备战2012年高考压轴题集(圆锥曲线与导数)解析与答案
2012高考数学专题综合训练--圆锥曲线(分专题,含答案)
2012年高考圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,27e =由1273e e =得13e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题：3、已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+ ∴2239k k k +=+，解得k=3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y=3x+3符合要求.4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ． 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ．若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(22<+-y ，解得023*******<<-<<y y 或．将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x)1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=， 所以AB k y 290=， 则有029233233290<<-<<ABAB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或， 故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈． 三、定义与最值：5、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积；（Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM = DN ，求实数 的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]四、弦长及面积：6、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 7、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-= 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h == △． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=， 所以12AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =．22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 五、范围问题:8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
2012年高考圆锥曲线大题及答案
知识就是力量。
(培根)2012年高考圆锥曲线大题专练抚松一中 崔荥1.(2011新课标)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA，MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．2.（2011北京）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.3.（2011辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。
（I ）设12e =，求BC 与AD的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由4.（2010新课标）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB=,求E 的方程.5.（2011江西）000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15。
（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率未1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足，求λ的值。
6.（2011安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=uu u r uu r，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=u u u r u u u r,求点P 的轨迹方程。
2012年高考圆锥曲线
2012年高考真题数学圆锥曲线一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 2.【2012高考新课标8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B C/4 ()D 83.【2012高考新课标4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 C 34 ()D 454.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 6.【2012高考湖南5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17.【2012高考福建8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B. C.3 D.58.【2012高考安徽9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B C2()D 9.【2012高考全国卷3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45二、填空题13.【2012高考四川15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
2012各地圆锥曲线与方程高考大题、选择、填空汇总解析与答案详解
2012各地圆锥曲线与方程高考大题、选择、填空汇总解析与答案详解已知抛物线是关于x轴对称的，它的顶点在坐标原点o，并通过点M(2，y0)如果从点m到抛物线焦点的距离是3，那么|OM|？()A，22 B，23 C，4 D，25 (XXXX高考理科8) F1和F2被称为双曲线C:x？y。
2的左右焦点，c上的点p，22|PF1|？2|PF2|，cos？F1PF2？a.334 b . C . d . 4545(XXXX高考、中考、理科新课程标准8)等边双曲线的中心在原点，焦点在X轴上，而C和抛物线线在Y轴上？16x的准线穿过点a和b，AB？43；那么C的实轴长度是()2(A)2 (B) 22 (C)？(四)？x2y2 (XXXX年高考新课程标准国家理科4)设置F1F2是椭圆形E:2？2？1(a？b？0)，abP是一条直线x？3a位以上，？F2PF1是30吗？等腰三角形的偏心率e () 212？？(一)(二)(三)(四)23？？X2y2 (XXXX浙江高考XXXX理科8)如图所示。
F1和F2分别是双曲线C: 2。
2？1(a，b > 0)的左右焦点ab，b是虚轴的端点，直线F1B和c的两条渐近线分别在p和q处相交，线段PQ的垂直平分线在点m处与x轴相交，如果| mf2 | = | f1f2 |，那么c的偏心率是a . 236b . 32c . 2d . 3x 2 y2(xxxx高考湖南卷科学5)双曲线c: 2-2 = 1的焦距已知是10，点P (2，1)在c的ab渐近线上，c的方程是x 2 y2 x2y 2a。
-= 1b。
-= 1c。
-= 1d。
-= 1[回答] AXXXX。
椭圆的中心在原点，焦距是4，准线是x？？4、椭圆方程是x2yx2yx2yy2？？1 B？？1摄氏度？？1 D？？1 a 1612168841242，填空题:(XXXX高考中册科学12)在直角坐标系xOy中，直线l穿过抛物线=4x的焦点f，并与a点和b点的撇线相交，其中a点在x轴上方如果直线l的倾角是60o，那么△OAF的面积是.(xxxx年高考辽宁卷科学15)已知p，q是抛物线x？2y上两点的横坐标，p点和q点分别为4。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
a ，又由于虚轴两端点为
公式知，
B1 ， B2 ，因此 OB2 的长为 b ，那么在
F 2OB 2 中，由三角形的面积 c
2
1 2
bc
1 2
2
a | B2 F2 |
1 2
a (b
c ) ，又由双曲线中存在关系 5 2 1
2
a
2
b 联立可得
2
出
(e
2
1)
2
e ，根据 e
F2 OB 2
(1,
) 解出 e
2012 高考真题分类汇编：圆锥曲线
一、选择题
2
1. 【 2012 高考真题浙江理
8 】 如图， F1,F2 分别是双曲线
C：
x a
2
y b
2 2
1 （ a,b＞ 0 ）的左、
右焦点， B 是虚轴的端点，直线
F1B 与 C 的两条渐近线分别交于
P ,Q 两点，线段 PQ 的垂直平
分线与 x 轴交与点 M ，若 |MF 2|=|F 1F2|, 则 C 的离心率是
（ B）
3 5
(C)
3 4
2 2
(D)
4 5
【答案】 C 【解析】双曲线的方程为
x
y
1 ，所以 a
b
2, c
2
P 在双曲线的右支上，则有
2
2 ，因为 |PF 1|=|2PF 2| ，所以点
|PF 1|-|PF 2|=2a=
2 2 ,所以解得 |PF 2|= 2 2 ， |PF1|= 4 2 ，所以根
y
2
2 px ，则点 M (2, 2 p ) Q 焦点
2
p 2
,0 ，点 M 到该抛物线焦
2012年高考真题汇编理科数学(解析版)10：圆锥曲线
2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c b a c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2012高考数学圆锥曲线精选(含答案)
