浙江省湖州市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷( word版含答案)

2016-2017学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}，则A∪B=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，） B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）3．已知a是实数，若是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．已知与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，则θ的取值范围是（）A．＜θB．＜θC．＜θ≤πD．＜θ≤π6．若集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A．12 B．24 C．64 D．817．若（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（）A．﹣40 B．﹣20 C．40 D．208．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．若α，β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则必有（）A．α2＜β2B．α2＞β2C．α＜βD．α＞β10．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为直线l，若直线l与函数y=lnx（x∈（0，1））的图象相切，则满足（）A．x0∈（，）B．x0∈（1，）C．x0∈（0，）D．x0∈（，1）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知α∈（0，），tanα=，则sinα= ，tan2α= ．12．已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x﹣1，则f（0）= ，f（）= ．13．已知单位向量，的夹角为120°，则= ，|﹣|（λ∈R）的最小值为．14．由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有个（用数字作答）．15．已知，为单位向量，且•=0，若向量满足|﹣（）|=||，则||的最大值是．16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．17．函数f（x）=x2+b•x+c•3x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，则b+c的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=cos（2x）﹣2sin（x）cos（x）（1）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．19．袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3 个球颜色不全相同”（Ⅰ）若每次取后不放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）；（Ⅱ）若每次取后放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有两个相等实数根（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为和，如果存在，求出符合条件的所有m，n的值，如果不存在，说明理由．21．已知数列{a n}前n项的和为S n，满足a1=0，a n≥0，3a n+12=a n2+a n+1（n∈N*）（Ⅰ）用数学归纳法证明：1≤a n＜1（n∈N*）（Ⅱ）求证：a n＜a n+1（n∈N*）22．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．2016-2017学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}，则A∪B=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】1D：并集及其运算．【分析】分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：D．2．点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】G7：弧长公式．【分析】由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．【解答】解：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），即Q点的坐标为：（﹣，）．故选：A．3．已知a是实数，若是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据纯虚数的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若是纯虚数，则===﹣i，若复数是纯虚数，则，得，即a=1，故选：A4．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos2x=sin（2x+）=sin，∴y=sin（2x+）=sin=sin，∴为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可．故选：B．5．已知与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，则θ的取值范围是（）A．＜θB．＜θC．＜θ≤πD．＜θ≤π【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的定义和向量的平方即为模的平方，化简可得cosθ＜，再由夹角范围和余弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】解：与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，则（﹣）2＞1，即有2+2﹣2•=1+1﹣2cosθ＞1，即为cosθ＜，由0≤θ≤π，可得＜θ≤π．故选：C．6．若集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A．12 B．24 C．64 D．81【考点】3C：映射．【分析】根据定义可以先确定集合A中元素个数，及集合B的元素个数，然后代入映射个数公式，即可得到答案．【解答】解：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一对应的元素与之对应，A中有4个元素，每个元素可以有3种对应方式，共有34=81种不同的对应方式，即从集合A到集合B的不同映射的个数是81．故选：D．7．若（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（）A．﹣40 B．﹣20 C．40 D．20【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令x=1，（1+a）×（2﹣1）5=2，解得a=1．再利用（2x﹣）5的通项公式，进而得出．【解答】解：令x=1，（1+a）×（2﹣1）5=2，解得a=1．∴（2x﹣）5的通项公式T r+1==（﹣1）r25﹣r x5﹣2r，令5﹣2r=﹣1，5﹣2r=1．解得r=3或2．∴该展开式中常数项=（﹣1）3+=40．故选：C．8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；62：导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．9．若α，β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则必有（）A．α2＜β2B．α2＞β2C．α＜βD．α＞β【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意可得αsinα＞βsinβ，再根据y=xsinx为偶函数，且在上单调递增，可得结论．【解答】解：α，β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，即αsinα＞βsinβ，再根据y=xsinx为偶函数，且在上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选：B．10．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为直线l，若直线l与函数y=lnx（x∈（0，1））的图象相切，则满足（）A．x0∈（，）B．x0∈（1，） C．x0∈（0，）D．x0∈（，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．【解答】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣ln2x0﹣1=0，令f（x）=x2﹣ln2x﹣1，x＞1，f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=1﹣ln2＜0，f（）=2﹣ln2＞0，则有x02﹣ln2x0﹣1=0的根x0∈（，）．故选：A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知α∈（0，），tanα=，则sinα= ，tan2α= ﹣．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α∈（0，），tanα==，sin2α+cos2α=1，则sinα=，∴tan2α===﹣，故答案为：；﹣．12．