数学课改的十个论题

数学课改的十个论题章建跃一、“新理念”是全新的吗？●核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本-------教育中的“科学发展观”●教学目标------全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展――――数学育人。

如何落实？―――提高课堂教学立意●许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求。

●数学的“育人”功能如何体现？―――挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。

●关键：提高思想性。

●“技术”：加强“先行组织者”的使用。

例1不等式基本性质“立意”比较●以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”。

课标教材的做法●数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小统一化归为比较它们的差与0的大小）；●从“数及其运算”的高度出发，引导学生类比等式的基本性质，在“运算中的不变性、规律性就是性质”的思想指导下，猜想不等式的基本性质；●回到从“基本事实”到“基本性质”的推理过程，得出性质，给出证明；●引导学生用不同语文表述“基本性质”（学习心理的考虑）；●从实例中概括基本不等式的作用―――明确概括出思想方法。

课标教材的想法●既要讲逻辑，更要讲思想―――加快师生领悟思想的进程（教师在没有引领的情况下很难“悟”出思想）；●要正确理解“给学生留出思维空间”―――以往教材在技能方向空间太小，思想方面空间太大●教学要求―――个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础●教学设计―――不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且我嗯强调课堂“生成”，预设能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”●教学方法―――讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式讲授”的重要性●学习方式―――接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合●教学过程―――知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生谁知认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）●教学评价―――教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我临近监控调节学习过程，重视形成性评价―――发展的眼光●教学媒体――追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解●“全新理念”是不存在的，如果有人说某某理念是全新的、开创性的，有两种可能：或者他学习不够，或者他想忽悠。

●“新理念”新在对学生的全面关注上。

二、为什么“内容多课时少”但又能腃出至少一年时间高考复习12课时，推理与证明6课时；概率统计大量增加，概论增加倍，统计2.5倍，课时增加33。

● 总课时量保持不变。

腾出时间的“智慧”在那里？● 增加课时（每周增1课时，两年至少可以增加72课时）； ● 压缩概念、原理的教学时间。

● 有人说，这都是“高考要求与课标要求脱节”惹的祸。

真是这样的吗？ ● “夹生饭”再回锅也做不成可口的香米饭。

● 欲速则不达。

● “忙”＝“心亡”三、怎样才算“教完了”？● 让学生经历概念的发生发展过程――――“这样能教完吗？” ● 给学生吃“压缩饼干”；● 基础知识――――“一个定义，三项注意”； ● 解题教学―――“题型教学”“一步到位”。

问题在那里？● 不“准”―――或者是没有围绕概念的核心，或者教错了； ● 不“简”―――在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；● 不“精”―――让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。

例2 函数概念的“注意事项” ● 集合A ，B 都是数集； ● 任意性； ● 唯一性；● 可以一对一、多对一，便不能一对多； ●()y f x 是一个整体，不是f 与x 的乘积；● 值域{}()|C f x x A =∈是集合B 的子集；● 函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。

● 在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生“教糊涂了”。

● “教完了”应该以学生是否理解为准，以学生是否达到教学目标为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。

● 广种薄收是懒汉的做法。

四、什么叫“抓基础”● 我国“抓基础”的优势正在丧失；● 现象：数学教学＝题型教学＝刺激――反应（记忆、模范型学习）；● 缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学――应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的； ● “题型”、与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽―――讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会。

● 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性―――无知者无能； ● 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题； ● 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。

● 应追求解决问题的“根本大法”―――基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。

五、探究式教学的天时地利人和● 天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”；● 地利：教学内容是否适合于“探究”―――有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学； 例3 直线与平面垂直的定义● 先让学生“直观感受”这种位置关系，给出定义，把主要精力放在地“合理性”的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。

● 必须向学生交待清楚：帮“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”）来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可 例4 适宜探究的内容举例● 不等式的性质―――在“数及其运算”系统下，类比等式的性质提出猜想，再用实数大小的“基本事实”证明；● 平面向量基本定理―――在“用向量及其运算表示几何元素”的思想下，建立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；● 诱导公式―――在“三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示”的思想下，探究终边关于坐标轴、原点以及直线y=x 对称的两个角的关系，而得到所有公式。

● 人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的“探究型教学的意识”。

● 数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导。

● “我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”―――学习是知与行的统一，只“讲”肯定不会；探究是深层次的思维活动，是“心动”与“行动”的融合。

六、概念教学的要义是什么？● 概念教学的核心―――概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同材质属性，归纳得出数学概念； ● “举一反三”与“举三反一”的关系：（1）分化：用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性―――举三反一； （2）类化：把共同本质属性推广到同类事物中―――举一反三； （3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。

● 对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。

概念教学的基本环节● 典型丰富的具体不会弄错例证―――属性的分析、比较、综合； ● 概括共同本质特征得到概念的本质属性； ● 下定义（准确的数学语言描述）；● 概念的辨析―――以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； ● 概念作判断的具体事例――形成用概念作判断的具体步骤； ● 概念的“精致”――建立与相关概念的联系。

例5 函数奇偶性的教学 ● 急功近利的做法（1）给出函数2y x =和y x =的图像，并提出问题：从图象的对称性观察，两个图像各有什么特点？（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？ （3）能否描述一下函数2y x =的特征？● 学生的回答：对于2y x =，当x 取任意数时y 都正数；函数图象关于y 轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；……（4）对于定义域内任意一个x ，是否都有()()f x f x -=？ （5）能否描述一下偶函数的定义？―――“一个函数打天下”，缺乏概括的基础。

改进的方法● 典型、丰富的例证―――不止一个：2y x =，||y x =，22y x =-，……；● 从函数图像、概括共同特征入手； ● 列表，从数的角度描述特征；● 形、数对照―――从形到数―――用函数符号语言描述特征；● 概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织―――建立相关知识的联系。

七、螺旋上升是“蜻蜓点水”，吃夹生饭吗？● “模块化”体系下，立体几何、解析几何、概率、统计等都采用“螺旋上升”式，怎么看？ ● 螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据； ● 螺旋上升应该体现“必要性”，如函数概念必须螺旋式学习，但解析几何不必搞三个螺旋 ； ● “螺旋式”可能产生的问题是重复学习―――统计与概率的问题； ● 重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升地重复”―――“隐性知识”，“可以意会不可言传”，要经历“渗透――概括――应用”的学习阶段。

例6 概念的多元联系表示中体现的螺旋上升 ● 比例关系；● 算术―――比和比例、百分数、比例尺； ● 平面几何―――线段比和比例、相似形等； ● 解析几何―――斜率、线性方程；● 统计与概率―――统计图表、频率与概率。

● 当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。

八、“不是教教材，是用教材教”？ ● 现象：脱离教材，大量使用教辅； ● 原因：教材内容“简单”，不足以就会高考；对“不是教教材，而用用教材教”、“创造性使用教材”的意图有误解；有的老师不善于或不愿意花大力气研究教材。

我的看法● “不是教教材，而是用教材教”≠“脱离教材”，是针对“照本宣科”的；● 教材的“基础性”与高考的“选拔性”有目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，老师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。

● 理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。

● 课本、课本，一科之本。