2018届高三数学一轮复习： 第10章 第2节 排列与组合

第二节排列与组合
[考纲传真] 1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．
1．排列与组合的概念
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()
(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()
[答案](1)×(2)√(3)×(4)√
2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()
A．1 560条 B.780条
C.1 600条
D.800条
A[由题意，得毕业留言共A240＝1 560条．]
3．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()
A．24 B.48
C.60
D.72
D[第一步，先排个位，有C13种选择；
第二步，排前4位，有A44种选择．
由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]
4．(2017·唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为() A．85 B.56
C.49
D.28
C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，
甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，
由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．
法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，
其中甲、乙均不入选有C37种方法，
∴满足条件的选排方法有C 39－C 37＝84－35＝49种．]
5．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A ，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
60 [5人的全排列，B 站在A 的右边与A 站在B 的右边各占一半，
∴满足条件的不同排法共12A 55＝60种．]
甲，则不同的排法共有( )
A ．192种
B.216种
C.240种
D.288种
(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种.
【导学号：01772381】
(1)B (2)36 [(1)第一类：甲在左端，
有A 55＝5×4×3×2×1＝120种方法；
第二类：乙在最左端，
有4A 44＝4×4×3×2×1＝96种方法，
所以共有120＋96＝216种方法．
(2)记其余两种产品为D ，E ，A ，B 相邻视为一个元素，先与D ，E 排列，有A 22A 33种方法．再将C 插入，仅有3个空位可选，共有A 22A 33C 13＝2×6×3＝36种不同的摆法．]
[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注
意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．
2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．
[变式训练1]在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()
A．34种 B.48种
C.96种
D.144种
C[程序A的顺序有A12＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A22A44＝48种结果，
由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]
(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()
A．60种 B.63种
C.65种
D.66种
(2)(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m 项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()
A．18个 B.16个
C.14个
D.12个
(1)D(2)C[(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，
∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66种．
(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4
项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]
[规律方法] 1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．
[变式训练2]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
472[第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．
由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]
☞角度1简单的排列与组合的综合问题
(2017·成都质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其
中比40 000大的偶数共有()
A．144个 B.120个
C．96个 D.72个
B[当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C12 A34＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C13A34＝72个，
所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．]
☞角度2分组分配问题
(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()
【导学号：01772382】A．240种 B.180种
C.150种
D.540种
C[5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．
当5名学生分成2,2,1时，共有1
2C 2
5
C23A33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1
时，共有C35A33＝60种方法．
由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]
[规律方法] 1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．
2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．
[思想与方法]
1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：
(1)特殊元素、特殊位置优先原则．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．
(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．
2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
[易错与防范]
1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
2．计算A m n时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．
3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．
5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．。