圆与相似三角形(一)
高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3.1 圆
三个定理的综合应用 [例 3] 如图所示，已知 PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦 CD∥AP，AD、BC 相交于 E 点，F 为 CE 上一点， 且 DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF； (2)求证：CE·EB＝EF·EP； (3)若 CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求 PA 的长．
[精解详析] 因为 MA 为圆 O 的切线， 所以 MA2＝MB·MC. 又 M 为 PA 的中点， 所以 MP2＝MB·MC. 因为∠BMP＝∠PMC， 所以△ BMP∽△PMC， 于是∠MPB＝∠MCP. 在△ MCP 中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°， 得∠MPB＝20°.
解析：因为 AF＝3，EF＝32，FB＝1，
所以 CF＝AFE·FFB＝3×3 1＝2， 2
因为 EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，
所以AAFB＝BCDF＝AADC＝ADA－DCD＝34，
所以 BD＝CFA·FAB＝2×3 4＝83，且 AD＝4CD，
又因为 BD 是圆的切线，所以 BD2＝CD·AD＝4CD2，
[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相 似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定 理的适用条件，并会合理利用．
[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC， ∴DE∶CE＝EF∶ED. ∵∠DEF 是公共角，∴△DEF∽△CED. ∴∠EDF＝∠C. ∵CD∥AP，∴∠C＝∠P. ∴∠P＝∠EDF.
1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的 交点的两条线段长的积有什么关系？
提示：相等． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四 点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？ 提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的 中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
相似三角形的内切圆与外接圆
相似三角形的内切圆与外接圆在数学中，当两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。
在相似三角形中，存在着一些特殊的圆，即内切圆和外接圆。
本文将讨论相似三角形与它们的内切圆和外接圆之间的关系。
一、相似三角形的内切圆内切圆是能够与三角形的三条边都相切的圆。
对于相似三角形而言，它们的内切圆有一个重要的性质：内切圆的半径与三角形的相似比例相等。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则内切圆的半径R满足以下关系：R(ABC) / R(DEF) = k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。
因为相似三角形的对应角相等，所以它们的切点、顶点和圆心共线，从而可以得到三角形的内切圆。
二、相似三角形的外接圆外接圆是能够与三角形的三个顶点相切的圆。
对于相似三角形而言，它们的外接圆有一个重要的性质：外接圆的半径与三角形的相似比例的倒数相等。
仍假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则外接圆的半径r满足以下关系：r(ABC) / r(DEF) = 1 / k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。
因为相似三角形的对应角相等，所以它们的顶点、圆心和切点共线，从而可以得到三角形的外接圆。
三、内切圆与外接圆的关系在相似三角形中，内切圆和外接圆之间存在着一定的关系。
如果两个三角形是相似的，它们的内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点。
实际上，内切圆和外接圆的圆心都位于相似三角形的相似中心上。
相似中心是一个点，使得从它出发，分别向两个相似三角形的对应顶点连线的比等于相似比例。
通过这个性质，我们可以进一步得到内切圆和外接圆的半径之间的关系。
设R为内切圆的半径，r为外接圆的半径，则有：R / r = k其中，k为相似比例。
结论综上所述，相似三角形的内切圆与外接圆之间存在着一些关系。
内切圆的半径与相似比例相等，而外接圆的半径与相似比例的倒数相等。
此外，内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点，即相似三角形的相似中心。
相似三角形的外接圆与外切圆
相似三角形的外接圆与外切圆相似三角形的外切圆与外接圆相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在几何学中，外接圆和外切圆是与三角形相关的两个重要概念。
本文将探讨相似三角形的外接圆和外切圆，并分析它们的性质和应用。
一、外接圆（Circumcircle）外接圆是指与三角形的三个顶点都相切的圆。
在相似三角形中，如果两个三角形的对应顶角相等，那么它们的外接圆是相等的。
外接圆具有以下性质：1. 外接圆的半径等于三角形三边的中线之积除以四倍三角形的面积。
2. 外接圆的圆心位于三角形的外部，且与三角形的三个顶点连线的垂直平分线相交于同一点，这个点就是外接圆的圆心。
