九年级培优根与系数的关系

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根与系数的关系及判别式综合问题大题培优强化11题

根与系数的关系及判别式综合问题培优强化30题1．已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．2．已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．3．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．4．已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝k．（1）若k＝3，求此方程的解；（2）当k≥﹣1时，试判断方程的根的情况．5．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？6．如图，菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长，这时我们把关于x 的形如mx2+2√2tx+n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）填空：①当m＝2，n＝4时，t＝；②用含m、n的代数式表示t2＝；（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+12n＝0必有实数根．7．关于x的一元二次方程ax2+6x﹣5a＝0…①和3x2﹣ax+a＝0…②．（1）若a＞0，且方程①有两实根x1，x2，方程②有两实根x3，x4，求代数式x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的最小值；（2）是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；若不存在请说明理由．8．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：方程x4﹣5x2+6＝0的解为；（2）间接应用：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展应用：已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2﹣n＝7且n＞0，求1m4+n2的值．9．若α=1+√52为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝，t＝；（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝；（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求m+n2m−n的值；11．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为2，求a的值；（3）直接写出所有不大于5的正整数a的值，使原方程的两个根均为有理数．。

专题一、根与系数的关系

1 专题一根的判别式及根与系数的关系2019年下期九年级培优唐国栋知识提炼1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式：ac b 42-=∆，用来判断一元二次方程的实根的个数。

当0>∆时，方程有的实数根；当∆=0时，方程有的实数根；当0<∆时，方程实数根。

2、一元二次方程的求根公式：aac b b x 2422,1-±-=。

一元二次方程的根有下列基本结论：（1）若有无理根必成对出现；（2）若0=++c b a ⇔有根为1；（3）若0=+-c b a ⇔有根为-1.3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 和2x ，那么：a b x x -=+21，ac x x =•21。

经典·考题·赏析例1（天津中考）关于x 的一元二次方程0)2(2=-+-m mx x 的根的情况是（）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定例2（山东中考）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值为（）A 、1B 、2C 、1或2D 、0 例3（河南中考）已知21,x x 是方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且0)(22121>++⋅x x x x ，那么实数m 的取值范围是。

例4（全国联赛)已知t 是实数，若b a ,是关于一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是。

例5(北京市) 已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.2 例6（湖北中考）已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长1=a ，另两边长c b ,恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长。

九年级上册数学根与系数的关系

九年级上册数学根与系数的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊九年级上册数学里超有趣的根与系数的关系，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？你知道吗？一元二次方程的根与系数之间藏着神秘的联系呢。

比如说，对于方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0），如果它有两个根 x_1 和 x_2 ，那么就有 x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ，x_1x_2 =\frac{c}{a} 。

这是不是很神奇？就好像是数学给我们开的一个小秘密通道。

比如说，给你一个方程 x^2 5x + 6 = 0 ，咱们很快就能知道它的根的和是 5，根的积是 6 。

然后一分解，嘿，原来方程的根就是 2 和3 。

这在解题的时候可太有用啦！有时候题目不给咱具体的根，只给方程的系数，让咱求根的和或者积，咱们用这个关系就能轻松搞定。

而且哦，根与系数的关系还能帮我们检验算出的根对不对。

算完根之后，代入这两个关系式看看，对得上就是正确的，对不上那可得重新算啦。

怎么样，是不是觉得根与系数的关系就像一个神奇的魔法棒，能在数学的世界里帮我们解决好多难题呀！稿子二哈喽呀，小伙伴们！今天咱们来唠唠九年级上册数学里那个有点神秘但又超级好玩的根与系数的关系。

想象一下，一元二次方程就像一个藏着宝贝的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的钥匙。

比如说，对于方程 ax^2 + bx + c = 0（a≠0），一旦知道了 a 、b 、c 的值，咱们就能通过神奇的公式算出根之间的关系。

你看哈，如果方程有两个根 x_1 和 x_2 ，那么 x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ，x_1x_2 = \frac{c}{a} 。

这可太酷了！咱们来举个例子感受一下。

比如方程 2x^2 3x 5 = 0 ，咱们一下子就能算出根的和是 \frac{3}{2} ，根的积是 \frac{5}{2} 。

有时候做题，题目会故意不直接告诉我们根是多少，而是让我们通过根与系数的关系去推理、去计算。

根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0．（1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。

