第一章 章末复习课 秋学期高中数学(人教版)选修1-2学案
人教版高中数学选修(1-2)-3.2《数系的扩充与复数的引入章节复习》教学设计
《数系的扩充与复数的引入》章节复习（罗静）（一）思维导图（二）知识梳理 1.复数的基本概念复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、复数相等、共轭复数等，成为近年来高考对复数考查的重要对象，准确理解概念的内涵是解决此类问题的关键.例1 若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________. 【知识点：复数的概念，复数的运算】详解：83122i (2i)(34i)36i 4i 83864i 34i (34i)(34i)252525z a a a a a a z +++++--+====+--+ ∵12z z 为纯虚数，∴3a －8＝0，且6＋4a ≠0，∴a ＝83变式训练1.当实数x 为何值时，复数z ＝(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数.【知识点：复数的概念】解：(1)当x 2＋3x ＋2＝0，即(x ＋2)(x ＋1)＝0，即x ＝－2或x ＝－1时，z 为实数.(2)当且仅当x 2＋3x ＋2≠0，即(x ＋2)(x ＋1)≠0，即x ≠－2且x ≠－1时，z 为虚数.(3)当且仅当2232010x x x ⎧++≠⎨-=⎩，即当x ＝1时，z 为纯虚数. 2.复数的相等求复数相等的问题，要充分利用复数相等的充分条件，把复数问题转化为实数问题，在高考中时有出现.例2 已知2ii ia b +=+(a ，b ，c ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( ).A .－1B .1C .2D .3【知识点：复数的概念，复数的相等】详解：B a ＋2i ＝bi －1⇒a ＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝1，答案为B. 点拔：注意复数的运算. 变式训练 2.若2i 1ia b =+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 【知识点：复数的概念，复数的相等，复数的运算】 解：2 2i 1i 1ia b +==+-，∴a ＋b ＝1＋1＝2. 答案为23.复数的几何意义及应用（1）复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义.复数的几何意义体现了从几何图形的方面研究代数问题的数学思想方法.（2）复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点z 和z 1之间的距离.例3 若i 为虚数单位，如图所示的复平面内表示复数1iz+表示的点是( )A .EB .FC .GD .H【知识点：复数的概念，复平面，复数的运算；数学思想：数形结合】 详解：D 由图，z ＝3＋i ，因此3i 2i 1i 1iz +==-++对应点是(2，－1). 答案为D 变式训练3.在复平面内，复数1z=2i+对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点：复数的概念，复平面，复数的运算；数学思想：数形结合】详解：D12i21z=i2i555-==-+，∵点21,55⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限，∴复数z对应的点在第四象限.答案是D4.复数的代数运算复数的代数运算是复数这一章的基本内容，也是高考中的必考内容，在高考中要考查复数内容时，一般都是考查复数的代数运算，尤其是复数的乘、除运算.例4已知复数z＝1－i，则221z zz-=-()A.2iB.－2iC.2D.－2【知识点：复数的运算】解：B∵z＝1－i，∴z2－2z＝－2i－2(1－i)＝－2.又∵z－1＝(1－i)－1＝－i，∴2222i2i1i1z zz--===----.答案为B.例5复数i3(1＋i)2＝()A.2B.－2C.2iD.－2i【知识点：复数的运算】详解：A i3(1＋i)2＝－i·2i＝2. 答案是：A 变式训练4.定义运算a cad bcb d=-，复数z满足i1i1iz=+，求z.【知识点：复数的运算】详解：由题意知，ii i1i1izz=⋅-=+，∴i z＝1＋2i，∴z＝12ii+＝2－i.《数系的扩充与复数的引入》单元测试1.若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝（）A .－2＋iB .2＋iC .1－2iD .1＋2i 答案：B解析：【知识点：复数的概念，复数的相等】由题意得，xi ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1，即x ＋yi ＝2＋i . 2.i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2011＝（ ）A .－iB .－1C .iD .1 答案：A解析：【知识点：复数的运算】因为1＋i 1－i ＝(1＋i)(1＋i)2＝i ，所以原式＝i 2011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i .3.设i 是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a 为（ ） A .2 B .－2 C .－12 D. 12 答案：A解析：【知识点：复数的运算】方法一：1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a ＋(2a ＋1)i 5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2；方法二：1＋ai 2－i ＝i(a －i)2－i为纯虚数，所以a ＝2.4.复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：D解析：【知识点：复数的运算，复平面】z ＝2－i 2＋i＝(2－i)(2－i)5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限.5.设集合M ＝{y|y ＝|cos 2x －sin 2x|，x ∈R}，N ＝{x||xi |＜1，i 为虚数单位，x ∈R}，M∩N 为（ ） A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 答案：C解析：【知识点：复数的运算，二倍角的正弦公式，集合的运算】 对于集合M ，函数y ＝|cos2x|，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]. 由于|xi |＝|－xi|＝|x|，故－1＜x ＜1，所以N ＝(－1,1)，则M∩N ＝[0,1).6.已知复数z 1＝x 2＋x 2＋1i 、z 2＝(x 2＋a)i ，对任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.(－1，－12] B.(－1，12) C.[－1，12) D.(－1，12] 答案：D解析：【知识点：复数的相等，复数的运算，复数的模，一元二次不等式（组）】7.已知集合M ＝{1，m ，3＋(m 2－5m －6)i }，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 答案：3或6解析：【知识点：复数的相等，集合的运算】 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3.8.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝_____，c ＝_____. 答案：－2；3解析：【知识点：复数的相等，复数的运算】∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ， ∴其共轭复数1－2i 也是方程的根.由根与系数的关系知，⎩⎨⎧(1＋2i)＋(1－2i)＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.9.设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________. 答案：1解析：【知识点：复数的相等，复数的运算】 z ＝－3＋2i i －1＝1＋3i ，所以z 的实部是1.10.设t 是实数，且t1－3i＋1－3i 2是实数，则t ＝____________.答案：2解析：【知识点：复数的概念，复数的运算】t1－3i＋1－3i 2＝t(1＋3i)4＋1－3i 2＝2＋t 4＋3(t －2)4i ，当t ＝2时，为实数1.11.设z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，若z 2的实部是－1，则z 2的虚部为__________. 答案：1解析：【知识点：复数的概念，复数的运算，共轭复数】12.在复平面内,复数1i +与13i -+分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点.则AB uu u r=________.答案：解析：【知识点：复数的模，复数的运算，复数减法的几何意义】∵()()13122AB i i i =-+-+=-+uu u r，∴AB =uu u r 13.已知复数(,)z a bi a b R =+∈且满足51123a b i i i+=--+,则复数z 在复平面内对应的点位于第________象限. 答案：四解析：【知识点：复数的运算，复数的相等，复平面】 ∵,a b R ∈且51123a b i i i+=--+ ∴5524155a ai b bi i +++=-即5215545a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得710a b =⎧⎨=-⎩∴710z i =-∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.14.设复数z 满足条件1Z =，那么z i ++的最大值是__________. 答案：4解析：【知识点：复数的概念，复数的模，复平面】 复数z 满足条件1Z =，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而z i ++即表示单位圆上的动点到定点()1--的距离.从图形上可得z i ++的最大值是4.15.复数(),z x yi x y R =+∈满足条件42z i z -=+,则24x y +的最小值为________.答案：解析：【知识点：复数的概念，复数的模，基本不等式】 由42z i z -=+得23x y +=,则24x y +≥==16.若数列{}n a 满足12a i =，()()111n n i a i a ++=-，求10a 的值. 答案：见解析解析：【知识点：复数的运算，等比数列】()()111n n i a i a ++=-,则111n n a ii a i+-==-+ ∴数列{}n a 是以12a i =为首项,以i -为公比的等比数列 ∴()91012a a i =-=此题考查的复数的除法运算17.()()201422484843i i i---++++答案：见解析解析：【知识点：复数的运算】原式()()22100748482243i i i i---⎛⎫++⎪+⎝⎭=()100743i i i+-++=02i i i ++= 18.若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复数的相等，复数的运算】 假设这样的虚数存在，设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋bi ＋5a ＋b i ＝a ＋bi ＋5(a －b i)a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i . ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0.又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.① 又z ＋3＝(a ＋3)＋bi 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.② 由⎩⎨⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i . 此题考查的复数相等的充要条件解析：【知识点：复数的概念，复数的模，复数的运算，复平面】解析：【知识点：复数的概念，复数的模，复数的运算，复平面】解析：【知识点：复数的概念，复数的模，复数的运算，复数的几何意义，三角函数的最值】。
高中数学选修一章末复习课 (2)
章末复习课回顾本章学习过程、建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.要点训练一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.(1)倾斜角的范围是[0,π).(2)倾斜角与斜率的对应关系:①当α≠90°时,k =tan α; ②当α=90°时,斜率不存在.(3)斜率公式:经过A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2),应用时注意其适用的条件x 1≠x 2,当x 1=x 2时,直线的斜率不存在.1.过点M (-2,a ),N (a ,4)的直线的斜率为-12,则a 等于 ( )A.-8B.10C.2D.4解析:因为过点M (-2,a ),N (a ,4)的直线的斜率为-12,所以有4-a a -(-2)=-12,所以a =10.答案:B2.直线√3x +y +1=0的倾斜角的大小为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150°解析:由直线方程√3x +y +1=0,可知直线的斜率k =-√3.设直线的倾斜角为α,则tan α=-√3.因为α∈[0,π),所以α=120°.答案:C3.已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 过点P (1,1),且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 满足 ( )A.k ≥34或k ≤-4 B.k ≥34或k ≤-1C.-4≤k ≤34D.34≤k ≤4解析:如图所示,过点P 作直线PC ⊥x 轴交线段AB 于点C ,作直线PA ,PB.当直线l 与线段AB 的交点在线段AC (不含点C )上时,直线l 的倾斜角为钝角,斜率k的范围是k≤k PA.当直线l与线段AB的交点在线段BC(不含点C)上时,直线l的倾斜角为锐角,斜率k的范围是k≥k PB.因为k PA=-3-12-1=-4,k PB=-2-1-3-1=34,所以直线l的斜率k满足k≥34或k≤-4.答案:A4.若A(3,1),B(-2,b),C(8,11) 三点在同一直线上,则实数b= -9.解析:因为A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点在同一直线上,所以k AB=k AC,即b-1 -2-3=11-18-3,解得b=-9.要点训练二距离问题距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离,牢记各类距离公式并能直接应用.解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.1.直线l过点P(1,2),且M(2,3),N(4,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程是 ()A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0解析:由条件可知直线l 平行于直线MN 或过线段MN 的中点,MN 的斜率为3+52-4=-4.当直线l ∥MN 时,l 的方程是y -2=-4(x -1), 即4x +y -6=0.当直线l 经过线段MN 的中点(3,-1)时,l 的斜率为2+11-3=-32,l 的方程是y -2=-32(x -1),即3x +2y -7=0.综上所述,直线l 的方程为3x +2y -7=0或4x +y -6=0. 答案:C2.从点A (1,-2)射出的光线经直线l :x +y -3=0反射后到达点B (-1,1),则光线所经过的路程是 ( )A.√11B.√13C.2√13D.√37解析:设点A (1,-2)关于直线l :x +y -3=0的对称点的坐标为A'(x 0,y 0),则{y 0+2x 0-1·(-1)=-1,1+x2+-2+y 02-3=0,解得{x 0=5,y 0=2. 所以点A (1,-2)关于直线l :x +y -3=0的对称点的坐标为A'(5,2).所以光线所经过的路程|A'B |=√(5+1)2+(2-1)2=√37.答案:D3.(全国卷Ⅲ)点(0,-1)到直线y =k (x +1)距离的最大值为 ( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2 解析:点(0,-1)到直线y =k (x +1)的距离d =√k 2+1=√k 2+2k+1k 2+1=√1+2k k 2+1.