2012年高考数学---圆锥曲线与方程一、选择题1 ．（2012年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182x y +=B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 2 ．（2012年高考（山东文））已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 （ ）A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y =3 ．（2012年高考（浙江文））如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 （ ）A ．3B ．2C D4 ．（2012年高考（浙江理））如图,F 1,F 2分别是双曲线C:22221x y a b-=(a ,b >0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 （ ）A BC D 5 ．（2012年高考（辽宁文））已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 （ ） A ．1 B ．3 C ．-4 D ．-8 6 ．（2012年高考（四川文））已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （ ）A ．B ．C ．4D ．7 ．（2012年高考（课标文））等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点,||AB =则C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．88 ．（2012年高考（课标文））设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．459 ．（2012年高考（江西文））椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ）A ．14B C ．12D10 ．（2012年高考（湖南文））已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为（ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1[w~、ww.zz&st^@]11 ．（2012年高考（福建文））已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于A14B ．4C ．32D ．4312．（2012年高考（大纲文））已知12,F F 为双曲线222x y -=的左,右焦点,点P 在C上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （ ）A ．14 B ．35 C ．34D ．4513．（2012年高考（大纲文））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=14 ．（2012年高考（新课标理））等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =则C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4D ．815 ．（2012年高考（新课标理））设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P为直线32ax =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4516 ．（2012年高考（四川理））已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （ ）A ．B ．C ．4D ．17 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 [答]（ ）A ．1C 与2C 顶点相同.B ．1C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同.D ．1C 与2C 焦距相等.18 ．（2012年高考（湖南理））已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为（ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =119 ．（2012年高考（福建理））已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）A B ．C ．3D ．520 ．（2012年高考（大纲理））已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （ ）A ．14B ．35 C ．34D ．4521．（2012年高考（大纲理））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 （ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 22．（2012年高考（安徽理））过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A ．2BC ．2D ．二、填空题23．（2012年高考（天津文））已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线,且1C 的右焦点为F ,则a =______,b =_______.24．（2012年高考（重庆文））设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =___25．（2012年高考（四川文））椭圆2221(5x y a a +=为定值,且a >的的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.26．（2012年高考（陕西文））右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.27．（2012年高考（辽宁文））已知双曲线x 2- y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若P F 1⊥PF 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.28．（2012年高考（安徽文））过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若||3AF =,则||BF =______29．（2012年高考（天津理））己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩(t 为参数),其中>0p ,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,若||=||EF MF ,点M 的横坐标是3,则=p _______.30．（2012年高考（重庆理））过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =_____________________. 31．（2012年高考（四川理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.32．（2012年高考（上海春））抛物线28y x =的焦点坐标为_______.33．（2012年高考（陕西理））右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽____米. 34．（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.35．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 36．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为____. 37．（2012年高考（湖北理））如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. 38．（2012年高考（北京理））在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x=的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________. 三、解答题 39．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)xy已知椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ,且△12AB B 是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过1B 作直线交椭圆于,P Q ,22PB QB ⊥,求△2PB Q 的面积40．（2012年高考（浙江文））（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12）到抛物线C ：2y =2px （P ＞0）的准线的距离为54。
2012年高考文科全国试题汇编：圆锥曲线(含解析)
2012年高考文科试题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y Ea b ab+=>>的左、右焦点，P为直线32a x=上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B 23()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F P F 是底角为030的等腰三角形， ∴0260P F A ∠=，212||||2P F F F c==，∴2||A F =c，∴322ca=，∴e =34，故选C.2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线xy 162=的准线交于,A B 两点，A B =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y=，∵||A B =，∴a =2，∴C的实轴长为4，故选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)Cxp y p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为(A) 23xy=(B) 23xy=(C)28xy= (D)216xy=【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知ab3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线xy 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612xy+= （B ）221128xy+=（C ）22184xy+= （D ）221124xy+=【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
22
22m1mm1
22222
宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
【答案】26 .