《一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练（附答案）1．已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求出此时方程的根．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．5．已知y1＝x2﹣2x+3．y2＝x+m．（1）若m＝1，当x取何值时y1＝y2？（2）若y1＝2y2，当m为何范围时，存在两个不同的x值？6．已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．7．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．8．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式﹣4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．10．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为．12．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．（2）若x1＝3x2，试求k值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．16．已知m为实数，关于x的方程为mx2+（m﹣2）x﹣1＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根．（2）若方程有两实根x1，x2，当x1x2﹣2x1﹣2x2＝3时，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0（1）若该方程有两个实数根，求k的最大整数值．（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．19．若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．20．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）若方程的两个根为x1，x2，且＝0，求k的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．参考答案1．解：（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2．2．解：（1）∵方程有实数根，∴（﹣2）2﹣4×1×（3m﹣2）≥0，∴m≤1；（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴方程为：x2﹣2x+1＝0，∴x1＝x2＝1．3．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，∴m≥2．4．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4（a﹣1）＝﹣4a+13≥0，解得：a≤，即a的取值范围是a≤；（2）∵a的取值范围是a≤，∴整数a的最大值是3，把a＝3代入方程x2﹣3x+a﹣1＝0得：x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2．5．解：（1）当m＝1时，根据题意，得x2﹣2x+3＝x+1，整理，得（x﹣1）（x﹣2）＝0．所以x﹣1＝0或x﹣2＝0．解得x1＝1，x2＝2；（2）根据题意，得x2﹣2x+3＝2x+2m，整理，得x2﹣4x+3﹣2m＝0，所以△＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣2m）＞0．解得m＞﹣．所以当m＞﹣时，存在两个不同的x值．6．解：（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），当x2＞1，即x＞1或x＜﹣1时，原方程可化为：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1（舍），或x＝；当x2≤1，即﹣1≤x≤1时，原方程可化为：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1，或x＝；综上，方程的解为x1＝，x2＝1，x3＝；（2）∵x＝1恒为方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，∴当x≠1时，方程两边都同时除以x﹣1得，，要使此方程只有一个解，只需函数y＝与函数y＝kx﹣2的图象只有一个交点．∵函数：，作出函数图象，由图象可知，当k＜0时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝0时，直线y＝kx﹣2＝﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝1时，y＝kx﹣2＝x﹣2与y＝x+1平行，则与函数y＝图象只有一个交点；∵当直线y＝kx﹣2过（1，2）点时，2＝k﹣2，则k＝4，∴函数图象可知，当k≥4时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象也只有一个交点，∴要使函数图象与y＝kx﹣2图象有且只有一个交点，则实数k的取值范围是k≤0或k＝1或k≥4．综上，实数k的取值范围：k≤0或k＝1或k≥4．7．解：（i）∵方程有实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k≤；（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵x1，x2是方程的解，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）＝﹣（x1+2）（x2+2）＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]＝﹣（1﹣6+4）＝1．8．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得x＝，∴x1＝2k﹣1，x2＝2．∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，此时三角形周长为4+4+2＝10；当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，故此种情况不存在．综上所述，△ABC周长为10．（3）∵方程的两个实数根之差等于3，∴，解得：k＝0或3．9．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．10．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，解得：k≤1．∴k的取值范围为：k≤1．（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．故k的值是﹣4．11．解：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2，即k的取值范围是k＜2；（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，∵x1+x2﹣2x1x2＝2，∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，∴k＝﹣1，故答案为：﹣1．12．解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴﹣2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．13．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0解得m≥﹣且m≠2（2）由题意得有两种情况：①当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．14．解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，∴x1＝3，x2＝1，∴k＝x1x2+3＝6．15．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，∵x1+2x2＝14，∴x2＝8，x1＝﹣2．将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，解得：k＝±4．答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．16．（1）证明：当m＝0时，已经方程为﹣2x﹣1＝0，有实数根；当m≠0时，已经方程是一元二次方程，△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣1）＝m2+4＞0，该方程有两个不等实根；综上，不论m为何实数，方程总有实数根；（2）由根与系数的关系可得，，，∵x1x2﹣2x1﹣2x2＝3，∴x1x2﹣2（x1+x2）＝3，∴，解得m＝﹣5，经检验，m＝﹣5是原分式方程的解，即m的值是﹣5．17．解：（1）由题意得：此方程的根的判别式△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，整理得：﹣4k+1≥0，解得，则k的最大整数值是0；（2）存在，由根与系数的关系得：x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵＝，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得k＝﹣3或k＝5，由（1）可知，，则k＝﹣3．18．解：（1）根据题意，知（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜；（2）由题意知x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1•x2＝m2，由+＝1，即＝1可得＝1，解得：m＝1（舍去）或m＝﹣3，所以m的值是﹣3．19．解：∵x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根，∴x12+x1﹣3＝0，∴x12＝﹣x1+3，x1＝﹣x12+3，∴x13＝﹣x12+3x1，∴x13﹣4x22+22＝﹣x12+3x1﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31，∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，∴原式＝﹣4×（﹣1）2+8×（﹣3）+31＝3．20．（1）证明：①当k＝1时，该方程有一个实数根，符合题意．②当k≠1时，∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1）×2＝4（k﹣1）2+4＞0，∴当k≠1时，方程总有实数根．综上所述，无论k取任何值，方程总有实数根．（2）∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴＝+x1x2＝+＝0．解得k＝2或k＝﹣1．经检验，k＝2或k＝﹣1都符合题意．所以k＝2或k＝﹣1．21．解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．。

第02讲根的判别式、根与系数关系-新九年级数学暑假(苏科版)(学生版)

第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）【基础知识】一．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．二．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【考点剖析】一．根的判别式（共4小题）1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是．4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．二．根与系数的关系（共6小题）5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．56．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是．7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔支．12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是．13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．无法确定2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12C．m有无数个解D．13二．填空题（共10小题）6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝，q＝．7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是．8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝．9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为．10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝．11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝．12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝．13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是．14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为．15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是．三．解答题（共9小题）16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．（1）当k＝2时，求方程的根；（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．。

