【拿高分 选好题】(新课程)高中数学二轮复习 第二部分 洞察高考热点32题《专题二 90分解答题大冲关与评分
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高中新课程数学(苏教)二轮复习精选 洞察高考热点32题《
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
高中新课程数学(人教新课标理)二轮复习精选第二部分 洞察高考43个热点《热点二十二 考查双曲线方
x2 y2 [押题 42] 已知双曲线 2－ 2＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2， a b 过点 F2 作 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P， 且∠PF1F2 π ＝6，则双曲线的渐近线方程为________． 解析 根据已知得点 P
b2 b2 的坐标为c，±a ，则|PF2|＝ a ，又
解析
根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方
b 程为y＝ a x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得
2 2 x y b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是20－ 5 ＝1.
Hale Waihona Puke 答案Ax2 y2 【例50】► (2011· 全国)已知F1、F2分别为双曲线C： － ＝1 9 27 的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠ F1AF2的平分线，则|AF2|＝________. 解析 依题意得知，点F1(－6,0)，F2(6,0)，|F1M|＝8，
|F1M| |F1A| |F2M|＝4.由三角形的内角平分线定理得 |F M| ＝ |F A| ＝2， 2 2 |F1A|＝2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|－|F2A|＝ 2×3＝6,2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝6. 答案 6
命题研究：1.双曲线定义的考查，常常是利用两个定义去求动
点的轨迹方程或某些最值问题；
2.双曲线标准方程的考查，常常是利用基本量求标准方程或去 解决其他相关的问题； 3.双曲线性质的考查，主要是离心率与渐近线这两个热点问题.
x2 y2 [押题 41] 点 P 在双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2 是这 条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90° ，且△F1PF2 的三条边 长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A．2 B．3 C．4 D．5 ( )．
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 洞察高考热点32题《专题二 90分
π 1 1 当 sin θ＞3时， y′＞0； sin θ＜3时， y′＜0， ∵y＝sin θ 在0，4
上是增函数 1 ∴当角 θ 满足 sin θ＝3时，y 最小，最小为 4 2＋2；此时 BC＝
2－
2 m．(16 分) 2
【突破训练】 (2012·启东中学一模)如图，某单位准备修建一 个面积为600平方米的矩形场地(图中的ABCD)的围墙，且要 求中间用围墙EF隔开，使得图中ABEF为矩形，EFDC为正 方形，设 AB＝x 米，已知围墙 ( 包括EF) 的修建费用均为 800
【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：
一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天 花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点 A1 ， A2 ， A3. 点 C 为 OB 上一点 (不包含端点 O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳
400×2
400 x·x ＝96 000，
400 当且仅当 x＝ ，即 x＝20 时等号成立． x 故当 x 为 20 米时，y 最小．y 的最小值为 96 000 元．(14 分)
【抢分秘诀】
1．常见的应用题：(1)函数与导数模型；(2)三角函数模型；(3) 函数与不等式模型；(4)数列模型． 2．解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设 置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决
元/米．设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．
(1)求出y关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，围墙(包括EF)的修建 总费用y最小？并且求出y的最小值．
600 解 (1)设 AD＝t 米， 则由题意得 xt＝600， 且 t＞x， 故 t＝ x ＞ x，可得 0＜x＜10 6，(4 分) 则
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 洞察高考热点32题《专题一 70分
【突破训练1】 在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n，n∈N*，
则a8的值为________．
解析 根据累加法求 a8. 由题意可得 a2 － a1 ＝ 2 ， a3 － a2 ＝
7×10 3，…，a8－a7＝8，累加得 a8－a1＝2＋3＋4＋…＋8＝ 2 ＝35，所6 －3 8 ＝ 1 ＋ 5 6 －1 ＝ ， 故 Sn ＝ 5
3 ，n＝2k，k∈N* 56 －1 8×6 －3 * ， n ＝ 2 k － 1. k ∈ N 5
答案
18
36 －1 * ， n ＝ 2 k ， k ∈ N 5 －3 * 8×6 ， n ＝ 2 k － 1. k ∈ N 5
解题方法技巧：类比法的应用 一般数列的通项与求和方法是类比等差数列、等比数列的通项
公式、求和公式的推导，如等差数列通项公式的推导方法是累
加法，类比到an＋1－an＝f(n)，都可以用累加法，其它如累乘法、 数列的错位相减法、裂项相消法等，也是由课本中一些基本的 知识、方法类比得到，所以理解课本决不能流于形式，这个过 程真的很重要.
1 a2)＝1＋4×4＝2.
在 Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋an 1an，①，两边同时乘以 4 得
－
4Sn＝4a1＋42a2＋43a3＋…＋4n 1an－1＋4nan，②，①＋②得
－
5Sn＝a1＋4(a1＋a2)＋42(a2＋a3)＋…＋4n 1(an－1＋an)＋4nan＝1＋
－
n－1＋4nan，故 5Sn－4nan＝n. 答案 2 n
【突破训练 2】 定义：F(x，y)＝yx(x＞0，y＞0)，设数列{an} F(n，1) 满足 an＝ ，设 Sn 为数列 anan＋1 的前 n 项和，则 F(2，n) Sn________1(填“＞”、“＝”、“＜”)． 解析 1 1 1 由题意可得 an ＝ n2 ，所以 anan＋1 ＝ ＝n－ n(n＋1)
高中新课程数学(人教新课标理)二轮复习精选第二部分 洞察高考43个热点《热点六 考查指数函数与对
x＋1 3 ，x≤0， f(x)＝ log2x，x＞0.
若 f(x0)＞3， 则 x0 的取 ( )．
B．(－∞，0)∪(8，＋∞) D．(－∞，0)∪(0,8)
A [若 x0≤0，得 3x0＋1＞3，∴x0＋1＞1，x0＞0.此
时无解．若 x0＞0，得 log2x0＞3，∴x0＞8.综上所述，x0＞8.]
＝2x＋2x，则f′(x)＝2x·ln 2＋2＞0恒成立，故有函数f(x)＝2x
＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，其余选项用同样方法排 除． 答案 A
【例 16】► (排除法)(2012· 全国)已知 x＝ln π，y＝log52， z＝ ，则 B．z＜x＜y D．y＜z＜x ( )．
A．x＜y＜z C．z＜y＜x
专题一 高考中选择题、
填空题解题能力大突破
考查指数函数与对数函数
【例15】► (构造法)(2012·浙江)设a＞0，b＞0. A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b ( )．
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
解析
若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a＞2b＋2b.构造函数：f(x)
解析 因为 ln π＞ln e＝1，log5 2＜log5 5＝1，所以 x＞y， 1 故排除 A、B；又因为 log5 2＜log5 5＝2， 所以 z＞y，故排除 C，选 D. 答案 D 1 1 ＝ ＞2， e
命题研究：指数、对数函数主要考查图象、性质、恒过定点以
及比较大小等问题.
[押题11] 已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，则a，b，c
的大小关系为
高中新课程数学(人教新课标理)二轮复习精选第二部分 洞察高考43个热点《热点十一 考查利用三角函
[押题 19] 若点 P(cos α， sin α)在直线 y＝－2x 上， 则 sin 2α＋2cos 2α＝ 14 A．－ 5 答案: C 7 B．－5 C．－2 ( 4 D.5 )．
[∵点 P 在直线 y＝－2x 上， ∴sin α＝－2cos α， ∴sin
cosπ－2α －cos 2α D [ π ＝ 2 sinα－4 2 sin α－cos α
sin2α－cos2α 2 ＝ ＝ 2(sin α＋cos α)＝－ 2 ， 2 2 sin α－cos α 1 ∴sin α＋cos α＝－2.]