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【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的
2
坐标为（2，-2）.设抛物线方程为x2py
，带入点A得p1，设水位下降1米后水面与
2
桥的交点坐标为(x,3)，则23,06
x0x，所以水面宽度为26.0
12.【2012高考真题重庆理14】过抛物线
据余弦定理得
22
(22)(42)143
cosF1PF,选C.
2
4
22242
9.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该
撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为
【答案】3
2
【解析】由y4x
可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为
【答案】3
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查
推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.
【解析】当直线xm过右焦点时FAB的周长最大，m1；
将x1带入解得
3
y；所以
2
13
S23.
FAB
22
11.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面
【答案】C
2y2mm
【解析】设等轴双曲线方程为x(0)，抛物线的准线为x4，由AB43,
2y
2
则y23,把坐标(4,23)代入双曲线方程得mx16124，所以双曲线方
备战(浙江版)高考数学分项汇编专题9圆锥曲线(含解析)文【含答案】
第九章 圆锥曲线一．基础题组1. 【2013年.浙江卷.文9】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A B C ．32D 【答案】：D2. 【2012年.浙江卷.文8】如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2C 【答案】B3. 【2011年.浙江卷.文9】已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = (D) 22b = 【答案】C4. 【2009年.浙江卷.文6】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2A P P B =，则椭圆的离心率是（ ）A ．2 B ．2C ．13 D ．12【答案】D 【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=5. 【2009年.浙江卷.文6】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2A P P B =，则椭圆的离心率是（ ）A ．2 B ．2C ．13 D ．12【答案】D 【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=6. 【2008年.浙江卷.文13】已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = . 【答案】8【解析】：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用.依题直线AB 过椭圆的 左焦点1F ,在2F AB 中，22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =7. 【2006年.浙江卷.文3】抛物线28y x =的准线方程是(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 【答案】A【解析】由抛物线的标准方程28y x =知4p = ,所以22p= ， 所以抛物线的准线方程是2x =- ，故选A.8. 【2005年.浙江卷.文13】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．【答案】2【解析】：由题意可得2b ac a=+,即c 2-a 2=a 2+ac,化成关于e 的方程e 2-e-2=0,解得e=2 9. 【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】2二．能力题组1. 【2014年.浙江卷.文17】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .【答案】252. 【2011年.浙江卷.文9】已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = (D) 22b = 【答案】C3. 【2010年.浙江卷.文10】设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（A ）0x ±= （B y ±=0 （C ）0x ±= （D y ±=0 【答案】D4. 【2009年.浙江卷.文22】（本题满分15分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174．（I ）求p 与m 的值；（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．【答案】（I ）21=p ,2±=m （II ）235.【2008年.浙江卷.文22】（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹.l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥轴（如图）.（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得QAQB2为常数.【答案】（Ⅰ）曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）直线l 方程为220x y -+=．【解析】：（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则||NP =N 到直线58y =-的距离为58y +．58y =+．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而||1|QB x =+．在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，6. 【2007年.浙江卷.文21】（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得12x =±， 所以1212S b x x =-221b b =-2211b b +-=≤．当且仅当2b =时，S 取到最大值1．7. 【2006年.浙江卷.文19】如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23.(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2AT AF AF ＝ 。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2012年高考数学最后冲刺圆锥曲线
圆锥曲线1.已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A ．)3,1(B ．)22,3(C ．),21(+∞+D ．)21,1(+2．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120,PF PF ⋅=121tan ,2PF F ∠=则该椭圆的离心率等于________．3．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120,PF PF ⋅=121tan ,2PF F ∠=则该椭圆的离心率等于________．【答案】35【解析】因为120,PF PF ⋅=所以12PF PF ⊥,又因为121tan ,2PF F ∠=所以可设1||PF x =,则2||2PF x =,12||F F =,所以由椭圆的定义知:23a x =,又因为2c =,所以离心率22ce a==35. 4.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．因为()22221001R MF x y ==++，所以()()22200041x x y -≤++，………………10分即20010150y x +-≥ ．又因为2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以20033101504x x -+-≥．…………………………12分解得0423x ≤≤．……………………………………………………………………13分 当043x =时，0y =，所以()12max122MF F S =⨯= ．…………15分5．设椭圆C 1和抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：（1）求曲线C 1，C 2的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 1交于不同两点M 、N ，且0=⋅OM 。