因为要求距离的最大值,故需k >0. 因为k 2+1≥2k ,当且仅当k =1时等号成立, 所以d ≤√1+2k 2k=√2,当k =1时等号成立.故选B . 答案:B4.若点M (m ,n )为直线l :3x +4y +2=0上的动点,则m 2+n 2的最小值为425.解析:由题意知m 2+n 2的最小值表示:直线l :3x +4y +2=0上的点M (m ,n )到点(0,0)的最短距离的平方.因为点(0,0)到直线l :3x +4y +2=0的距离为√9+16=25,所以m 2+n 2的最小值为425.要点训练三 直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种条件是否具备时,要另行讨论条件不满足的情况.(2)运用直线系方程的主要目的是使计算简捷.1.已知A (3,1),B (-1,2),若∠ACB 的平分线所在直线的方程为y =x +1,则直线AC 的方程为 ( )A.y =2x +4B.y =12x -3C.x -2y -1=0D.3x +y +1=0解析:设点A (3,1)关于直线y =x +1的对称点为A'(x 1,y 1),则{y 1-1x 1-3=-1,y 1+12=x 1+32+1,解得{x 1=0,y 1=4, 即A'(0,4).所以直线A'B 的方程为2x -y +4=0. 联立{2x -y +4=0,y =x +1, 解得{x =-3,y =-2,即C (-3,-2).所以直线AC 的方程为x -2y -1=0. 答案:C2.直线mx -y -m +2=0过定点A ,若直线l 过点A 且与直线2x +y -2=0平行,则直线l 的方程为 ( )A.2x +y -4=0B.2x +y +4=0C.x -2y +3=0D.x -2y -3=0解析:由mx -y -m +2=0,得y -2=m (x -1),所以直线mx -y -m +2=0过定点A (1,2).又因为直线2x +y -2=0的斜率k =-2,且与直线l 平行,所以直线l 的斜率为-2,所以直线l 的方程为y -2=-2(x -1),即2x +y -4=0.答案:A3.经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是x +y =2或x -y =0.解析:当直线不过原点时,设直线的方程为x +y =a.把点A (1,1)代入可得1+1=a ,即a =2,此时直线的方程为x +y =2.当直线过原点时,直线的方程为y =x ,即x -y =0.综上可得,满足条件的直线方程为x+y=2或x-y=0.4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,0),B(4,6),C(0,8),则BC边上的高所在直线的一般方程为2x-y-6=0.解析:BC边所在直线的斜率k BC=8-60-4=-12,所以BC边上的高所在直线的斜率k=2,所以BC边上的高所在直线的方程为y=2(x-3),化为一般式方程为2x-y-6=0.要点训练四圆的方程(1)求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等,运用待定系数法时,要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数;使用几何法时,要充分利用圆的有关性质,如垂径定理、“半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形”等.(2)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径,则一般选用圆的标准方程,否则选用圆的一般方程.1.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为()A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=4C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=4解析:设圆心C (a ,b ).因为直线x -y -1=0与圆C 相切于点B (2,1),所以斜率k BC =b -1a -2=-1,即a +b -3=0.因为AB 所在直线为y =1,所以圆心C 满足直线x =3,即a =3,所以b =0,所以半径r =√(3-2)2+(0-1)2=√2,所以圆C 的方程为(x -3)2+y 2=2.答案:A2.已知过点(2,2)的圆C 的圆心在直线x -y =0上,且与直线x +y =0相切,则圆C 的方程是(x -1)2+(y -1)2=2.解析:根据圆C 的圆心在直线x -y =0上,可设圆C 的圆心为(a ,a ),半径为r.由圆C 过点(2,2)且与直线x +y =0相切, 得r 2=(2-a )2+(2-a )2=(√12+12)2,解得a =1,所以圆心的坐标为(1,1), 所以r 2=(2-1)2+(2-1)2=2,所以圆C 的方程为(x -1)2+(y -1)2=2.3.(1)已知圆M 经过A (2,-3)和B (-2,-5)两点,若圆心在直线x -2y -3=0上,求圆M 的标准方程;(2)求过点A (-1,0),B (3,0)和C (0,1)的圆N 的一般方程.解:(1)由点A (2,-3)和点B (-2,-5)可得线段AB 的中点坐标为(0,-4),其所在直线的斜率k AB =-5+3-2-2=12.所以线段AB 的垂直平分线的方程为y +4=-2(x -0),即2x +y +4=0.所以{2x +y +4=0,x -2y -3=0,得{x =-1,y =-2,即圆M 的圆心坐标为(-1,-2).所以半径r =√(-1-2)2+(-2+3)2=√10. 所以圆M 的标准方程为(x +1)2+(y +2)2=10. (2)设圆N 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 因为圆N 过点A (-1,0),B (3,0)和C (0,1), 所以{1-D +F =0,9+3D +F =0,1+E +F =0,解得{D =-2,E =2,F =-3,所以圆N 的一般方程为x 2+y 2-2x +2y -3=0. 要点训练五 直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系,一般用代数法或几何法,为避免烦琐的运算,最好用几何法,其解题思路是:先求出圆心到直线的距离d ,然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系,进而判断直线和圆的位置关系.1.直线x +√3y -2=0被圆(x -1)2+y 2=1截得的线段的长为 ( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2 解析:由题意,知圆心坐标为(1,0),半径r =1, 则圆心到直线的距离d =√12+(√3)=12,所以截得的线段长为2√r 2-d 2=√3. 答案:C2.已知圆C :x 2+y 2-4x =0与直线l 相切于点P (1,√3),则直线l 的方程为 ( )A.x -√3y +2=0B.x -√3y +4=0C.x +√3y -4=0D.x +√3y -2=0解析:圆C 的方程x 2+y 2-4x =0可化为(x -2)2+y 2=4,显然过点P (1,√3)的直线x =1不与圆C 相切.因为过点P 和圆心的直线斜率为0-√32-1=-√3,所以直线l 的斜率为√33,利用直线的点斜式方程,可得y -√3=√33(x -1),整理得x -√3y +2=0.答案:A3.已知直线l 经过坐标原点,且与圆x 2+y 2-4x +3=0相切,切点在第四象限,则直线l 的方程为x +√3y =0.解析:由题意,知直线l 的斜率存在.不妨设过原点的直线l 的方程为y =kx.把y =kx 代入圆的方程,整理得(1+k 2)x 2-4x +3=0.由Δ=0,解得k =-√33(k =√33舍去).所以直线l 的方程为x +√3y =0.4.已知圆C 和y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且被直线y =x 截得的弦长为2√7,求圆C 的方程.解:设圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0). 由圆C 与y 轴相切,得|a |=r.①因为圆心在直线x -3y =0上,所以a -3b =0. ② 因为圆心C (a ,b )到直线y =x 的距离d =√2,所以(√2)2+(√7)2=r 2. ③联立①②③,得方程组{|a |=r ,a -3b =0,(√2)2+(√7)2=r 2,解得{a 1=3,b 1=1,r 1=3,{a 2=-3,b 2=-1,r 2=3.故圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 要点训练六 圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两种:代数法(解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r ,R 的和或差的大小关系来判断).(1)求相交两圆的公共弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的直线方程为(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0.1.圆x 2+y 2-1=0和圆x 2+y 2-4x +2y -4=0的位置关系是 ( ) A.内切 B.外离 C.外切 D.相交解析:由题意可得,两圆方程分别为x 2+y 2=1,(x -2)2+(y +1)2=9,所以两圆圆心分别为(0,0),(2,-1),半径分别为r 1=1,r 2=3,所以圆心距d =√(2-0)2+(-1-0)2=√5. 因为|r 1-r 2|<√5<r 1+r 2,所以两圆相交. 答案:D2.已知圆C 1的圆心在x 轴上,半径为1,且过点(2,-1),圆C 2:(x -4)2+(y -2)2=10,则圆C 1,C 2的公共弦长为 ( )A.√624 B.3√2 C.3√74D.2解析:设圆C 1的圆心为(a ,0),则其标准方程为(x -a )2+y 2=1. 将点(2,-1)代入圆C 1的方程,得(2-a )2+(-1)2=1,解得a =2, 故圆C 1的方程为(x -2)2+y 2=1.将圆C 1,C 2的方程作差得其公共弦所在直线的方程为4x +4y -7=0, 所以圆心C 1(2,0)到该直线的距离为√16+16=√28,所以公共弦长为2√1-(√28)2=√624.答案:A3.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2mx -8=0(m >0)的公共弦长为2√2,则m =√2. 解析:圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径r =2.将x 2+y 2=4与x 2+y 2+2mx -8=0相减,得公共弦所在直线的方程为mx -2=0,所以圆心(0,0)到公共弦所在直线的距离为√m 2=2m(m >0),所以22-(√2)2=(2m)2,解得m =√2.4.已知圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x +m =0. (1)若圆C 1与圆C 2外切,求实数m 的值;(2)在(1)的条件下,若直线l 与圆C 2的相交弦长为2√3且过点(2,1),求直线l 的方程.解:(1)由圆C 1:x 2+y 2=1,得圆C 1的圆心为C 1(0,0),半径r 1=1. 因为x 2+y 2-6x +m =0可化为(x -3)2+y 2=9-m , 所以圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径r 2=√9-m . 因为圆C 1与圆C 2外切,所以|C 1C 2|=r 1+r 2,即3=1+√9-m ,解得m =5.(2)由(1)得m =5,圆C 2的方程为(x -3)2+y 2=4,圆心C 2(3,0),半径r 2=2. 由题意可得圆心C 2到直线l 的距离d =√r 22-(2√32)2=1.当直线l 斜率不存在时,直线方程为x =2,符合题意; 当直线l 斜率为k 时,直线方程为y -1=k (x -2), 化为一般方程为kx -y -2k +1=0, 此时圆心C 2(3,0)到直线l 的距离d =√k 2+1=1,解得k =0,所以直线方程为y =1. 综上所述,直线l 的方程为x =2或y =1. 要点训练七 分类讨论思想由于直线的斜率及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的局限性,在解决直线的斜率、直线与直线的位置关系问题时,常常用到分类讨论思想.1.已知直线l 的方程为ax +2y -a -2=0(a ∈R). (1)若直线l 与直线m :2x -y =0垂直,求a 的值.(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求该直线的方程. 解:(1)因为直线l 与直线m :2x -y =0垂直, 所以-a2×2=-1,解得a =1.(2)当a =0时,直线l 的方程化为y =1,不满足题意,舍去. 当a ≠0时,可得直线l 与坐标轴的交点为(0,a+22),(a+2a,0).因为直线l 在两坐标轴上的截距相等, 所以a+22=a+2a,解得a =±2.所以该直线的方程为x -y =0或x +y -2=0. 2.在平面直角坐标系中,已知直线l 过点(1,1).(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;(2)若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为14,求直线l 的方程.解:(1)①若直线l 过原点,则直线l 的方程为y =x. ②若直线l 不过原点,设直线l 的方程为x a +ya =1(a ≠0),将点(1,1)的坐标代入,得1a +1a=1,解得a =2,此时直线l 的方程为x +y -2=0.综上所述,直线l 的方程为y =x 或x +y -2=0.(2)由题意,知直线l 的斜率存在且不为0,所以可设直线l 的方程为y =k (x -1)+1(k ≠0),可得直线l 与坐标轴的交点坐标为(0,1-k ),(k -1k,0),所以12×|1-k |×|k -1k|=14,解得k =2或k =12.所以直线l 的方程为y =2x -1或y =12x +12. 要点训练八 转化与化归思想转化与化归思想一般是代数问题几何化,几何问题代数化,在本章中常见的是直线、圆位置关系与方程(组)的转化,最值问题的转化等.1.已知圆(x -1)2+(y +2)2=1上一点P 到直线3x -4y -3=0的距离为d ,则d 的最小值为 ( )A.35B.45C.1D.2解析:由题意,知圆(x -1)2+(y +2)2=1的圆心为(1,-2),半径r =1.所以圆心(1,-2)到直线3x -4y -3=0的距离d'=√32+(-4)=85>1.所以直线3x -4y -3=0与圆(x -1)2+(y +2)2=1外离.所以圆上的点到直线3x -4y -3=0的距离的最小值为d'-r =85-1=35.故选A .答案:A2.(北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )A.4B.5C.6D.7 解析:如图.设圆心为C (x ,y ), 则√(x -3)2+(y -4)2=1, 化简得(x -3)2+(y -4)2=1,所以圆心C 的轨迹是以M (3,4)为圆心,1为半径的圆, 所以|OC |+1≥|OM |=√32+42=5, 所以|OC |≥5-1=4,当且仅当圆心C 在线段OM 上时取得等号,故选A .答案:A3.若实数x ,y 满足(x -3)2+y 2=94,则√3x √x 2+y 2的最小值为 ( )A.12B.1C.√3D.2解析:如图.设P(x,y)为圆(x-3)2+y2=94上的任意一点,则点P到直线√3x-y=0的距离|PM|=|√3x-y|2=√3x-y2,点P到原点的距离|OP|=√x2+y2,所以√3x√x2+y2=2|PM||OP|=2sin∠POM.设圆(x-3)2+y2=94与直线y=kx相切,则√k2+1=32,解得k=√33或k=-√33.由此可知∠POM的最小值为30°,故√3x√x2+y2的最小值为2sin 30°=1.故选B.答案:B。
第一章 章末复习课-新教材 高二数学人教A选择性必修第一册第1章
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Hale Waihona Puke 当堂训练1.下列各组向量中不平行的是( D ) A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D.g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40) 解析 A：b＝－2a⇒a∥b； B：d＝－3c⇒d∥c； C：而零向量与任何向量都平行.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 平行六面体 A1B1C1D1－ABCD，M 分―AC→成的比为12，N 分A―1→D 成的比为 2，设―A→ B＝a，―AD→＝b，―AA→1＝c，试用 a、b、c 表示M―→N.