专题一 高考中选择题、
填空题解题能力大突破
考查利用三角函数的定义及三角 公式求值
【例 25】► (2012· 山东)若
π π θ∈4，2，sin
3 7 2θ＝ ，则 sin θ＝ 8 ( )．Fra bibliotek3 A.5
4 B.5
7 C. 4
3 D.4
解析 因为
π π θ∈4，2，所以
2
π 2θ∈2，π，所以
cos 2θ＜0，所以
1 1 2 cos 2θ＝－ 1－sin 2θ＝－ .又 cos 2θ＝1－2sin θ＝－ ，所以 8 8 9 3 sin θ＝ ，所以 sin θ＝ . 16 4
2
答案 D
【例 26 】 ► (2012· 江苏 ) 设 α 为锐角，若
π sin2α＋12的值为________．
π 4 cos α＋6 ＝ ，则 5
解析
π 4 π 3 因为 α 为锐角，cosα＋6＝5，所以 sinα＋6＝5，sin π 7 2 α＋6 ＝ 25 ， 所 以 π sin 2α＋12 ＝
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中学数二轮复习 精选第二部分 洞察高考热点39题《专题三 4
1 0 2 0 2 0
1 2 0 ＝ 1 0
，(3 分) 2
设(x，y)是曲线 y＝sin x 上的任意一点， 在 MN 变换下对应的点 1 2 0 为(x′，y′)．则 0 x′ x ＝ (5 分) y y′ 2
评分细则
1正确求出 MN 得 3 分.如果不正确本题不给分.,2
x＝2x′， 正确表示 1 得 8 分.,3没有正确表示 y＝2sin 2x，扣 y＝ y′， 2 1 分.
【突破训练】 已知二阶矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3)， 且属于特 征值 3
1 的一个特征向量是 1，求矩阵
b＝1， ∴ d＝0，
1 .(10 分) 0
【抢分秘诀】 (1)正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序．
(2)记住求逆矩阵的过程．
(3)在求矩阵变换的特征值与特征向量时，可用定义建立关 系．
1 x＝2x′， x′＝ x， 2 所以 即 1 (8 分) y＝2y′， y ′＝ 2 y ， 1 代入 y＝sin x 得：2y′＝sin 2x′，即 y′＝2sin 2x′.即曲线 y ＝sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y＝2 sin 2x.(10 分)
A.
解 设
a A＝ c
a b1 2 b ，由 ＝ ， d c d 0 3
a＝2， 得 c＝3. a 再由 c
(5 分)
1 1 3 b a＋b＝3， ＝3 ＝ ，得 d 1 1 3 c＋d＝3， 2 ∴A＝ 3
专题三 40分附加题大突破
与抢分秘诀
矩阵与变换
1 M＝ 0
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中学数二轮复习 精选第二部分 洞察高考热点39题《专题二 9
④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆
向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进 展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．
细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题
【示例】 ► (2012· 苏锡常镇调研测试)如图， 在四边形 ABCD 中， → → 已知 AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝ 65，AB· AC＝50. (1)求 cos∠BAC 的值； (2)求 sin∠CAD 的值； (3)求△BAD 的面积．
专题二 90分解答题大冲关
与评分细则
【专题定位】 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵
盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能
力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的
创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、 逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力， 分值占90分，主要分六块：三角函数 (或与平面向量交汇 )、立
评分细则
→ → AB· AC 1没有写 cos∠BAC＝ 直接计算的，扣 1 分. → → |AB||AC|
2不交代∠CAD 的范围的，扣 1 分； 3不交代∠BAC 范围的，扣 1 分.
【突破训练】 (2012· 苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中， 角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，向量
(2)在△ADC 中，AC＝10，AD＝5，CD＝ 65， AC2＋AD2－CD2 102＋52－ 652 由余弦定理， 得 cos∠CAD＝ ＝ 2AC· AD 2×10×5 3 ＝5.(4 分) 因为∠ CAD ∈ (0 ， π) ，所以 sin ∠ CAD ＝
3 4 2 1－5 ＝ .(6 5
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 洞察高考热点32题《专题一 70分
解题方法技巧： 分离参数法 , 导数经常与函数有极值点、不等 式恒成立等综合应用，函数有极值点等价转化为导函数等于0
有解，而不等式恒成立又是通过分离参数转化为函数最值，体
现了导数的工具作用.
【突破训练】 设函数 f(x)＝ x3＋ ax2 ＋(a＋6)x ＋1 既有极大值又 有极小值，则实数a的取值范围是________．
专题一 70分填空题大 突破与解题技法
考查利用导∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值 点，则实数a的取值范围是________． 解析 利用导数将问题转化为导函数在(0，＋∞)有零点，
再利用分离参数的方法求解．由条件可得y′＝ex＋a＝0在 (0，＋∞)有解，所以a＝－ex＜－1. 答案 (－∞，－1)
解析 由题意可知 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0 有两个不等
实根，所以 Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得 a＜－3 或 a ＞6. 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)
【拿高分 选好题】(新课程)高中数学二轮复习 精选第二部分 洞察高考热点32题《专题一70分填空
图，说明算理与算法.由于算法与其它知识之间有较强的联系，
所以算法与知识的结合是高考的热点，同时也体现了算法的工 具性.
【突破训练】 (2012·南通模拟)如图，Ni表示第i个学生的学号，
Gi表示第i个学生的成绩，已知学号在1～10的学生的成绩依 次为 401,392,385,359,372,327,354,361,345,337 ，则打印出的 第5组数据是________．
解析
打印出的第 5组数据是学号为 8 号，且成绩为361 ，故结
果是8,361. 答案 8,361
专题一 70分填空题大
突破与解题技法
考查流程图与伪代码
【示例】► (2012·南京、盐城模拟) 根 据如图所示的流程图，若输
入 x 的值为－ 7.5 ，则输出 y 的值
为________． 解析 当x＝－7.5时，运行一次，
x ＝－ 5.5 ，继续循环，直到 x ＝ 0.5时跳出循环，此时y＝－1.