备战2012高考数学(理)最新专题冲刺之圆锥曲线(2).pdf
1.读图3.3.3，大气压随海拔高度怎样变化？ 。
为什么会这样？ 。
同时同一地方的大气压随 的不同而不同，通常晴天的大气压比阴天 ，冬天的大气压比夏天 ，天气预报中常用的大气压单位是 。
2.液体沸点与液面上的气压的关系是： 。
3. 在正常情况下，人体内的压强与大气压基本 。
4. 虹吸现象与 有关，虹吸现象的原理是什么？ 。
5.高山反应的主要原因是什么? 。
6.一定质量的气体体积减小时，压强 ，体积增大时，压强 。
生产、生活中哪些设备用到这个规律？ 。
【课堂探讨】 （一）化三分钟时间记住大气压的变化与海拔的关系、与天气的关系。
（二）演示实验一：液体沸点随大气压强变化 材料：铁架台、酒精灯、烧瓶、塞子、橡皮管、大注射器。
步骤： 烧瓶中的水沸腾后把酒精灯移去，我们看到的是 用插有一段玻璃管的橡皮塞把瓶口塞紧，把大注射器接在一段橡皮管上，橡皮管的另一端接到瓶塞的玻璃管口上，向外拉注射器的活塞，会发生什么现象？ 这个现象说明了什么？ 向里推注射器的活塞，会发生什么现象？这个现象又说明了什么？ 实验结论：一切液体的沸点都随气压的减小而 ，随气压的增大而 。
应用：高山上用普通锅煮饭不容易熟，这是什么原因？你用什么办法让饭尽快熟？ （四人一组讨论，看那一组快、方法合理） (三)活动一：人体内压的存在。
P56 用嘴使劲吸吮手腕上的皮肤，用时十几秒，看看皮肤上有什么现象出现？请解释原因。
宇航员在太空行走时为什么要穿宇航服——全封闭的增压服？这和气压有关吗？ 活动二：虹吸现象P57 现象： 你能解释这个现象吗？ 应用：农业生产的涵洞；自动冲水马桶；用虹吸管给鱼缸换水。
（用视频或ppt展示其工作原理） (四)演示实验二：研究一定质量的气体压强与体积的关系。
P58 现象:1. 2.推时: 拉时: 结论：一定质量的气体在温度一定时，体积减小压强 ；体积增大压强 。
应用：抽水机、打气筒、静脉滴液、空气压缩机等。
备战2012高考数学(理)最新专题冲刺之圆锥曲线(2)
一、选择题:1. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A（B（C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab 又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。
4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b =【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由222A y x x x y =⎧⇒=⎨+⎩,x ∴=15y a=5(,)1515aa 在椭圆上,2222)15151a b∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒= 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-【答案】D 【解析】：24(1,0)y x F =得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y x A B y x ⎧=-⎨=-⎩得则AB ==2,5AF BF ==由余弦定理得4cos 5AFB ∠==- 故选D 11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 【答案】A二、填空题:3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y += 【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=. 4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为2。
2012高考数学最后冲刺 圆锥曲线
【高考预测】1.对椭圆相关知识的考查2.对双曲线相关知识的考查3.对抛物线相关知识的考查4.对直线与圆锥曲线相关知识的考查5.对轨迹问题的考查6.考察圆锥曲线中的定值与最值问题7.椭圆8.双曲线9.抛物线 10.直线与圆锥曲线 11.轨迹问题 12.圆锥曲线中的定值与最值问题 易错点1对椭圆相关知识的考查1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )12.22.212.22.---D C B A【错误解答】 A【错解分析】 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把||||21PF PF 当作离心率．【错误解答】 D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆92522y x +=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=43±=±a b【错解分析】 没有很好理解a 、b 、c 的实际意义．【正确解答】 C 设双曲线方程为2222b y a x -=1，则由题意知c=5，c a 2=4 则a 2=20 b 2=5，而a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±a b =21±4．(2012精选模拟题)设直线l 与椭圆162522y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( )【错误解答】 设直线l 的方程为y=kx+b如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD由)1(0)40025(50)2516(1162522222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x b kx y 得所以x 1+x 2=-.2516502k bk+由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122y x bkx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0(2)若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1所以x 3+x 4=212k bk-、由⇒=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4⇒x 1+x 2=x 3+x 4⇒-⇒-=+2212251650k bk kbkbk=0或b =0①当k=0时，由(1)得x 1、2=±21645b - 由(2)得x 3、4=±12+b 由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 1)即1316161641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为y=±1316②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2251620k +，由(2)得x 3、4=211k -±由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 3)即.2516,25161625164022x y l k k k±=±=⇒-=+的方程为故综上所述：直线l 的方程为：y=xy 2516,1316=±【错解分析】 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．k=0时，由(1)得.164522,1b x -±=由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-⇒=x x CD AB (x 4-x 3)．即.131611641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=2251620k +±自(2)得x 3、4=33,11122=-⇒=-±x x CD AB k 由(x4-x3)．即.25161625164022±=⇒-=+k k k故l 的方程为y=x2516±．再讨论l 与x 轴垂直时的情况．设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=.25542c -±y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y CD AB c -=-⇒=-±由即.24125,2412516255822=±=⇒-=-xlccc的方程为故综上所述，直线l的方程是：y=2516±x、y=±1316和x=24125±解法二：设l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，则有⎪⎩⎪⎨⎧==-==+.4,3.12,1,116252222jyxiyxjjii由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：⎩⎨⎧=-+--+=-++-+.0))(())((,0))((25))((163434343412121212yyyyxxxxyyyyxxxx因C、D是AB的三等分点，故CD的中点(x0，y0)与AB的中点重合，且.3CDAB=于是x0=,221342xxxx+=+y0=,223412yyyy+=+x2-x1=3 (x4-x3)．因此⎩⎨⎧-=-=--=-)2().