中考数学根与系数关系培优练习含答案

中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

苏科版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练【含答案】

苏科版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练一、选择题1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．162、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣33、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（）A ．x 1+x 2=-23B ．x 1•x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数4、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m +n 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 5、若关于x 的方程x 2+3x +a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A ．﹣2B ．2C ．4D ．﹣36、已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣7x +12=0B ．x 2+7x +12=0C ．x 2+7x ﹣12=0D ．x 2﹣7x ﹣12=07、若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（）A ．4B ．2C ．1D ．﹣28、若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A ．12B ．10C ．4D ．﹣4 9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα11+＝﹣32，则m 等于（） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．310、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根； ②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11、若方程x 2﹣3x +2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝．12、若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为，c = ．13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ，则实数a ＝． 15、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2＝13，则k 的值为．16、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1＝0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2＞2，则m 的取值范围是．17、已知α，β是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x +1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m +1，则m 的值为．18、关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是整数，则整数a ＝．19、已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为．20、已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22a +的值是．三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．26、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值一、选择题1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．16【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．解：∵x 1，x 2一元二次方程x 2+10x +16=0两个根，∴x 1+x 2=﹣10．故选：A ．2、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣3【分析】根据根与系数的关系求解．解：x 1•x 2=﹣3．故选D ．3、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（）A ．x 1+x 2=-23B ．x 1•x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数【分析】利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；根据根的判别式对C 、D 进行判断． x 1+x 2=23，x 1x 2=21，所以A 、B 选项错误，因为△＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，所以x1，x2都是有理数，则C选项正确，D选项错误．故选：C．4、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．5、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．6、已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．7、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．8、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4A解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A ．9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα11+＝﹣32，则m 等于（） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．3B解：α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m ，∵+＝＝＝﹣，∴m ＝﹣3；故选：B ．10、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2n+n2﹣2m+2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．故选：D．二、填空题11、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝．【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，∴α+β＝3，αβ＝2，∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．故5．12、若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为，c = ．2-1c =根据韦达定理，124x x +=，因为12x =+22x =-所以(12221c x x =⋅==13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．1k =由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >．所以()()12118x x ++=．从而2230k k +-=，解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ，则实数a ＝． 3﹣11解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±11．∵3＜11＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故a＝3﹣11．15、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．—2解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故﹣2．16、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．3＜m≤5解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．17、已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，则m的值为．—1解：根据题意可得α+β＝﹣＝﹣＝，αβ＝＝，∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝++1＝m+1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，当m＝2时，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，无实数根，故m≠2，当m＝﹣1时，△＝b2﹣4ac＝9＞0，有实数根，故m＝﹣1．故答案是﹣1．18、关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是整数，则整数a ＝．【分析】分两种情况讨论：当a ＝1时，x ＝1；当a ≠1时，△＝4a 2≥0，x 1+x 2=a -12，再由已知，可得1﹣a ＝±1，1﹣a ＝±2，求出a 的值即可．当a ＝1时，2x ﹣2＝0，解得x ＝1；当a ≠1时，（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0，△＝4a 2≥0，x 1+x 2=a -12，x 1•x 2=a a -+11=－112--a ， ∵根都是整数，∴1﹣a ＝±1，1﹣a ＝±2，∴a ＝0或a ＝2或a ＝﹣1或a ＝3，故答案为0或1或﹣1或2或3．19、已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为．1解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣（3k +1），x 1x 2＝2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1＝8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣，k 2＝1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1）＞0，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2， ∴k ＝1．故1．20、已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22a +的值是．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．由题意可知：a +b ＝﹣1，ab ＝﹣1， a 2＝1-a ，∴原式＝3（1﹣a ）﹣b +a -12＝3﹣3a ﹣b+a -12＝3﹣2a ﹣（a +b ）+a-12 ＝3﹣2a +1+a -12＝4﹣2a+a-12＝4+a a a -+-12222 ＝4+aa a -+--122)1(2＝4+4＝8，故8．三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．（1）a ＜2（2）a 的值为﹣1，0，1解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a +5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2＝6，x 1x 2＝2a +5，∵x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2≤30，∴36﹣3（2a +5）≤30，∴a ≥﹣，∵a 为整数，∴a 的值为﹣1，0，1．22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．-1有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94- ∴15m =-舍去，故1m =-23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．（1）m ≤2 （2）m=1解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m +1）≥0，解得：m ≤2．（2）∵方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝6，x 1x 2＝4m +1，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝42，即32﹣16m ＝16，解得：m ＝1．24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．52m > 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．（1）k ≤49 ；（2）k=1 解：（1）当k ＝0时，原方程为﹣3x +1＝0，解得：x ＝，∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0，解得：k ≤49．综上所述，k 的取值范围为k ≤．（2）∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x +1＝0的两个根，∴x 1+x 2＝，x 1x 2＝．∵x 1+x 2+x 1x 2＝4，∴+＝4，解得：k ＝1，经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k 的值为1．26、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当13a b ==-+1131a b +，当13a b ==-1113a b+= 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+===+；当1a b ==--1121a b a ∴+==-。

九年级培优专题二一元二次方程的根与系数的关系课件

A．1
B．2
C．－2
D．－1
1
2
2．方程 6x2 －3x＋2＝0 的两根之和是__________，两根
1
3
之积是__________．
3、如果2是方程 x
2
6x m 0
4
8
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
4、已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
又∵x1＋x2＝m－1，x1x2＝－m，且 m≠0，
1 1
2
x1＋x2＝－3.
x1＋x2
2
∴ x x ＝－3.
1 2
m－1
2
∴
＝－3.
－m
∴3m－3＝2m.
∴m＝3.
【跟踪训练】
7．已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＋1＝0 的两个实
数根是 x1，x2，且 x21＋x22＝24，则 k 的值是( D )
∵x1＋x2＝－3，
13
∴3×(－3)－4x2＝4，x2＝－ 4 .
13
将 x2＝－ 4 代入原方程，得
13
13
13
2
－＋3×－＋m＝0，m＝－ .
4
4
16

