不等式证明和著名不等式知识梳理和典型练习题(含答案).doc

不等式的证明及著名不等式
一、知识梳理
1.三个正数的算术一几何平均不等式
⑴定理如果a, b, c均为正数，那么智必当II仅当___________________________
时，等号成立.
即三个正数的算术平均________ 它们的几何平均.
（2）基本不等式的推广
对于n个正数⑦，血，…，如，它们的算术平均__________ 它们的几何平均，即
血+血十…+给—勺*2…S当且仅当____________________ 时，等号成立.
2.柯西不等式
一、二维形式的柯西不等式
定理1 （二维形式的柯西不等式若％C,d都是实数则（tr+/72）（c2+J2）>（tzc+M2
当且仅％〃=加朮等号成立
二维形式的柯西不等式的变式：⑴如+戸・牯+〃2 > \ac + bd\
（2）J/+方2 • ^J e2+d2 > kd + \hd\
定理2 （柯西不等式的向量形述
设a,0是两个向量则Q・0 < a p・
当且仅当B是零向量或存在实数I,使5 =帀时，等号成立
平面向量坐标代入得二维形式的柯西不等乂卧+&）（斤+比）>（a{b^a2b2）2 当且仅当=勺勺时，等号成立
将空间向量的坐标代入得三维形式的柯西不等心
（a； + + a；）（b「+ + b?） n+ ajbr +
当且仅车，族线时，即p = 或存在一个数:，使得=他（心1,2,3）时，等号成立定理3 （二维形式的三角不等式i^x1,y1,x2,y2 eR,
那么JX： + ）彳 + J兀;+ y； 2 J（X] —兀2）2 +（歹| 一力）2
二、一般形式的柯西不等式
定理(一般形式的柯西不等式
设q,如刎…卫小勺厶,$,•••&是实数则(a； +& +・・・+a；)(q2 +b；+・・・b：)X(a l bi +・・・a血尸
当且仅当勺=0(/= 1,2,•••,«)或存在一个数t,使得q =純Q = 1,2,…,兀)时,等号成立
三、排序不等式
定理(排序不等式或称排序原1)
设坷<a2 5・・・£a n,b\ <b2<•••</?,,为两组实数eg,…,c”是勺厶,…,b”的任一排列那么
a}b n 4- a2b n_{ + • • • + a n b} < a x c x + a2c2 + • • • + a n c n < a}b} + a2b2 + • • • + a n b n,即反序和5 乱序和S 顺序和, 当且仅当Q] =0 =••• = %或勺二/?2二…二〃“时,反序和等丁•顺序和
3.贝努利不等式f “
若xUR,且x>—1,好0, n>\, nGN,则(1+兀)">1+ .
4 •证明不等式的方法
⑴比较法
①作差：知道a>b<^a—b>0, a<b<^ci~b<Q,因此要证明a>b,只要证明__________
即可，这种方法称为求差比较法.
②作商：由a>b>0<^> 1 K a>0, b>0,因此当a>0, b>0时要证明a>b,只要证
明_____ 即可，这种方法称为求商比较法.
(2)综合法与分析法；
(3)反证法、放缩法；
(4)数学归纳法.
对于一个与白然数相关的命题集合，如果：
①正明起始命题n = /?()成立；
②®设n = k时命题成立，证明n = k + l也成立；
那么可以断定该命题对一切自然数成立.
二.练习
1.(2013-陕西)己知a, b, m, n均为正数，且a+h=l f mn = 2,贝I」
(am+bn)(bm+an)的最小值为__________ .
答案2
解析由柯西不等式(a1+/?2)(<?2+^}>{ac+hd)2,当且仅当ad=hc时成立，得(a 加+bn)(bm+寸頑・込^ + 书办网)？ = mn{a+/?)?=2.
2.［2014-陕西卷］设d, b, m, M ER,且a2+b2=5f ma+nb=5,则的
最小值为_______ ・
［解析］由柯西不等式可知(/+/?2)(m2+n2)>(mf/+nbf,即5(m2+n2)>25,当且仅当an=bm吋,等号成立，所以寸屏+/养卩.
3.若G,b,c€(0, +oo),且a+b+c=i f则辺+观+&的最大值为____________________ .
答案萌
解析(辺+观+讥)2=(1><&+ lx 远+ lxV?-)2<(l2+12+ 12)(6/+Z?+C)=3.当且仅当a=b=c=^时，等号成立.
4.(2012-福建)已知函数Xx)=m-|x-2|,朋R,且/x+2)>0的解集为［一1,1］・
(1)求加的值;
(2)若a, b, cGR+,且方+五+±=加'求证：a+2b+3c>9.
审题破题⑴从解不等式Xx+2)>0出发，将解集和［一1,1］对照求加；(2)利用柯西不等式证明.
⑴解因为Xx+2)=m-M， X^+2)>0 等价于\x\<m.
由|尤曰72有解，得陀0,且其解集为｛%| —
又Ax+2)>0的解集为［一1,1］,故m=\.
⑵证明由⑴知»+寺+圭T，
又°,方，ceR ,由柯西不等式得。

