备考2025届高考数学一轮复习讲义第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值

第3讲导数与函数的极值、最值
f（x）为极大值③f（x）为微小值
微小值点和极大值点统称为⑤极值点，微小值和极大值统称为⑥极值.
易错警示
（1）极值点不是点，若函数f（x）在x＝x1时取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）.
（2）极大值与微小值的大小没有必定关系，微小值可能比极大值大.
（3）有极值的函数确定不是单调函数.
（4）导数值为0的点不愿定是函数的极值点.例如，f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.
2.函数的最大（小）值
假如在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连绵起伏的曲线，那么它必有最大值和最小值.
辨析比较
函数极值与最值的区分与联系
1.[易错题]下列说法正确的是（C）
A.函数的极大值比微小值大
B.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的
C.函数的最大值不愿定是极大值，极大值也不愿定是最大值
D.f'（x0）＝0是x0为可导函数y＝f（x）的极值点的充分不必要条件
解析对于A，由极大值与微小值的概念可知，函数的极大值不愿定比微小值大；对于B，函数在某区间上或定义域内假如有最大值，则最大值是唯一的，但极大值不愿定；对于C，由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D，在函数的极值点处f'（x0）＝0，但是使f'（x0）＝0成立的x0未必是极值点，如当x0为定义域的左右端点时f'（x0）可以等于0，但此时x0不是极值点.
2.设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则下列结论确定正确的是（D）
A.∀x∈R，f（x）≤f（x0）
B.－x0是y＝f（－x）的微小值点
C.－x0是y＝－f（x）的微小值点
D.－x0是y＝－f（－x）的微小值点
解析极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上f（x0）是否最大，故A 错误；因为函数f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，所以－x0是y＝f（－x）的极大值点，故B错误；因为函数f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是y＝
－f（x）的微小值点，而－x0是否为y＝－f（x）的微小值点不确定，故C错误；因为函数f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，所以－x0是y＝－f（－x）的微小值点，选项D正确.
3.[2024辽宁省部分学校联考]函数f（x）＝（－2x＋4）e x在区间[1，＋∞）上的最大值为2e.
解析f'（x）＝（－2x＋2）e x，当x∈[1，＋∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，所以f （x）max＝f（1）＝2e.
4.若函数f（x）＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是（－∞，－√6）∪（√6，＋∞）.
解析由已知，得f'（x）＝3x2－2ax＋2.因为函数f（x）有极值，所以f'（x）＝0有变号零点，所以Δ＝4a2－24＞0，解得a＞√6或a＜－√6，所以实数a的取值范围为（－∞，
－√6）∪（√6，＋∞）.
研透高考明确方向
命题点1导函数图象的应用
例1 （1）[浙江高考]函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则
函数y＝f（x）的图象可能是（D）
A B
C D
解析依据题意，已知导函数的图象与x轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数f（x）在这些零点处取得极值，依据f（x）有两个微小值和一个极大值可解除A，C；记导函数f'（x）的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上
f'（x）＜0，在（x1，x2）上f'（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，x1）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，由x2＞0解除B.故选D.
（2）[多选/2024陕西省汉中市联考]设f'（x）是函数f（x）的导函数，y＝f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（BC）
A.函数确定有三个零点
B.函数确定有三个极值点
C.函数有最小值
D.函数图象确定经过坐标原点
解析易知函数f（x）在（－∞，0），（1，2）上单调递减，在（0，1），（2，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）确定有三个极值点0，1，2，B正确；函数f（x）有最小值，
为f（0），f（2）中的较小者，C正确；函数f（x）的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0，A错误；函数f（x）的图象不愿定过原点，D错误.故选BC.
方法技巧
依据函数图象推断极值的方法
（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点.
（2）由y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性，进而求得极值（点）.
留意要看清晰所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
训练1 [多选]已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的
图象如图所示，则下列结论正确的是（AB）
A.f（a）＜f（b）＜f（c）
B.f（e）＜f（d）＜f（c）
C.x＝c时，f（x）取得最大值
D.x＝d时，f（x）取得最小值
解析由f'（x）的图象可知，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（c，e）时，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减.对于A，因为a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正确；对于B，因为c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正确；对于C，由单调性知f（c）为极大值，当x＞e时，可能存在f（x0）＞f（c），C错误；对于D，由单调性知f（e）＜f（d），D 错误.
