一元二次方程根与系数的关系培优练习

一元二次方程根与系数的

关系培优练习

Last revision on 21 December 2020

一元二次方程培优综合练习

1、关于x 的代数式28x mx m +++是一个完全平方式．求m 的值．

2、Rt ABC △中，°=90C ∠，,a b 是方程2530x x -+=的两个根，求Rt ABC △的斜边上的中线的长．

3、已知ABC △中，AB=AC=m ,BC=n ．

求证：关于x 的方程22480x mx n -+=一定有两个不相等的实数根．

4、已知a b c 、、是ABC △的三边长，且关于x 的方程()2212(1)0b x ax c x --++=有两个相等的实数根． 求证：ABC △是直角三角形．

5、已知a b c 、、是ABC △的三边长，方程()()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等的实数根． 求证：ABC △是正三角形．

6、已知a b c 、、是ABC △的三边长， a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=的两根． ①判断ABC △的形状． ②若53a c =，求a b c 、、的长．

7、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，8=13ABC ABCD s s △梯形，梯形的高

=

2AE ，且1113+=40

AD BC ． ①求B ∠的度数．

②设M 为对角线AC 上的一点，DM 的延长线与BC 相交于一点F ，当

ABC s △时，求CF 和DF 的长． 8、已知关于x 的方程()()2

22120x a x b ---+=有两个相等的实数根．求20143

a b +的值．

9、已知a b ≠，且满足2310a a -+=，2310b b -+=．求

2211

11

a b +

++的值． 10、已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +-+-=有两个不相等的实数根，且这两个实数根不互为相反数． ①求m 的取值范围．

②当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求()212314x x -的值． 11、已知关于x 的方程()22120(0)mx m x m m --+-=>． ①求证：这个方程有两个不相等的实数根．

②如果这个方程的两个实数根分别是12,x x ，且()()12335x x m --=，求m 的值． 12、已知实数x y z 、、满足2x y +=，21xy z =+，求x y z ++的值． 13、已知12,x x 是方程22(35)60x m x m ---=的两个实数根，且12x x =3

2

，求m 的值．

14、已知关于x 的一元二次方程2530x x ++=的两根为αβ、． ①求()223(76)αββ+++的值．

②求 15、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和是11． 求证：关于x 的方程()223640k x kmx m m -+-+-=有两个不相等的实数根． 16、已知关于x 的方程()22220x m x m --+=．问：是否存在实数m 使方程的两根的平方和等于56，若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．

17、已知关于x 的一元二次方程22(51)20x k x k -++-=，是否存在负数k ，使方程的两实数根的倒数和等于4如果存在，请求出k ；如果不存在，请说明理由．

18、已知关于x 的一元二次方程()222310m x m x +++=的两实数根的和为—1，而关于x 的另一个一元二次方程222()2640x a m x a m m +++-+-=有大于0而小于5的实数根，求整数a 的值．

19、关于x 的一元二次方程224(81)40m x m x +++=有两个不相等的实数根． ①若这个方程的两个实数根的倒数和不小于-2，求m 的取值范围． ②m 为何值时，这个方程的两根之比是1:4．

20、m 为何值时，一元二次方程22(3)4360m x mx m +++-=的两根为αβ、，且满足=αβ．

21、已知关于x 的一元二次方程2

2

(2)04

m x m x ---=．

①求证：无论m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根．

②若这个方程的两个实数根是12,x x ，且满足122x x =+，求m 的值及1x 和2x ． 22、已知关于x 的方程()22213(2)02

x m x m -+++=． ①无论m 取何值，方程总有两正根．

②若这个方程的两实数根是12,x x ，且满足22121217

2

x x x x +-=

，求m 的值． 23、已知关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两根之差为2，求这个方程的两根及k 的值．

24、已知关于x 的一元二次方程()22

1402

x m +-=（m 是实数）． ①求证：方程必有两个不相等的实数根．

②设,αβ为方程()22

1402

x m +

-=的两根，且αβ<，若αβ程220x qx ++=的两根，求实数q 的值．

25、已知关于x 的一元二次方程222(2)40x k x k +-++=有两个实数根，且这两个实数根的平方和比这两个根的积大21，求k 的值．