解析答案
类型二 利用空间向量证明空间中的位置关系 例2 如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点， AC＝BC＝BB1. 求证：(1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D.
问题导学
知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb ，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ__⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·b__＝_0__
π
π
π
π
A.6
B.4
C.3
D.2
解析答案
1 2345
4.已知a，b，c是空间的一组基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中
可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是( C )
A.a
人教版2019学年高中数学第一章统计案例章末复习同步学案新人教B版选修1_2
第一章统计案例章末复学目 1. 理解独立性的基本思想及施步.2. 会求回直方程，并用回直行．1．2× 2 列表2× 2 列表如表所示：B B合A n n n＋11121A n21n22n2＋合n＋1n＋2n其中＋ 1＝11＋21，＋2＝ 12＋22，n n n n n nn 1＋11122＋2122＝ n ＋ n， n＝ n ＋n，n＝n11＋ n21＋ n12＋ n22. 2．最小二乘法于一数据 ( x i，y i ) ，i＝ 1,2，⋯， n，若是它性有关，回直方程^ ^y＝ b x＋^^＝!，!＝!－!! .a，其中 b＝!3．独立性常用量χ2＝ ! 来两个量可否有关系．型一独立性例 1认识某班学生喜打球可否与性有关，本班48 人行了卷获取了以下的2× 2 列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球共计男生6女生10共计482.已知在全班48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为3(1)请将上面的 2× 2 列联表补充完满； ( 不用写计算过程 )(2)可否在出错误的概率不高出 0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的原因．考点独立性查验及其基本思想题点独立性查验的综合应用解(1) 列联表补充以下：喜爱打篮球不喜爱打篮球共计男生22628女生101020共计321648(2) 由χ2＝错误 ! ≈ 4.286.由于 4.286>3.841 ，因此能在出错误的概率不高出0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．反省与感悟经过公式χ 2＝错误!计算出χ 2的值，再与临界值作比较，最后得出结论．追踪训练 1 奥运会期间，为检查某高校学生可否愿意供应志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校检查了 60 人，结果以下：可否愿意供应志愿者服务愿意不愿意性别男生2010女生1020(1) 用分层抽样的方法在愿意供应志愿者服务的学生中抽取 6 人，其中男生抽取多少人？(2) 你可否在出错误的概率不高出的前提下认为该高校学生可否愿意供应志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参照：20P(χ ≥ x )x0考点独立性查验思想的应用题点独立性查验在分类变量中的应用20解(1) 由题意，可知男生抽取6×20＋10＝4( 人)．(2) χ2＝错误 ! ≈ 6.667 ，由于 6.667 ＞ 6.635 ，因此能在出错误的概率不高出0.01 的前提下认为该高校学生可否愿意供应志愿者服务与性别有关．种类二线性回归剖析例 2某城市理论展望2010 年到 2014年人口总数与年份的关系如表所示：年份 201x( 年)01234人口数 y(十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；^^^(2) 请依照上表供应的数据，求出y 对于 x 的回归直线方程y＝b x＋a；(3) 据此估计2019 年该城市人口总数．考点回归剖析思想的应用题点回归剖析思想的应用解 (1) 散点图如图：(2) 由于x＝0＋ 1＋2＋3＋4＝ 2，5y ＝5＋ 7＋ 8＋11＋ 19＝ 10，55i i＝0× 5＋1× 7＋2× 8＋3×11＋4×19＝ 132，x yi ＝ 15x2i ＝ 02＋ 12＋ 22＋ 32＋ 42＝ 30，i ＝ 1^132－5×2×10＝3.2 ，因此 b＝30－5×22^^x ＝3.6.a＝y－ b^因此回归直线方程为y＝ x＋3.6.^(3) 令x＝ 9，则 y＝3.2 × 9＋ 3.6 ＝ 32.4 ，故估计 2019 年该城市人口总数为32.4( 十万 ) ．反省与感悟解决回归剖析问题的一般步骤(1)画散点图．依照已知数据画出散点图．(2)判断变量的有关性并求回归方程．经过察看散点图，直观感知两个变量可否拥有有关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，尔后写出回归方程．(3)本质应用．依照求得的回归方程解决实责问题．追踪训练2某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系以下：次数 x3033353739444650成绩 y3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归直线方程；(3)计算有关系数并进行有关性查验；(4) 试展望该运动员训练47 次及 55 次的成绩．解(1) 作出该运动员训练次数x 与成绩 y 之间的散点图，以以下列图，由散点图可知，它们之间拥有线性有关关系．(2)列表计算：次数 x i成绩 y i x i2y i2x i y i30309009009003334 1 089 1 156 1 1223537 1 225 1 369 1 2953739 1 369 1 521 1 4433942 1 521 1 764 1 6384446 1 936 2 116 2 0244648 2 116 2 304 2 2085051 2 500 2 601 2 550由上表可求得8x ＝ 39.25 ， y ＝40.875 ，∑x i2＝ 12 656 ，i＝ 188x i y i＝13 180，∑y i2＝13 731，∑i ＝ 1i ＝ 18xiyi－ 8x y^∑^^i ＝ 1，∴ b＝≈ 1.041 5 ， a ＝ y－ b x ＝－ 0.003 88 82∑ x2i － 8 xi ＝ 1∴回归直线方程为y ＝1.041 5 － 0.003 88.x(3)计算有关系数 r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的有关关系．(4) 由上述剖析可知，我们可用回归直线方程y＝1.041 5 x－0.003 88作为该运动员成绩的预告值．将 x＝47和 x＝55分别代入该方程可得y≈49和 y≈57.故展望该运动员训练47 次和 55次的成绩分别为49 和 57.1．从某地域老人中随机抽取500 人，其生活可否自理的情况以下表所示，则()性别人数男女生活可否自理能178278不能够2321A. 有 95%的掌握认为老人生活可否自理与性别有关B．有 99%的掌握认为老人生活可否自理与性别有关C．没有充足原因认为老人生活可否自理与性别有关D．以上都不对考点独立性查验及其基本思想题点独立性查验的思想答案C剖析经计算，得χ 2＝错误 !≈2.925<3.841 ，故我们没有充足的原因认为老人生活可否自理与性别有关．2．“回归”一词是在研究子女的身高与父亲母亲的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．依照他的结论，在儿子的身高y 与父亲的^ ^ ^^)身高 x 的回归直线方程 y＝b x＋a中，b的值(A．在 ( － 1,0) 内B．等于 0C．在 (0,1) 内D．在 [1 ，＋∞ ) 内考点线性回归剖析题点回归直线方程的应用答案C剖析子代平均身高向中心回归，^b应为正的真分数，应选 C.3．四名同学依照各自的样本数据研究变量x， y 之间的有关关系，并求得回归方程，分别获取以下四个结论：^① y 与 x 负有关且y＝ x－；^② y 与 x 负有关且y＝－ x＋；③ y 与 x ^；正有关且 y ＝ 5.437 x ＋④ y 与 x^x －4.578.正有关且 y ＝－其中必然不正确的结论的序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④考点 线性回归剖析题点 回归直线方程的应用答案 D剖析①中，回归方程中 x 的系数为正，不是负有关；④中，回归方程中x 的系数为负，不是正有关，因此①④必然不正确．^ ^^时，对应的 y 的估计值是 17，当 x ＝ 8 时，对应 4．对于回归直线方程 y ＝ b x ＋ a ，当 x ＝ 3 的 y 的估计值是 22，那么，该回归直线方程是 ________，依照回归直线方程判断当x ＝________时， y 的估计值是 38. 考点 线性回归剖析题点 回归直线方程的应用答案 ^y ＝ x ＋14 24剖析第一把两组值代入回归直线方程，得^^^3b ＋ a ＝ 17，b ＝ 1，^ 解得^^8b ＋ a ＝ 22， a ＝ 14.^因此回归直线方程是y ＝ x ＋ 14.令 x ＋ 14＝ 38，可得 x ＝ 24，即当 x ＝ 24 时， y 的估计值是 38.1．成立回归模型的基本步骤(1) 确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量． (2) 画出散点图，察看它们之间的关系． (3) 由经验确定回归方程的种类．(4) 依照必然的规则估计回归方程中的参数．2．独立性查验是对两个分类变量间可否存在有关关系的一种案例剖析方法 .一、选择题1．当χ2>3.841 时，认为事件A与事件 B()A．有 95%的掌握有关B．有 99%的掌握有关C．没有原因说它们有关D．不确定答案 A2．下表显示出样本中变量y 随变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能是() x45678910y14181920232528A. 线性函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型考点回归剖析题点成立回归模型的基本步骤答案A剖析画出散点图 ( 图略 ) 能够获取这些样本点在某一条直线上或在该直线周边，故最可能是线性函数模型．3．下表是某厂1～ 4 月份用水量 ( 单位：百吨 ) 的一组数据：月份 x1234用水量 y43由散点图可知，用水量y 与月份 x 之间有较好的线性有关关系，其回归直线方程是^y＝－^^)0.7 x＋ a，则 a等于 (A．10.5 B．5.15 C． 5.2 D ．考点回归直线方程题点样本中心点的应用答案D^剖析样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入回归直线方程可解得a＝5.25.4．据统计，用于数学学习的时间( 单位：小时 ) 与成绩 ( 单位：分 ) 近似于线性有关关系，对某小组每周用于数学学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如表：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求回归直线方程^ ^ ^^ ^y＝110的地址关系y＝ bx＋a，则点(a，b)与直线 x＋18为 ()A．点在直线左侧B．点在直线右侧C．点在直线上D．无法确定考点回归直线方程题点样本点中心的性质答案C剖析由题意知 x ＝18， y ＝110，样本点中心为^ (18,110) 在回归直线上，故 110＝ 18b＋^^ ^a，即点( a， b)在直线上．5．某察看团对全国 10 大城市进行员工人均薪水水平x(单位：千元)与居民人均花销水平y(单位：千元)统计检查， y 与 x 拥有线性有关关系，回归直线方程为^y＝ 0.66 x＋ 1.562.若某城市居民人均花销水平为7.675 千元，估计该城市人均花销额占人均薪水收入的百分比约为 ()A．83% B ． 72% C．67% D ．66%考点线性回归剖析题点回归直线方程的应用答案A剖析将 y＝代入回归直线方程，可计算得x≈9.26 ，因此该城市人均花销额占人均薪水收入的百分比约为7.675 ÷9.2 6≈0.83 ，即约为83%.6．已知变量x和y知足关系y＝－ 0.1 x＋1，变量y与z正有关．以下结论中正确的选项是() A．x与y正有关，x与z负有关B．x与y正有关，x与z正有关C．x与y负有关，x与z负有关D．x与y负有关，x与z正有关考点线性回归剖析题点回归直线方程的应用答案C剖析由于y ＝－＋ 1，－ 0.1<0 ，因此x与y负有关．又y与z正有关，故可设z＝xay＋ b( a>0)，因此 z＝－ ax＋a＋ b，－ a<0，因此 x 与 z 负有关．应选 C.二、填空题7．