2
x
9、已知方程 kx k 2 0 的两个实数根
是
x1, x且
2
x x 4求k的值。
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0.
即 y2＋6y－8＝0.
【跟踪训练】
5．请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程
x2－x－6＝0(答案不唯一)
_____________________________．

初三数学培优——判别式根与系数关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1，对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，代数式b ２－4ac 叫做根的判别式，用“△＝b ２－4ac ”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为一般形式，凡不是一般形式的一元二次方程，都理应通过去括号、移项、合并等步骤化为一般形式.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，所以对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

① 当时，方程有两个不相等的实数根。

即② 当时，方程有两个相等的实数根，即。

③ 当时，方程没有实数根。

判别式的作用是能够由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是：不难得到 x 1＋x 2＝－a b , x 1·x 2＝ac. 这就是一元二次方程的根与系数关系(韦达定理). 在学习和应用上述定理时要注意以下几点：1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在使用时需先将一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0);2.使用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不但可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现x 1＋x 2＝ab这样的错误. 典型例题例1 m 取什么值时，方程3x ２－2(3m －1)x ＋3m ２－1＝0 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?例6已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．分析这是一道代数、几何知识的综合题，解题前理应明确：(1)从条件知，问题与判别式相关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程化为标准形式；(2)判断△ABC 的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断．例7 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)中，b ＞0,c ＜0,则( ).(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大例8 如果2＋3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.例9 设x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两根,不解方程,求112112+++x x x x 的值.这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如： x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2;21212111x x x x x x +=+; 212122121212221122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+; (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2;(x 1＋m )(x 2＋m )＝ x 1x 2＋m ·(x 1＋x 2)＋m 2……等等.但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如x 13＋x 22.例10 k 为何值时,方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.例11 已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值.例12 已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b ). 求a 2b ＋ab 2的值.巩固练习一、选择题1．若关于x 的一元二次方程2x (mx －4)－x ２＋6＝0没有实数根，则m 的最小整数值是（）(A)－1 (B)2 (C)3 (D)4 2．已知方程x ２－p x ＋m ＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，则方程x ２＋p x －m ＝0的根的情况是（） (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定有无实数根 3．在下面方程中： ①2x ２－mx －1＝0；②21x ２－2mx ＋2m ２＝0;③4x ２＋(m －1)x －m ＝0．无论m 取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4．如果方程2x 2＋kx －6＝0一个根是－3，另一根是x ,则（）(A)x 1＝1,k ＝4 (B)x 1＝－1,k ＝8 (C)x 2＝2,k ＝1 (D)x 2＝－2,k ＝5 5.以53 和－35为根的一元二次方程是（）(A)15x 2＋16x －1＝0 (B) 15x 2－16x ＋15＝0 (C)15x 2＋16x －15＝0 (D) 15x 2－16x －15＝06.已知一元二次方程的两根之和是25，两根的倒数和是－35，这个一元二次方程是(A ）x 2－25x －23＝0 (B) x 2－25x －35＝0 (C) x 2＋25x ＋23＝0 (D) x 2＋25x －35＝07.不解方程，判断43x 2＋3x ＋1＝0根的情况是（）（A ）有一正根一负根（B ）有两个正根（C ）有两个负根（D ）没有实数根 8．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况是（） (A)两实数根的和等于两实数根的积 (B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根9．若方程x 2－(k 2－7)x ＝1的两根之和是2，则实数k 的值是（）（A ）±5 (B)±6 (C) ±3 (D) ±2二、填空题1．不解方程,判断4x ２－43＋3＝0的根的情况是______________________.2．不解方程,判断y ２－（6＋2 ）y ＋2＋3＝0的根的情况是___________________.3.不解方程,判断3x 2－6x －2x ＋2＝0的根的情况是.4.当m ______时,方程3ｘ２－2（3m ＋１）x ＋３m ２＋1＝０没有实数根． 5.当m _____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.6.若关于x 的一元二次方程2k x 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____7.已知一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根为x 1、x 2,则11x ＋21x ＝， x 12＋ x 22＝ ,(x 1－5)·(x 2－5)＝ .8.以2＋3、2－3为两根的一元二次方程是 . 9.已知关于x 的方程6x 2＋2x ＋a ＝0的一根比另一根大2,则a ＝ . 10.已知关于x 的方程4x 2－9x ＋3(k －1)＝0,当k 时,方程有一根为零, 当k 时,方程的两实数根互为倒数.三、解答题1．m 为何值时，方程mx 2－3x ＋2＝0没有实数根．2．试判别一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0的根的情况．3．求证：对于任何实数m ，关于x 的二次方程x 2－(m ＋1)x ＋(m －1)＝0总有两个不相等的实数根．4．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且一元二次方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋(a －b )＝0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．5．已知方程2x 2＋kx －2k ＋1＝0的两实数根的平方和为429，求k 的值.6．已知直角三角形ABC 中，斜边上的中线长为23，两条直角边的长分别是方程 2x 2－2mx ＋m ＋3＝0的两根，求m 的值和直角三角形ABC 的面积.。

