2019-2020学年唐山市玉田一中高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年唐山市玉田一中高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.在复平面上，复数的共轭复数的对应点所在的象限是()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是()
A. ①②
B. ①③
C. ③④
D. ①④
3.知下列三个命题
复数z是数的要条件z=z−
z1，都复数，若z+z2是数，z1不是z2的共轭复数
则其中正确题数为()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
4.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地
去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.则p0的值为()．
(参考数据：若X～N(μ,σ2)，有P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，
P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．
A. 0.9544
B. 0.6826
C. 0.9974
D. 0.9772
5.设随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X>6−m)=()
A. 0.4
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
6.3、某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，
共有90 种不同的选法，则男女生人数为()
A. 2，6
B. 3，5
C. 5，3
D. 6，2
7.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个
球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为()
A. B. C. D.
8.函数f(x)=a x+1−1
a
(a>0且a≠1)的大致图象可能是()
A. B.
C. D.
9.甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙共有()种选法？
A. 6
B. 12
C. 16
D. 30
10.已知(x2+a)(x−1
x
)6(a∈R)的展开式中常数项为5，则该展开式中x2的系数为()
A. −25
2B. −5 C. 25
2
D. 5
11.有8个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，现任取两个球，则两个球的序
号不相邻的概率为()
A. 1
8B. 1
4
C. 3
4
D. 7
8
12.若f(x)=−x+bln(x+2)在(−1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是()
A. [1,+∞)
B. (1,+∞)
C. (−∞,1]
D. (−∞,1)
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同
的选取方式的种数为______.(结果用数值表示)
14.在(1−x)5(2x+1)的展开式中，含x4项的系数为______．
15.函数的图象与轴的交点个数是．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.已知复数z1=1+i，z2=2+ai(其中i为虚数单位)，若z1⋅z2为实数，则实数a的值为，
若|z1⋅z2|=4，则实数a的值为
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.为了调査市民对我国申办足球世界杯的态度，随机选取了200位市民进行调查，调查结果统计
如表：
(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；
(2)利用(1)完成的表格数据回答下列问题：
(i)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
(ii)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率．
，其中n=a+b+c+d．
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
18.6名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
−2．
19.已知函数f(x)=ax+3
x2
(1)若a=2，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围．
20.袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同．每次从其中任取一个球，若取到白球
则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过k次(k≥5)．
(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数ξ的数学期望与方差；
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数η的分布列与数学期望．
21.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组
[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如图部分频率分布直方图，其中成绩在[130,150]的称为“优秀”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的人数及数学成绩“优秀”的人数；
(2)用分层抽样的方法在在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成
一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段在分数段[120,130)内的概率．