已知x与y之间的一组数据：x0246y a353a已求得对于 y 与 x 的回归直线方程为考点线性回归剖析题点回归直线方程的应用答案^y ＝ x＋，则 a＝________.剖析x ＝3， y ＝ a＋2，将(3， a＋2)代入方程，得a＋2＝＋，解得 a＝2.15. 8．某工厂为了新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按起初拟订的价钱进行试销，获取以下数据：单位 x(元)456789销量 y(件)908483807568由表中数据，求得回归直线方程为^^y＝－ 4x＋a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．考点线性回归剖析题点回归直线方程的应用答案1 3剖析由表中数据得 x ＝ 6.5 ， y ＝^^^ 80，由点 ( x ， y ) 在直线y＝－ 4x＋a上，得a＝106，即回归直线方程为^x＋106，经过计算只有点(9,68)和(5,84)在直线的左下y ＝－42 1方，故所求概率为＝ .6 39．某工厂为了检查工人文化程度与月收入之间的关系，随机检查了部分工人，获取以下表所示的 2× 2 列联表 ( 单位：人 ) ：月收入 2 000 元以下月收入 2 000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105由 2× 2 列联表计算可知，我们有 ________以上的掌握认为“文化程度与月收入有关系”.P(χ2≥ x0)x0考点独立性查验及其基本思想题点独立性查验的方法答案97.5%2剖析由表中的数据可得χ ＝错误!≈ ，因此我们有97.5%以上的掌握认为“文化程度与月收入有关系”．10．某医疗研究所为了查验某种血清预防感冒的作用，把500 名使用血清的人与其他500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假定H0：“这种血清不能够起到预防感22冒的作用”，利用 2× 2 列联表计算得χ ≈ ，经查临界值表知P(χ ≥3.841)≈0.05.①在出错误的概率不高出5%的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%.考点独立性查验及其基本思想题点独立性查验的方法答案①剖析查临界值表知P(χ2≥3.841)≈，故有95%的掌握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” .95%仅是指“血清与预防感冒有关”的可信程度，但也有“在100 个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能．故答案为①.三、解答题11．某城区为研究城镇居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的有关关系，随机抽取10户进行检查，其结果以下：月人均收入x(元)300390420520570月人均生活费y(元)255324335360450月人均收入x(元)700760800850 1 080月人均生活费y(元)520580*********(1)作出散点图；(2)求出回归直线方程；(3) 试展望月人均收入为 1 100 元和月人均收入为 1 200 元的两个家庭的月人均生活费．考点题点解 (1) 作出散点图以以下列图，由图可知月人均生活费与月人均收入之间拥有较强的线性有关关系．(2) 经过计算可知x ＝639， y ＝480.4 ，10∑ x i2＝4 610 300i ＝110，∑ x y ＝3 417 560，i ＝ 1 i i10xiyi－ 10 x y^∑^^i ＝ 1，∴ b ＝≈ 0.659 9 ， a＝ y － b x ＝58.723 9 10x2∑ x2i － 10i ＝ 1∴回归直线方程为^＝0.659 9 x＋ 58.723 9. y(3)由以上剖析可知，我们能够利用线性回归方程^y ＝ 0.659 9 x＋ 58.723 9来计算月人均生活费的展望值．将 x＝1 100代入，得 y≈，将 x＝1 200代入，得 y≈850.60.故展望月人均收入分别为 1 100 元和 1 200 元的两个家庭的月人均生活费分别为元和 850.60 元．12．某公司有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸( 单位：mm)的值落在 [29.94,30.06)的零件为优秀品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500 件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86 ，[29.90 ，[29.94 ，[29.98 ，，[30.06 ，[30.10 ，29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14]频数12638618292614乙厂：分组[29.86 ，[29.90 ，[29.94 ，[29.98 ，，[30.06 ，[30.10 ，29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14]频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优秀品率；(2) 由以上统计数据填写下面的2× 2 列联表，并问可否在出错误的概率不高出0.01 的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差别”？甲厂乙厂共计优秀品非优秀品共计考点独立性查验及其基本思想题点独立性查验的方法360解(1) 甲厂抽查的产品中有360 件优秀品，进而甲厂生产的零件的优秀品率估计为＝500 72%；乙厂抽查的产品中有'320 件优秀品，进而乙厂生产的零件的优秀品率估计为320＝ 64%. 500(2)2 × 2 列联表以下：甲厂乙厂共计优秀品360320680非优秀品140180320共计5005001 000χ2＝错误 ! ≈ 7.353>6.635 ，因此在出错误的概率不高出0.01 的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差别．”四、研究与拓展13．某校高一年级理科有 8 个班，在一次数学考试中成绩情况剖析以下：班级12345678大于 145 分的人数66735337不大于 145 分的人数3939384240424238附：88∑x i y i＝171，∑ x i2＝204.i ＝ 1i ＝ 1求 145 分以上人数y 对班级序号x 的回归直线方程．( 精准到 0.000 1)考点独立性查验思想的应用题点独立性查验与回归直线方程、希望的综合应用解x ＝ 4.5 ， y ＝88i2＝ 204，5，∑i i ＝171，∑i＝1x y i ＝1x8－ 8 x y^∑ xiyi171－8×4.5 ×5i ＝ 1＝b＝8204－8×x2i－8 x 2∑i ＝ 13＝－14≈－ 0.214 3 ，^^×4.5≈ 5.964 4 ，a＝ y －b x ＝5－ ( －0.214 3)^∴回归直线方程为y＝－ 0.214 3 x＋ 5.964 4.。
人教版高中数学选修2-1第一章单元复习教案(提高)
x A x∈使得 ( ).p且q”为真假q真，则它的( B ) 必要不充分条件D ）既不充分也不必要条件所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是答案：题型一：四种命题之间的关系例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）. (A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题. 题型二：充分、必要条件题型例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充分条件; q 是p 不必要条件. 变式练习：“1a =”是“,21ax x x+≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件 例3 221:212;:210(0)3x p q x x m m --≤-≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围.【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的关系,利用集合的理论方法将问题解决.解: 由22210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或. {}112210,:2103x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A ⊆于是：012110m m m >⎧⎪-≥-≤⎨⎪+≤⎩解得0<m 3为所求. 【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来. 题型三：复合命题真假的判断例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；q ：方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围. 【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m 的取值范围.解：240,:2;0m p m m ⎧∆=->>⎨>⎩解得 ()()22:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，2,2,3121 3.13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复合命题的真假判断.变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数()f x =()73xa --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.题型四：全称命题、特称命题例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (2) A B AB ⊄⇔=∅(3) A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得其中真命题的序号为(4).【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题. 解: {}{}{}1231241112A B A B A B AB ==⊄∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,所以(1),(2)是假命题; {}{}1241A B A B B A ==⊄⊆若，，，，满足但,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).(A) ()n 90sin ααα︒-=有一个使si (B) sin 2x x π=存在实数，使(C) (),sin 180sin ααα︒-=对一切 (D) sin15sin 60cos 45cos60sin 45︒︒︒︒︒=- 题型五：综合应用例6 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且2244b βα<<+<是且b 的充要条件.【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件，244b α<+<且b 是结论，由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x 轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。
高中数学人教版选修1-2_模块复习课 第一课 统计案例 (共54张PPT)精选ppt课件
【解析】依题意有
P=(-3x+161.5)(x-30)=-3x2+251.5x-4845
=-3(x- )2+ 2 5 1.5
2 5 -1 .45 2845.
所以当x=6 ≈42时1 2 ，P有最大值，约为426.
2 5 1.5 即预测销售单6 价为42元时，能获得最大日销售利润.
【方法技巧】求线性回归方程的基本步骤
每晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1 355
1 379
总计
54
1 579
1 633
【解析】由列联表中的信息 知打鼾人群中未患心脏病的 比例为0.88，即患有心脏病 的比例为0.12；同理不打鼾 人群中未患心脏病的比例为0.98，即患有心脏病的比 例为0.02.作出等高条形图(如图).
从该图中可以看出：打鼾样本中患心脏病的比例明显 多于不打鼾样本中患心脏病的比例.因此可以认为“打 鼾与患心脏病有关”.
所以y关于x的b线9 4 性7 3 7 4 回 9 4 归7 3 2 2 方 程5 2,为a 2 7 5 2 1 2 3 ,
y 5 x 3. 2
(3)当x=10时，y =22，|22-23|<2，当x=11时y ， =24.5
|24.5-25|<2，当x=13时， =29.5，|29.5-30|<2.