《一元二次方程根与系数的关系》培优资料

《一元二次方程根与系数的关系》培优资料【知识梳理】1.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则________,21=+x x .___________21=⋅x x 前提条件是2.韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：（1）()2122122212x x x x x x -+=+；（2）()212122121222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+；（3）()()212212214x x x x x x -+=- ；【例题】例1.设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）x 12x 2+x 1x 22 （2）x 12+x 22；（3）2112x x x x + （4）（x 1－3）（x 2－3）；（5）（x 1－x 2）2．例2. 设方程x 2+x-1=0的两个根分别是x 1、x 2，求x 15+5x 2的值例3.设关于x 的一元二次方程()01242=---k x x 有两个实数根21x x 、，问是否存在 2121x x x x ⋅<+的情况？例4.（2010湖北十堰）如图所示，直线AB 与反比例函数图像相交于A ，B 两点，已知 A （1，4）.（1）求反比例函数的解析式；（2）连结OA ，OB ，当△AOB 的面积为15时，求直线AB 的解析式.【作业】1.已知：方程3x 2+5x+1=0的两根为x 1、x 2，不解方程.求下列代数式的值.① 11x +21x ②x 21+x 22 ③x 21x 2+x 1 x 22 ④（x 1-3）(x 2-3) ⑤|x 1-x 2 | ⑥21x x +12x x 2.（2013• 济南）函数y =与y=x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则的值为______． 3.在反比例函数xk y =的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程t 2-4t-2=0 的两个根.（1）求k 的值；（2）求点P 与原点O 的距离.4. 已知关于x 的方程042=++a x x 有两个实数根，且7221=-x x ，则=a ____。

九年级上根与系数的关系及其应用

根与系数的关系及其应用(1)(1)如果一元二次方程如果一元二次方程如果一元二次方程ax ax 2＋bx bx＋＋c=0(a c=0(a≠≠0)0)的两根为的两根为的两根为x x 1，x 2，那么，那么反过来，如果反过来，如果x x 1，x 2满足满足x x 1+x 2=p =p，，x 1x 2=q =q，则，则，则x x 1，x 2是一元是一元二次方程二次方程x x 2-px+q=0-px+q=0的两个根．的两个根．的两个根．一元二次方程的韦达定理，一元二次方程的韦达定理，一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．个有用的工具．（2）构造新方程）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

一、例题1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3 3 设方程设方程设方程4x 4x 2-2x-3=0-2x-3=0的两个根是的两个根是α和β，求，求44α2＋2β的值．的值．4：已知已知α，β分别是方程分别是方程x x 2＋x-1=0x-1=0的两个根，求的两个根，求的两个根，求22α5+5β3的值．的值．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x 6x＋＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为的值为_________ _________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x 7x＋＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，，x 1·x 2＝，，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x 2)x－－3=0的两根是1和－和－33，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m +2(m－－1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;二、例题5、已知关于、已知关于x x 的二次方程的二次方程x x 2－2(a 2(a－－2)x+a 2－5=05=0有实数根，且两根之积等于两根之和的有实数根，且两根之积等于两根之和的有实数根，且两根之积等于两根之和的22倍，求倍，求a a 的值。

专题09 根与系数的关系(韦达定理)(专项培优训练)(学生版)

专题09 根与系数的关系（韦达定理）（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.54姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2022秋•惠州校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（1+2022a+α2）（1+2023β+β2）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2分）（2023•上杭县校级开学）若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．20243．（2分）（2023•丹徒区二模）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．124．（2分）（2023•潮州模拟）设α，β是关于x的方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+2α+β＝（）A．2021 B．2022 C．2023 D．20245．（2分）（2023•滕州市校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣16．（2分）（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A．B．C．D．7．（2分）（2023•武汉模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则﹣的值是（）A．2 B．C．D．﹣28．（2分）（2022秋•南华县期末）已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．489．（2分）（2023•沂源县一模）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．910．（2分）（2021•武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．评卷人得分二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023•吉安县校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0的两个根，且x1x2＝﹣4，则c的值为．12．（2分）（2023•蕉城区校级开学）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是．13．（2分）（2023•孝感一模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为．（2023•顺庆区校级三模）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b﹣3的值是．（2分）14．15．（2分）（2023春•达川区校级期末）对于实数a，b，定义运算“a*b＝，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝．（2分）（2023•滕州市校级开学）已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为．16．17．（2分）（2023•大冶市校级开学）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1、x2满足+＝16x1x2，则实数k＝．18．（2分）（2023•下陆区校级开学）设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程x2﹣10cx﹣12d＝0的两根，c，d是方程x2﹣10ax﹣12b＝0的两根，那么a+b+c+d的值为．19．（2分）（2023春•定远县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．20．（2分）（2020•大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023•新罗区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且，求m的值．22．（6分）（2023春•江岸区校级月考）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m＝0（m为常数）．若x＝2是该方程的一个实数根，求m的值和另一个实数根．23．（8分）（2022秋•城厢区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的平方和为10，求m的值．24．（8分）（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S＝++x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．25．（8分）（2023•肇源县开学）若关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．26．（8分）（2023春•开福区校级期末）若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x，y1），点Q的坐标为（x，y2），y1和y2的差构成一个新函数y，即y＝y1﹣y2．称y是y1﹣y2的“数天数函数”，P 为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）（1）已知“天数点1”为点A（x，kx+4），“天数点2”为点B（x，2x）．点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，求y的解析式；（2）已知“天数点1”为点M（x，x2+3），“天数点2”为点N（x，3x），y是“数天数函数”，求x+y 的最小值；（3）关于x的方程的两个实数根x1、x2，“数天数函数”S＝S1﹣S2．若S1＝2x1，S2＝﹣x2，且S1＝m+1，求m的值．27．（8分）（2023•汝南县一模）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，；材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝；（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．28．（8分）（2022秋•章贡区期中）阅读材料：材料1．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝材料2．已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1 ∴+＝＝＝＝﹣3根据上述材料解决下面问题：（1）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0、2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2、2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．。