(新课程)高中数学二轮复习 (专题定位+应考策略)第二部分 洞察高考43个热点(含解析)
第二部分洞察高考43个热点专题一高考中选择题、填空题解题能力突破【专题定位】1．选择题、填空题的分值约占试题总分值的“半壁江山”，得选择题可谓“得天下”．选择题看似简单，但要想获取高分，也不是一件轻而易举的事情，所以，在临近高考时适当加大选择题和填空题训练的力度非常必要．2．近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着力考查学生的解题能力．3．填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．【应考策略】1．选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．2．选择题的主要解题技巧和方法有：①排除法；②特殊值法；③定义法；④数形结合法；⑤直接判断法．3．填空题虽题小，但跨度大、覆盖面广、形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力，要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．4．填空题的主要解题技巧和方法有：①直接法；②图解法；③特例法；④整体代换法；⑤类比、归纳法．考查集合的运算直接法直接法：所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”，直接法实际是一种“直接肯定”的解题策略．直接法是解选择、填空题最基本、最常规的方法，也是最重要的方法．【例1】► (直接法)(2012·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )．A ．3B ．6C ．8D ．10解析 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案 D【例2】► (直接法)(2012·浙江)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )．A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析 因为∁R B ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 答案 B【例3】► (直接法)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )·(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析 解不等式得集合A 、B ，再利用交集建立方程求解．因为|x ＋2|＜3，即－5＜x ＜1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m ＜1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案 －1 1命题研究：集合的交、并、补的基本运算常与一次不等式、含绝对值的不等式、一元二次不等式与函数定义域相结合命题.[押题1] 设集合M ＝{x |x 2＋x －6＜0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )． A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3]D ．[2,3]答案：A [M ＝{x |x 2＋x －6＜0}＝{x |－3＜x ＜2}，由图知：M∩N＝{x |1≤x ＜2}．][押题2] 若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪log4x ≤12，B ＝{x ||x ＋1|≥2}，则(∁R A )∩B ＝( )． A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案： B [由log 4x ≤12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤412＝2，即0＜x ≤2，故A ＝{x |0＜x ≤2}，由补集的定义，可知∁R A ＝{x |x ≤0或x ＞2}；由|x ＋1|≥2，得x ＋1≤－2或x ＋1≥2，解得x ≤－3或x ≥1，所以B ＝{x |x ≤－3或x ≥1}，所以(∁R A)∩B＝{x |x ≤－3或x ＞2}．]考查常见逻辑用语【例4】► (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案 C【例5】► (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )．A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0解析 利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0”．答案 C【例6】► (2012·山东)设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若函数f (x )＝a x在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有0＜a ＜1或1＜a ＜2，所以“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.答案 A命题研究：四种命题p ∧q 、p ∨q 、綈p 及全称命题、特称命题真假的判断，一般命题p 和含一个量词的命题p 的否定问题是常用逻辑用语的重点，也是高考考查的热点.[押题3] 下列说法正确的是( )．A ．函数f (x )＝a x＋1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(0,1) B ．函数f (x )＝x α(α＜0)在其定义域上是减函数C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0” D ．给定命题p 、q ，若綈p 是假命题，则“p 或q ”为真命题答案：D [对于选项A ，函数f (x )＝a x＋1的图象恒过定点(0,2)，故A 错误；对于选项B ，当α＝－1时结论错误，故B 错误；对于选项C ，命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”C 错误．故选D.][押题4] 已知α，β的终边在第一象限，则“α＞β ”是“sin α＞sin β ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D [当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则si n 390°＝si n 30°＝12＜si n 60°＝32，故si n α＞si n β不成立；当si n α＞si n β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“si n α＞si n β ”的既不充分也不必要条件，故选D.]考查函数的定义域、值域及解析式【例7】► (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．解析 由1－2log 6x ≥0得，log 6x ≤12，解得0＜x ≤ 6.答案 (0，6]【例8】► (2012·江西)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x ＞1，则f (f (10))＝( )．A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析 f (10)＝lg10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝1＋1＝2. 答案 B命题研究：1.函数的定义域和值域，一般和一次不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式的求解相结合.,2.对函数解析式的考查常考查分段函数求值.[押题5] 函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的定义域为________． 解析 由x 2－3x ＋2＞0得x ＞2或x ＜1. 答案 (－∞，1)∪(2，＋∞)[押题6] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋， x ＜4，则f (log 23)＝( )．A ．1 B.18 C.116 D.124答案：D [因为log 23＜4，所以f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26)，同理得f (log 26)＝f (log 26＋1)＝f (log 212)＝f (log 224)，而log 224＞log 216＝4，所以f (log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝2－log 224＝124.]考查函数的奇偶性、周期性和单调性【例9】► (2012·重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )．A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立，选D.答案 D【例10】► (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 利用复合函数的单调性的判定法则，结合函数图象求解．因为y ＝e u是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案 (－∞，1]【例11】► (特例法)(2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案 －10命题研究：1.函数的奇偶性，一般和含参的函数相结合，涉及函数的奇偶性的判断，函数图象的对称性，以及与其有关的综合计算.,2.函数的单调性，一般考查单调性的判定，单调区间的探求、单调性的应用等.[押题7] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )．A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案：A [由已知得，f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.][押题8] 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )是偶函数，则a ＝________. 解析 根据偶函数定义，有f (－x )＝f (x )， 即(－x ＋1)(－x ＋a )＝(x ＋1)(x ＋a )．取特殊值，x ＝1，则(－1＋1)(－1＋a )＝(1＋1)(1＋a )， 解得a ＝－1. 答案 －1考查函数的图象及图象变换排除法排除法：排除法，也称筛选法(或淘汰法)结合估算、特例、逻辑分析等手段否定三个选项，从而得到正确的选项．排除法适用于不易直接求解的选择题，当题目中的条件多 于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得到正确的选项，它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法．【例12】► (排除法)(2012·四川)函数y ＝a x－1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )．解析 当a ＞1时，函数y ＝a x －1a 是增函数，且图象是由函数y ＝a x的图象向下平移1a(0＜1a＜1)个单位长度得到，排除A 、B ；当0＜a ＜1时，排除C ，故选D.答案 D【例13】► (数形结合法)(2011·新课标全国)函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2 sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．8 解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt . 在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标之和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.答案 D【例14】► (排除法)(2012·山东)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )．解析 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x ＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0＜x ＜π12时，y ＝2x －2－x ＞0，cos6x ＞0，所以函数y ＝cos 6x2x －2－x ＞0，排除B ；选D.答案 D命题研究：1.函数的图象主要考查作图、识图、用图三方面的综合能力.,2.函数图象和图象变换主要涉及函数的单调性、对称性、最值、定义域、值域等知识，多以初等函数为载体.[押题9] (特例法)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )．答案： C [函数f (x )＝1＋log 2x 的图象是把函数y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位长度得到的，函数f (x )的图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，选项B 、C 、D 中的图象均符合；函数g (x )＝2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象向右平移一个单位长度得到的，函数g (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，选项A 、C 符合要求．故正确选项为C.][押题10] (特例法)函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )．答案： D [由函数是奇函数排除A 、B ，由x ＝±1时，y ＝0排除C ，选D.] 考查指数函数与对数函数【例15】► (构造法)(2012·浙江)设a ＞0，b ＞0.( )． A ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＜b解析 若2a＋2a ＝2b＋3b ，必有2a＋2a ＞2b＋2b .构造函数：f (x )＝2x＋2x ，则f ′(x )＝2x·ln 2＋2＞0恒成立，故有函数f (x )＝2x＋2x 在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立，其余选项用同样方法排除．答案 A【例16】► (排除法)(2012·全国)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )．A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x解析 因为ln π＞ln e ＝1，log 5 2＜log 5 5＝1，所以x ＞y ，故排除A 、B ；又因为log 5 2＜log 55＝12，e －12＝1e ＞12，所以z ＞y ，故排除C ，选D.答案 D命题研究：指数、对数函数主要考查图象、性质、恒过定点以及比较大小等问题. [押题11] 已知a ＝log 0.70.9，b ＝log 1.10.7，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b答案： C [因为b ＝log 1.10.7＜log 1.11＝0,0＝log 0.71＜log 0.70.9＜log 0.70.7＝1，所以0＜a ＜1，c ＝1.10.9＞1.10＝1.所以b ＜a ＜c .][押题12] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0.若f (x 0)＞3，则x 0的取值范围是( )．A ．(8，＋∞)B ．(－∞，0)∪(8，＋∞)C ．(0,8)D ．(－∞，0)∪(0,8)答案： A [若x 0≤0，得3x 0＋1＞3，∴x 0＋1＞1，x 0＞0.此时无解．若x 0＞0，得log 2x 0＞3，∴x 0＞8.综上所述，x 0＞8.]考查函数零点区间的判断及方程根的问题数形结合法数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征得出结论．图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略．图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选择．