M包含的基本事件有：(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、
(CD)，所以P(M)=5 . 6
【补偿训练】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小 与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分 别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每 天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第一章 阶段复习课 (共89张PPT)
得
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
高考数学(人教A版选修1-2)第一轮复习教学案第一章统计案例 学案
第一章统计案例[课标研读]［课标要求］了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立检验：了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）假设检验：了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用.（3）聚类分析：了解聚类分析的基本思想、方法及其简单应用.（4）回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用.［命题展望］本章所涉及到的知识点均要进行大量的数据计算，而这些计算如果仅仅靠笔算往往是比较困难的，需要借助于计算机或计算器。
其实在新课标中提到“……应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据……”，而我们目前的高考还不允许使用计算器，所以本章的更看重统计思想。
考虑到本章内容是新增内容，在高考中应该有所体现，但在高考试题中不会出现过于繁琐的计算题，相信会出现一道填空试题或填空题，出现解答题的可能性较小，即使出现，所涉及的计算应该不会很繁琐。
本章的疑点是用这种方法检验可靠吗？实际上这种方法仍然是用样本估计总体，由于抽样的随机性，结果并不唯一，所以用部分推断全体，推断可能正确，也有可能错误。
但我们只要科学合理地去抽样，那么犯错误的可能性就很小了。
如卡方检验中，若2 6.635χ>，则说明我们犯错误的概率仅为1%，这也是统计方法的魅力所在。
第一讲回归分析的基本思想及其初步应用[知识梳理]［知识盘点］1.相关关系是一种非确定的关系，是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法。
2．线性回是模型y bx a e=++（e为），因变量y的值是自变量x和随机误差e共同确定的，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们把自变量x称为，因变量y称为。
3．模型中的参数a和b用估计，其计算公式如下：121()()ˆ()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-，其中11niix xn==∑，1niiy y==∑(,)x y称为，回归直线一定经过样本中心点。
人教课标版高中数学必修一《第一章》章末复习教案(1)-新版
章末复习课思维导图典例讲解例1 已知)(x f y =是偶函数，而)1(+=x f y 是奇函数，且对任意10≤≤x ，)(x f 递减，都有0)(≥x f ，则)2010(f a =，)45(f b =，)21(f c -=的大小关系是（ ） A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c b a <<【知识点】奇偶性与单调性的综合.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由)1(+=x f y 是奇函数，得)1()1(+-=+-x f x f ，则令x 取1+x 代入上式得，)2()(+-=-x f x f ，∵)(x f y =是偶函数，∴)()()2(x f x f x f -=--=+，则)()2()4(x f x f x f =+-=+，∴)(x f 是以4为周期的一个周期函数，则)0()2()25024()2010(f f f f a -==+⨯==，)43()243()45(f f f b -=+-==， )21(-=f c ， ∵43210<<，且对任意0≤x ≤1，f （x ）递减， ∴)43()21()0(f f f >>，则)43()21()0(f f f -<-<-，即b c a <<，故选：C ． 【思路点拨】由函数奇偶性可推断出=f （x ）是周期为4的函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值，再利用单调性比较大小.【答案】C例2 已知集合A ={x |3＜x ＜7}，B ={x |2＜x ＜10}，C ={x |5-a ＜x ＜a }．（1）求B A C R； （2）若⊆C )(B A ，求a 的取值范围．【知识点】交集，并集，补集及运算.【数学思想】【解题过程】（1）∵A ={x |3＜x ＜7}，B={x |2＜x ＜10}，∴A C R ={x|x ≤3或x ≥7}，∴（∁R A ）∩B={x |2＜x ≤3或7≤x ＜10} ．（2）由（1）知，A ∪B ={x |2＜x ＜10}，当C ≠∅时，要使C ⊆)(B A ，须55210a a a a -⎧⎪-⎨⎪⎩＜≥，≤，解得25＜a ≤3； 当C =∅时，5-a ≥a ，解得a ≤25． ∴a 的取值范围是a ≤3． 【思路点拨】根据交集与并集和补集的定义即可求出； 根据分两种情况讨论，解不等式组即可．【答案】（1）{x |2＜x ≤3或7≤x ＜10}；（2）a ≤25．例3 已知函数f （x ）=11+-x x e e ． （1）判断f （x ）的奇偶性；（2）判断f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t ，使不等式f (x －t )+f (22t x -)≥0对一切x ∈[1，2]恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【知识点】函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明.【数学思想】数形结合思想，转化思想.【解题过程】（1）函数的定义域为（-∞，+∞），则f （-x ）=11+---x x e e =x x e e +-11=11+--x x e e =-f （x ），则f （x ）为奇函数． （2）f （x ）=11+-x x e e =121+-+x x e e =112+-x e ，则f （x ）在R 上的单调性递增， 证明：设x 1＜x 2，则f （1x ）-f （2x ）=121212+-+x x e e =)1)(1()(22121++-x x x x e e e e ，∵x 1＜x 2， ∴21x x e e <， ∴021<-x x e e ，即f （1x ）-f （2x ）＜0，即f （1x ）＜f （2x ），即函数为增函数．（3）若存在实数t ，使不等式f （x -t ）+f （22t x -）≥0对一切x ∈[1，2]恒成立，则f （22t x -）≥-f （x -t ）=f （t -x ）． 即22t x -≥t -x ．即2x +x ≥2t +t 恒成立，设y =2x +x =)21(+x －14，∵x ∈[1，2]，∴y ∈[2，6]， 即2t +t ≤2，即2t +t -2≤0． 解得-2≤t ≤1，即存在实数t ，当－2≤t ≤1时使不等式f (x －t )+f (22t x -)≥0对一切x ∈[1，2]恒成立．【思路点拨】根据就行单调性定义证明即可，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解．【答案】 （1）奇函数；（2）略；（3）存在实数t ，当-2≤t ≤1时即可.章末检测题一、选择题1.设全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，若A C U ={1，3，5，7，9}，则集合A =（ ）A.{2，6，8}B.{2，4，6，8}C.{0，2，4，6，8}D.{0，2，6，8}【知识点】补集及其运算.【解题过程】全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，当A C U ={1，3，5，7，9}时，集合A ={2，4，6，8}．故选：B ．【思路点拨】根据补集的定义写出集合A 即可．【答案】B2.函数的定义域为（ ） A.B.C.D. 【知识点】函数的定义域及其求法． 【解题过程】，，故选C ．【思路点拨】算术平方根被开方数非负，分母不为0.【答案】C3.设函数，若,则实数a =( )A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2【知识点】函数的对应法则【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】 由 或得或a =2,故选B.【思路点拨】分类讨论，解不等式求交集即可.【答案】B4.某部队官兵从驻地出发前往目的地训练，按计划先乘车行进一段路程，再步行至目的地，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示官兵离目的地的距离，则较符合的图象是（ ） A.B. C. D.【知识点】函数的图象与图象变化.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】随着时间的增加，距目的地的距离在减小，即函数图象应为减函数，排除A 、C ，曲线的斜率反映行进的速度，斜率的绝对值越大速度越大，步行后速度变小，故排除B. 故选D.【思路点拨】借助函数单调性，考虑图像倾斜程度的实际意义.【答案】D5.满足条件},,{c b a M ⊆⊂∅≠的集合M 的个数为（ ） A.6B.7C.8D.9【知识点】子集与真子集．【解题过程】：{a,b,c }的非空子集有7个，故选B ．【思路点拨】确定集合M 的可能元素，结合子集的定义进行计算.【答案】B6、二次函数中，若，则其图象必经过点（ ） A.B.C.D. 【知识点】函数的图象，函数的定义． 【解题过程】因为，所以，即函数图象过点，故选C ．【思路点拨】结合题目所给二次函数信息，代入特殊值进行构造.【答案】C7.已知函数y =f （x ）在定义域（-1，1）上是减函数，且f （2a -1）＜f （1-a ），则实数a 的取值范围是（ ） A.),32(+∞ B.)1,32( C.)2,0(D.（0，+∞）【知识点】函数的图象与函数单调性【数学思想】数形结合思想，转化的思想【解题过程】函数y =f （x ）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：1121->->a ， 111<-<-a ，a a ->-112三者同时成立，故选B.【思路点拨】利用函数y =f （x ）在定义域（-1，1）上是减函数，将f （2a -1）＜f （1-a ）转化为：2a -1＞1-a 求解．【答案】B8.已知函数5()2b f x ax x=+-，若(2019)2f =,则(2019)f -=（ ） A.6B.-6C.0D.无法确定【知识点】函数奇偶性的性质.【解题过程】由题知f(x)+2是奇函数， 则2)2019(2)2019(--=+-f f ⇒6)2019(-=-f 故选B.【思路点拨】根据函数解析式，分析奇偶性求值.【答案】B9.设函数满足，则的表达式为（ ） A.B.C.D. 【知识点】函数解析式的求解及常用方法． 【解题过程】设，则，所以，所以，故选C ．【思路点拨】换元法求出函数解析式.【答案】C10.若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A.B.C.D. 【知识点】函数的单调性的性质．【解题过程】，在区间上单调递增，则，，故选A ． 【思路点拨】分离常数，结合反比例函数的单调性解不等式.【答案】A11.定义在R 上的函数f (x )满足)4()(x f x f -=，)2,(,21-∞∈∀x x )(21x x ≠，有[]0)()()(2121<--x x x f x f 成立，若)25(f a =，)2(f b =，)3(-=f c ，则（ ） A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a 【知识点】函数的单调性的性质，函数的图象.【解题过程】因为)4()(x f x f -=,所以对称轴为x =2,由题意可知f(x)在x <2时，f (x )递减， 则f (x )在x >2时，f (x )递增，f (-3)=f (4-7)=f (7),因为7252<<,所以b<a<c.故选A. 【思路点拨】根据信息，得到函数的单调性和对称性，将各个函数值对应在对称轴同侧即可.【答案】A12.已知平面直角坐标系内两点),(),,(222111y x A y x A 间距离12||A A =P 是二次函数图像)(122R k k x x y ∈+++=上的动点，M 是该二次函数图像的顶点，定点错误！未找到引用源。
人教A版高中数学选修1-2精品课件：章末复习课
跟踪训练1 在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组 数据为：
x(元) y(件)
14
16
18
20
22
12
10
7
5
3
且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合 效果的好坏.
解答
类型二 独立性检验
例2 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷 调查得到了如下的2×2列联表：
解答
当堂训练
1.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高
尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论，
^^ ^
^
在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程 y＝bx＋a中，b
A.在(－1,0)内
B.等于0
√C.在(0,1)内
D.在[1，＋∞)内
解析 子代平均身高向中心回归，b^ 应为正的真分数，故选C.