命题点2利用导数探讨函数的极值
角度1求函数的极值
例2 [全国卷Ⅱ]若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）e x－1的极值点，则f（x）的微小值为（A）
A.－1
B.－2e－3
C.5e－3
D.1
解析因为f（x）＝（x2＋ax－1）e x－1，所以f'（x）＝（2x＋a）e x－1＋（x2＋ax－1）e x－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）e x－1的极值点，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，将x＝－2代入解得a＝－1，所以f'（x）＝（x2＋x－2）e x－1＝（x＋2）（x－1）e x－1.令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f'（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取得微小值，且f（x）微小值＝f（1）＝－1，故选A.
方法技巧
求可导函数f（x）的极值的步骤
（1）确定函数的定义域，求导数f'（x ）； （2）求方程f'（x ）＝0的根；
（3）推断f'（x ）在方程f'（x ）＝0的根旁边的左右两侧的符号； （4）求出极值.
角度2 已知函数的极值（点）求参数
例3 （1）[多选/2024新高考卷Ⅱ]若函数f （x ）＝a ln x ＋b
x ＋c
x 2（a ≠0）既有极大值也有微小值，则（ BCD ） A.bc ＞0
B.ab ＞0
C.b 2＋8ac ＞0
D.ac ＜0
解析 因为函数f （x ）＝a ln x ＋b x
＋c x
2（a ≠0），所以函数f （x ）的定义域为（0， ＋∞），f'（x ）＝
ax 2－bx －2c
x 3
，因为函数f （x ）既有极大值也有微小值，所以关于x 的方程
ax 2
－bx －2c ＝0有两个不等的正实根x 1，x 2，则{Δ>0，
x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，
即{ b 2
+8ac >0，b
a >0，－2c
a
>0，所以
{b 2+8ac >0，ab >0，ac <0.
故B ，C ，D 正确.因为ab ＞0，ac ＜0，所以bc ＜0，A 错误，故选BCD. （2）[开放题/2024北京市第五十五中学4月调研]已知函数f （x ）＝（x －a ）（x －3）2（a ∈R ），当x ＝3时，f （x ）有极大值.写出符合上述要求的一个a 的值： 4（答案不唯一，满意a ＞3即可） .
解析 由题意得，f'（x ）＝（x －3）2＋（x －a ）×2（x －3）＝（x －3）（x －3＋2x －2a ）＝（x －3）（3x －2a －3），令f'（x ）＝0，解得x ＝3或x ＝2a+33
.
当
2a+33
＞3，即a ＞3时，f （x ）在（－∞，3）上单调递增，在（3，2a+33
）上单调递减，所
以f （x ）在x ＝3时取极大值.
所以a ＞3，a 可取4，故答案为4（答案不唯一，满意a ＞3即可）. 方法技巧
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
调函数，即函数y ＝f'（x ）在区间（a ，b ）内存在变号零点.
训练2 （1）[多选]曲线f （x ）＝a （x ＋1）e x 在点（－1，f （－1））处的切线方程为y ＝
1e
x ＋b ，则下列说法正确的是（ AC ）
A.a ＝1，b ＝1e
B.f （x ）的极大值为1
e
2
C.f （x ）的微小值为－1e
2
D.f （x ）不存在极值
解析 依题意，f'（x ）＝a e x ＋a （x ＋1）e x ＝（ax ＋2a ）e x ，f'（－1）＝a e －
1＝1
e
，解得a ＝
1，所以f （x ）＝（x ＋1）e x ，f'（x ）＝（x ＋2）e x .又f （－1）＝0，所以1
e
×（－1）＋b ＝
0，所以b ＝1
e ，故A 正确.令f'（x ）＝0，解得x ＝－2，当x ∈（－∞，－2）时，f'（x ）＜0，函数
f （x ）在（－∞，－2）上单调递减；当x ∈（－2，＋∞）时，f'（x ）＞0，函数f （x ）在（－2，＋∞）上单调递增.所以当x ＝－2时，函数f （x ）取微小值， 即f （－2）＝－1
e 2，
f （x ）的极大值不存在，故B ，D 错误，C 正确.故选AC.
（2）已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝ 4 ，b ＝ －11 . 解析 f'（x ）＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得{f '(1）=0，
f （1）=10，即{2a ＋b +3=0，a 2
＋a ＋b +1=10，
解得
{
a =4，
b ＝－11或{a ＝－3，b =3.
当a ＝4，b ＝－11时，f'（x ）＝3x 2＋8x －11＝（3x ＋11）（x －
1），在x ＝1旁边的左右两侧，f'（x ）异号，此时函数f （x ）在x ＝1处有极值；当a ＝ －3，b ＝3时，f'（x ）＝3x 2－6x ＋3＝3（x －1）2，在x ＝1旁边的左右两侧，恒有f'（x ）＞0，不变号，此时函数f （x ）在x ＝1处无极值.综上，a ＝4，b ＝－11. 命题点3 利用导数探讨函数的最值 角度1 求函数的最值
例4 [2024全国卷乙]函数f （x ）＝cos x ＋（x ＋1）sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（ D ） A.－π
2
，π
2
B.－3π2
，π
2
C.－π2
，π
2
＋2
D.－3π2
，π
2
＋2
解析 由f （x ）＝cos x ＋（x ＋1）sin x ＋1，x ∈[0，2π]，得f'（x ）＝－sin x ＋sin x ＋ （x ＋1）cos x ＝（x ＋1）cos x .