(3)若统计了这100名学生的地理成绩后得到如下表格：
数学成绩“优秀”数学成绩“一般”总计
地理成绩“优秀”104050
地理成绩“一般”203050
总计3070100
则能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”？
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)0.150.100.050.025
k 2.072 2.706 3.841 5.024
K2=n(ad−bc)2
．
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)
+lnx．
22.设函数f(x)=2ax−b
x
(1)若f(x)在x=1,x=1
处取得极值．
2
①求a b的值；②存在x0，使得不等式f(x0)−c≤0成立，求(内容为图片)的最小值；
(2)当b=a时，若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求a的取值范围.(参考数据e2≈7.389,e3≈20.08)
【答案与解析】
1.答案：B
解析：根据题意，由于可以变形为
i−1，可知实部为−1，虚部为1，那么可知该复数对应的点在第二象限，故选B．
复数的几何意义
主要是考查了复数的几何意义，属于基础题。

2.答案：A
解析：解：①中三次函数的图象由左到右是先减后增再减，对应的导数是先小于0，再大于0，最后又小于0，导数的正负与原函数的单调性一致，∴①正确．
②中三次函数的图象由左到右是先减后增再减，对应的导数是先小于0，再大于0，最后又小于0，导数的正负与原函数的单调性一致，∴②正确．
③中三次函数的图象由左到右是先增后减再增，对应的导数在原函数的增区间上既有负值，又有正值，导数的正负与原函数的单调性不一致，∴③错误．
④中三次函数的图象由左到右是先增后减再增，对应的导数在原函数的增区间上为负值，导数的正负与原函数的单调性不一致，∴④错误．
故选A
因为当原函数为增函数时，导数大于0，原函数为减函数时，导数小于0，原函数取得极值时，导数等于0，所以只需逐一判断每个选项当原函数是增或减时，导数的正负，就可找到正确选项．
本题借助在同一坐标系中的原函数图象与导函数的图象，判断了原函数的单调性与导数的正负之间的关系，是导数的应用．
3.答案：C
解析：解：z=1+i，z−1−i的模等，但不是轭复数，错误
要性：若z=z−，则数z虚一定为0，以复z是实数是必要条件，即正确．
逆否命题为若z1是z2的共轭数，则z1+z不是虚”显该命题是命，即正确；
故选：
举，例如z1=1+i2=−1−i；利用逆否命题原命同真同假来断；分阐述充分性和必要可．
本题考查是数概念，正确理解共轭复数是解本题的关键，于题．
4.答案：D
解析：由X～N(800,502)，知μ=800，σ=50，
依题设，P(700<x≤900)=0.9544，
由正态分布的对称性，可得
p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)
=+P(700<X≤900)=0.9772．
5.答案：C
解析：解：∵随机变量X～N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，∴P(X≤6−m)=0.3，
则P(X>6−m)=1−0.3=0.7，
故选：C．
由条件利用正态分布的定义和性质求得P(X≤6−m)=0.3，可得P(X>6−m)=1−0.3=0.7，从而得出结论．
本题主要考查正态分布的定义和性质，属于基础题．
6.答案：B
解析：
本题考查排列组合的综合应用，可设未知数建立方程求解．
解：设男学生有x人，则女学生有8−x人，
因为从男生中选2人，从女生中选1人分别去做3中不同的工作，共有90种不同的选法，
所以有，
即x(x−1)(8−x)=30=2×3×5，
经检验x=3是上述方程的解，
所以男生3人，女生5人．
7.答案：C
解析：
本题主要考查概率的应用，熟悉古典概率的步骤是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．
解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：5
8
．
抓出白球，抓入白球，概率是3
8×5
11
=15
88
，
故所求事件的概率为5
8+15
88
=35
44
，
故选C．8.答案：A
解析：解：f(x)=a x+1−1
a 的图象是把y=a x的图象向左平移1个单位，再向下平移1
a
个单位得到的，
则f(x)不恒大于0，故排除C，D；
当a<1时，f(0)=a−1
a
<0，故排除B．
∴函数f(x)=a x+1−1
a
(a>0且a≠1)的大致图象可能是A．
故选：A．
由函数图象的平移变换可知f(x)不恒大于0，故排除C，D；再由f(0)<0排除B，则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，考查函数图象的平移变换，是基础题．
9.答案：C
解析：解：根据题意，甲从4门课程中各选修1门，有4种选法，
同理乙从4门课程中各选修1门，也有4种选法，
则甲乙共有4×4=16种不同的选法；
根据题意，分析可得甲乙的课程选法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
10.答案：A
解析：解：(x2+a)(x−1
x
)6(a∈R)的展开式中常数项为C64(−1)4+a⋅C63⋅(−1)3=5，
∴a=1
2
，
∴展开式中x2的系数为1
2C62⋅(−1)2+C63⋅(−1)3=−25
2
，
故选：A．
根据(x2+a)(x−1
x
)6(a∈R)的展开式中常数项为5，求出a的值，即可求展开式中x2的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
11.答案：C
解析：
本题考查古典概型、列举法等基础知识，是基础题．
现任取两个球，基本事件总数为C82，利用列举法求出两个球的序号相邻包含的基本事件有7种，利用对立事件概率计算公式求出两个球的序号不相邻的概率．
解：有8个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，
现任取两个球，基本事件总数n=C82=28，
两个球的序号相邻包含的基本事件有：
(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，共7种，
则两个球的序号不相邻的概率为P=1−7