【例17】► (2012·天津)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 法一 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋1－2＝1，即f (0)·f (1)＜0，且函数f (x )在(0,1)内连续不断，故f (x )在(0,1)内的零点个数是1.法二 设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，可知B 正确． 答案 B【例18】► (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析 去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形结合的方法求解．因为函数y＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x ＞1，－x －1，－1＜x ＜1，根据图象易知，函数y ＝kx －2的图象恒过点(0，－2)，所以两个函数图象有两个交点时，0＜k ＜1或1＜k ＜4.答案 (0,1)∪(1,4)【例19】► (2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－x －x －，x ≤0，x －2－x －x －，x ＞0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0.如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0＜m ＜14.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x ＞0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，∴x 2＋x 3＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14；当x ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x ＜0，得x ＝1－34，∴1－34＜x 1＜0，∴0＜－x 1＜3－14. ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116，∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间. 2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.【押题13】 已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )．A ．x 1＞x 2＞x 3B ．x 2＞x 1＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 3＞x 2＞x 1答案： D [由f (x )＝x ＋2x ＝0，得－x ＝2x，则其零点x 1＜0；由g (x )＝x －log 12x ＝0，得x ＝log 12x ，则其零点0＜x 2＜1；由h (x )＝log 2x －x ＝0，得x ＝log 2x ，则其零点x 3＞1.因此x 1＜x 2＜x 3.][押题14] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案： 解析 函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )＝－x 2－2x (x ≤0)的最大值是1，故只要0＜m ＜1即可使方程f (x )＝m 有三个相异的实数根，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案 (0,1)考查导数的几何意义及其运算【例20】► (2010·全国Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )．A ．64B ．32C ．16D ．8解析 求导得y ′＝－12x －32(x ＞0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝－12a －32，由点斜式得切线l 的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.答案 A命题研究：重点考查利用导数的几何意义解决有关曲线的切线问题.[押题15] 如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为________．解析 由y ′＝4x 3－1，得4x 3－1＝3， 解得x ＝1，此时点P 的坐标为(1,0)． 答案 (1,0)考查利用导数解决函数的极值、最值【例21】► (2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )．A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，选D.答案 D【例22】► (2012·陕西)设函数f (x )＝x e x，则( )． A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析 求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点，所以选D.答案 D命题研究：1.利用导数求函数的单调区间、极值和最值在选择题、填空题中经常出现.,2.求多项式函数的导数，求解函数解析式中含参数的值或取值范围在选择题、填空题中也常考查.[押题16] 已知函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，则下列选项正确的是( )． A ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数f (x )有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数f (x )有极大值f (1)＝1，无极小值 答案： A [由f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1x 2＋2′＝－x ＋x －x 2＋2＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0，故x ＝－2是函数f (x )的极小值点，且f (－2)＝－12，x ＝1是函数f (x )的极大值点，且f (1)＝1.][押题17] 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，得0＜t ＜1或者2＜t ＜3.答案 (0,1)∪(2,3) 考查定积分【例23】► (2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A.2π5 B.43 C.32 D.π2解析 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)dx ＝2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 10＝43. 答案 B【例24】► (2012·山东)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 由已知得⎪⎪⎪S ＝∫a0xdx ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案 49命题研究：求曲边图形区域的面积问题，是高考考查定积分计算的常见题型，解决这类问题需要结合函数的图象，把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示.对不可分割图形面积的求解，先由图形确定积分的上、下限，然后确定被积函数，再用求定积分的方法计算面积.[押题18] 设a ＝∫π0sin xdx ，则曲线y ＝xa x＋ax －2在x ＝1处切线的斜率为________． 解析 a ＝⎠⎛0πsin xdx ＝－cosx | π0＝－(cos π－cos 0)＝2，则y ＝x ·2x＋2x －2，y ′＝2x ＋x ·2x·ln 2＋2.∴y ′| x ＝1＝2＋2ln 2＋2＝4＋2ln 2. 答案 4＋2ln 2考查利用三角函数的定义及三角公式求值【例25】► (2012·山东)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )．A .35 B .45 C .74 D .34解析 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ＜0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.答案 D【例26】► (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250.答案17250命题研究：运用三角公式化简、求值是必考内容，主要考查三角函数的定义、平方关系、两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用、变形应用及基本运算能力.[押题19] 若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝( )．A ．－145B ．－75C ．－2 D.45答案：C [∵点P 在直线y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.][押题20] 已知cos π－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α等于( )． A ．－72 B.72 C.12 D ．－12答案： D [cos π－2αsin α－π4＝－cos 2α22sin α－cos α＝sin 2α－cos 2α22sin α－cos α＝2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝－12.]考查三角函数的图象和性质【例27】► (排除法)(2010·新课标全国)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )．解析 法一 (排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，又∵d 表示点P 到x 轴距离，∴图象开始应为下降的，∴排除B ，故选C .法二 由题意知P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2；当t ＝π4时，d ＝0.故选C .答案 C【例28】► (2011·全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )．A.13B ．3C ．6D ．9 解析 将y ＝f(x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所得图象与原图象重合，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π，得ω＝－6k (k ∈Z )．又ω＞0，所以ω的最小值为6，故选C.答案 C【例29】► (2012·新课标全国)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数f (x )＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.答案 A命题研究：求函数的最小正周期，单调区间、奇偶性、定义域、值域以及复合函数的有关性质是命题的方向，多以图象变换考题为主.[押题21] 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－x 成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，则实数b 的值为( )．A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3答案：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－x ，即函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2＋b 或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝b －2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，所以b ＋2＝1或b －2＝1，即b ＝－1或3.][押题22] 函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3 sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案： ①②③考查正、余弦定理的应用【例30】► (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )．A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析 依题意可得sin 2A ·sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝2，故选D.答案 D【例31】► (2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析 ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，C ＝2π3.答案2π3命题研究：1.利用正、余弦定理解三角形的问题常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合命制，以选择题或填空题的形式进行考查；,2.利用正、余弦定理解三角形问题也常与平面向量、三角形的面积等相结合进行命题，以选择题或填空题的形式呈现.[押题23] 在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C ＝( )． A ．30° B．60° C．120° D．30°或150° 答案： A [利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C＝30°或150°.又∵∠A＝45°，且A ＋B ＋C ＝180°，∴∠C＝30°.][押题24] 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则C ＝________.解析 由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab si n C ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33si n C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33si n C ，即t an C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3. 答案π3考查平面向量的线性运算【例32】► (验证法)(2012·全国)在△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )．A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 解析 由题可知|AB →|2＝22＋12＝5，因为AC 2＝AD ·AB ，所以AD ＝AC 2AB ＝455，利用各选项进行验证可知选D.答案 D【例33】► (2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析 建立平面直角坐标系如图所示，设P (0，y )，C (0，b )，B (1，b )，A (2，0)，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2＝16y 2－24by ＋9b 2＋25(0≤y ≤b )．当y ＝－－24b 2×16＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.答案 5【例34】► (排除法)(2012·江西)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )．A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析 画出草图，可知点Q 落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，cos ∠QOP ＝－72＋－262＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝－46＋－62＋82＝－246－16100≠－22，故选A.答案 A命题研究：1.结合向量的坐标运算求向量的模； 2.结合平面向量基本定理考查向量的线性运算； 3.结合向量的垂直与共线等知识求解参数.