()()1(),(25)(1634343434yyyxxxyyyxxx若x0y0≠0，则x2=x1⇔x4=x3⇔y4=y3⇔y2=y1．故l的方程为：24125±=x③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直．设l 的方程为y=kx ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x 1、2=.11,25162024,32kx k-±=+±.2516)(33412±=⇒-=-k x x x x 故l 的方程为y=.2516x y ±= 综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±、y=1316±和x=.24125± 5．(2012精选模拟题)设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．(1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)【错解分析】①用“差比法”求斜率时k AB =2)(3121y y x x ++-这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．【正确解答】 (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根， ∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，②且x 1+x 2=3)3(22+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得1221=+x x ，∴A(k-3)=k 2+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)． 于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2121)(3y y xx ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1． 又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x 2+4x+4又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，且x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23，即M(-21，23)．于是由弦长公式可得|CD|=.)3(2||)1(1432-=-•-+λx x k ④将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得|AB|=.)12(2||.1212-=-+λx x k ⑥∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x 2-8x+16-λ=0．⑤解③和⑤式可得 x l ，2=.231,21224,3-±-=-±λλx不妨设A(1+)233,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C )21233,23123()21233,23123(-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA CA计算可得0=•CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD) 【特别提醒】1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形……3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．考场思维调练1 已知椭圆的中心O 是坐标原点，A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2分别为左右准线，l 1与x 轴交于O ，P 、Q 两点在椭圆上，且PM ⊥l 1于M,PN ⊥l 2于N ，QF ⊥AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( )||||)5(;||||)4(;||||)3(;||||)2(;||||)1(BF QF BA AF BO AO PN PF PM PFA.1个 B ．2个 C.4个 D ．5个答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于c aaBO AO 2||||==e ，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=,2a b|BF|=c b c c a 22=-,e BF QF =||||故,故(5)正确；(2)显然不对，所选C ．2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c ，静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 ( )A ．4aB ．2(a-c)C.2(a+c) D ．以上答案均有可能答案： D 解析：(1)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B ；(2)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a+c)，则选C ；(3)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A.于是三种情况均有可能，故选D.令V=t 4+a 2t ，V ′=-24t +a 2由V ′=Oa t 2=⇒ 当时t>a 2时，V ′>0；当0<t<a 2时，V ′<0．．．10分若1≤a ≤2，则，故a 2∈[1，2]当t=a 2时，S max =a 若a>2，则0<a 2<1，∵V=t 4+ a 2t 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数．∴当t=1时，S max =2244a a +综上可得S max ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤)2(44)21(22a a a a a易错点2 对双曲线相关知识的考查1．已知双曲线x 2-22y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=•MF MF ，则点M 到x轴的距离为 ( )3.332.35.34.D C B A【错误解答】 B【错解分析】 没有理解M 到x 轴的距离的意义．【正确解答】 C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|，|MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1|由|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2得 x 02=.332||,3435020==y y 则即点M 到x 轴的距离为.3322．(2012精选模拟题)已知双曲线2222b y ax -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【错误解答】 B【错解分析】 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．即4e 4-25e 2+25≤0解不等式得45≤e 2≤5，所以e 的取值范围是].5,25[]25,5[⋃--【错解分析】 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1．【正确解答】 解法：直线J 的方程为b ya x +=1，即 bx+ay-ab=0． 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=.)1(22ba ab +-同理得到点（-1，0）到直线l 的距离d 2=.)1(22ba ab ++s=d 1+d 2=.2222cabba ab=+由025254.215.25,542,542222222≤+-≥-≥-≥≥e e e e c a c a c c ab c s 即于是得即得解不等式，得.525,01.5452≤≤>>≤≤e e e e 的取值范围是所以由于【特别提醒】1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏．3．掌握参数a 、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用． 【变式训练】答案：由−−→−=−−→−PMDF 1知四边形PF 1OM 为平行四边形，又由|||||||11−−→−−−→−−−→−•−−→−=−−→−−−→−−−→−•−−→−OPOMOPOMOF OPOF OP知OP 平分∠F 1OM, ∴PF 1OM 菱形，设半焦距为c ，由||1−−→−OF =c知ea c a c cPMPF PF PF PMPF =−−→−−−→−+=+−−→−=−−→−=−−→−=−−→−||||,22||||,||||1121又，即c+e c a=1e 2-e-2=0, ∴e=2(e=-1舍去)(2)若此双曲线过点N(2，3)，求双曲线方程：答案：∵e=2=,a c∴c=2a, ∴双曲线方程为)3,2(,132222将点==a y a x 代入，有3a ,1434222=∴=-a a即所求双曲线方程为9322y x -=1. (3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B 1，B 2(B 1在y 轴正半轴上)，求B 2作直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，求B B A B 11⊥时，直线AB 的方程．