已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x﹣1，则f（0）= 0 ，f（）= 1 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性和单调性，求得要求的函数值．【解答】解：函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，∴f（0）=0．∵当0＜x＜1时，f（x）=4x﹣1，∴f（）=f（2+）=f（）=﹣1=1，故答案为：0；1．13．已知单位向量，的夹角为120°，则= ﹣，|﹣|（λ∈R）的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义求得的值，再根据于|﹣|=，计算求得结果．【解答】解：∵单位向量，的夹角为120°，则=1•1•cos120°=﹣；由于|﹣|（λ∈R）====，故当λ=﹣时，|﹣|（λ∈R）取得最小值为=，故答案为：﹣；．14．由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有18 个（用数字作答）其中数字0，1相邻的四位数有10 个（用数字作答）．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；数字0，1相邻，先把0，1捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，1相邻的四位数的个数．【解答】解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：=18．其中数字0，1相邻的四位数有： =10．故答案为：18，10．15．已知，为单位向量，且•=0，若向量满足|﹣（）|=||，则||的最大值是2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【解答】解：∵，为单位向量，且•=0，∴可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），∴|﹣（）|=||=，∴=，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．∴||的最大值为+=2．故答案为：2．16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．【考点】7E：其他不等式的解法；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，∵f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数，又f（1）=1，∴f（log2x）＞=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，∴0＜x＜2，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．故答案为：（0，2）17．函数f（x）=x2+b•x+c•3x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，则b+c的取值范围为上的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x﹣），求出函数的最小正周期即可；（2）先求出2x﹣的范围，再求出值域．【解答】解：（1）因为f（x）=cos（2x﹣）﹣2sin（x+）cos（x+）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2xcos+sin2xsin+2sin（x﹣）cos（﹣x﹣）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），所以函数f（x）的最小正周期为T==π；（2）因为x∈，2x﹣∈，由正弦函数的性质得值域为．19．袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3 个球颜色不全相同”（Ⅰ）若每次取后不放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）；（Ⅱ）若每次取后放回，分别求出事件A和事件B的概率（用数字作答）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）每次取后不放回，基本事件总数n=9×8×7=504，事件A包含的基本事件个数m A=3×2×1=6，事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，由此利用等可能事件概率计算公式能求出事件A的概率，利用对立事件概率计算公式能求出事件B的概率．（Ⅱ）每次取后放回，基本事件总数n′=9×9×9=729，事件A包含的基本事件个数m A′=3×3×3=27，事件B 的对立事件是“3个球颜色全相同”，由此利用等可能事件概率计算公式能求出事件A的概率，利用对立事件概率计算公式能求出事件B的概率．【解答】解：（Ⅰ）袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A 为“3个球都是红球”，事件B 为“3 个球颜色不全相同”每次取后不放回，基本事件总数n=9×8×7=504， 事件A 包含的基本事件个数m A =3×2×1=6， 事件B 的对立事件是“3个球颜色全相同”，∴事件A 的概率p （A ）===．事件B 的概率p （B ）=1﹣=．（Ⅱ）每次取后放回，基本事件总数n′=9×9×9=729， 事件A 包含的基本事件个数m A ′=3×3×3=27， 事件B 的对立事件是“3个球颜色全相同”，∴事件A 的概率p （A ）===．事件B 的概率p （B ）=1﹣=．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件：f （x ﹣1）=f （3﹣x ）且方程f （x ）=2x 有两个相等实数根 （Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使f （x ）的定义域和值域分别为和，如果存在，求出符合条件的所有m ，n 的值，如果不存在，说明理由． 【考点】3W ：二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由方程ax 2+bx ﹣2x=0有等根，则△=0，得b ，又由f （x ﹣1）=f （3﹣x ）知此函数图象的对称轴方程为x=﹣=1，得a ，从而求得f （x ）．（Ⅱ）由f （x ）=﹣（x ﹣1）2+1≤1，知4n ≤1，即n ≤．由对称轴为x=1，知当n ≤时，f （x ）在上为增函数，得到关于m ，n 的方程组，最后看是否满足m ＜n ≤即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f （﹣x+3）=f （x ﹣1）， ∴对称轴是x=1，得到﹣=1 ①∵方程f（x）=2x有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣2）x=0有两个相等的实数根，∴△=（b﹣2）2=0，∴b=2，代入①，解得a=﹣1，∴f（x）=﹣x2+2x；（Ⅱ）∵f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤，而抛物线y=﹣x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f（x）在上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则，即⇒又m＜n≤．∴m=﹣2，n=0，这时，定义域为，值域为．由以上知满足条件的m，n存在，m=﹣2，n=0．21．已知数列{a n}前n项的和为S n，满足a1=0，a n≥0，3a n+12=a n2+a n+1（n∈N*）（Ⅰ）用数学归纳法证明：1≤a n＜1（n∈N*）（Ⅱ）求证：a n＜a n+1（n∈N*）【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（I）验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，利用不等式的性质推导n=k+1时结论成立即可；（II）使用作差法和二次函数的性质得出结论．【解答】证明：（I）当n=1时，显然结论成立；假设n=k时，结论成立，即1﹣≤a k＜1，则3a k+12=a k2+a k+1＜3，由a k+1≥0，∴a k+1＜1，又a k≥1﹣，∴3a k+12=a k2+a k+1≥（1﹣）2+（1﹣）+1=﹣+3，a k+12≥1﹣+＞1﹣+=（1﹣）2，∴a k+1＞1﹣，∴当n=k+1时，结论成立，∴1≤a n＜1（n∈N*）．（II）3a n+12﹣3a n2=﹣2a n2+a n+1=﹣2（a n﹣）2+，由（1）可知0≤a n＜1，∴﹣2（a n﹣）2+＞0，∴3a n+12﹣3a n2＞0，∴a n＜a n+1．22．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，+∞）上的单调性，进而证得结论．（3）先由（1）得f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数，故x1、x2不可能在同一单调区间内；设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4﹣x2）．再结合单调性即可证明结论．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．令f'（x）=0，解得x=2．∴f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=．（2）证明：，，∴F'（x）=．当x＞2时，2﹣x＜0，2x＞4，从而e4﹣e2x＜0，∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．∴．（3）证明：∵f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（﹣∞，2）内为增函数，∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．2017年8月7日。