(人教版九年级上册数学)21.2《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系（胡雯雯）一、教学目标（一）核心素养本节是一元二次方程的解法的最后一节课.在之前一元二次方程的解法已经掌握的基础上，学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神. （二）学习目标1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2. 灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. （三）学习重点一元二次方程根与系数的关系（四）学习难点对根与系数关系的理解和推导二、教学设计（一）课前设计预习任务 1：填写下表.你发现的规律是 a =1时，若一元二次方程有实根（∆≥0）两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项（文字表达）；结论： a =1时， 1212,x x b x x c +=-⋅=（用字母表达）. 2：填写下表.观察上面的计算结果，你发现的规律是若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.（文字表达）；结论：若一元二次方程有解x 1，x 2（∆≥0），则1212,b c x x x x a a⋅+=-=（用字母表达）. 预习自测1.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =_____,12x x ⋅=______. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =3，2x =-1.进而得到1x ＋2x =2，12x x ⋅=-3. 【思路点拨】解出方程的根即可得解. 【答案】1x =3，2x =-1；1x ＋2x =2，12x x ⋅=-32.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =__,12x x ⋅=____. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =32，2x =-1.进而得到1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.【思路点拨】解出方程的根即可得解.【答案】1x =32，2x =-1； 1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.3.一元二次方程220x x m --=的一个解是-1,则另一个解__________. 【知识点】根与系数的关系【解题过程】∵-1是方程的一个解，而1x ＋2x =2, ∴2x =3【思路点拨】根据两根之和和其中一根可求出另一根. 【答案】34.一元二次方程2260x mx --+=的一个解是1, 则m=__________.【知识点】根与系数的关系【解题过程】∵12x x ⋅=-3，1x =1, ∴2x =-3, ∴1x ＋2x =-2 ∴m =4【思路点拨】方程中a ，c 确定，即可确定两根积；从而可得到另一根，进而得出两根和，由此得到m 的值. 【答案】4 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax （2）一元二次方程根的判别式:ac b 42-=∆（3）一元二次方程的求根公式：2(40)2b x b ac a-=-≥ 2.问题探究探究一一元二次方程根与系数的关系定理的猜想与证明 ●活动①大胆猜想，探索新知回顾预习活动中的表格猜想：一元二次方程)0(0≠=++a c bx ax 的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 师问：方程220x x ++=,2210x x ++=有上述特征吗？生答：没有.因为上面两个方程的判别式小于0，故方程无实根.总结：上面猜想的规律的前提是一元二次方程有实根，即240b ac -≥【设计意图】鼓励学生大胆猜想，引导学生由观察得到的初步认识，再从特殊到一般，体会数学结论的正确性和逻辑推理的严密性. ●活动② 从特殊到一般，严密推理推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．（请学生小组讨论，并形成小组结论）设x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1＋x 2（2）12x x ⋅. 故有：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,当240b ac -≥时，它的两根12,x x 满足注：①使用条件：D ³0②注意符号【设计意图】引导学生从前面的感性认识，逐步推广到一般情况，锻炼数学严密的逻辑思维能力.探究二一元二次方程根与系数的关系定理的应用 ●活动① 熟练掌握根与系数的关系（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？【知识点】一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】（1）∵a =1，b =-2，c =1 ∴1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）∵a =1，b =-9，c =10∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）∵a =4，b =-7，c =1（4）先整理为一般式：290x x -＝∵a =1，b =-9，c =0∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【思路点拨】寻找一元二次方程的两根和与积，首先要化为一般式，找准各项系数，同时，要注意使用定理的前提是判别式Δ≥0.【答案】（1）1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）1x ＋2x =74，12x x ⋅=14.（4）1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【设计意图】更加熟练掌握根与系数的关系 ●活动② 已知方程一根，求另一根．例1：已知方程2560x kx -=+的根是2，求它的另一根及k 的值．【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵2是方程的一个解，而12x x ⋅=65-,∴k =-7【思路点拨】根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值. 【答案】-7【设计意图】此题有多种解法，可请同学展示多种方法，从中比较各种方法的优劣性，从而认识到根与系数关系的应用价值. ●活动③ 已知方程两根，求待定系数值.例2：已知方程230x nx m +=-的两个根是1和3，求m ，n 的值．【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵1和3是方程的两个解，而12x x ⋅=33m=, ∴1x ＋2x =3n =4∴n =12【思路点拨】根据两根可求出两根之积与两根之和，进而得出待定系数的值. 【答案】9m =，n =12【设计意图】复习上例中方法，更多地体现根与系数的关系的应用价值.探究三综合应用●活动① 由根与系数的关系求相关代数式的值例3：已知2,1x x 是一元二次方程3742+=x x 的两根，则【知识点】一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的应用【解题过程】首先化为一般式24730x x --=，可由根与系数关系得到两根和与两根积1274x x +=，1234x x ⋅=- 【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】7373773,,,,,3,44163124---练习：已知x 1，x 2是方程22310x x +-＝的两个根，试求：（1）221212x x x x ＋ (2) 112222x x x x +⋅+. 【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵1232x x +=-，1212x x ⋅=-【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】37,42-【设计意图】通过前面的训练，同学们已经对根与系数的关系有了初步的了解，此例题的目的在于巩固前面的知识，并能和完全平方公式相关的式子进行灵活求解.