令f'（x ）＝0，解得x ＝－1（舍去）或x ＝π
2或x ＝3π
2.
因为f （π
2）＝cos π
2＋（π
2＋1）sin π
2＋1＝2＋π
2，f （3π
2）＝cos 3π
2＋（3π
2＋1）sin 3π
2＋1＝－3π
2，又f （0）＝cos 0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f （2π）＝cos 2π＋（2π＋1）sin 2π＋1＝2， 所以f （x ）max ＝f （π
2
）＝2＋π
2
，f （x ）min ＝f （3π
2
）＝－3π
2
.故选D.
方法技巧
求函数f （x ）在[a ，b ]上的最值的方法
（1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（递减），则f（a）为最小（大）值，f（b）为最大（小）值；
（2）若函数f（x）在区间（a，b）内有极值，则要先求出函数在（a，b）内的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中常常用到.
角度2已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b.
（1）探讨f（x）的单调性.
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的全部值；若不存在，说明理由.
解析（1）对f（x）＝2x3－ax2＋b求导，得f'（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝a
3
.
若a＞0，则当x∈（－∞，0）∪（a
3，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（0，a
3
）时，f'（x）
＜0.故f（x）在（－∞，0）和（a
3，＋∞）上单调递增，在（0，a
3
）上单调递减.
若a＝0，则f（x）在R上单调递增.
若a＜0，则当x∈（－∞，a
3）∪（0，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（a
3
，0）时，f'（x）
＜0.故f（x）在（－∞，a
3）和（0，＋∞）上单调递增，在（a
3
，0）上单调递减.
（2）满意题设条件的a，b存在.
（i）当a＜0时，由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝b，最大值为f（1）＝2－a＋b，所以b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝0，b ＝－1，与a＜0冲突，所以a＜0不存在.
（ii）当a＝0时，由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以由f（0）＝－1，f（1）＝1得a＝0，b＝－1.
（iii）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，a
3）上单调递减，在（a
3
，1）上单调递
增，所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（a
3）＝－a
3
27
＋b＝－1，最大值为f（0）＝b或
f（1）＝2－a＋b.
若－a 3
27＋b＝－1，b＝1，则a＝3√2
3，与0＜a＜3冲突.
若－a 3
27
＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3√3或a＝－3√3或a＝0，与0＜a＜3冲突.
（i v）当a≥3时，由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（0）＝b，最小值为f（1）＝2－a＋b，所以2－a＋b＝－1，b＝1，则a＝4，b ＝1.
综上，满意题设的a ，b 存在.当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f （x ）在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1.
训练3 （1）[2024新高考卷Ⅰ]函数f （x ）＝｜2x －1｜－2ln x 的最小值为 1 . 解析 函数f （x ）＝｜2x －1｜－2ln x 的定义域为（0，＋∞）. ①当x ＞1
2时，（对x 进行分类探讨） f （x ）＝2x －1－2ln x ，所以f'（x ）＝2－2
x ＝
2（x －1）
x
，当1
2
＜x ＜1时，f'（x ）＜0，当x ＞1
时，f'（x ）＞0，所以f （x ）min ＝f （1）＝2－1－2ln 1＝1；
②当0＜x ≤1
2
时，f （x ）＝1－2x －2ln x 在（0，1
2
]上单调递减，所以f （x ）min ＝f （1
2
）＝
－2ln 1
2
＝2ln 2＝ln 4＞ln e ＝1.
综上，f （x ）min ＝1.
（2）[2024河北省新乐市第一中学月考]已知函数f （x ）＝3ln x －x 2＋（a －1
2）x 在区间（1，3）上有最大值，则实数a 的取值范围是 （－1
2，11
2） .
解析 f'（x ）＝3
x －2x ＋（a －1
2），且f'（x ）在（1，3）上单调递减，由题知函数f （x ）在区间（1，3）上有最大值，则需满意f'（x ）在（1，3）内有唯一零点，故{f '(1）>0，
f '(3）<0，
即
{3－2+a －1
2>0，1－6+a －12<0，
解得－12＜a ＜112，即实数a 的取值范围为（－12，112）.。