3. 外接圆的直径等于三角形的最长边。
外接圆有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，外接圆可以帮助我们求解三角形的面积、证明三角形的性质等。
二、外切圆（Incircle）外切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在相似三角形中，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们的外切圆也是相等的。
外切圆具有以下性质：1. 外切圆的半径等于三角形的面积除以半周长（三边之和的一半）。
2. 外切圆的圆心位于三角形的内部，且与三角形的三边的垂直平分线相交于同一点，这个点就是外切圆的圆心。
外切圆在实际问题中也有重要的应用。
比如在工程测量、建筑设计等领域，外切圆可以帮助我们确定构建物体的最佳位置、确定装置的最佳适配度等。
三、相似三角形的外接圆和外切圆的关系在相似三角形中，外接圆和外切圆之间存在一定的关系。
1. 如果两个三角形相似，那么它们的外接圆和外切圆是相似的，并且比例相等。
2. 如果两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的外接圆和外切圆的比例因子也为k。
综上所述，相似三角形的外接圆和外切圆在几何学中有着重要的地位和应用。
它们不仅有助于我们求解三角形的面积和证明三角形的性质，还在实际问题中有着广泛的应用。
因此，深入理解和掌握相似三角形的外接圆和外切圆的性质和关系，有助于我们更好地应用它们解决实际问题。
圆中的相似三角形
引言概述：相似三角形是高中数学中的一个重要概念，也是几何学中常见的基本概念之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
本文将对圆中的相似三角形进行详细探讨和阐述。
圆中的相似三角形具有一些特殊性质和定理，研究这些特性不仅对于数学学科的发展和深化具有重要意义，还对于解决实际问题和各个领域的应用有着广泛而深远的影响。
正文内容：一、圆中相似三角形的概念和基本性质1.定义：圆中的相似三角形是指在同一个圆内部，根据某种比例关系，具有相同形状但大小不同的三角形。
2.判定条件：圆中的两个三角形相似的必要条件是它们的对应边成比例。
3.定理1：如果一个圆内的两个弦经过圆心，则对应的两个弦所对的弧相等，并且这两个弦和圆心所夹的角相等。
4.定理2：如果一个圆内的两弦对应的弧等长，则这两个弦和圆心所夹的角相等。
5.定理3：在一个圆内，如果一条弦平分了另一条弦，那么这两条弦所对的弧也是等长的。
这个定理也适用于相似三角形。
二、圆中相似三角形的关系和性质1.相似三角形的斜边与高的关系：斜边越长，相似三角形的高越长；斜边越短，相似三角形的高越短。
2.相似三角形的周长和面积的关系：周长比例：相似三角形的周长与它们的边长成比例；面积比例：相似三角形的面积与它们的边长平方成比例。
3.相似三角形的位似性：相似三角形的顶点在同一个圆上；相似三角形的高、中线和角平分线相交于同一个点。
4.圆内切相似三角形的性质：内切相似三角形与外接相似三角形共圆；内切相似三角形的内切圆半径与对应边的比例相等。
5.圆的切线与切点构成的三角形与圆内相似三角形的关系：切点到两个切线的距离相等，这个距离等于切点到对应切线的点的距离；切点到圆心的距离与半径成正比。
三、圆中相似三角形的应用1.圆的测量：通过相似三角形的性质，可以利用已知条件测量圆的半径和直径；利用相似三角形的相似比例可以测量难以直接测量的圆内部距离。
2.圆的建模与设计：相似三角形可以用于对圆形对象的建模和设计，如圆形池塘、圆形花坛等。
圆与相似三角形相关的证明题
圆与相似三角形相关的证明题1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。
要证明AC·PB=PC·BC。
证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。
又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。
因此，∠ACB=∠PCD。
又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。
因此，PB·PC=PD2。
由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。
将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。
因此，原命题成立。
2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。
要证明AD·ED=BE·DF。
证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。
又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。
因此，∠___∠EAD。
又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。
因此，三角形EAB和EDF相似。
因此，AD·ED=BE·DF。
因此，原命题成立。
3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。
要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。
证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。
因此，∠APE=∠ACP。
又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。
因此，PE：AC=PB：PA。
②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为BD⊥CD，所以∠___°。
因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。
