x 基础自测1．A 解析：∵在(0，＋∞)上，总存在一个x 0，使x ＞x 0时有a x ＞x n＞log a x (a ＞1)， ∴排除B ，C.又∵e＞2，∴1100e x 的增长速度大于100·2x的增长速度．2．A 解析：由题意知一年后可取回a (1＋x )元，二年后可取回a (1＋x )2元，…，2014年8月30日可取回a (1＋x )8元．3．B 解析：把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是 y ＝12(x 2－1)． 4．2 500 m 2解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.5．6 10 000 解析：第一空，lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，第二空，设9级地震时最大振幅为A 1,5级地震时最大振幅为A 2，则9＝lg A 1－(－3)，5＝lg A 2－(－3)，所以A 1＝106，A 2＝102，A 1A 2＝10 000.考点探究突破【例1－1】 D 解析：依题意，函数为分段函数．求出每一段上的解析式即可． 【例1－2】 解：(1)P ＝f (t )Q ＝g (t )＝－t 3＋433，t ∈[1,40]，t ∈N *.(2)当1≤t ＜20时， S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋433 ＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2122＋4 22524.∵t ∈N *，∴t ＝10或11时，S max ＝176.当20≤t ≤40时，S ＝(－t ＋41)⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋433＝13t 2－28t ＋1 7633为减函数；当t ＝20时，S max ＝161. 而161＜176，∴当t ＝10或11时，S max ＝176.【例2】 解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需要保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为(6x 2－6x ＋600＋1.5×400x )元，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝1x (6x 2－6x ＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.∴y ≥2600x ·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最少，最少总费用为714元．【例3】 解：(1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.…x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系是y ＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)． 所以10年后该城市人口总数约为112.7万．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，∴x ≥log 1.012120100＝log 1.0121.2≈15.3≈15(年)．大约15年后该城市人口总数将达到120万人． 演练巩固提升1．C 解析：设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x－3 000≥0，又∵x ∈N *，∴x ≥150.2．B 解析：不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a ),10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为：b (1＋a )12－b b＝(1＋a )12－1.3．y (108－x )＝2(x ≤100) 解析：将11,12,13,14,15对应的函数值分别写成297，296，295，294，293，分母成等差数列，由此可知分母an ＝97＋(n －11)(－1)＝97－n ＋11＝108－n .所以x 和y 可能满足的一个关系式是y (108－x )＝2(x ≤100)．4．5 解析：设至少经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.5．解：(1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (1)＝14，∴k 1＝14.又g (4)＝52.∴k 2＝54.从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元，设企业利润为y 万元． y ＝f (x )＋g (10－x ) ＝14x ＋5410－x ，(0≤x ≤10)． 令t ＝10－x ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)．当t ＝52时，y max ＝6516，此时x ＝3.75，10－x ＝6.25.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516万元．。
江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测十二函数模型及其应用理含解析.doc
课时追踪检测〔十二〕函数模型及其应用1．某种商品进价为4元/件，当天均零售价为6元/件，日均销售元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，假定每日固定本钱为100件，当单价每增添1 20元，那么估计单价为________元/件时，收益最大．分析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，那么日收益y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．因此当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，收益最大．答案：102．(2021·盐城中学检测)“好酒也怕小巷深〞，很多有名品牌是经过广告宣传进入花费者视野的．某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间知足关系效应为D＝R－A.那么聪明的商人为了获得最大广告效应，投入广告费应为R＝a(a为常数)，广告________．(用常数a表示)分析：D＝R－A＝a－A，令t＝(t＞0)，那么A＝t2，因此D＝at－t2＝－2＋a2.因此当t＝a，即A＝a2时，D获得最大值．答案：a23．某市出租车收费标准以下：起步价为 8元，起步里程为3km(不超出3km按起步价付费)；超出3km但不超出8km时，超出局部按每千米元收费；超出8km时，超出局部按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附带费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，那么此次出租车行驶了________km.分析：设出租车行驶xkm时，付费y元，那么y＝由y＝，解得x＝9.答案：94．(2021·盐城调研)一批货物随17列货车从A市以vkm/h匀速直抵B市，两地铁路线长400km，为了安全，两列货车间距离不得小于2km，那么这批物质所有运到B市，最快需要________h(不计货车的身长)．分析：设这批物质所有运到B市用的时间为y，由于不计货车的身长，因此设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×2时，时间最快．那么y＝＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即v＝100时等号建立，ymin＝8.答案：85．(2021·南通模拟)用长度为 24的资料围成一个矩形场所，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，那么隔墙的长度为________．分析：设矩形场所的宽(即隔墙的长度)为x，那么长为，其面积S＝·x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，当x＝3时，S有最大值18，因此隔墙的长度为3.答案：36 m f(m)(0.5[m] ＋1)(元)决定，此中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．那么从北京到上海通话时间为分钟的费为________元．分析：由于m＝，因此[5.5] ＝6.代入函数分析式，得f(5.5) ＝××6＋1)＝4.24.答案：1．某电信企业推出两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的当地网内通话时间t(分钟)与费s(元)的函数关系以下列图，当通话150分钟时，这两种方式费相差________元．