[押题25] (特例法)(2012·安庆模拟)设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析 采用特殊位置，可令△ABC 为正三角形， 则根据OA →＋OC →＝－2OB →可知，O 是△ABC 的中心，则OA ＝OB ＝OC ，所以△AOB ≌△AOC ，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1. 答案 1[押题26] 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________. 解析 ∵AP →＝2PM →，∴|AP →||PM →|＝2，∴P 为△ABC 的重心．又知PB →＋PC →＝2PM →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PM →＝－4|PM →|2＝－49.答案 －49考查不等式的性质与解法特例法特例法：根据题设和各选项的具体情况，选取满足条件的特殊值、特殊集合、特殊点、特殊图形、特殊位置状态等，针对各选项进行代入对照或检验，从而得到正确的判断的方法称为特例法．运用特例法时，要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件； (2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选择某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到排除所有的错误选项得到正确选项为止．【例35】► (特例法)(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9.答案 9【例36】► (特例法)(2012·广州模拟)若函数f (x )＝x 2＋(2a ＋1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ＜－32或a ＞12B ．－32＜a ＜12C ．a ＞－12D ．a ＜－12解析 取a ＝0，则函数化为f (x )＝x 2＋|x |＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B 和C ；再取a ＝1，则函数化为f (x )＝x 2＋3|x |＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A.故选D.答案 D命题研究：1.与指数、对数函数相结合比较大小；2.简单不等式的解法，特别是一元二次不等式的解法，主要是与函数的定义域、值域相结合的试题；3.不等式恒成立问题也是高考常考的.[押题27] 已知a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中成立的是( )． A.a b＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b 答案：D [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，C.][押题28] 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为( )．A ．{x |－2＜x ＜1}B ．{x |－1＜x ＜2}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＜12或x ＞2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜2答案：D [由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝－1，c a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.]考查基本不等式【例37】► (特值法)(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )． A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 答案 C【例38】► (2010·四川)设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( )．A ．2B ．4C ．2 5D ．5 解析 原式＝a 2＋1ab＋1a a －b＋a 2－10ac ＋25c 2＝a 2＋1ba －b＋(a －5c )2≥a 2＋4a 2＋0≥4，当且仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a ＝2，即a ＝2b ＝5c ＝2时“＝”成立，故原式的最小值为4，选B.答案 B命题研究：基本不等式a ＋b2≥ ab a ，b ＞与不等式ab ≤≤a 2＋b 22a ，b ∈R 的简单应用是高考常考问题，常以选择题、填空题的形式考查，在解答题中也经常考查.[押题29] 若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )． A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18答案：D [取a ＝1，b ＝3分别代入各个选项，易得只有D 选项满足题意．] [押题30] 已知x ＞0，y ＞0，x lg 2＋y lg 8＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．解析 因为x lg 2＋y lg 8＝lg 2x＋lg 23y＝lg(2x ·23y )＝lg 2x ＋3y＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当3y x ＝x3y，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故1x ＋13y的最小值是4. 答案 4考查简单的线性规划【例39】► (2012·广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )．A ．12B ．11C ．3D ．－1解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时，z ＝y ＋3x ＝11.答案 B【例40】► (2012·福建)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )．A.12 B ．1 C.32D ．2解析 可行域如图中的阴影部分所示，函数y ＝2x的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x ＝m 经过点(1,2)时，实数m 取到最大值为1，应选B.答案 B命题研究：可行域是二元一次不等式组表示的区域，求目标函数一般是简单函数的最优解问题或求含参数的参数值或范围.[押题31] 甲、乙、丙三种食物的维生素A 、维生素D 的含量及成本如下表：并使混合食物中至少含有560单位维生素A 和630单位维生素D ，则成本最低为( )．A ．84元B ．85元C ．86元D ．88元答案：B [设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x 千克、y 千克、z 千克，混合食物的成本为p 元，则z ＝10－x －y ，p ＝11x ＋9y ＋4z ＝11x ＋9y ＋4×(10－x －y )＝7x ＋5y ＋40，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ＋40z ≥560，80x ＋40y ＋50z ≥630，x≥0，y ≥0，z ＝10－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －16≥0，3x －y －13≥0，x ≥0，y≥0，x ＋y ≤10，作出可行域(如图)，当直线p ＝7x ＋5y ＋40经过点A 时，它在y 轴上的截距最小，即p 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝13，2x ＋3y ＝16，得x ＝5，y ＝2，故点A 的坐标为(5,2)，所以p m i n ＝7×5＋5×2＋40＝85.][押题32] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数z ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )．A ．－2B ．0C ．1D ．2答案： D [要使目标函数z ＝x －2y 取得最大值，只需直线y ＝12x －z2在y 轴上的截距－z2最小，当目标函数z ＝x －2y ＝2时，其对应的直线在y 轴上的截距为－1，过点(2,0)，结合图形知，点(2,0)为直线x ＝2与x ＋2y －a ＝0的交点，则2＋2×0－a ＝0，得a ＝2，选故D.]考查等差数列【例41】► (排除法)(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除A 、D ，又由a n ＝n2(n ＋1)知a n 必为奇数，故选C.答案 C【例42】► (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解析 设等差数列的公差为d ，则2a 1＋d ＝a 1＋2d ，把a 1＝12代入得d ＝12，所以a 2＝a 1＋d ＝1.S n ＝na 1＋n n －2d ＝14n (n ＋1)．答案 1 14n (n ＋1)命题研究：1.利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式解决等差数列的问题.利用等差数列的性质解题时要进行灵活变形，尤其是中项公式的运用.,2.在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题.[押题33] 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11＜0，a 10·a 11＜0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )．A ．20B ．17C ．19D ．21答案： C [由a 9＋3a 11＜0得，2a 10＋2a 11＜0，即a 10＋a 11＜0，又a 10·a 11＜0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10＞0，a 11＜0，所以S 19＝a 1＋a 192＝19a 10＞0，S 20＝a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0.][押题34] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1＋a 5＝8，则S 6＝________. 解析 由a 2＝2，得a 1＋d ＝2，由 a 1＋a 5＝8＝2a 3，即a 3＝4，得a 1＋2d ＝4，解得a 1＝0，。
(新课程)高中数学二轮复习 (专题定位+应考策略)第二部分 洞察高考43个热点(含解析)
第二部分洞察高考43个热点专题一高考中选择题、填空题解题能力突破【专题定位】1．选择题、填空题的分值约占试题总分值的“半壁江山”，得选择题可谓“得天下”．选择题看似简单，但要想获取高分，也不是一件轻而易举的事情，所以，在临近高考时适当加大选择题和填空题训练的力度非常必要．2．近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着力考查学生的解题能力．3．填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．【应考策略】1．选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．2．选择题的主要解题技巧和方法有：①排除法；②特殊值法；③定义法；④数形结合法；⑤直接判断法．3．填空题虽题小，但跨度大、覆盖面广、形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力，要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．4．填空题的主要解题技巧和方法有：①直接法；②图解法；③特例法；④整体代换法；⑤类比、归纳法．考查集合的运算直接法直接法：所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”，直接法实际是一种“直接肯定”的解题策略．直接法是解选择、填空题最基本、最常规的方法，也是最重要的方法．【例1】► (直接法)(2012·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )．A ．3B ．6C ．8D ．10解析 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案 D【例2】► (直接法)(2012·浙江)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )．A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析 因为∁R B ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 答案 B【例3】► (直接法)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )·(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析 解不等式得集合A 、B ，再利用交集建立方程求解．因为|x ＋2|＜3，即－5＜x ＜1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m ＜1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案 －1 1命题研究：集合的交、并、补的基本运算常与一次不等式、含绝对值的不等式、一元二次不等式与函数定义域相结合命题.[押题1] 设集合M ＝{x |x 2＋x －6＜0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )． A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3]D ．[2,3]答案：A [M ＝{x |x 2＋x －6＜0}＝{x |－3＜x ＜2}，由图知：M∩N＝{x |1≤x ＜2}．][押题2] 若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪log4x ≤12，B ＝{x ||x ＋1|≥2}，则(∁R A )∩B ＝( )． A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案： B [由log 4x ≤12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤412＝2，即0＜x ≤2，故A ＝{x |0＜x ≤2}，由补集的定义，可知∁R A ＝{x |x ≤0或x ＞2}；由|x ＋1|≥2，得x ＋1≤－2或x ＋1≥2，解得x ≤－3或x ≥1，所以B ＝{x |x ≤－3或x ≥1}，所以(∁R A)∩B＝{x |x ≤－3或x ＞2}．]考查常见逻辑用语【例4】► (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案 C【例5】► (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )．A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0解析 利用“全称命题的否定是特称命题”求解．命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0”．答案 C【例6】► (2012·山东)设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若函数f (x )＝a x在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有0＜a ＜1或1＜a ＜2，所以“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.答案 A命题研究：四种命题p ∧q 、p ∨q 、綈p 及全称命题、特称命题真假的判断，一般命题p 和含一个量词的命题p 的否定问题是常用逻辑用语的重点，也是高考考查的热点.[押题3] 下列说法正确的是( )．A ．函数f (x )＝a x＋1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点(0,1) B ．函数f (x )＝x α(α＜0)在其定义域上是减函数C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0” D ．