答案：依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB 的方程为y=kx-3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+-⇒-=193.0186)3(32222y x kx x k kx y∵双曲线的渐近线为y=±x 3,∴当k=±3时，AB 与双曲线只有一个交点，即k ≠±3.∵x 1+x 2=.318,362212k x x kk--=•-y 1+y 2=k(x 1+x 2)-6=2318k --,y 1y 2=k 2x 1x 2-k(x 1+x 2)+9=9又=−−→−AB 1（x 1，y 1-3）,−−→−BB 1=(x 2,y 2 -3),−−→−AB 1⊥−−→−B B 1,09)(3212121=++++⇒y y y y x x93183931822=+--•-+--k k ,即k 2=5, ∴k=±5.故所求直线AB 的方程为y=5x-3或y=-5x-3.3 设双曲线42x -y 2=1的右顶点为A 、P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点．(1)证明：无论P 点在什么位置，总有||||2AR OQ OP •=；答案：设OP ：y=kx 与AR ：y=联立)2(21-x解得),212,212(k kk OR--=−−→−同理可得),212,212(k k k OQ ++=−−→−所以|−−→−OQ ·−−→−OR |,|41|4422k k -+设|−−→−OP|2=（m,n ）,则由双曲线方程与OP 方程联立解得m 2=,414,4142222k k n k-=-所以|−−→−OP|2=m 2+n 2=||414422−−→−•−−→−=-+OROQkk (点在双曲线上，1-4k 2>0);(2)设动点C 满足条件：)(21AR AQ AC +=，求点C 的轨迹方程．答案：∵),(21−−→−+−−→−=−−→−AR AQ AC点C 为QR 的中心，设C （x,y ）,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22412412k ky k x ，消去k,可得所求轨迹方程为x 2-x 2-4y 2=0(x ≠0).易错点3 对抛物线相关知识的考查。
备战2012高考数学(理)最新专题冲刺之圆锥曲线(1).pdf
S=1.68×104 n V=1463 t y=1000 x S=1.68×104 n V=1463 t y=1000 x 【反比例函数的定义】 1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数,你能指出自变量和函数吗? 2.上面的函数关系式形式上有什么的共同点? k 都是的形式,其中k是常数. y=x 3.反比例函数的定义 一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数． y=k x ４.反比例函数的自变量的取值范围是 不为０的全体实数 在实际问题中,这三个反比例函数的自变量t,x,n都为正数,当自变量取一个值时,都有一个函数值与之对应. 有时反比例函数也写成y=kx-1或k=xy的形式. 你能举出生活中成反比例关系的两个变量吗? 【现场提问】 １.下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？ ① ②③ ④ ⑤ ⑥ ⑦⑧y=3x-1 y=2x2 y=2x 3 y=x 1 y=3x y=3 2x y=1 3x y=x 1 请大家观察下列几个函数有什么共同特点？ y=x 1 y=x 1y=1 3x y=3 2x ⑵ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） （A）（B） + 7 （C）xy=5 （D） ⑶ 已知函数 是正比例函数,则 m=___ ；已知函数 是反比例函数,则 m=___ 。
y=8 X+5 y=x 3 y=x2 2x y=xm -7 y=3xm -7 C 8 6 x -1=x 1 【现场提问】 已知函数 是反比例函数,则 m=___ 。
y=(m-3)x2-m -3 判断一个等式为反比例函数,要两个条件: (1)自变量的指数为-1; (2)自变量系数不为0. 【反比例函数的表达式】 【课堂练习】 1.y是x的反比例函数,当x=3时,y=-6. (1)写出y与x的函数关系式. (2)求当y=4时x的值. 2.已知函y=a+b,a与x成正比例,b与x成反比例,且当x=1时,y=4;x=2时y=5. (1)求y与x的函数关系式. (2)当x=4时,求y的值. t=2000 v h=1000 s p=100 s 布置作业 习题17.1第2、4、5题。
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备战2012年高考压轴题集(圆锥曲线部分)解析与答案 命题人:罗攀1.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a M F M F =+==+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a M F M F '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴-= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，D E 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322D C AP x C H a xa ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222D HD CC Hx y x a a x a aa D HD E D H l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值;定值此时的方程为： …………（12分）2. 解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨⎧='=',y 2y ,x x ………………(2分) 又,4y x 22='+'∴1y4x4y 4x 2222=+⇒=+.所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x22=+.………………(4分)(2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x,得01my 32y )4m (22=-++………………①∴,4m m 3y 20+-=………………(6分)∴4m 344m 34m 34m m33myx 222220+=++++-=+=,∴点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .………………(8分)①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m 32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上,得1)4m(m 12)4m(4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m(8m22-== 舍去).由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=-又|,)y y (m ||my my ||x x |212121-=-=-∴3|y y |1m |A B |212=-+= .………………(10分) ②若3|A B |= , 由①得,34m )1m (422=++∴ .8m2=∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 22y >±= ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.综上, OE ON 2=的充要条件是3|A B |= .………………(12分)3. （1）2241282A E F m n S m n m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663tttt t t-=-÷+==≤++，当t =303tan EPF EPF ∠=⇒∠=4. 解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =ab (x – a ),解得：→--OR = (bak ab --,bak kab --), 同理可得→-OQ = (bak ab +,bak kab +),∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab--bak ab++b ak kab--bak kab+| =|b ka |)k 1(b a 222222-+. 