因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。
因此，原命题成立。
4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。
相似三角形与圆的关系
相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。
在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
其特点是对应角相等，对应边成比例。
我们用符号"∼"表示相似关系。
例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。
二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。
我们把这个圆称为三角形的内切圆。
内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。
三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。
外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。
四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。
假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。
同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。
五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。
例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。
通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。
此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。
圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。
总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。
通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。
此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。
相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。
圆和相似三角形的几何模型
圆和相似三角形的几何模型1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示：引言圆和相似三角形是几何学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
本文将探讨圆和相似三角形的几何模型，旨在深入研究它们的定义、性质以及构建方法。
本文的结构本文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分将首先介绍圆和相似三角形的几何模型的重要性和应用领域。
接着，我们将详细说明本文将讨论的内容和结构，以帮助读者更好地理解本文的内容。
正文部分将分为两个章节，分别探讨圆的几何模型和相似三角形的几何模型。
在这些章节中，我们将介绍圆和相似三角形的基本定义和性质，以及它们在实际应用中的重要性和常见的构建方法。
这些内容将有助于读者更好地理解和应用圆和相似三角形的几何模型。
结论部分将总结圆和相似三角形的几何模型的重要性和应用价值。
我们将展望未来进一步研究的方向和可能的发展，以期推动几何学领域的进一步发展和应用。
本文的目的本文的目的是探讨圆和相似三角形的几何模型，并介绍它们在数学和实际应用中的重要性。
通过深入研究它们的定义、性质和构建方法，我们将能够更好地理解和应用这些几何模型，从而为解决实际问题和推动学科发展提供更多的思路和方法。
我们相信，通过阅读本文，读者将对圆和相似三角形的几何模型有更全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用它们。
在未来的研究中，我们也希望能够进一步探索这些几何模型的更多应用领域，为几何学的发展做出更大的贡献。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个章节，分别介绍了圆的几何模型和相似三角形的几何模型。
接下来将详细说明每个章节的目的和要点。
2.1 圆的几何模型在这一章节中，我们将详细介绍圆的基本定义和性质。
首先解释了什么是圆，并探讨了圆的几何特征和相关概念，比如圆心、半径和直径。
接着，我们将讨论圆的应用领域，例如在建筑设计中的使用，以及如何构建圆的几何模型。
2.2 相似三角形的几何模型在这一章节中，我们将详细介绍相似三角形的基本定义和性质。
相似三角形四点共圆条件
相似三角形四点共圆条件哎呀，今天咱们聊聊一个有趣的话题，叫做“相似三角形四点共圆条件”。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们就把它简单化，轻松聊聊。
想象一下，你和朋友在公园里玩三角形拼图，突然你发现这三角形不仅好看，而且有个神奇的特性，那就是如果这三个三角形是相似的，那么它们的四个顶点竟然可以在同一个圆上，这可是个了不起的事情呢！先说说什么叫相似三角形。
其实就是那些形状一样但大小不同的三角形，比如你把一块比萨饼切得小一点，再切得小一点，这不就是相似三角形吗？无论你怎么缩放，这些小三角形和原来的大三角形都是“心有灵犀”的，形状上绝对不打架。
你知道吗？数学界可是很喜欢这种“心有灵犀”的关系，没事就爱研究。
然后啊，咱们再说说四点共圆条件。
这听起来就像是个数学的魔法。