怎样才能学好数学呢？现介绍几种方法以供参考：
一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确 的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与 教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先 要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆 而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂 即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分 析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合 起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
高中数学选修1-2复习教案1
第4周教学反思：上周学习框图，因为本章知识点较少，内容简单，所以学生掌握起来较为容易，后面两天进入本次月考复习，总体效果还算是好。
选修1-2复习-第5周第一章统计案例小结与复习一、教学目标设计1.知识与能力在必修３概率统计内容的基础上，通过典型案例进一步学习回归分析的基本思想、方法及其初步应用；通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，认识统计方法在决策中的作用．2.过程与方法通过知识与例题讲解的结合,培养学生归纳知识、整合知识的能力．借助样本数据的分析，提高学生的数据分析能力．3.情感、态度与价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系．培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力二、教学重点及难点重点：理解回归分析的基本思想及实施步骤；理解独立性检验的基本思想及实施步骤．难点：了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用，以及了解独立性检验（只要求２×２列联表）的基本思想、方法及其初步应用三、教学方法讲授法，谈话法与多媒体结合四、教学过程一、知识结构二、知识回顾1．相关关系与函数关系的区别：函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，当自变量给定时，函数值确定．而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性．2．回归直线过样本点的中心(,)x y ，其中 1111n ni i i i x x y y n n ====∑∑，．3．线性回归模型的完美表达式为：y bx a e =++ ，参数b 和a 的最小二乘估计分别为ˆb和ˆa ，其计算公式为：()()()121ˆni i i nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．4．残差：对于样本点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 而言，它们的随机误差为,1,2,,i i i e y bx a i n=--=，其估计值为ˆˆˆˆ,1,2,,i i i i i e y y y bx a i n =-=--=，ˆi e 称为相应于点(),i i x y 的残差．残差分析的一般步骤：（1）计算观察数据的残差．（2）画残差图．（3）分析残差图． 5．我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：22121ˆ()1()ii i i i yyR y y ==-=--∑∑ｎｎR 2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.6．建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）．（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程；如果不是线性关系，根据图像特点建立非线性模型通过变换再转化为线性回归模型）． （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）．（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等）．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 7．“独立性检验”的一般步骤为:⑴.根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量X 与Y 有关系”犯错误概率的上界α，然后查表1-11确定临界值ｋ0⑵.利用公式(1) ，计算随机变量K 2的观测值ｋ;⑶.查对临界值表得出结论，如果ｋ≥ｋ0,就推断“X 与Y 有关系”，这种推断错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错的概率不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y 有关系” 三、典型例题分析（一）区别相关关系与函数关系.【例1】下列各组变量的关系中是相关关系的是( ).A.电压U 与电流IB.圆面积S 与半径RC.粮食产量与施肥量D.天上出现的彗星流与自然蚧的灾害【解析】A,B 选项中的变量都是函数关系 ,是确定的.D 选项中的量没有关系,只有C 选项中是相关关系,具有不确定性,故答案是C. （二）有关线性回归直线．1．线性回归直线过样本中心，这个知识点经常在小题中出现．【例２】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据，据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】34564.542.534 4.53.544.50.7:3.5 4.50.7,0.35,0.70.35.x y y x a a a y x +++==+++==∴=+=⨯+∴==+，，这组数据的样本中心是(，3.5).把样本中心代入回归直线方程得这组数据的回归直线方程是2．建立线性回归模型，并进行预测．【例３】 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国内生产总值（即人均GDP ）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：（1）画出散点图；（2）求y 对x 的回归直线方程；（3）如果这个省的某一城市同时期年人均GDP 为12万元，估计这个城市一年患白血病的儿童数目.【分析】利用公式分别求出∧∧a b ,的值，即可确定回归直线方程，然后再进行预测. 【解】（1）作x 与y 对应的散点图，如右图所示； （2）计算得67.1286)()(,17.226,33.561=--==∑=y y x xy x i i i33.55)(612=-∑=i ix x，∴25.2333.5567.1286≈=∧b ，25.10233.525.2317.226≈⨯-=∧a ，万人均/GDP 16题图∴y 对x 的回归直线方程是25.10225.23+=∧x y ．（3）将12=x 代入25.10225.23+=∧x y 得：38125.1021225.23≈+⨯=∧y ，估计这个城市一年患白血病的儿童数目约为381.（三）在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系．在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系．【例４】 寒假中，某同学为组织一次爱心捐款，于2008年2月1日在网上给网友发了张帖子，并号召网友转发，下表是发帖后一段时间的收到帖子的人数统计：天数x 1 2 3 4 5 6 7 人数y 711212466115325（1）作出散点图，并猜测x 与y 之间的关系； （2）建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差；（3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子传播时间共10天）进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人.【分析】先通过散点图，看二者是否具有线性相关关系，若不具有，可通过相关函数变换，转化为线性相关关系. 【解】（1）散点图：从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线mx ke y =的周围，其中m k 、是参数；（2）对mx ke y =两边取对数，把指数关系变成线性关系.令y z ln =，则变换后的样本点分布在直线),ln (m b k a a bx z ==+=的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x 与y 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：求得回归直线方程为133.1620.0+=∧x z ，∴133.1620.0+∧=x e y .（3）截止到2008年2月12日，10=x ，此时1530133.110620.0≈=+⨯∧e y （人）. ∴估计可去1530人.（四）独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．重点是理解独立性检验的基本思想及实施步骤，在高考中可能和概率综合出解答题．根据样本数据计算检验统计量的值，要会给出推断结果及其解释．【例５】有人发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的70个，外国人的54个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字.（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）他发现在这组数据中，外国人邮箱名称里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？【分析】按题中数据建列联表，然后根据列联表数据求出k 值，即可判定.【解】（1）2×2的列联表：（.由表中数据得201.660645470)21273343(1242≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，因为k >5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”.【评注】独立性检验类似于反证法，其一般步骤为：第一步：首先假设两个分类变量几乎没有关系（几乎独立）；第二步：求随机变量k的值；第三步.判断两个分类变量有关的把握（即概率）有多大.五、课堂小结本章是在必修３的基础上，进一步研究了两个变量的关系，通过散点图直观地了解两个变量的关系，然后通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、R2等评价模型的好坏，这就是回归分析的基本思想．在实际问题中，经常会面临需要推断的问题，比如研制出一种新药，需要推断此药是否有效；有人怀疑吸烟的人更容易患肺癌，需要推断患肺癌是否与吸烟有关；等等．在对类似的问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿得出结论，需要通过试验来收集数据，并根据独立性检验的原理做出合理的推断．统计方法是可能犯错误的：不管是回归分析还是独立性检验，得出的结论都可能犯错误．好的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率．实际上，这就是统计思维与确定性思维差异的反映．六、课后作业课本复习参考题A组七、板书设计第二章推理与证明一、教学目标设计1．了解本章知识结构。
人教A版高中数学高一选修1-2学案 第一章章末复习课
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．回归分析：(1)回归分析是建立在两个具有相关性变量之间的一种模拟分析，因此必须先判断两变量是否具有相关性．(2)线性回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x －，y －)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．(3)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．2．独立性检验：(1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测．(2)在2×2列联表中，当数据a ，b ，c ，d 都不小于5时，才可以用K 2检测．(3)独立性检验易错误理解假设检验原理，导致得到相反的结论．专题一线性回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图，以判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可求出线性回归直线方程．求出线性回归模型后，可以借助残差、残差平方和以及相关指数R2等对模型进行评判．相关指数R2刻画回归的效果，其计算公式：R2＝1－, R2的值越大，模型的拟合效果越好.［例1］下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤.解：(1)散点图如图所示：(2)x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．归纳升华1．求线性回归方程的基本步骤．2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．[变式训练]如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注：解：因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2018年对应的t＝11代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×11＝2。
高中数学 第一章 统计案例章末复习学案(无答案)新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
第一章高中数学第一章统计案例章末复习学案（无答案）新人教A版选修1-2第二章第三章第四章编辑整理：第五章第六章第七章第八章第九章尊敬的读者朋友们：第十章这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章统计案例章末复习学案（无答案）新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第十二章第十三章统计案例一、本章知识脉络：二、本章要点追踪：1。
样本点的中心(错误!，错误!）其中错误!＝错误!错误!x i,错误!＝错误!y i。
2.线性回归模型的完美表达式错误!3.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用错误!＝错误!错误!错误!i＝错误!Q(错误!,错误!)（n＞2)作为σ2的估计量其中错误!＝错误!－错误!错误!错误!＝错误!4。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝1－错误!R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.5.建立回归模型的基本步骤：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；(3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ＝bx＋x）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)；（5）得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等)，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
6。
作K2来确定结论“X与Y有关系”的可信程度.三、几个典型例题:例1某地区10名健康儿童头发和全血中的硒含量（1000ppm）如下,（1)画出散点图；（2）求回归方程；（3)如果某名健康儿童的血硒含量为94（1000ppm）预测他的发硒含量。
【新整理】：高中数学人教版选修1----2全套教案设计