分析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，因此100k＋20＝100m，得k－m＝－，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式费相差10元．答案：102．某商铺已按每件80元的本钱购进某商品1000件，依据市场展望，销售价为每件100 元时可所有售完，订价每提升1元时销售量就减少5件，假定要获取最大收益，销售价应定为每件________元．分析：设售价提升x元，收益为y元，那么依题意得＝－5x2＋500x＋20000＝－5(x－50)2＋32500，故当y＝(1000－5x)×(100＋x)－80×1000 x＝50时，ymax＝32500，此时售价为每件150元．答案：1503．(2021·海安中学检测)某企业为鼓舞创新，方案逐年加大研发资本投入．年整年投入研发资本130万元，在此根基上，每年投入的研发资本比上一年增添司整年投入的研发资本开始超出200万元的年份是________．(参照数据：lg ≈，lg ≈，lg2≈0.30)假定该企业2021 12%，那么该公分析：设2021年后的第n年，该企业整年投入的研发资本开始超出200万元，由130(1＋12%)n＞200，得＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，因此n≥4，因此从2021年开始，该企业整年投入的研发资本开始超出200万元．答案：2021年4．(2021·启东中学检测)某企业租地建库房，库房每个月占用费 y1与库房到车站的距离成反比，而每个月车载货物的运费y2与库房到车站的距离成正比．据测算，假如在距离车站10千米处建库房，这两项花费y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站 ________千米处．分析：由题意设库房在离车站x千米处，那么y1＝，y2＝k2x，此中x＞0，由得，即y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号建立．答案：55．将甲桶中的a升水迟缓注入空桶乙中，t分钟后甲桶中节余的水切合指数衰减曲线y＝aent.假定过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，假定再过m分钟甲桶中的水只有，那么m＝________.分析：依据题意知＝e5n，令a＝aent，即＝ent，由于＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案：106 v k除燃料费外其余花费为每小时96元．当速度为10海里/小不时，每小时的燃料费是6元．假定匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小不时，总花费最小．分析：设每小时的总花费为y元，那么y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝，因此每小时的总花费y＝＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总花费为W＝y＝＋96)＝＋≥2＝48，当且仅当＝，即v＝40时等号建立．故总花费最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：407．某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料 (如图)，为降低耗费，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图暗影局部)备用，那么截取的矩形面积的最大值为________．分析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，因此暗影局部的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180.因此当y＝12时，S有最大值为180.答案：1808．某企业为了业务展开拟订了一个鼓舞销售人员的奖赏方案，在销售额 x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖赏4万元．假定企业制定的奖赏模型为y＝alog4x＋b.某业务员要获取8万元奖赏，那么他的销售额应为______(万元)．分析：依题意得即解得a＝2，b＝－2.因此y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.x＝1024(万元)．答案：10249．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料花费x(单位：百元)知足以下关系：w＝4－，且投入的肥料花费不超出5百元，别的，还需要投入其余本钱(如施肥的人工费等)2x百元．这类水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求一直求过于供．记该棵水蜜桃树获取的收益为L(x)(单位：百元)．求L(x)的函数关系式，并写出定义域；当投入的肥料花费为多少时，该水蜜桃树获取的收益最大？最大收益是多少？解：(1)L(x) ＝16－x－2x＝64－－3x，x∈(0,5]．法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43，当且仅当＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.答：当投入的肥料花费为300元时，该水密桃树获取的收益最大，为4300元．法二：L′(x)＝－3，令L′(x)＝0，得x＝3.故当x∈(0,3)时，L′(x)＞0，L(x)在(0,3)上单一递加；当x∈(3,5]时，L′(x)＜0，L(x)在(3,5]上单一递减．故L(x)max＝L(3)＝43.答：当投入的肥料花费为300元时，该水蜜桃树获取的收益最大，为4300元．10．(2021·镇江调研)如图，政府有一个边长为400m的正方形公园ABCD，在以四个角的极点为圆心，以150m为半径的四分之一圆内都栽种了花卉．此刻中间修筑一块长方形的活动广场PQMN，此中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，而且活动广场界限与公园界限对应平行，记∠QBC＝α，长方形活动广场的面积为S.请把S表示成对于α的函数关系式；求S的最小值．解：(1)过Q作QE⊥BC于E，连接BQ(图略)．在Rt△BQE中，BE＝150cosα，QE＝150sinα，0≤α≤，可得矩形PQMN的PQ＝400－300sinα，QM＝400－300cosα，那么S＝PQ·QM＝(400－300sinα)(400－300cosα)＝10000(4－3sin α)(4－3cosα)，α∈.(2)由(1)知，S＝10000[16－12(sin α＋cosα)＋9sin αcosα]，设t＝sin α＋cos α＝sin ，那么≤α＋≤，可得1≤t≤，sin αcosα＝，∴S＝10000＝5000.∴当t＝时，S获得最小值5000×7＝35000m2.某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为升，此中k为常数，且60≤k≤100.(1)假定汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为升，欲使每小时的耗油量不超出9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值．解：(1)由题意知，当x＝120时，，∴k＝100，由≤9，得x2－145x＋4500≤0，∴45≤x≤100.又60≤x≤120，∴60≤x≤100.故x的取值范围为[60,100]．(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升，那么y＝·＝20－＋(60≤x≤120)．令t＝，那么t∈，∴y＝90000t2－20kt＋20＝900002＋20－，∴该函数图象的对称轴为直线t＝.∵60≤k≤100，∴∈.①假定≥，即75≤k≤100，那么当t＝，即x＝时，ymin＝20－.②假定＜，即60≤k＜75，那么当t＝，即x＝120时，ymin＝－.答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升；60≤k＜75时，该当汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升．。
高考数学一轮专题复习 第二章 第10讲 函数模型及其应用
考点二 函数 y＝x＋ax(a>0)模型
某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管费与其 他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元． (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费 用最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时， 其价格可享受八五折优惠(即为原价的 85%)．问：该厂是否 应考虑利用此优惠条件？请说明理由．