●活动2 根与系数的关系中的整体思想例4．设a 、b 是方程220170x x +-=的两实数根，则22_______.a a b ++= 【知识点】根与系数的关系【数学思想】整体思想【解题过程】由根与系数的关系可知，而a 是方程的一个根，故有220170a a +-=，即2=2017a a +.所以222()()a a b a a a b ++=+++=2019. 【思路点拨】将所求的代数式分解成可求的代数式【答案】2019练习：设21,x x 是方程220160x x --=的两实根，求31220172016x x +-的值.【知识点】根与系数的关系【数学思想】整体思想【解题过程】∵1x 是方程220160x x --=的解，∴21120160x x --=. 即2112016x x =+，故原式=112(2016)20172016x x x ++- =2019.【思路点拨】降次，将所求代数式分解成可求的代数式. 【答案】2019【设计意图】能够在较为复杂的代数式中分离出可整体求出的式子，从而整体代入求解.●活动3 含参方程的根与系数的关系例5．已知2(1)40x m x m +--+=的两实根的平方和为2，求m . 【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】∵22222121212()2(1)2(4)72x x x x x x m m m +=+-=---+=-=，∴m =±3. ∵22(1)4(4)2150m m m m ∆=---+=+-≥，∴m =3【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式Δ≥0. 【答案】3.练习：已知22(1)10kx k x k -++-=有两个不相等的实根； ①求k 的取值范围②是否存在k ，使两根的倒数和等于0？【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，【解题过程】（1） k ≠0，且24(1)4(1)1240k k k k ∆=+--=+>，∴13k >-且0k ≠.（2）121212110,x x x x x x ++==⋅则122(1)0k x x k++==，即1k =-，故不存在.【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式≥0.【答案】(1) 13k >-且0k ≠. (2)不存在【设计意图】通过对含参方程的分析，提高学生符号计算的能力. 同时，加强对一元二次方程根与系数的关系的应用，注意前提：判别式Δ≥0的理解. 3. 课堂总结知识梳理（1）若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）应用一元二次方程根与系数关系的前提是判别式Δ≥0 重难点归纳（1）一元二次方程根与系数的关系（2）隐含条件：二次项系数不为0，判别式非负. （3）常见题型：①不解方程，判断方程两根的和与积；②已知方程和方程一根，求另一个根及字母系数；方法：根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值.③不解方程求含有方程两根的式子的值.方法：先得出两根和与积，再通过完全平方公式等数学公式，或一些特殊结构整体代入求值.（三）课后作业基础型自主突破1．判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）2670x x +=-；（-1，7）（2）23520x x --+=；（52,33-）（3）296x x += （3，3）【知识点】根与系数的关系【解题过程】（1）-1×7≠7，故不是；（2）525()333+-≠-，故不是；（3）先化为一般式2690x x +=-， 3+3=-6,3´3=9，故是．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系1212,b cx x x x a a+=-⋅=判断.【答案】（1）、（2）不是，（3）是2. 一元二次方程 x 2+3x +2=0的两个根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2＋3x ＋2=0的二次项系数a =1，一次项系数b =3，∴x 1+x 2=-ba =-3．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系12bx x a+=-，解答即可【答案】－3．3.已知关于x 的方程 x 2+px +q =0的两根为－3和－1，则p = ，q = ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程x 2＋px ＋q =0的两根为－3和－1， ∴－3＋（－1）=－p ，（－3）×（－1）=q ， ∴p =4，q =3．【思路点拨】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程，解之即可得出结论．【答案】4；3．4. 已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是（） A ．－3 B ．－2 C ．3 D ．6【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t =－1，解得t =－3，即方程的另一个根是－3．【思路点拨】设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2＋t =－1，然后解一元一次方程即可．【答案】A ．5.已知实数x 1，x 2满足121211,30x x x x +==⋅，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．211300x x +=-B ． x 2+11x +30=0C. 211300x x +-= D ．211300x x -=- 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，∴一元二次方程中：11ba =-， c a=30．当a =1时，11,30b c =-=．【思路点拨】根据根与系数的关系结合两根之和及两根之积的即可得出,ca=30，当a =1时，即可找出b 、c 的值，此题得解．【答案】A ．6.若x 1，x 2是方程22210x mx m m -+-=- 的两个根，且12121x x x x +=- ，则m 的值为（）A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．1 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1=0的两个根，∴2211m m m =---（），即()22210m m m m +-=+-=（），解得：1221m m =-=，．∵方程22210x mx m m -+-=- 有实数根，解得：m ≥－1． ∴m =1．【思路点拨】根据根与系数的关系结合12121x x x x +=-，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m 的值．【答案】D ．能力型师生共研7.设x 1，x 2是方程 2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1） (x 1+1)×(x 2+1)；（2）2112x x x x + 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】（1）原式=12121x x x x +++=352122--+=- （2）原式=2221212121212()2143x x x x x x x x x x ++-==- 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系可得121232,2x x x x +=-⋅=-. 【答案】52-，143- 8.已知βα，是方程22510x x --=的实数根，求 2a 2+3ab +5b 的值.【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵α为22510x x --=的实数根，∴22510--=αα，即 2a 2=5a +1，∵α、β为方程的两个实数根，∴α＋β= 52 ，αβ= -12， ∴2α2＋3αβ＋5β=5× 52＋3×（ -12）＋1=12．