想象一下，在一个圆圈里，有四个小朋友，他们拉着手，围成一个大圈，哈哈，是不是感觉特别温馨？四点共圆的意思就是，四个点能够同时在一个圆上，形成一种神奇的联系。
这个时候，你可能会想，这些点是怎么凑到一起的呢？关键就在于这些点之间的角度关系。
咱们进入核心。
你想啊，如果四个点都可以在一个圆上，那么它们之间的角度就得有个特殊的关系，才能让它们手拉手不散架。
这就需要满足一种条件：那就是如果一个三角形的内角和另一个三角形的内角相等，那么这四个点就可以共圆了。
简单说，就是这几个三角形之间的比例关系得好，才能齐心协力，找到同一个圆圈。
就像好朋友一起去旅游，得有个统一的计划，才能玩的开心！数学里还有个有趣的现象，就是这些相似三角形如果在一起聚会，它们的边长比也是一致的。
就像一群身高不一的朋友，只要他们之间的比例相同，不管个子高矮，都能一起玩得不亦乐乎！这种感觉太赞了，几何也变得生动有趣起来。
咱们可以用这个条件来推导出各种各样的结果，就像解谜一样，越解越上瘾。
你可能会好奇，这有什么实际应用呢？很多设计、建筑都离不开这个原理。
就像设计师在画图的时候，常常用相似三角形来确保结构的稳固。
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形的综合题是高中数学中的重点难点之一。
一般来说，这类题目需要我们掌握以下的解题技巧：
一、圆相关定理
1.圆的性质：圆周上任意两点距离相等，圆心到圆周上任意一点的距离相等。
2.圆心角定理：圆周上两点的连线所对的圆心角是不变量。
3.圆的切线定理：切线与半径垂直，切点在圆心角的平分线上。
二、相似三角形相关定理
1.角度相等定理：若两个角分别相等，则两个三角形相似。
2.比例定理：若两个角分别相等，则两个三角形对应边的长度成比例。
3.三角形内角和定理：一个三角形内角的度数和是180度。
基于以上的定理，我们可以通过以下步骤解决圆与相似三角形的综合题：
1.根据圆心角定理，求出圆心角。
2.根据角度相等定理或比例定理，确定相似三角形的相似比例。
3.利用三角形内角和定理，求出三角形另一个角的度数。
4.根据三角形内角和定理和已知角度，求出第三个角的度数。
5.利用已知角度和比例定理，求出相似三角形的边长。
6.应用圆的切线定理、圆心角定理或其他定理，求出需要求解的量。
需要注意的是，在解题过程中，我们需要注意角度单位是否一致，如角度一般用度数表示，而弧度制需要换算。
同时，我们还需要注意图形的几何位置关系，如切线与圆周、圆心角的平分线等。
综上所述，圆与相似三角形的综合题需要我们掌握相关的定理和解题技巧，同时需要注意单位和几何位置关系。
圆与相似三角形
圆与相似三角形知识要点：2.垂径定理及推论：定理：垂直于弦的直径 __________这条弦并且平分弦所对的两条弧 ①平分弦（不是直径）的直径_________弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过______，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，________弦，并且平分弦所对的另一条弧 。
3.圆心角和圆周角：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______.推论：同弧或等弧所对的圆周角_____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____.半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是_______ ；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是______三角形. 4. 切线的性质①切线的判定：经过半径的外端并且___________的直线是圆的切线②切线的性质：圆的切线垂直于___________；经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角双基巩固：1. 已知:如图,在⊙O 中,弦AB 与弦CD 交于点P. (1)求证:△ADP ∽△CBP;(2)判断AP ·BP = DP ·CP 是否成立,并说明理由.思考：在⊙O 中, CP = 1,PD = 3,BP = 2 ,求△ABE 与△CDE 的周长比为_____和面积之为________.应用拓展：如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QAQC的值为( ) A. 132- B. 32 C. 23+ D. 23+DCBB2、已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且AE=BE. 求证：（1）︵AB =︵AF ；（2）AH ·BC=2AB ·BE.提示：这道题主要考察三角形的相似和圆的知识，在做第二问时中注意观察BE 与EH 关系3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． ⑴求证：DE 是⊙O 的切线； ⑵若35AC AB ，求AFDF的值.巩固提高1.如图，已知△ABC ，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E 为BD 的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC. （1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC 的长.B2.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为弧BAC的中点，CE⊥AB交BD于F，E为垂足。
九年级数学《相似三角形的判定(1)》教案
九年级数学《相似三角形（1）》教学设计教学流程安排线分线段成比例定理，从而引入新课。
本节课我们将从平行线分线段成比例定理开始研究相似三角形的判定方法，用类比展开思维。