高中数学人教版选修1-2全套教案第一章统计案例第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学目标1、知识与技能目标认识随机误差；2、过程与方法目标:（1）会使用函数计算器求回归方程；（2）能正确理解回归方程的预报结果.3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据错误!未找到引用源。
作散点图错误!未找到引用源。
求回归直线方程错误!未找到引用源。
利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：①例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路错误!未找到引用源。
教师演示错误!未找到引用源。
学生整理）;第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重错误!未找到引用源。
秋高中数学第1章统计案例阶段复习课学案新人教A版选修1-2(2021年整理)
2018年秋高中数学第1章统计案例阶段复习课学案新人教A版选修1-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第1章统计案例阶段复习课学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一课统计案例[核心速填］1．线性回归方程对于一组具有线性相关关系的数据（x1,y1），（x2，y2)，…,（x n，y n)，回归直线y＝bx＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!,其中（x，错误!)称为样本点的中心．2．线性回归模型为y＝bx＋a＋e,其中e为随机误差．3．残差错误!i＝y i－错误!i。
4．刻画回归效果的方法(1）残差平方和法残差平方和错误!（y i－错误!）2越小，模型拟合效果越好．(2）残差图法残差图形成的带状区域的宽度越窄，模型拟合效果越好．(3）相关指数R2法R2越接近1，模型拟合效果越好．5．K2公式K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d.[题型探究]线性回归分析年份201x（年)01234人口数y(十万）5781119(2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!;（3)据此估计2022年该市人口总数.【导学号：48662025】［解］(1)散点图如图：（2)因为错误!＝错误!＝2,错误!＝错误!＝10，0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132， 02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以错误!＝错误!＝3。
人教版高中数学选修1-2教学案：章末小结与测评7
1.流程图是动向图示，包含程序流程图、工序流程图、生活中的流程图等，流程图一般要依据从左到右，从上到下的次序来察看．2．画流程图时，要先将实质问题分解成若干个步骤，注意各个步骤之间的先后次序和逻辑关系，再用简短的语言表述步骤，最后绘制成流程图．[典例 1]高二(1)班共有40名学生，每次考试数学老师总要统计成绩在100～ 150 分、80～ 100 分和 80 分以下的各分数段的人数，请你帮助老师设计一个流程图，解答上述问题．解：流程图以以下图所示．[对点训练 ]1．履行下边的程序框图，若输入的x 值为 1，则输出的n 的值为 ________．分析：输入 x＝ 1,12－4＋ 3≤0，则 x＝ 2， n＝ 1；返回 22－8＋ 3≤0，则 x＝ 3， n＝ 2；返回 32－12＋ 3≤0，则 x＝ 4， n＝ 3；返回 42－16＋ 3>0，则输出n＝3，结束．答案： 32．如图是某算法的程序框图，则程序运转后输出的结果是________．分析：当 k＝ 1 时， a＝ 1， T＝ 1；当 k＝2 时， a＝ 0， T＝ 1；当 k＝ 3 时， a＝ 0， T＝ 1；当 k＝ 4 时， a＝ 1， T＝ 2；当 k＝ 5 时， a＝ 1， T＝ 3，则此时 k＝ k＋ 1＝ 6，因此输出 T＝3.答案： 31.结构图是一种静态图示，往常用来描绘一个系统各部分和各环节之间的关系．结构图一般主要包含知识结构图和组织结构图．2．结构图的书写次序是：依据系统各因素的详细内容，依据从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各因素区分为附属关系或逻辑的先后关系．[典例 2]试设计《数学》必修 2 第一章“空间几何体”的知识结构图．解：以下图．[对点训练 ]3．以下图是某企业领导机构的组织结构图，此中生产部的人数(经理不计在内，下同 )是其余部门人数之和的 3 倍，业务部、采买部、质检部、人事部、财务部的人数之比是3∶2∶ 2∶ 1∶ 1.据图回答以下问题：(1)个企业的最高人是________；(2)若受理直接收理的工有9 个，行理直接收理的工有________人．分析： (1)由构易知最高人是理．(2)因采部与部人数之和是9，又两部人数之比是2∶ 1，因此部有 3 人，采部有 6 人，因此人事部、部、部的人数分是3,6,9，因此生部的人数是3×(3＋3＋ 6＋ 6＋ 9)＝ 81，故行理直接收理的工有6＋ 9＋ 81＝ 96 人．答案： (1)理(2)964．在高中段，在各个域我学多知，在言与文学域，学文和外；在数学域，学数学；在人文与社会域，学思想政治、史和地理；在科学域，学物理、化学和生物；在技域，学通用技和信息技；在域，学音和美；在体育与健康域，学体育等．一个学知构．解：构如所示．(：120 分分：150 分)一、 (本大共12 小，每小 5 分，共60 分．在每小出的四个中，只有一是切合目要求的)1．如所示的框属于()Q?P1→P1?P2→P2?P3→⋯→获得一个明建立的条件A ．流程B．构C．程序框图D．工序流程图分析：选 A题中图示表示一种动向过程，故是流程图．没有起止框，故不是程序框图．2．以下图，引入复数后，数系的结构图为()分析：选 A依据知识结构图的画法，“复数”的下位因素应是并列的，只有选项 A 符合要求．3．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的选项是()分析：选 A由各学校教员工组织结构易知选 A.4．依据下边的结构图能够知道，总经理的直接部下是()A．总工程师和专家办公室B．开发部C．开发部、总工程师和专家办公室D．总工程师、专家办公室和全部的七个部分析： C 由构能够知道，理的直接部下是开部、工程和家公室，其余六个不是理的直接部下．5．如是一个构，在填入()A ．象交B．称性C．奇偶性D．分析式分析：C奇偶性属于函数的性，分析式是函数观点的一部分，象和称性是函数象的内容．6．如是一个算法的流程，若出的果是31，判断框中整数M 的是 () A．3 B．4 C．5 D． 62A 1－2A＋1A＋ 1A＋ 1分析： B本程序算的是＋⋯＋2＝ 2S＝1＋ 2＋ 2， S＝－1，由 21－ 2－1＝ 31，得 2A＋1＝ 32，解得 A＝ 4， A＋ 1＝ 5 ，条件不建立，因此 M＝ 4.7．如所示的工序流程中，采的下一道工序是()A ．安装B．土建C．厂房土建D．工程分析：A合工序流程可知，采的下一道工序是安装．8．依据下边的流程可得果()A．19 B．67 C．51 D．70分析：D流程的作用是求s＝ 1＋4＋ 7＋ 10＋⋯＋ 19＝70.9．数系的构如所示，此中①，②，③三个框中的内容分()A ．有理数、零、整数B ．有理数、整数、零C．零、有理数、整数 D ．整数、有理数、零分析：B因数分有理数和无理数，有理数又分整数和分数，整数又分正整数、零与整数，因此 B.10．如是求12＋ 22＋32＋⋯＋ 1002的程序框，中的①②分是()A ．① S＝ S＋i② i ＝i ＋1B．① S＝ S＋i 2② i＝ i＋ 1C．① i＝ i ＋ 1② S＝ S＋ iD．① i＝ i ＋1② S＝S＋ i2分析： B 各个加数的指数2，故①中 S＝ S＋ i2，② i ＝i ＋ 1.11．如所示的程序框，若出s 的－ 7，判断框内可填写 ()A ． i>6?B ． i ≥ 6?C ．i <6?D ． i ≤ 7?分析： 选 C 第一次履行循环体时 s ＝ 1， i ＝ 3；第二次履行循环体时s ＝－ 2， i ＝5；第三次履行循环体时s ＝－ 7， i ＝7，因此判断框内能够填写“i<6？ ”．2π2π12．某程序框图以下图，现履行该程序，输入以下函数f(x)＝ sin3 x ，f(x)＝ cos 3 x ，4πf(x)＝ tan3 x ，则能够输出的函数是 ()2π 2πA ． f(x)＝ sin 3 xB ． f( x)＝ cos 3 x4π C ．f(x)＝ tan 3xD ．三个函数都没法输出2π分析：选B 若输入函数 f(x)＝ cos 3 x ， 则 f(x) ＋f －3－ x22π 2π 3＝ cos3 x ＋cos3 － 2－x＝ cos2π－ π－ 2π3 x ＋cos3x＝ cos2π2π3 x －cos 3 x ＝ 0，f(x)＋ f 3＋ x ＝ cos 2π2π3＋ x23 x ＋ cos3 22π2π＝ cos 3 x ＋cos π＋ 3 x ＝0.2π2π4π 故函数 f(x)＝ cosf( x)＝ sin和 f(x)＝ tan3 x 可由题中程序框图输出．易考证函数33x均没法输出．二、填空题 (本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )13．定义运算 ， s ＝ a b 的运算原理以下图，则式子＋＝ ________.分析： 由流程图可知＋＝5×(3－ 1)＋ 4×(2－1)＝ 10＋ 4＝14.答案： 1414．阅读以下图的框图，运转相应的程序，输出 S 的值为 ________．分析： S ＝ 0， n ＝ 3，第 1 次运转， S ＝ 0＋ (－ 2)3＝－ 8，n ＝ 2，不知足条件；2第 2 次运转， S ＝－ 8＋ (－2) ＝－ 8＋ 4＝－ 4，n ＝ 1，知足条件，跳出循环，输出S 的值为－ 4.答案： －415．如图， 小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标明的数字表示该段网线单位时间内能够经过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传达信息，信息可分开沿不一样的路线同时传达，则单位时间内传达的最大信息量是________．分析：由 A→B 有四条线路．单位时间内传达的最大信息量为3＋ 4＋6＋ 6＝19.答案： 1916．某工程由A， B， C， D 四道工序构成，达成它们需用时间挨次为2,5， x,4 天，四道工序的先后次序及互相关系是：A，B 能够同时动工； A 达成后， C 能够动工； B，C 达成后， D 能够动工．若达成该工程共需9 天，则达成工序 C 需要的时间最多为________天．分析：由题意可画出工序流程图以下图．∵总工期为9 天，∴ 2＋ x≤5.∴x≤3.∴达成工序 C 的最长时间为 3 天．答案： 3三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17． (本小题 10 分 )某班选举班长，详细方法是：筹办选举，由班主任提名候选人，同学投票 (赞同，不一样意，弃权 )．验票统计．如有得票多者，则选为班长，若票数同样则由班主任决定谁入选，请用流程图表示该选举过程．解：18． (本小题 12 分 )阅读以下图的结构图：试依据此结构图论述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．解：先由椭圆的实质背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，而后是椭圆的简单应用．再由双曲线的实质背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，而后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实质背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，而后是抛物线的简单应用．19． (本小题12 分 )一家新技术企业计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能．(1)用户管理：能够改正密码，显示用户信息，改正用户信息；(2)用户登录；(3)名片管理：能够对名片进行删除、增添、改正、查问；(4)犯错信息办理．依据这些要求，画出该系统的结构图．解：该系统的结构图以下图．名片管理系统20．(本小题12 分 )某商场对衣服的退、换货方法拟订以下：对退货来说，7 天内经服务员查验不影响第二次销售可退货，若影响第二次销售则不退货；对调货来说，7 天内经服务员查验不影响第二次销售并有相应的号码则可换货，不影响第二次销售但没有相应的号码可退货，若影响第二次销售则不退、不换．某人买了一条裤子，回家后又感觉颜色不好搭配上衣，想换一条，请画出他换货过程的流程图．解：流程图以下图：21．(本小题12 分 )某自助餐厅准备进行优惠酬宾活动：80 岁以上老人免费；70 岁以上老人享受 5 折优惠； 60 岁以上老人享受 6 折优惠；其余贵宾享受9 折优惠．餐厅经理想要一个程序，能够输入用餐者的年纪、花费额，能够输出对付金额．试设计该程序流程图．解：程序流程图以下图．22．(本小题 12 分 ) 对随意函数f(x)，x∈D ，可按以下图，结构一个数列发生器，其工作原理以下：①输入数据x0∈ D，经数列发生器输出x1＝ f( x0)；②若 x1∈ /D，则数列发生器结束工作；若x1∈ D，将x1反应回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律进行下去．现定义 f(x)＝4x －2x ＋ 1 .(1)若输入 x 0＝49，则由数列发生器产生数列{ x n } ，写出数列 { x n } 的全部项；65(2)若要使数列发生器产生一个无量的常数列，试求输入的初始数据 x 0 的值．解： (1)函数 f(x)的定义域 D ＝( －∞，－ 1)∪ (－ 1，＋ ∞)，49 －24×因此 x ＝ f(x＝f 49 ＝65＝11，10) 654919＋ 165114× －2＝ f(x 11 ＝19 ＝ 1， x 21)＝ f1911＋ 1 5191 － 214×x 3＝ f(x 2)＝ f ＝5 ＝－ 1，而 x 3∈ /D ， 5 1＋ 15因此数列 { x n } 只有 3 项 x 1＝11， x 2＝ 1， x 3＝－ 1. 19 54x －22(2)令 f(x)＝＝ x ，即 x － 3x ＋ 2＝ 0，解得 x ＝2 或 x ＝ 1.4x n － 2故当 x 0＝ 2 或 x 0＝ 1 时， x n ＋1＝ x n ＋ 1 ＝ x n ， 因此输入的初始数据x 0＝ 1 时，获得常数列 { x n } 且 x n ＝ 1； x 0＝ 2 时，获得常数列{ x n } 且x n ＝ 2.模块综合检测(时间： 120 分钟 满分： 150 分)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项切合题目要求的)1．已知复数 z 知足 ( z － 1)i ＝ 1＋i ，则 z 等于 ( )A ．－ 2－ iB ．－ 2＋ iC ．2－ iD ． 2＋ i1＋ i分析：选C因为 (z － 1)i ＝ 1＋ i ，因此 z ＝ i ＋ 1＝ 2－ i.2．已知复数 z 1＝ 2＋ i ， z 2＝ 1＋3i ，则复数 z ＝z1在复平面内所对应的点位于 ()z 2 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限分析：D复数 z ＝z 1＝2＋ i＝＋ －3 ＝ 1－ 1 i ， z 的点的坐＋－z 2 1＋ 3i2 21，－ 1位于第四象限．223．用反 法 明： “a>b ”， 假 ( )A ． a>bB ． a<bC ．a ＝ bD ．a ≤b分析：D因 “a>b ”的反面就是 “a<b 或 a ＝ b ”，因此D.4．由①正方形的 角 相等；②矩形的 角 相等；③正方形是矩形． 写一个 “三段 ”形式的推理， 作 大前提、小前提和 的分()A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①分析： D 由 “三段 ”的推理形式可知 D 正确．5．若 P ＝ a ＋ a ＋ 7， Q ＝ a ＋ 3＋ a ＋ 4， a ≥0， P ， Q 的大小关系是 ()A ．P>QB ． P ＝QC ．P<QD ．由 a 的取 确立分析： CP 2＝ 2a ＋ 7＋ 2 a 2＋7a ，Q 2＝ 2a ＋ 7＋ 2 a 2＋ 7a ＋ 12，因为 a 2＋7a<a 2＋ 7a ＋12，因此 2 a 2＋ 7a<2 a 2＋ 7a ＋ 12，进而 P 2<Q 2，即 P<Q.，y ， y， y^^^6．已知数(x 1 2)， ⋯， (x 10＝b， “(x ，y0)1)， (x 210) 足 性回 方程 yx ＋ a足 性回 方程^ ^^x 1＋ x 2＋ ⋯ ＋ x 10y 1＋ y 2＋ ⋯ ＋y 10)y ＝ bx ＋a ”是 “x 0＝10， y 0＝”的 (10A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件分析：B 由 可知若x 0＝ x ， y 0＝ y ，由回 直 的性 可知(x 0， y 0) 足回 方^ ^ ^^ ^ ^x ， y ) 外，可能 有其余 本点．