【思路点拨】根据一元二次方程解的定义得到，即 2a 2=5a +1，则2a 2+3ab +5b 可表示为5（α＋β）＋3αβ＋1，再根据根与系数的关系得到α＋β= 52，αβ= -12，然后利用整体代入的方法计算．【答案】12探究型多维突破9.已知关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设21,x x 是方程的两个实数根，且,14221=+x x 试求方程的两个实数根和k 值【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵∆=2364k +＞0，故方程必有两个不相等的实数根；（2）∵126x x +=，,14221=+x x ∴x 2=8，∴x 1=-2，故有k =±4【思路点拨】（1）根据关于x 的方程0622=--k x x , 得出∆＞0，即证.（2）由两根之和为6，可得x 2=8，进而得出另一根和k 的值.【答案】见解析10.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋4（k -12）=0．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC 的边长a =4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两根时，求△ABC 的周长．【知识点】根与系数的关系；解一元二次方程－因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）∵∆=（2k ＋1）2－16（k -12）=（2k －3）2≥0， ∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x 1＋x 2=2k ＋1=0，解得k =－0.5；（3）①当b =c 时，则∆=0，即（2k －3）2=0，∴k =32，方程可化为x 2－4x ＋4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b ＋c =4=a 不适合题意舍去；②当b =a =4，则42－4（2k ＋1）＋4（k -12）=0，∴k = 52，方程化为x 2－6x ＋8=0，解得x 1=4，x 2=2，∴c =2，C △ABC =10，当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，【思路点拨】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让 -b a=0即可求得k 的值．（3）分b =c ，b =a 两种情况做．【答案】见解析自助餐1.关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，则n m 的值为（）A ．－8B ．8C ．16D ．－16【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，∴ -m 2=－1， n 2=－2， ∴m =2，n =－4，∴n m =24（-） =16．【思路点拨】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m 、n 的值，将其代入n m 中即可求出结论．【答案】C ．2.关于x 的一元二次方程22210x a a x a ++--=（）的两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．2或0【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的两根为x 1，x 2，根据题意得x 1＋x 2=0，所以-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，当a =2时，方程化为x 2＋1=0，∆=－4＜0，故a =2舍去，所以a 的值为0．【思路点拨】设方程的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系得-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，然后利用判别式的意义确定a 的取值．【答案】B ．3.已知一元二次方程2320x x -=-的两个实数根为12x x ，，则（x 1－1）（x 2－1）的值是．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2－3x －2=0的两个实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2=3，x 1×x 2 =－2， ∴（x 1－1）（x 2－1）=x 1×x 2－（x 1＋x 2）＋1=－2－3＋1=－4．【思路点拨】由根与系数的关系可得x 1＋x 2=3,x 1×x 2 =－2，将其代入 ()()121212111x x x x x x =++--⋅-（）中，即可求出结论．【答案】－4．4.已知a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，则代数式a 3－a 2＋3b －2的值为．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，∴a 2－a =3，a ＋b =1，∴a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2=3a ＋3b －2=3（a ＋b ）－2=1．【思路点拨】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出a 2－a =3、a ＋b =1，将其代入a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2中，即可求出结论．【答案】1．5.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m －3）x －m =0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7，求m 的值．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】（1）证明：∵x 2－（m －3）x －m =0，∴∆=[－（m －3）]2－4×1×（－m ）=m 2－2m ＋9=（m －1）2＋8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x 2－（m －3）x －m =0，方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7， ∴（m －3）2－3×（－m ）=7，解得，m 1=1，m 2=2，【思路点拨】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的∆的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．【答案】见解析6.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k =4，求该矩形的周长．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋1=0有两个不相等的实数根，∴∆＞0，∴[－（2k ＋1）]2－4（k 2＋1）＞0，解得k ＞ 34．（2）当k =4时，原方程可化为x 2－9x ＋17=0，设方程的两根是x 1、x 2，则矩形两邻边的长是x 1、x 2，∵x 1＋x 2=9，∴该矩形的周长为2（x 1＋x 2）=18．【思路点拨】（1）根据关于x 的方程222110x k x k +++=（）-有两个不相等的实数根，得出∆＞0，再解不等式即可；（2）当k =4时，原方程x 2－9x ＋17=0，设方程的两根是x 1、x 2，则矩形两邻边的长是x 1、x 2，利用根与系数的关系得出x 1＋x 2=9，再根据矩形的周长公式即可得出该矩形的周长．【答案】k 的取值范围是k ＞ 34；矩形的周长是18．。

9年级数学培优根与系数关系

专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．。