4分设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2=22222ka bb a -, n 2=222222ka bb a k -,∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2=22222ka bb a -+222222ka bb a k -=222222ka b)k 1(b a -+ ,∵点P 在双曲线上，∴b 2– a 2k 2> 0 .∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2= |→-OQ ·→--OR | . 4分 （2）由条件得：222222ka b )k 1(b a -+= 4ab, 2分即k 2=22a4ab abb4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e >417 2分5. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2– 16c 2= c 4a 2– 16c 2≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+,法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-.∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x ≠ –1,∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥|a |4 > 0 ,∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) =1|a |4|a |4+=4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) =1|a ||a |++4|a |4+>4|a ||a |++4|a |4+=1.即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.6. 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)1241.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1.3M N Q N k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,M N M Q M N x k k k y ⋅=-=-所以11.3Q N y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =- (10)分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3xy xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分7. 解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -=①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -=②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A)11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk kk FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k kFP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 8. 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取bb a x +=，1,0,1>+∴>>bb a b a ，一方面，由（1）知x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f bb a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a bb a a b ba即ba bb a +>+1ln ……………………………………8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx xx G∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ∴x x ln > 即b ba b b a +>+ln综上所述，.ln1bb a bb a ba +<+<+………………………………………………14分9. 解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD D C =，得3()c a c a +=-，即2c a =．x∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,c b == ∴双曲线E 的方程为2213yx -=． （5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC G M G N λ⊥-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=，得120y y λ+=．即12y y λ=-① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()BC G M G N λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213yx -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 km t k =． 当1t m=时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC G M G N λ⊥-． （12分）x10. 解：（I ） 右准线l 12：x ac=，渐近线l 2：y b ax =∴=+M ac abc F c c a b ()()22220，，，， ，∴→=OM a c ab c()2，M F c a c ab c b c abc→=--=-()()22，，OM M F a b c a bcOM M F →⋅→=-=∴→⊥→222222……3分（II ） e b ae ab =∴=-=∴=621222222，，||()M F b c a b c b b a cba→=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：xy2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ……8分证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，， 由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q ∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k ……11分A P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kkk kk k ，-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1） ……13分11. 解：（I ） e c a =∴=2422， c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，，∴+=+=321321007532512222()()y x xy，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] O P O Q x x y y x x k x x x x kx x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k kx x k kii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+=∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .14分12. 解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b ac -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分∴a x ax 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0， ∴0=⋅AQ FA ．cbx b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ． ∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分 （2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'，)0,(,2222222c O c c cc a cc b '∴=--=-， 8分圆半径a cacbr ==+=22222． 