程 y ＝bx ＋ a ，但 足回 方程y ＝ bx ＋ a 的除 (11π 5π)7．在如 所示的程序框 中， 入a ＝ ，b ＝， 出 c ＝ (633A. 3B. 3 C．1 D．0分析： A由程序框知，当入a＝11π5π33，6， b＝， tan a＝－，tan b＝－333tan a>tan b．故出c＝ |tan a|＝3 .8．察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4 ，⋯的特色，第 100()A．10 B．14 C．13 D．100分析： B因为 1有 1个，2有 2个，3有 3个，⋯， 13有 13个，因此 1～13的＋＝ 91，故第 100 个数 14.个数21427a9．已知 x>0 ，不等式x＋x≥2， x＋x2≥3， x＋x3≥4，⋯，可推行x＋x n≥n＋ 1， a的()n22(n －1)nA ． 2 B． n C． 2D． n分析： D由推理，知a＝ n n.10．下边出了对于复数的四种比推理：①复数的加减法运算能够比多式的加减法运算法；②由向量 a 的性 |a|2＝a2比获得复数 z 的性 |z2|＝ z2；③方程 ax2＋bx＋ c＝ 0(a，b，c∈ R)有两个不一样数根的条件是b2－ 4ac>0 能够比获得：方程az2＋ bz＋ c＝0(a，b， c∈ C)有两个不一样复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意能够比获得复数加法的几何意．此中比获得的的是()A ．①③ B．②④ C．②③ D ．①④分析：C因复数 z 中， |z|2数， z2不必定数，因此|z|2≠z2，故② ；当方程 az2＋ bz＋ c＝ 0(a， b， c∈ C)有两个不一样复数根，出复数根的表达式，利用复数相等的条件列关系式，故③ ．11．已知 f(x＋ y)＝ f( x)＋ f(y)且 f(1) ＝ 2， f(1) ＋f(2)＋⋯＋f(n)不等于 ()A ． f(1)＋ 2f(1) ＋⋯＋ nf(1)n n＋B．f2C．n(n＋ 1)D． n(n＋ 1)f(1)分析：D由f(x＋y)＝f(x)＋f( y)且f(1)＝2，知f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1) ，⋯， f(n)＝ nf(1)，∴ f(1) ＋ f(2)＋⋯＋f(n)＝ (1＋ 2＋⋯＋ n)f(1) ＝nn＋f(1)＝ n(n＋ 1)．212．如是某汽修企业的修点形散布．企业在年初分派A， B， C，D四个修点某种配件各50 件，在使用前需将A，B， C，D四个修点的批配件分整40,45,54,61件，但整只好在相修点之行．那么要达成上述整，最少的件次(n 件配件从一个修点整到相修点的件次n) () A．15B． 16C． 17 D ．18分析：B法一：若AB 之不互相， A 出10 件D，B 出 5 件C，C 再出 1 件 D ，即可足要求，此共的件次n＝ 10＋ 5＋ 1＝16；若 AB 之互相， B 4 件 C， 1 件 A，A 11 件 D，此共的件次 n＝ 4＋ 1＋11＝ 16.因此最少的件次16，故 B.法二： A x 件 D (0≤x≤10)，了 (10－ x)件 B，从 B 了 5＋ 10－ x＝ (15－x)件 C，C 出了15－ x－ 4＝ (11－ x)件 D ，由此足需求，此件次n＝x＋(10－ x)＋ (15－ x)＋ (11－ x)＝ 36－ 2x，当且当 x＝ 10， n 获得最小 16.二、填空 (本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分，把答案填在中横上 )m＋ i13．已知复数 z＝1＋i (m∈R，i 是虚数位 )是虚数， m 的是 ________．m＋ i m＋－m＋ 1－ m分析： z＝1＋i＝2＝ 2 ＋2，∴m＋1＝ 0，且1－m≠ 0. 22∴m＝－ 1.答案：－114．已知 x， y 的取如表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7由表格中数据的散点 剖析，y 与 x 性有关，且回 方程^y ＝ 0.95x ＋ a ， a ＝________.^分析： 因 ( x ， y )必在直 y ＝0.95x ＋ a 上，又 x ＝ 0＋1＋ 3＋ 4＝ 2， y ＝ 2.2＋ 4.3＋ 4.8＋ 6.7＝ 9，44 2因此92＝ 0.95 ×2＋a ，因此 a ＝ 2.6.答案： 2.615．在平面上， 我 假如用一条直 去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，222面， 从正方体上截下三条 棱两两垂直的三棱 O-LMN ，假如用 S 1， S 2， S 3 表示三个面面 ， S 4 表示截面面 ，那么 比获得的 是________．分析：将 面面 比 直角三角形的直角 ，截面面 比 直角三角形的斜 ， 可得 S 24＝ S 21＋ S 22＋ S 32.答案： S 24＝ S 21＋ S 22＋ S 2316． 察以下等式：sinπ－ 2＋ sin2π－2＝ 4×1×2；3 3 3π－ 22π－ 23π －2 4π－2 4sin 5＋ sin 5 ＋ sin 5 ＋ sin 5 ＝ 3×2×3； π－ 2 2π－ 2 3π －2 6π－ 2 4 sin 7＋ sin 7 ＋ sin 7 ＋ ⋯ ＋ sin7 ＝ 3×3×4； sin π－ 2 ＋ sin 2π－ 2 3π －28π－ 2 49 9 ＋ sin 9 ＋ ⋯ ＋ sin9＝ ×4×5；3⋯⋯照此 律，π－ 22π － 23π － 22n π － 2sin 2n ＋ 1＋ sin 2n ＋ 1＋ sin2n ＋ 1 ＋ ⋯ ＋ sin 2n ＋1 ＝ ________.分析：经过察看已给出等式的特色，可知等式右侧的4是个固定数，4后边第一个数是等33式左侧最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后边第二个数是第一个数的下一44个自然数，因此，所求结果为3×n×(n＋ 1)，即3n( n＋1)．4答案：3n(n＋ 1)三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必需的文字说明证明过程或演算步骤 )17． (本小题 10分 )已知复数 z 知足 |z|＝2，z2的虚部为 2.(1)求复数 z；22在复平方内对应的点分别为A， B， C，求△ ABC 的面积．(2)设 z， z ， z－ z解： (1)设 z＝ a＋ bi(a，b∈ R)，由已知条件得：a2＋b2＝ 2， z2＝ a2－ b2＋ 2abi ，因此 2ab＝ 2.因此 a＝ b＝ 1 或 a＝ b＝－ 1，即 z＝－ 1＋ i 或 z＝－ 1－ i.(2)当 z＝1＋ i时， z2＝(1＋ i) ＝2i ， z－z2－ 1－ i ，因此点A(1,1)，B(0,2)， C(1，－ 1)，所以 S ABC＝112|AC| ×1＝2×2×1＝ 1；△222当 z＝－ 1－ i 时， z ＝ (－ 1－ i) ＝ 2i ，z－ z ＝－ 1－ 3i.因此 S△ ABC＝1|AC| ×1＝1×2×1＝ 1.22即△ ABC 的面积为 1.18． (本小题 12 分 )小流域综合治理能够有三个举措：工程举措、生物举措和农业技术举措．此中，工程举措包含打坝建库、平坦土地、修基本农田和引水浇灌，其功能是贮水拦沙、改良生产条件和合理利用水土．生物举措包含种植乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术举措包含深耕改土、科学施肥、选育良种，地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提升肥力和充足利用光和热．用结构图把“小流域综合治理”的举措与功能表示出来．解：19． (本小题 12 分 )为研究大气污染与人的呼吸系统疾病能否没关，对重污染地域和轻污染地域作追踪检查，得以下数据：患呼吸系 未患呼吸 总计统疾病系统疾病重污染地域 103 1 397 1 500轻污染地域13 1 487 1 500总计1162 8843 000可否在犯错误的概率不超出0.001 的前提下以为大气污染与人的呼吸系统疾病有关？解： 假定 H 0：大气污染与人的呼吸系统疾病没关．由公式得3000 × ×1 487－1 397 × 2k ＝116 ×2 884 ×1500 ×1 500≈ 72.636.因为 72.636>10.828，因此拒绝 H 0，即我们在犯错误的概率不超出0.001 的前提下以为大气污染与人的呼吸系统疾病有关．a ，b ，c ， 1 3a ＋b ＋c 20．(本小题 12 分) 求证：对于随意的正实数1 ＋ 1≤3 (当且仅当 a ＝ b＋ ca b＝c 时取等号 )．证明： 对于随意正实数 a ， b ， c ，3a ＋b ＋c 要证 1 1 1≤3 建立，a ＋b ＋c111只要证 9≤(a ＋ b ＋c) ＋ ＋ ，即证 9≤3＋ a b ＋a c ＋ b a ＋ b c ＋a c ＋ cb ，即 6≤a ＋ b ＋ a ＋ c＋ b ＋ cb acac b (*)因 于随意正 数a ，b ，c ，a b≥2a b 有 ＋ ·＝ 2，b ab a同理 a c ＋ a c ≥2， b c ＋ cb ≥2，因此不等式 (*) 建立，且要使 (*) 的等号建立必 b ＝a且 c ＝a且 b ＝c.ab ac c b即当且 当 a ＝b ＝ c 等号建立．21． (本小bx ＋ 1 2 x ≠－ 1，a>0 ，且 f(1)＝ log 16， f(－ 2)＝ 1.12 分 )已知 f(x)＝a2ax ＋(1)求函数 f (x)的表达式；(2)已知数列 { x n } 的 足 x n ＝ [1－ f(1)] [1·－ f(2)]·⋯·－[1f(n)] ， 求 x 1， x 2， x 3， x 4；(3)猜想 { x n } 的通 ．b ＋ 11解： (1)把 f(1)＝ log 162＝1， f(－ 2)＝ 1 代入 f(x)＝bx ＋ 1 2，得 a ＋ 2＝ 4，ax ＋ － 2b ＋14－ 2a 2＝1，4b ＋4＝ a 2＋ 2a ＋1，整理，得－ 2b ＋ 1＝ 4a 2－ 4a ＋ 1，a ＝ 1，解得b ＝ 0，因此 f(x)＝1 2(x ≠－ 1)．x ＋13(2)x 1 ＝1－ f(1)＝ 1－ ＝ ，31 2x 2＝ 4× 1－9 ＝ 3，x 3＝ 2× 1－1 ＝5，3 16 8 5 1 3x 4＝ × 1－25＝ ，85(3)由 (2) ，得 x 1＝ 3， x 2＝ 2， x 3＝ 5， x 4＝ 3，可 形3，4， 5， 6， ⋯ ，进而可 出4 3 85 46 810{ x n } 的通 x n ＝n ＋ 2 .n ＋22． (本小12 分 )某 科所 冬天日夜温差大小与某反季 大豆新品种 芽多少之的关系 行剖析研究，他 分 了12 月 1 日至 12 月 5 日的每日日夜温差与 室每日每 100 颗种子中的抽芽数，获得以下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差 x(℃) 10 11 13 12 8 抽芽数 y(颗)2325302616该农科所确立的研究方案是：先从这五组数据中选用 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选用的2 组数据进行查验．(1)求选用的 2 组数据恰巧是不相邻 2 天数据的概率；(2)若选用的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请依据12月 2 日至 12 月4日的数^ ^ ^据，求出 y 对于 x 的线性回归方程 y ＝ bx ＋ a ；(3)若由线性回归方程获得的预计数据与所选出的查验数据的偏差均不超出2 颗，则认为获得的线性回归方程是靠谱的，试问(2)中所得的线性回归方程能否靠谱？解：(1) 设事件A 表示 “选用的2 组数据恰巧是不相邻2 天的数据 ”，则 A 表示 “选用的数据恰巧是相邻2 天的数据 ”．基本领件总数为 10，事件 A 包含的基本领件数为 4.因此 P( A )＝ 104＝ 25，3因此 P(A)＝ 1－ P( A )＝ 5.33(2) x ＝ 12， y ＝ 27，x i y i ＝ 977， x i 2＝434，i ＝1i ＝ 13－－ － 3 x yx i y i ^i ＝1977－ 3×12×27因此 b ＝3 2 ＝ 434－ 3×122＝ 2.5，－2x i － 3 xi ＝ 1^ ^－＝ 27－ 2.5 ×12＝－ 3， a ＝ y － b x^因此 y ＝ 2.5x － 3.^2 颗；(3)由 (2) 知：当 x ＝ 10 时， y ＝ 22，偏差不超出^当 x ＝ 8 时， y ＝ 17，偏差不超出 2 颗．故所求得的线性回归方程是靠谱的．。
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章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．回归分析：
(1)回归分析是建立在两个具有相关性变量之间的一种模拟分析，因此必须先判断两变量是否具有相关性．
(2)线性回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上
回归直线必过(x －，y －)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
(3)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．
2．独立性检验：
(1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测．
(2)在2×2列联表中，当数据a ，b ，c ，d 都不小于5时，才可以用K 2检测．
(3)独立性检验易错误理解假设检验原理，导致得到相反的结论．
专题一线性回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图，以判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可求出线性回归直线方程．
求出线性回归模型后，可以借助残差、残差平方和以及相关指数R2等对模型进行评判．
相关指数R2刻画回归的效果，其计算公式：R2＝1－
, R2的值越大，模型的拟合效果越好.
［例1］下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性
回归方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤.
解：(1)散点图如图所示：
(2)
x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54
＝3.5， i ＝14
x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86.
b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81
＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.
(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
归纳升华
1．求线性回归方程的基本步骤．
2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．[变式训练]如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
解：
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.
将2018年对应的t＝11代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×11＝2。
03.
所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为2。
03亿吨．专题二独立性检验
独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．
[例2]2017年10月18日至24日，中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开．大会期间，北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．
图1图2
(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
(2)若称成绩在68分以上的学生知识渊博，试以上述数据估计该高一、高二两个年级学生的知识渊博率；
(3)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．。