给定命题p 、q ，若綈p 是假命题，则“p 或q ”为真命题答案：D [对于选项A ，函数f (x )＝a x＋1的图象恒过定点(0,2)，故A 错误；对于选项B ，当α＝－1时结论错误，故B 错误；对于选项C ，命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”C 错误．故选D.][押题4] 已知α，β的终边在第一象限，则“α＞β ”是“sin α＞sin β ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D [当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则si n 390°＝si n 30°＝12＜si n 60°＝32，故si n α＞si n β不成立；当si n α＞si n β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“si n α＞si n β ”的既不充分也不必要条件，故选D.]考查函数的定义域、值域及解析式【例7】► (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．解析 由1－2log 6x ≥0得，log 6x ≤12，解得0＜x ≤ 6.答案 (0，6]【例8】► (2012·江西)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x ＞1，则f (f (10))＝( )．A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析 f (10)＝lg10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝1＋1＝2. 答案 B命题研究：1.函数的定义域和值域，一般和一次不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式的求解相结合.,2.对函数解析式的考查常考查分段函数求值.[押题5] 函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的定义域为________． 解析 由x 2－3x ＋2＞0得x ＞2或x ＜1. 答案 (－∞，1)∪(2，＋∞)[押题6] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋， x ＜4，则f (log 23)＝( )．A ．1 B.18 C.116 D.124答案：D [因为log 23＜4，所以f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26)，同理得f (log 26)＝f (log 26＋1)＝f (log 212)＝f (log 224)，而log 224＞log 216＝4，所以f (log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝2－log 224＝124.]考查函数的奇偶性、周期性和单调性【例9】► (2012·重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )．A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立，选D.答案 D【例10】► (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 利用复合函数的单调性的判定法则，结合函数图象求解．因为y ＝e u是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案 (－∞，1]【例11】► (特例法)(2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案 －10命题研究：1.函数的奇偶性，一般和含参的函数相结合，涉及函数的奇偶性的判断，函数图象的对称性，以及与其有关的综合计算.,2.函数的单调性，一般考查单调性的判定，单调区间的探求、单调性的应用等.[押题7] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )．A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案：A [由已知得，f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.][押题8] 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )是偶函数，则a ＝________. 解析 根据偶函数定义，有f (－x )＝f (x )， 即(－x ＋1)(－x ＋a )＝(x ＋1)(x ＋a )．取特殊值，x ＝1，则(－1＋1)(－1＋a )＝(1＋1)(1＋a )， 解得a ＝－1. 答案 －1考查函数的图象及图象变换排除法排除法：排除法，也称筛选法(或淘汰法)结合估算、特例、逻辑分析等手段否定三个选项，从而得到正确的选项．排除法适用于不易直接求解的选择题，当题目中的条件多 于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得到正确的选项，它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法．【例12】► (排除法)(2012·四川)函数y ＝a x－1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )．解析 当a ＞1时，函数y ＝a x －1a 是增函数，且图象是由函数y ＝a x的图象向下平移1a(0＜1a＜1)个单位长度得到，排除A 、B ；当0＜a ＜1时，排除C ，故选D.答案 D【例13】► (数形结合法)(2011·新课标全国)函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2 sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．8 解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt . 在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标之和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.答案 D【例14】► (排除法)(2012·山东)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )．解析 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x ＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0＜x ＜π12时，y ＝2x －2－x ＞0，cos6x ＞0，所以函数y ＝cos 6x2x －2－x ＞0，排除B ；选D.答案 D命题研究：1.函数的图象主要考查作图、识图、用图三方面的综合能力.,2.函数图象和图象变换主要涉及函数的单调性、对称性、最值、定义域、值域等知识，多以初等函数为载体.[押题9] (特例法)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )．答案： C [函数f (x )＝1＋log 2x 的图象是把函数y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位长度得到的，函数f (x )的图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，选项B 、C 、D 中的图象均符合；函数g (x )＝2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象向右平移一个单位长度得到的，函数g (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，选项A 、C 符合要求．故正确选项为C.][押题10] (特例法)函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )．答案： D [由函数是奇函数排除A 、B ，由x ＝±1时，y ＝0排除C ，选D.] 考查指数函数与对数函数【例15】► (构造法)(2012·浙江)设a ＞0，b ＞0.( )． A ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＜b解析 若2a＋2a ＝2b＋3b ，必有2a＋2a ＞2b＋2b .构造函数：f (x )＝2x＋2x ，则f ′(x )＝2x·ln 2＋2＞0恒成立，故有函数f (x )＝2x＋2x 在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立，其余选项用同样方法排除．答案 A【例16】► (排除法)(2012·全国)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )．A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x解析 因为ln π＞ln e ＝1，log 5 2＜log 5 5＝1，所以x ＞y ，故排除A 、B ；又因为log 5 2＜log 55＝12，e －12＝1e ＞12，所以z ＞y ，故排除C ，选D.答案 D命题研究：指数、对数函数主要考查图象、性质、恒过定点以及比较大小等问题. [押题11] 已知a ＝log 0.70.9，b ＝log 1.10.7，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b答案： C [因为b ＝log 1.10.7＜log 1.11＝0,0＝log 0.71＜log 0.70.9＜log 0.70.7＝1，所以0＜a ＜1，c ＝1.10.9＞1.10＝1.所以b ＜a ＜c .][押题12] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0.若f (x 0)＞3，则x 0的取值范围是( )．A ．(8，＋∞)B ．(－∞，0)∪(8，＋∞)C ．(0,8)D ．(－∞，0)∪(0,8)答案： A [若x 0≤0，得3x 0＋1＞3，∴x 0＋1＞1，x 0＞0.此时无解．若x 0＞0，得log 2x 0＞3，∴x 0＞8.综上所述，x 0＞8.]考查函数零点区间的判断及方程根的问题数形结合法数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征得出结论．图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略．图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结果．不过，运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象会导致错误的选择．【例17】► (2012·天津)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 法一 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋1－2＝1，即f (0)·f (1)＜0，且函数f (x )在(0,1)内连续不断，故f (x )在(0,1)内的零点个数是1.法二 设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，可知B 正确． 答案 B【例18】► (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析 去掉绝对值转化为分段函数后，作出图象利用数形结合的方法求解．因为函数y＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x ＞1，－x －1，－1＜x ＜1，根据图象易知，函数y ＝kx －2的图象恒过点(0，－2)，所以两个函数图象有两个交点时，0＜k ＜1或1＜k ＜4.答案 (0,1)∪(1,4)【例19】► (2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R ) 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－x －x －，x ≤0，x －2－x －x －，x ＞0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0.如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0＜m ＜14.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x ＞0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，∴x 2＋x 3＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14；当x ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x ＜0，得x ＝1－34，∴1－34＜x 1＜0，∴0＜－x 1＜3－14. ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116，∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0命题研究：1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间. 2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.【押题13】 已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )．A ．x 1＞x 2＞x 3B ．x 2＞x 1＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 3＞x 2＞x 1答案： D [由f (x )＝x ＋2x ＝0，得－x ＝2x，则其零点x 1＜0；由g (x )＝x －log 12x ＝0，得x ＝log 12x ，则其零点0＜x 2＜1；由h (x )＝log 2x －x ＝0，得x ＝log 2x ，则其零点x 3＞1.因此x 1＜x 2＜x 3.][押题14] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案： 解析 函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )＝－x 2－2x (x ≤0)的最大值是1，故只要0＜m ＜1即可使方程f (x )＝m 有三个相异的实数根，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案 (0,1)考查导数的几何意义及其运算【例20】► (2010·全国Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )．A ．64B ．32C ．16D ．8解析 求导得y ′＝－12x －32(x ＞0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝－12a －32，由点斜式得切线l 的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.答案 A命题研究：重点考查利用导数的几何意义解决有关曲线的切线问题.[押题15] 如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为________．解析 由y ′＝4x 3－1，得4x 3－1＝3， 解得x ＝1，此时点P 的坐标为(1,0)． 答案 (1,0)考查利用导数解决函数的极值、最值【例21】► (2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )．A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，选D.答案 D【例22】► (2012·陕西)设函数f (x )＝x e x，则( )． A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析 求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点，所以选D.答案 D命题研究：1.利用导数求函数的单调区间、极值和最值在选择题、填空题中经常出现.,2.求多项式函数的导数，求解函数解析式中含参数的值或取值范围在选择题、填空题中也常考查.