活动2 示演操作，形成假设1.平行线分线段成比例定理(教材P40页探究1)如图27.2-1,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2相交的平行线l3 , l4,l5.分别量度l3 , l4,l5.在l1上截得的两条线段AB, BC和在l2上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?2.平行线分线段成比例定理的推论思考：（1）如果图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？教师出示探究，提出问题．学生操作画图，度量AB, BC, DE, EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．提出问题：AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”教师引导归纳，并板书：平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
教师引导学生继续探究把图1中的直线l1 , l2变到相交，交点A刚好落到l3或l4上，所得的对应线段的比会相等吗？学生观察思考，小组讨论回答，同伴交流，归纳总结。
教师引导归纳并板书平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边【媒体应用】出示相关问题【设计意图】学生在教师的指导下通过实践操作，探索和他人合作交流各自的所得结论等活动，积累数学活动经验。
学生通过亲自动手度量，操作，计算的活动经历，感受探索的过程。
（2），如果图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、猜想：如图:在△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 上,且DE ‖BC,则△ADE 与△ABC 相似吗?活动3 验证假设，获得定论如图:在△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 上,且DE ‖BC,则△ADE 与△ABC 相似吗?(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等?(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE 的位置再试一试.（3）你能用什么方法来判断呢？请你加以证明？（或两边延长线），所得的对应线段的比相等。
相似三角形的外接圆与外心
相似三角形的外接圆与外心相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边的比例相等。
在相似三角形中，外接圆和外心有一些特殊的性质。
本文将对相似三角形的外接圆和外心进行探讨。
一、相似三角形的外接圆相似三角形中的外接圆是指可以同时通过两个三角形的三个顶点的圆。
这个圆称为相似三角形的外接圆。
要确定相似三角形的外接圆，需要使用相似三角形的性质以及圆的性质。
1. 任意一个三角形的外接圆都是通过三个顶点，因此相似三角形的外接圆肯定也是通过相似三角形的三个顶点的。
2. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等。
因此，相似三角形的外接圆的圆心就是这两个三角形的外接圆心。
3. 由于相似三角形的对应边比例相等，因此相似三角形的外接圆的半径也是相等的。
综上所述，相似三角形的外接圆的圆心就是两个三角形的外接圆心，半径也相等，因此两个三角形的外接圆是同一个圆。
二、相似三角形的外心相似三角形的外心是指可以同时通过两个三角形的三条边的交点，这个交点称为相似三角形的外心。
要确定相似三角形的外心，同样需要使用相似三角形的性质以及圆的性质。
1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等。
因此，两个三角形的外心一定在相似三角形的外接圆上。
2. 由于相似三角形的对应边比例相等，可使用圆心角和弧度角的性质来确定外心的位置。
圆心角是指圆心所对的弦所对应的角，弧度角是指弧所对的圆心角的角度。
3. 对于相似三角形的外心，由于对应边的比例相等，可以得出两个三角形所对应的圆心角是相等的，即它们所对应的弦是相等的。
而这两个弦的交点就是外心。
通过以上性质，可以得出相似三角形的外心是相似三角形的外接圆上的一个点，可以通过这个点来确定外接圆的位置。
总结：相似三角形的外接圆和外心与这两个三角形的外接圆和外心有密切关系。
外接圆的圆心就是两个三角形的外接圆心，半径也相等；外心是两个三角形外接圆上的一个点，通过这个点可以确定外接圆的位置。
这些特殊性质使得相似三角形的外接圆和外心有着重要的应用，例如在解决几何问题时可以利用这些性质来推导出一些结论和定理。
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合(共14张PPT)
4．(2015· 资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，
且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．
解：(1)连结 OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E 为 BC 的中点，∴DE＝BE，∴ ∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝ ∠EBO.∵BC 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝ 90°，∴∠ODE＝90°，∴DE 是⊙O 的切线 (2)过点 E 作 EF⊥CD 于点 F，设 EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC 都是等腰直角三 角形， ∴CF＝EF＝x， ∴BE＝CE＝ 2x， ∴AB＝BC＝2 2x.在 Rt△ABE EF 10 中，AE＝ AB ＋BE ＝ 10x，∴sin∠CAE＝ ＝ AE 10
