沪科版九年级上册 数学 课件 21.4 二次函数的应用PPT

21.4 二次函数的应用
复习
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) • 交点式：y＝a(x-X1)(X-X2) (a≠0)
1 已知图象上三点或三对的对应值，通 常选择一般式
2 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
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(2)【思维教练】要求直线CD的解析式，需知点C、D 的坐标，结合题意，C点坐标已知，只需求得D点坐标 代入解析式即可，由点D是BO的中点，结合抛物线求 得B点坐标即可得D点坐标． 解：令y＝－ 1x2－ x3＋4＝0，
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解得x1＝－8，x2＝2. ∴点A(2，0)，点B(－8，0)． ∵点D是OB的中点，
4
2
∴P点的坐标为(－6，4)．
(5)【思维教练】要求PA＋PC值最小，则可找出点A或C， 其中一点关于对称轴的对称点，与另一点连接与对称轴 的交点即为所求的P点．
解：由题图知，B点即为A点关于对称轴的对称点，连 接BC与对称轴的交点即为所求的点P. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b. ∵点B(－8，0)，点C(0，4)．
9
(二) 根据图象求解析式中相关系数的关系
例3、 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式 中成立的个数是____________
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
∴点D(－4，0)，
将点D代入直线y＝kx＋4得－4k＋4＝0，
解得k＝1，
∴直线CD的解析式为y＝x＋4.
(3)【思维教练】因为△ACD的AD边在坐标轴上，C点
坐标已知，则由S△ADC＝
1 ·CO·AD求解即可．
2
解：∵D(－4，0)，A(2，0)，∴AD＝6，
∵OC＝4，∴S△ADC＝ 12AD·OC＝
c>0
c=0 c<0
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(三) 根据图象求一系列相关问题 例4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 抛物线 y＝ax2＋bx＋c的顶点为(－3， 2)5，与x轴交于
4
A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C. D是BO 的中点，直线DC的解析式为y＝kx＋4.
×16×4＝12. 2
(4)【思维教练】若PB＝PD，则P为BD的垂直平分线与 抛物线的交点．
解：当PB＝PD，则P点在BD的垂直平分线上，
∵点B(－8，0)，点D(－4，0)，
∴P点的横坐标为－6，且在抛物线上，
∴y＝ 1 x2 3 x 4 1 ，(6)2 3 (6) 4 4
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3 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、 x2，通常选择交点式
二次图象特点及函数性质：
(一) 根据函数图象特点及性质求函数解析式
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
(1)【思维教练】抛物线的解析式有一般式，顶点式和 交点式三种形式．题中给出了抛物线的顶点坐标，故 可将抛物线设为顶点式，再结合直线CD的解析式y＝ kx＋4可得C点坐标，代入所设的抛物线即可求解.
(6)点P是抛物线上一个动点(不与点C重合)，若S△BDP ＝S△BDC，求点P的坐标； (7)点P是抛物线在第二象限部分图象上一点，连接PD， PC，若点P的横坐标为t. ①写出S△CDP关于t的函数关系式； ②计算S△CDP的最大值，及此时点P的坐标；
(1)求抛物线的解析式； (2)求直线CD的解析式； (3)求△ADC的面积； (4)在抛物线上是否存在点P，使得PB＝PD，求此时P 点的坐标； (5)点P是抛物线对称轴上一点，求PA＋PC的值最小 时，P点的坐标；
③是否存在t，使得S△CDP＝S△BDP成立，若存在，求t 的值，若不存在，说明理由； ④若PD将四边形BPCD的面积分成2∶3的两部分，求t 的值；
∴
8k b 0
，解得
k式为y＝ 1 x＋4.
2
∴当x＝－3时，y＝ 5 .
2
∴P点的坐标为(－3， 5 )．
2
(6)【思维教练】S△BDP＝S△BDC，由三角形的面积公式
为 1×底×高，结合题意知△BDP和△BDC的底同为BD， 2
△BDC的高为OC，则只需求得抛物线上点到线段BD的 距离等于OC的点即为P点．
例2（如图所示）已知当x＝－1时，抛物线最高点的 纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函 数解析式
解：根据题意得顶点为(－1,4)
y
由条件得与x轴交点坐标(2,0)；(-4,0）
x o
设二次函数解析式：y＝a(x-2)(X+4)
把（-1，4）代入y＝a(x-2)(X+4)
得
a＝
-
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4 故所求的抛物线解析式为 y= - (x＋1)2＋4
解：∵S△BDP＝S△BDC， ∴|yP|＝yC，即yP＝yC＝4或yP＝－yC＝－4. 当yP＝yC时，点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵点C(0，4)，对称轴为x＝－3， ∴点P的坐标为(－6，4)； 当yP＝－yC＝－4时， 1 x2 3 x 4 4 ，
42 解得xP＝－3± 41 ， 即点P的坐标为(－3－ 41，－4)或(－3＋ 41，－4)． 综上，满足题意的P点有3个，为(－6，4)，
解：∵直线CD的解析式为y＝kx＋4，
∴与y轴交点坐标C为(0，4)，
∵抛物线的顶点坐标为(－3，25)，
4
∴抛物线解析式可设为y＝a(x＋3)2＋
2，5
将点C(0，4)代入得a(0＋3)2＋ 25＝4， 4
4
解得a＝－
1，
4
∴抛物线解析式为y＝－ 1(x＋3)2＋ 2，5
4
4
即y＝ 1 x2 . 3 x 4