[押题16] 已知函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，则下列选项正确的是( )． A ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数f (x )有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数f (x )有极大值f (1)＝1，无极小值 答案： A [由f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1x 2＋2′＝－x ＋x －x 2＋2＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0，故x ＝－2是函数f (x )的极小值点，且f (－2)＝－12，x ＝1是函数f (x )的极大值点，且f (1)＝1.][押题17] 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，得0＜t ＜1或者2＜t ＜3.答案 (0,1)∪(2,3) 考查定积分【例23】► (2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A.2π5 B.43 C.32 D.π2解析 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)dx ＝2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 10＝43. 答案 B【例24】► (2012·山东)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 由已知得⎪⎪⎪S ＝∫a0xdx ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案 49命题研究：求曲边图形区域的面积问题，是高考考查定积分计算的常见题型，解决这类问题需要结合函数的图象，把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示.对不可分割图形面积的求解，先由图形确定积分的上、下限，然后确定被积函数，再用求定积分的方法计算面积.[押题18] 设a ＝∫π0sin xdx ，则曲线y ＝xa x＋ax －2在x ＝1处切线的斜率为________． 解析 a ＝⎠⎛0πsin xdx ＝－cosx | π0＝－(cos π－cos 0)＝2，则y ＝x ·2x＋2x －2，y ′＝2x ＋x ·2x·ln 2＋2.∴y ′| x ＝1＝2＋2ln 2＋2＝4＋2ln 2. 答案 4＋2ln 2考查利用三角函数的定义及三角公式求值【例25】► (2012·山东)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )．A .35 B .45 C .74 D .34解析 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ＜0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.答案 D【例26】► (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250.答案17250命题研究：运用三角公式化简、求值是必考内容，主要考查三角函数的定义、平方关系、两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用、变形应用及基本运算能力.[押题19] 若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝( )．A ．－145B ．－75C ．－2 D.45答案：C [∵点P 在直线y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.][押题20] 已知cos π－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α等于( )． A ．－72 B.72 C.12 D ．－12答案： D [cos π－2αsin α－π4＝－cos 2α22sin α－cos α＝sin 2α－cos 2α22sin α－cos α＝2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝－12.]考查三角函数的图象和性质【例27】► (排除法)(2010·新课标全国)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )．解析 法一 (排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，又∵d 表示点P 到x 轴距离，∴图象开始应为下降的，∴排除B ，故选C .法二 由题意知P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，当t ＝0时，d ＝2；当t ＝π4时，d ＝0.故选C .答案 C【例28】► (2011·全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )．A.13B ．3C ．6D ．9 解析 将y ＝f(x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所得图象与原图象重合，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π，得ω＝－6k (k ∈Z )．又ω＞0，所以ω的最小值为6，故选C.答案 C【例29】► (2012·新课标全国)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数f (x )＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.答案 A命题研究：求函数的最小正周期，单调区间、奇偶性、定义域、值域以及复合函数的有关性质是命题的方向，多以图象变换考题为主.[押题21] 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－x 成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，则实数b 的值为( )．A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3答案：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－x ，即函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2＋b 或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝b －2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，所以b ＋2＝1或b －2＝1，即b ＝－1或3.][押题22] 函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3 sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案： ①②③考查正、余弦定理的应用【例30】► (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )．A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析 依题意可得sin 2A ·sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝2，故选D.答案 D【例31】► (2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析 ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，C ＝2π3.答案2π3命题研究：1.利用正、余弦定理解三角形的问题常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合命制，以选择题或填空题的形式进行考查；,2.利用正、余弦定理解三角形问题也常与平面向量、三角形的面积等相结合进行命题，以选择题或填空题的形式呈现.[押题23] 在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C ＝( )． A ．30° B．60° C．120° D．30°或150° 答案： A [利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C＝30°或150°.又∵∠A＝45°，且A ＋B ＋C ＝180°，∴∠C＝30°.][押题24] 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则C ＝________.解析 由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab si n C ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33si n C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33si n C ，即t an C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3. 答案π3考查平面向量的线性运算【例32】► (验证法)(2012·全国)在△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )．A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 解析 由题可知|AB →|2＝22＋12＝5，因为AC 2＝AD ·AB ，所以AD ＝AC 2AB ＝455，利用各选项进行验证可知选D.答案 D【例33】► (2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析 建立平面直角坐标系如图所示，设P (0，y )，C (0，b )，B (1，b )，A (2，0)，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2＝16y 2－24by ＋9b 2＋25(0≤y ≤b )．当y ＝－－24b 2×16＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.答案 5【例34】► (排除法)(2012·江西)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )．A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析 画出草图，可知点Q 落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，cos ∠QOP ＝－72＋－262＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝－46＋－62＋82＝－246－16100≠－22，故选A.答案 A命题研究：1.结合向量的坐标运算求向量的模； 2.结合平面向量基本定理考查向量的线性运算； 3.结合向量的垂直与共线等知识求解参数.[押题25] (特例法)(2012·安庆模拟)设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析 采用特殊位置，可令△ABC 为正三角形， 则根据OA →＋OC →＝－2OB →可知，O 是△ABC 的中心，则OA ＝OB ＝OC ，所以△AOB ≌△AOC ，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1. 答案 1[押题26] 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________. 解析 ∵AP →＝2PM →，∴|AP →||PM →|＝2，∴P 为△ABC 的重心．又知PB →＋PC →＝2PM →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PM →＝－4|PM →|2＝－49.答案 －49考查不等式的性质与解法特例法特例法：根据题设和各选项的具体情况，选取满足条件的特殊值、特殊集合、特殊点、特殊图形、特殊位置状态等，针对各选项进行代入对照或检验，从而得到正确的判断的方法称为特例法．运用特例法时，要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件； (2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选择某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到排除所有的错误选项得到正确选项为止．【例35】► (特例法)(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9.答案 9【例36】► (特例法)(2012·广州模拟)若函数f (x )＝x 2＋(2a ＋1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ＜－32或a ＞12B ．－32＜a ＜12C ．a ＞－12D ．a ＜－12解析 取a ＝0，则函数化为f (x )＝x 2＋|x |＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B 和C ；再取a ＝1，则函数化为f (x )＝x 2＋3|x |＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A.故选D.答案 D命题研究：1.与指数、对数函数相结合比较大小；2.简单不等式的解法，特别是一元二次不等式的解法，主要是与函数的定义域、值域相结合的试题；3.不等式恒成立问题也是高考常考的.[押题27] 已知a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中成立的是( )． A.a b＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b 答案：D [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，C.][押题28] 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 的解集为( )．A ．{x |－2＜x ＜1}B ．{x |－1＜x ＜2}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＜12或x ＞2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜2答案：D [由题意可知a ＞0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝－1，c a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 可化为－2ax2＋ax ＋a ＞－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.]考查基本不等式【例37】► (特值法)(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )． A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 答案 C【例38】► (2010·四川)设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( )．A ．2B ．4C ．2 5D ．5 解析 原式＝a 2＋1ab＋1a a －b＋a 2－10ac ＋25c 2＝a 2＋1ba －b＋(a －5c )2≥a 2＋4a 2＋0≥4，当且仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a ＝2，即a ＝2b ＝5c ＝2时“＝”成立，故原式的最小值为4，选B.答案 B命题研究：基本不等式a ＋b2≥ ab a ，b ＞与不等式ab ≤≤a 2＋b 22a ，b ∈R 的简单应用是高考常考问题，常以选择题、填空题的形式考查，在解答题中也经常考查.[押题29] 若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )． A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18答案：D [取a ＝1，b ＝3分别代入各个选项，易得只有D 选项满足题意．] [押题30] 已知x ＞0，y ＞0，x lg 2＋y lg 8＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．