7．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 经过A，B，C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上， ⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E. (1)求m的值及抛物线的解析式； (2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与 △BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不 存在，请说明理由．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边 交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E. (1)求证：点E是边BC的中点； (2)求证：BC2＝BD· BA； (3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是 等腰直角三角形．
圆与相似三角形综合问题
NMEDCBAEDCBAE DCBA学生：科目：数学教师：谭前富知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法（1）三边对应成比例的两个三角形相似（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似（3）两组角对应相等的两个三角形相似.3、相似三角形中几个的基本图形4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图，若DE∥BC,则AD AE DEAB AC BC,或AD BDAE CE.定理2 平行切割定理如图，,D E分别是ABC的边,AB AC上的点，过点A的直线交,DE BC于,M N,若DE∥MN,则DM BNME NC定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.EDCBAl 3l 2l 1C /B /A /CBA l 3l 2l 1C /B /A /CB A如图，若1l ∥2l ∥3l ，则 AB BC ACA B B C A C,定理4（角平分线性质定理） 如图，,AD AE 分别是ABC 的内角平分线与外角平分线，则DB EB AB DC EC AC.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
相似三角形与圆的面积比例
相似三角形与圆的面积比例相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在数学中，我们常常会遇到需要计算相似三角形的面积比例的问题。
而在这些问题中，如果结合了圆形，便会产生一些有趣的性质和定理。
一、相似三角形的面积比例给定两个相似三角形，假设它们的边长比例为a:b，那么它们的面积比例为(a^2):(b^2)。
这个结论可以通过几何推导或者利用面积的性质来证明。
我们先来看一个简单的例子。
假设有两个相似三角形，它们的两条边的长度比例为2:3，求它们的面积比例。
设相似三角形的面积分别为S1和S2，根据面积的性质，我们有S1/S2=(边长比例)^2=(2/3)^2=4/9。
所以，这两个相似三角形的面积比例为4:9。
二、现在，我们来探讨一下相似三角形和圆的面积比例。
假设有一个固定大小的圆和一个相似于它的三角形，我们想要知道它们的面积比例。
首先，我们需要知道相似三角形的面积比例可以表示为边长比例的平方。
因此，如果可以将这个相似三角形转化为一个带有圆形的问题，我们就可以得到相似三角形与圆的面积比例。
考虑一个等腰直角三角形，它的两条直角边长度为a。
我们可以将这个等腰直角三角形每个直角顶点到斜边的距离定义为圆的半径。
那么，这个等腰直角三角形将与半径为a的圆相似。
根据相似三角形的面积比例定理，这个等腰直角三角形的面积与半径为a的圆的面积的比例为(斜边长度/半径)^2=(a/a)^2=1:1。
这意味着，无论这个等腰直角三角形的大小如何变化，它的面积与半径为a的圆的面积始终保持相等。
三、应用举例在实际问题中，我们可以利用相似三角形与圆的面积比例来解决一些有关面积或者比例的题目。
例1：已知一个半径为4的圆与一个相似三角形的面积比例为1:4，求该相似三角形的面积。
解：根据相似三角形与圆的面积比例，我们可以得到(圆的面积/相似三角形的面积)=1/4。
而已知圆的半径为4，代入圆的面积公式S=πr^2，我们可以得到(π*4^2)/(相似三角形的面积)=1/4。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
圆中的相似三角形
巩固练习
练习1
如图AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径. 求证：AB· AC = AE· AD
证明：连结BE
∵ ∴ ∵ ∴
∴
AE⊙O的直径，AD⊥BC ∠ABE =∠ADC=90° ∠E =∠C △ABE∽△ADC
AB AE AD AC
∴ AB·AC =AE·AD
练习2：△ABC中，AB=AC，以AB为直径
的⊙O交BC于D，交AC于E。 若AB=6，CD=2，求CE的长。
E
解：
连接AD、DE 0 ADB 90 AB是直径, 又AB=AC，由“三线合一” 得BD=CD=2，且有 BC=4 B C ， 四边形ABDE内接于圆O B DEC ，
DCE ∽ ABC 而 C 公用，
思考与探索（一）
如图1，△APC∼△DPB吗？ • 思路：
图1
思考与探索（二）
如图2，△ADE∼△ACB吗?
D 2
A 1 E
四边形BCED内接于 O • 思路： C 2 1800 ， 又 1 2 1800 A
BC BF 2 BC BG BF BG BC
证法二：延长CG交⊙O于点M,
又 CBF是公共角， CFB ∽ GCB BC BF BG BC
直径AB CM , BC BM CFB MCB,
BC BG BF
2
直径垂直于弦由垂径定理找等角.
