第一讲 分式运算中的常用技巧

第一讲 分式运算中的常用技巧

在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、分组通分法： 例1、计算：

x

y x

y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352

思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。 ※例2、计算：

5000

99009999500010050002002250001001122

22

22

22

+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)

思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：

2

5000100100002002500010020010050001005000

10010020010020010050001005000

)100(100)100()100(50001002

22

2222222222222

2

2=+-+-=+--+++-=++--+-++

+-=+----++-n n n n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n n n n n 二、整体通分法：

例3．化简：2

1

a a --a-1

思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算

4

214121111x

x x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()

241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”

的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算11

1x 1x

+

-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则

11

1x 1x +

-+222

1x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分

例5．计算：2262a a a a +++224

44

a a a -++

思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2

x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知1

22

432+-

-=

--+x B

x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)

A ．7

B ．9

C ．13

D ．5

思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：

111

.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x +++

+++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到1

1

1)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵

消一些项. 例8.化简：

)

)(())(())((a c b c b

a a

b

c b a c c a b a c b -----------

思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：

c

a b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---1

1))(()()())((

a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---1

1))(()()())((

b

c a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---1

1))(()()())((

※例9.化简：222()()()()()()

a bc

b a

c c ab

a b a c b c b a c a c b ---++++++++.

思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的

形式，即：b

a b

c a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22

c

b c

a b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22

a

c a

b c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22

六、分式的换元化简 ※例10.化简：

)

2)(2()

)(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+

-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：

)

)(())(())((b a a c bc

a c c

b ba

c b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。

七、假分式的降次法

例11. 计算：a a a a a a 221131

3

+-+--+-

思路点拔：分式中分子的次数不小于分母的次数时，可把假分式化成真分式。如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。

例12.解分式方程：

8

21

261949819965--+

--=--+--x x x x x x x x ； (“五羊杯”竞赛题) 思路点拔：分式方程中，每一个分式都是假分式，可把每一个分式化成真分式，然后根据分母的特征分组通分。

学力训练

1．要使分式a

a a 23114

2++

-没有意义，则a 的值为 ．

2、a=______时，分式

6

22-+-a a a 的值是0；