增长速度 _越__来__越__快___ _越__来__越__慢___
相对平稳
图象的 变化
随x值增大，
图象与 ____y_轴_____ 接近平行
随x值增大,图象 与___x_轴______接
近平行
随n值变化而 不同
[做一做]
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增长速度最快的是( A )
A．y＝1100ex
1.(2015·湖南岳阳模拟)一个工厂生产某种产品 每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需 要增加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时， 年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x>20 时，年销售总收入 为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润 为 y 万元，则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为 ____y_＝___1－_6_0x_－2_＋_x_3，_2_xx_－>_2_10_0._0_，__0_<_x_≤__2_0_._(x_∈__N__*)____________, 该工厂的年产量为__1_6____件时,所得年利润最大.(年利润 ＝年销售总收入－年总投资)
∵xy≥300，∴x(40－x)≥300， ∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
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第二章 第十节 函数模型及其应用
一、选择题
1．(2012·惠州模拟)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( )
A ．y ＝2x －2
B ．y ＝(12)x
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝1
2(x 2－1)
解析：直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数y ＝(1
2)x 是单调递减的，也不符合要
求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求．
答案：D
2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )
A ．不能确定
B ．①②同样省钱
C ．②省钱
D ．①省钱
解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) ∵210<211.6，故方法①省钱． 答案：D
3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2012年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(1.0110≈1.1045)( )
A ．90
B ．87
C．85 D．80
解析：到2012年底该城市人口有500×(1＋1%)10，
则500×(1＋1%)10×7－500×6
10≈86.6(万m
2)．
答案：B
4．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()
解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
答案：D
5．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的1
10，要使通过玻璃的光线强度为原来的
1
3以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)()
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则
y＝a(1－1
10)
x(x∈N*)，
令y＜1
3a，即a(1－
1
10)
x＜
1
3a，
∴(9
10)x＜
1
3，∴x＞
lg
1
3
lg
9
10
.
∵lg
1
3
lg
9
10
＝
－lg3
2lg3－1
＝
－0.477 1
2×0.477 1－1
≈10.4.
即x＞10.4.
答案：B
6．将长度为2的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为()
A.4π＋4
B.5π＋4
C.
7
π＋4
D.8π＋4
解析：设铁丝分成的两段长分别为x ，y (x ＞0，y ＞0)，x ＋y ＝2.面积之和为S ＝(x
4
)2
＋π(y 2π)2＝116x 2＋(2－x )2
4π＝π＋416πx 2－1πx ＋1π，当S 取得最小值时，x ＝8π＋4
.
答案：D 二、填空题
7．(2012·徐州模拟)在不考虑空气阻力的情况下，设火箭的最大速度是v m/s ，燃料的质量为M kg ，火箭(除燃料外)的质量为m kg ，三者之间的函数关系是v ＝2 000·ln
(1＋M/m )．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 解析：∵2 000·ln(1＋M/m )≤12 000，∴M m ≤e 6－1.
答案：e 6－1
8．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一： (1)按照使用面积缴纳，每平方米4元； (2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．
李明家的使用面积为60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．
解析：按方案(1)，李明家需缴240元，故设李明家建筑面积为x 平方米，则3x ≤240，解得x ≤80.
答案：80
9．(2011·湖北高考)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6 10 000 三、解答题
10．(2012·盐城模拟)某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km.
(1)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？
(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？
解：(1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km付费10(元)，3 km到18 km付费(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．
设付车费y元，当0<x≤3时，车费y＝10；
当3<x≤18时，车费y＝10＋(x－3)＝x＋7；
当x>18时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.
(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km 付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km.
11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为：3 600－3 000
50＝12，
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)＝(100－x－3 000
50)(x－
150)－x－3 000
50×50，整理得f(x)＝－
x2
50＋162x－21 000＝－
1
50(x－4 050)
2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．
12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年
产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x2
5－48x＋8 000，已知此生产线年产量
最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)每吨平均成本为y
x(万元)．
则y
x＝
x
5＋
8 000
x－48≥2
x
5·
8 000
x－48＝32，
当且仅当x
5＝
8 000
x，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－x2
5＋48x－8 000
＝－x2
5＋88x－8 000
＝－1
5(x－220)
2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为
－1
5(210－220)
2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元。