+2卄3尸(°+2歼3乙+玄+抄伍止+何盍+伍•制2 = 9.
5. （2013新课标II （理））选修4—5;不等式选讲
设a,b,c 均为正数，且a + b + c = \.证明：
【答案】 (I 〉由 o' + 胪鼻 2ab •尸 + X M 2bc ■ <? + M 2ca 得
a 2 ^
b 2 ^
c 2 be ^ca .
由题设待(a + 64-c)2 = 1. Spa 2 4ft 2 +c 2 ^2ab^2bc^2ca = ].
所以 3(ab + fee + cd) W 丨，即 ab 《be * ca W '.
3
错误!未指定书签。

6. （2013福建（理））不等式选讲: 设不等式|x-2|< a{a e Af ）的解集为A,且弓wA,*纟A. ⑴求a 的值；
（2）求函数/（x ） = |x+a| + |x-2|的最小值.
解得*弓又因为兀『所以心
(II)S>9|x + l| + |x-2|>|(x + l)-(x-2) |=3 当口仅当（兀+1）（兀-2） <0,HP-l<x<2吋取得等号，所以/（x ）的最小值为3 错误!未指定书签。

(I )ab + bc + ca< — \ 3 9
(II)? b b 2 c 2
+ — + — c a
>1. 【答案】解:（1）因为* A,且护，所以 2-2 < a ，且 --2
2 2 —+ a M 2c ■
(11)因为 + ft 2d 9 b 所以工+兰+兰事1・ b
e a
>a
当 xewnN 时，Xx)=l-x, 于是
7. (2013江苏卷)［选修4・5:不定式选讲］
已知 a A b>0,求证:2a 3-b 3 > lab 2 - a 2b
& ［2014-江苏卷］|选修4・5:不等式选讲］ 已知 x>0, y>0，证明：(1 + 兀+)?)( 1
+/+y)>9jcy.
证明：因为x>0, y>0,
所以l+x+yb3守亍>0,
1+/+比3 饭2bo,
故(1 +兀+护)(1 +x 2+y)>3 yfxy 1- 3 却齐=9xy.
9. [2014-辽宁卷]选修4・5:不等式选讲
设函数Xx) = 2|x-l|+x-l, gU)=16?-8x+l.记的解集为 M, g(x)<4 的解集为N. ⑴求M ；
(2)当 xWMCN 时•，证明：%2/(x)+x[/(x)]2<|.
3x —
3t +oo), 1—兀,兀丘(—oo ， 1) •
4 当 x>i 时，由 X^) = 3x —3<1 得
当 x< 1 时，由 fix)=l —x<l 得丘0, 故 0<¥<1.
所以辭1的解集M=\xO<^・
(2)由 g(x)=16?-8x+l<4 得 16「一罠4,
1 3
解得一
I 31 4^4?
3 故 MClN=<xOS 疋了.
X 2A%)+X - [/(X )]2=X /(X )[X +/(X )] =VW = 解: ⑴心)=
10.[2014-新课标全国卷II]选修4・5:不等式选讲
设函数人兀)=x+十+|x—a|(a>0)・
(1)证明：
(2)若/3)<5,求d的取值范围.
解：⑴证明：由a>0 ,有/(兀)=兀+十+\x—a\> x+占- (x—a) =^+a>2f 所以唇2.
(2)A3)= 3+十+|3—乩
当a>3时，H3)=a+丄，由/(3)<5得3<肿+弹.
当Ov來3时，夬3)=6—G+丄，由求3)<5得斗W恋3.
综上，a的取值范围是(违逅，岁区.
11.[2014-全国新课标卷I]选修4一5:不等式选讲
若a>0, b>0,且
⑴求/+沪的最小值;
(2)是否存在a, b,使得2a+3b=6?请说明理由・
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解：⑴由认怎=方+沪不^得abN2,当且仅当a=b=yl2时等号成立. 故a3+h3>2需屍4血
当且仅当a=b=y/2时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4迈.
(2)由(1)知，2a+3b>2 y[6y[^b>4 ^3.
由于4羽>6,从而不存在a, b,使2a+3b=6.。