C
2
A
P
D
O
等弧所对的圆周角相等.
B
基础练习2 （黄冈卷）如图，已知AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线 CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O 于点F，连结BF，与直线CD交于点G．
圆中相似三角形的基本模型
圆中相似三角形的基本模型在数学的世界里，有一种神奇的现象，就是圆中相似三角形。
听起来很复杂对吧？别担心，咱们用轻松的方式聊聊。
想象一下，咱们在一个美丽的公园，阳光明媚，微风拂面。
你看那儿，有个小朋友在玩飞盘，飞盘像个圆形的太阳，越飞越高。
圆的形状真是让人觉得神奇，跟我们的生活也有很多联系。
什么是圆中相似三角形呢？简单来说，就是在一个圆里，不同的三角形却能有相同的形状。
比如，你在画一个三角形，然后再画一个三角形，虽然它们大小不一样，但形状却一模一样。
这种相似，就像穿着同款衣服的朋友，虽然一个高一个矮，但都那么帅气。
听起来有趣吧？这个现象可是有趣又重要，尤其在几何中，能帮助我们理解形状之间的关系。
再说说这相似三角形的特点。
在圆里，任何角都能跟其它角形成一定的关系。
就像打麻将，虽然牌面不同，但大家都懂怎么玩。
你看到那三角形的角度，哇，简直就像三位好朋友在一起，互相欣赏。
每个角都在那儿，形成一种完美的和谐。
这就像生活中的朋友关系，虽然性格不同，却能一起开心地玩耍。
你可能会问，为什么这相似性那么重要呢？嘿，听我说！在生活中，很多事情都需要用到这相似性。
比如说，当你做菜的时候，不同的材料虽然味道不同，但配合在一起却能形成一道绝妙的佳肴。
数学中的相似性也是如此。
通过了解这些三角形的相似性，咱们可以解决很多实际问题。
就像你在解谜一样，找到每个角的位置，然后拼凑出完美的答案。
再想象一下，咱们在海滩上，沙子在阳光下闪闪发光。
你捡起一个贝壳，发现它的形状跟另一个贝壳一模一样，虽然大小不同。
哎呀，这不就是自然界中的相似性吗？无论是贝壳还是三角形，生活中的美妙之处在于它们之间的联系。
每次看到这些相似的形状，心里总是忍不住想笑，真是大自然的调皮！在学校里，老师常常教我们这些几何知识。
虽然当时觉得有点无聊，但回过头来想想，其实挺有意思的。
就像小时候的玩具，不觉得重要，但长大后发现那是童年的回忆。
圆中相似三角形就是这样一个有趣的存在，让我们在学习中找到乐趣。
相似三角形的内切圆和外接圆比例
相似三角形的内切圆和外接圆比例在几何学中，“相似三角形的内切圆和外接圆比例”是一个有趣而重要的概念。
在本文中，我们将探讨相似三角形的内切圆和外接圆之间的比例关系，并介绍相关公式和性质。
一、内切圆和外接圆的定义首先，让我们回顾一下内切圆和外接圆的定义。
内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
也就是说，内切圆的圆心位于三角形的内部，并且与三角形的每条边都相切。
外接圆是指能够通过三角形的三个顶点的圆。
也就是说，外接圆的圆心位于三角形的外部，并且与三角形的每个顶点都相切。
二、相似三角形的性质在讨论相似三角形的内切圆和外接圆比例之前，我们需要了解一些关于相似三角形的性质。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. 相似三角形的对应边长比例相等。
设两个相似三角形分别为ABC 和DEF，对应边长分别为AB、BC、CA和DE、EF、FD，则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = CA/FD。
2. 相似三角形的对应高线比例相等。
设两个相似三角形分别为ABC 和DEF，对应高线分别为h1和h2，则有以下比例关系成立：h1/h2 = AB/DE = BC/EF = CA/FD。
3. 相似三角形的内角平分线相交于内切圆圆心。
对于相似三角形ABC和DEF，它们的内角平分线分别为AI、BI、CI和DI、EI、FI，则有以下性质成立：点I为内切圆的圆心。
三、相似三角形的内切圆和外接圆比例现在，让我们来研究相似三角形的内切圆和外接圆之间的比例关系。
首先，我们考虑内切圆的情况。
对于相似三角形ABC和DEF，它们的内切圆的半径分别为r1和r2。
根据相似三角形的性质，有以下比例关系成立：r1/r2 = AB/DE = BC/EF = CA/FD。
接下来，我们考虑外接圆的情况。
对于相似三角形ABC和DEF，它们的外接圆的半径分别为R1和R2。
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圆与相似三角形（一）
本节内容主要针对中考题中22题设计 ,知识点包含圆的有关知识、相似三角形、全等三角形 、勾股定理、解三角形以及综合运用.