28=3
4
．
故选：C．
12.答案：C
解析：解：因为f(x)=−x+bln(x+2)在(−1,+∞)上是减函数，
所以f′(x)=−1+b
x+2
≤0，在x∈(−1,+∞)上恒成立，
即b≤x+2在x∈(−1,+∞)上恒成立，
由于x+2>1，
所以b≤1，
故选C
≤0，在x∈先求出函数f(x)的导函数，根据函数的单调性与导函数符号的关系得到f′(x)=−1+b
x+2
(−1,+∞)上恒成立，分离出b求出函数的最小值，得到b的范围．
本题考查已知函数的单调性求参数的范围，一般的处理方法是求出导函数，当函数递增则导函数大于等于0恒成立；
当函数递增则导函数小于等于0恒成立．
13.答案：16
解析：解：根据题意，要求选出的3人男、女教师都有，则有2种情况：
①、2名男教师、1名女教师，有C22⋅C41=4种选法，
②、1名男教师、2名女教师，有C21⋅C42=12种选法，
则一共有4+12=16种不同的选取方法，
故答案为：16．
根据题意，分析可得：共有2种情况：①、2名男教师、1名女教师，②、1名男教师、2名女教师，求出每一种情况的选法数目，由分类加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理的应用，注意依据题意确定分类讨论的可能情况，属于基础题．
14.答案：−15
解析：解：(1−x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅x r，
故(1−x)5(2x+1)的展开式中，含x4项的系数为−2C53+C54=−15，
故答案为：−15．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得含x4项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：3
解析：
本题考查三次函数的图象和性质，利用导数求函数的极大值和极小值，利用极值与x轴的关系进行判断即可得到结果．
解：函数导数为f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，
由f′(x)=(x+1)(x−3)>0，得x>3或x<−1，此时函数单调递增．
由f′(x)=(x+1)(x−3)<0，得−1<x<3，此时函数单调递减．
所以当x=−1时，函数取得极大值，
当x=3，函数取得极小值f(3)=−10<0，
所以函数的图象与x轴的交点个数是3个．
故答案为3．
16.答案：−2
±2
解析：解：∵z1=1+i，z2=2+ai，
∴z1⋅z2=(1+i)(2+ai)=(2−a)+(a+2)i，
由z1⋅z2为实数，得a+2=0，即a=−2；
由|z1⋅z2|=4，得√(2−a)2+(a+2)2=4，
解得a=±2．
故答案为：−2；±2．
利用复数代数形式的乘法运算化简z1⋅z2，由虚部为0求得z1⋅z2为实数的a值；再由复数模的计算公式列式求得使|z1⋅z2|=4的实数a的值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
17.答案：解：(1)根据已知数据，调查结果统计如表：
(2)(i)计算K的观测值K2，
K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(70×70−20×40)2
90×110×90×110
≈34.303>10.828，
对照题目中的表格，
可知能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关．
(ii)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，
记为：A、B、C、a、b，其中a、b是教师，
现从这5位退休老人中随机抽取3人，
基本事件为：ABC、ABa、ABb、ACa、ACb、Aab、BCa、BCb、Bab、Cab，
至多有1位老师的基本事件为：ABC、ABa、ABb、ACa、ACb、BCa、BCb、
利用古典概型计算概率至多有1位老师的概率P=7
10
．
解析：(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；
(2)(i)计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
(ii)利用古典概型计算概率即可．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，是基础题目．
18.答案：解：根据题意，先将其他的4人全排列，有A44=24种情况，
4人排好后，有5个空位，在其中任选2个，安排甲乙，有A52=20种情况，
则甲、乙两人不相邻的排法24×20=480种．
解析：根据题意，分2步进行分析：先将其他的4人全排列，4人排好后，有5个空位，在其中任选2个，安排甲乙，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的简单应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
19.答案：解：(1)当a=2时，
f(x)=2x+3
x2
−2，
则：f′(x)=2−6
x3
，
解得：x=√3
3，
当x∈(−∞,0)和(√3
3,+∞)时，f′(x)>0．
当x∈(0,√3
3)时，f′(x)<0．
故函数的单调递增区间为：(−∞,0)和(√3
3,+∞)，
函数的单调递减区间为(0,√3
3)．
(2)令f(x)=0，可得：ax3−2x2+3=0，
令：g(x)=ax3−2x2+3，g(0)=3，
则：本题等价于g(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，
当a=0时，g(x)=−2x2+3=0，
解得：x=±√6
2
，
故函数有两个零点，不合题意．
当a≠0时，g′(x)=3ax2−4x=x(3ax−4)，
令g′(x)=0，
解得：x=或4
3a
，
当a>0时，函数g(x)在(−∞,0)和(4
3a
,+∞)上单调递增，
在(0,4
3a
)单调递减．
由于g(0)=3，又x趋近于−∞时，g(x)趋近于−∞，
所以函数g(x)存在负数零点，不合题意．
当a<0时，函数g(x)在(−∞,0)和(4
3a
,+∞)上单调递减，
在(0,4
3a
)单调递增．
又g(0)=3，故：g(4
3a )=a(4
3a
)3−2(4
3a
)2+3>0，
解得：a<−4√2
9
，
故a的取值范围是(−∞,4√2
9
).