10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+yx． 12分13. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P yx x yy x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为2202021222242y yyx d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分14. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0. 由y=x 2， ①得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∴直线l 的斜率k l =－=-，21切k 111x∴直线l 的方程为y －x 12=－(x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+x －x 12－2=0.∵M 是PQ 的中点 x 0==-，∴y 0=x 12－(x 0－x 1).消去x 1，得y 0=x 02++1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2++1(x ≠0).方法二： 由y 1=x 12，y 2=x 22，x 0=，得y 1－y 2=x 12－x 22=(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0==k l =-，∴x 1=－，将上式代入②并整理，得 y 0=x 02++1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2++1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).2111x 12x 221x x +11x 2111x 221x 221x 2121221x x +2121212121x x y y --11x 01x 221x 221x分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则 =+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ y=kx+b y 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一： ∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2.∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法二： ∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k+.当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b22)(2bb k +=b b k)(22+=bk 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b22)(2bb k+=bb k-+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0， 于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2.∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x b y -.则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2.∵||12x x 可取一切不等于1的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.15. 本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =； 当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =+综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-.因为22()323()03f x x a x x x a '=-=->，(12)x ∈，，则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-.②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-.22()233()3f x a x x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得 (1)1m f a ==-. 若23a <<，则2123a <<.当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数；当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数.因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-.当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-.综上所述，所求函数的最小值111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．16. 本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21，即.||||||21x a c a cax ac P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a yx =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cby ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当cba 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分17. 本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分③ ④ ③ ④（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分18. 解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220k y p y p b -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，ta n ta n 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p -（2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by ax ，则.1,31422222==+=-=bc b a a得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----20. 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP PG y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴41)1)(1(cos 102010010x x x x x x x x AFP +=--+⋅+==∠同理有41)1)(1(cos 102110110x x x x x x x x BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|10220102220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.21. 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+kk k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤ 同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|， 即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）22. 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b ab+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43aM A a A F a ccaa a c c a abc a b c xy=-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为(Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 11515tan arctan15y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠ 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。