相似三角形分类:(1)平行类相似:A 型、X 型;(2)非平行类相似:子母型、反A 型、反X 型、燕尾型、旋转型、射影型.
例1．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． ⑴求证：DE 是⊙O 的切线； ⑵若35AC AB ，求AF DF
的值.
例2.如图1，△ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心，延长AI 分别交⊙O 、BC 于D 、E 两点。
（1）求证：DI=DB ；
（2）如图2，连接OI ，若OI ⊥AD ，AD=8，AC=7，求线段AB 的长。
例3.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连AC 、BC ，E 为⊙O 上一点，且BE=CE ，点F 在BE 上，CF ⊥AB 于D 。
（1）求证：CB=CF ；
（2）若CF=2，EF=3，求BD 的长。
【范例精析】
F E D C B
O
A
O H F E D C B 例4 .如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延
长线交⊙O 于点E ，F 为AC 延长线上一点，且∠F=∠BAC.
(1) 求证：EF 为⊙O 的切线；
（2）若CD=CF=2，求sin ∠CAB 的值.
【模拟训练：】
1.如图，已知△ABC ，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E 为BD 的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC.
（1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）若AC=6，BC=8，求EC 的长.
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，D 为弧BAC 的中点，CE ⊥AB 交BD 于F ，E 为垂足。
（1）求证：CB =CF
（2）若EF=1，CE =4，求CD 的长
3.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F 。
（1）求证：BF 平分∠DFE ；
（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径
F O B E O E D C B A 4. 如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，D 为弧AC 的中点， DH ⊥AB 于点H ，延长BC 、HD 交于点E 。
（1）求证：AC=2DH ；
（2）连接AE ，若DH=2，BC=3，求tan ∠AEB 的值
5.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为弧BC 的中点，AE ⊥CD 于点E 。
（1）求证：△ABD ∽△ACE
（2）若CE=3，CD=5，求四边形ABCD 的面积
6. 如图，△ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心，延长AI 分别交⊙O 、BC 于D 、E 两点。
（1）求证：DI=DB ；
（2）连接OI ，若OI ⊥AD ，AD=8，AC=7，求线段AB 的长。
7．如图，以△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，⊙O 与AB 交于点D ，E 为CD 的中点，连结CD 、CE ，
且CE 平分∠ACD.
（1）求证：AC 为⊙O 的切线；
（2）连结AE ，若BC=4，AC=8，求tan ∠CAE 的值.
8. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于E 点，D 为AC 的中点. （1）求证：DE 为⊙O 的切线
（2）连BD 交OE 于F 点，若AB=10，OF=2，求ABC S
.
F C
B
9. 如图，已知正方形ABCD ，点O 为边AD 上一点，以O 为圆心，OB 的长为半径的⊙O 交边AD 于点E ，过点O 作BE 的垂线交边BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ．
（1）求证：EF 为⊙O 的切线； （2）若DE=2AE ，求tan ∠DEF 的值.
10.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作⊙O 的切线CE ，点D 是CE 延长线上一点，连结AD ，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）设OE 交AC 于F ，若OF=3，EF=2，求线段BC 的长.
11. 已知：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作⊙O ，交边AB 于点P ，连结PC 交AD 于点E ，且AE=DE ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若DE=3，求△ABC 的面积．
12. 如图，以Rt △ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，⊙O 与斜边AB 相交于点D ，过D 作DH ⊥AC ，垂足为H ，E 为BC 边上的一点，且∠HDE=2∠A ． (1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若DH=8，DE=5，求AB 的长．。