解析：(1)直接利用函数的求导求出函数的极值点，进一步求出函数的单调区间．
(2)利用分类讨论思想的应用，对参数进行讨论，进一步利用函数的极值点的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间，分类讨论思想在函数的导数中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．
20.答案：解：(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时，
ξ的可能取值为1，2，3，4，5， 由题意知知P(ξ=n)=1
5,n =1,2,3,4,5．
∴Eξ=1×1
5+2×1
5+3×1
5+4×1
5+5×1
5=3，Dξ=(1−3)2×1
5+(2−3) 2×1
5+(3−3)2×1
5+(4−3)2×1
5
+(5−3)2×1
5
=2．
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k 次结束， η的可能取值是1，2，…，k ， 所求概率分布列为
Eη=15
[1+2(45
)+3(45
)2+⋯+(k −1)⋅(45
)k−2]+k(45
)k−1
∴4
5
Eη=1
5
[1(4
5
)+2(4
5
)2+⋯+(k −2)(4
5
)k−2+(k −1)(4
5
)k−1]+k(4
5
)k ，
上述两式相减，整理得Eη=1+(45)+(45)2+⋯+(45)k−2+(45)k−1=5[1−(4
5)k ]．
解析：(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，由题意知知P(ξ=n)=1
5,n =1,2,3,4,5.由此能求出取球次数ξ的数学期望与方差．
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k 次结束，η的可能取值是1，2，…，k ，由此能求出取球次数η的分布列与数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
21.答案：解：(1)分数在[120,130)内的频率为
1−(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1−0.7=0.3，
分数在[130,150]内的频率为0.25+0.05=0.3；
所以分数在[120,130)内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为100×0.3=30．
(2)依题意，[110,120)分数段的人数为100×0.15=15(人)，
[120,130)分数段的人数为100×0.3=30(人)；
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；
在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，
则基本事件有(m,n)，(m,a)，…，(m,d)，(n,a)，…，
(n,d)，(a,b)，…，(c,d)共15种；
则事件A包含的基本事件有(m,n)，(m,a)，(m,b)，(m,c)，(m,d)，(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)共9种；
∴P(A)=9
15=3
5
．
(3)K2=100×(10×30−20×40)2
30×70×50×50
≈4.762>3.841，
所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．
解析：本题考查独立检验以及频率分布直方图，古典概型的应用，考查分析问题解决问题的能力．
(1)求出频率，然后求解分数在[120,130)内的人数及数学成绩“优秀”的人数．
(2)求出[110,120)分数段的人数，[120,130)分数段的人数，在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，基本事件总数，求出A的事件数目；然后求解概率．(3)求出K2，即可判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．
22.答案：解：(1)①因为f(x)=2ax−b
x
+lnx的定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=2a+b
x2+1
x
，
∵f(x)在x=1，x=1
2
处取得极值，
∴f′(1)=0,f′(1
2
)=0，
即{2a +b +1=02a +4b +2=0， 解得{a =−
1
3
b =−
13
，
所以所求a ，b 的值分别为−1
3,−1
3； ②在[1
4,2]存在x 0使得f(x 0)−c ≤0成立， 只需c ≥[f(x)]min ， 由f′(x)=−2
3x −1
3x 2+1
x
=−
2x 2−3x+1
3x 2
=−
(2x−1)(x−1)
3x 2
，
所以当x ∈[14,12]时，f′(x)<0， 故f(x)在[14,1
2]是单调递减函数； 当x ∈[1
2,1]时，f′(x)>0， 故f(x)在[1
2,1]是单调递增函数；
当x ∈[1,2]时，f′(x)<0，故f(x)在[1,2]是单调递减函数； ∴f(12)是f(x)在[1
4
,2]上的极小值， 而f(12)=13+ln 12=13−ln2,f(2)=−7
6+ln2， 且f(12)−f(2)=3
2−ln4=lne 1
2−ln4， 又e 3−16>0， ∴lne 3
2−ln4>0，
∴[f(x)]min=f(2)，
+ln2，
∴c≥[f(x)]min=−7
6
+ln2,+∞),
∴c的取值范围为[−7
6
+ln2;
所以c的最小值为−7
6
(2)当a=b时，f′(x)=2ax2+x+a
，
x2
①当a=0时，f(x)=lnx，则f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a>0时，∵x>0，
∴2ax2+x+a>0，
∴f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增；
③当a<0时，设g(x)=2ax2+x+a只需△≤0，
，此时f(x)在(0,+∞)上单调递减；
从而a≤−√2
4
]∪[0,+∞)．
综上得a的取值范围是(−∞.−√2
4
处取得极值得出关系式求出a，b的值；
解析：(1)①由f(x)在x=1,x=1
2
,2]上的最小值得出c的最小值即可；
②利用导数求出f(x)的单调区间得出f(x)在[1
4
(2)当a=b时求出f′(x)，对a进行分类讨论得出函数f(x)在(0,+∞)上的单调性进而得出结论．。