解析 因为x lg 2＋y lg 8＝lg 2x＋lg 23y＝lg(2x ·23y )＝lg 2x ＋3y＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当3y x ＝x3y，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故1x ＋13y的最小值是4. 答案 4考查简单的线性规划【例39】► (2012·广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )．A ．12B ．11C ．3D ．－1解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时，z ＝y ＋3x ＝11.答案 B【例40】► (2012·福建)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )．A.12 B ．1 C.32D ．2解析 可行域如图中的阴影部分所示，函数y ＝2x的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x ＝m 经过点(1,2)时，实数m 取到最大值为1，应选B.答案 B命题研究：可行域是二元一次不等式组表示的区域，求目标函数一般是简单函数的最优解问题或求含参数的参数值或范围.[押题31] 甲、乙、丙三种食物的维生素A 、维生素D 的含量及成本如下表：并使混合食物中至少含有560单位维生素A 和630单位维生素D ，则成本最低为( )．A ．84元B ．85元C ．86元D ．88元答案：B [设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x 千克、y 千克、z 千克，混合食物的成本为p 元，则z ＝10－x －y ，p ＝11x ＋9y ＋4z ＝11x ＋9y ＋4×(10－x －y )＝7x ＋5y ＋40，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ＋40z ≥560，80x ＋40y ＋50z ≥630，x≥0，y ≥0，z ＝10－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －16≥0，3x －y －13≥0，x ≥0，y≥0，x ＋y ≤10，作出可行域(如图)，当直线p ＝7x ＋5y ＋40经过点A 时，它在y 轴上的截距最小，即p 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝13，2x ＋3y ＝16，得x ＝5，y ＝2，故点A 的坐标为(5,2)，所以p m i n ＝7×5＋5×2＋40＝85.][押题32] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数z ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )．A ．－2B ．0C ．1D ．2答案： D [要使目标函数z ＝x －2y 取得最大值，只需直线y ＝12x －z2在y 轴上的截距－z2最小，当目标函数z ＝x －2y ＝2时，其对应的直线在y 轴上的截距为－1，过点(2,0)，结合图形知，点(2,0)为直线x ＝2与x ＋2y －a ＝0的交点，则2＋2×0－a ＝0，得a ＝2，选故D.]考查等差数列【例41】► (排除法)(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除A 、D ，又由a n ＝n2(n ＋1)知a n 必为奇数，故选C.答案 C【例42】► (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解析 设等差数列的公差为d ，则2a 1＋d ＝a 1＋2d ，把a 1＝12代入得d ＝12，所以a 2＝a 1＋d ＝1.S n ＝na 1＋n n －2d ＝14n (n ＋1)．答案 1 14n (n ＋1)命题研究：1.利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式解决等差数列的问题.利用等差数列的性质解题时要进行灵活变形，尤其是中项公式的运用.,2.在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题.[押题33] 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11＜0，a 10·a 11＜0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )．A ．20B ．17C ．19D ．21答案： C [由a 9＋3a 11＜0得，2a 10＋2a 11＜0，即a 10＋a 11＜0，又a 10·a 11＜0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10＞0，a 11＜0，所以S 19＝a 1＋a 192＝19a 10＞0，S 20＝a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0.][押题34] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1＋a 5＝8，则S 6＝________. 解析 由a 2＝2，得a 1＋d ＝2，由 a 1＋a 5＝8＝2a 3，即a 3＝4，得a 1＋2d ＝4，解得a 1＝0，。
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专题二90分解答题大冲关与评分细则【专题定位】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题【示例】► (2012·苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD 中，利用余弦定理求cos ∠CAD ，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝5013×10＝513.(2分) (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65， 由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－6522×10×5＝35.(4分) 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.(6分) (3)由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝ 1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.(8分) 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665.(11分) 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.(14分)评分细则没有写cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|直接计算的，扣1分不交代∠CAD的范围的，扣1分；不交代∠BAC 范围的，扣1分. 【突破训练】 (2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2，－sin C ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，2sin C ，且m ⊥n . (1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0.则2cos 2C 2－2sin 2C ＝0.(2分) (阅卷说明：无中间分)∵C ∈(0，π)，∴cos C 2＞0，sin C ＞0.∴cos C 2＝sin C (4分) (阅卷说明：得到2cos 2C ＋cos C －1＝0也得2分) 则sin C 2＝12.(6分) 又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C 2＝π6.则C ＝π3.(8分) (阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)∵C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又∵a 2＝2b 2＋c 2，∴a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab .则a ＝3b .(10分)由正弦定理，得sin A ＝3sin B ．(11分)∵C ＝π3，∴sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .(12分) 即sin A ＝－33cos A ．(13分)∵cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0，∴tan A ＝－3 3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】1．解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律．2．解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决．3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性．4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化．善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事【示例】► (2012·南师大附中阶段检测)如图，四棱椎P ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE .解题突破 (1)由E ，F 分别为AB ，PC 中点．取PD 的中点M ，再证四边形AEMF 是平行四边形．(2)在矩形ABCD 中，根据AB ＝2BC ，可得DA AE ＝CD DA，从而可证△DAE ∽△CDA .再证明DE ⊥AC ，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC ⊥平面PDE .证明 (1)法一 取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD . 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM .(5分)又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .(7分)法二 连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE .又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ，所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP .(5分)又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .(7分)法三 取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD .(2分)因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ，所以FQ ∥平面PAD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD .(5分)因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(7分)(2)设AC ，DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CD DA ＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .(9分)因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ，(12分)又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .(14分)评分细则 第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；第二问，不用平面几何知识证明DE ⊥AC ，扣2分.【突破训练】 (2012·南师附中统测)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝63，E 是PB 上任意一点．(1)求证：AC ⊥DE ；(2)当△AEC 面积的最小值是9时，求证：EC ⊥平面PAB .(1)证明 连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .(4分)又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面PDB ，E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE .(7分)(2)解 连ED .由(1)知AC ⊥平面PDB ，EF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .S △ACE ＝12×6×EF ＝9，解得EF ＝3，(10分)由PB ⊥EF 且PB ⊥AC 得PB ⊥平面AEC ，则PB ⊥EC ，又由EF ＝AF ＝FC ＝3得EC ⊥AE ，而PB ∩AE ＝E ，故EC ⊥平面PAB .(14分)【抢分秘诀】(1)在解答中，遵循先证明后计算的原则．注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程．(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性．有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证．(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的表述为示范，尽快地掌握要领．各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误．重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！(4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论．因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础．看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题【例1】► (2012·南京高三调研)经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u (单位：L)与速度v (单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100v ＋23，0＜v ≤50，v 2500＋20，v ＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y (元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破 由u 是关于v 的分段函数，得y 也是关于v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝ ⎛⎭⎪⎫100v ＋23＋300·400v ＝123 000v＋690， 当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 123 000v ＋690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(8分)(2)当0＜v ≤50时，y ＝123 000v＋690是单调减函数， 故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150； 当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v ＋600(v ＞50)由y ′＝3v 25－120 000v 2＝v 3－10625v 2＝0，得v ＝100 当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v＋600单调递减． 所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400由于3 150＞2 400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)评分细则 第一问，有一段求解错误的，扣4分； 第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。