导数的几何意义及应用(1)
第7题 导数的几何意义及应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)
第7题 导数的几何意义及应用一、原题呈现【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b <<【答案】D 【解析】解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于(),e tP t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1et ty x t =+-上,所以()()e 1e 1e tttb a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1etb a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e tf t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增,且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减,所以,()()max e af t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D.解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),ett 有2个t −−−−−−→整理出关于的方程关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下.二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．(2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】(1) 求导出错,如一下几个函数的导数比较容易出错：()211cos sin ,x x x x ''⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭； (2)混淆在某点处的切线与过某点的切线,注意求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程． (3)对曲线的切线理解失误,如误认为曲线的切线与曲线只有1个公共点,又如误认为0x =不是曲线3y x =在0x =处的切线方程.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 单选题1．（2021广东省肇庆市高三二模）曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y +-=D ．210x y +-=【答案】A 【解析】()211x f x x=+',()11f =-,()12f '=,故切线方程为()()121y x --=-,即230x y --=. 故选A.2．（2021湖南省部分学校高三下学期联考）函数32()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为（ ） A ．8- B ．7- C ．6- D ．5-【答案】A【解析】因为()2314f x x x '=-,所以所求切线的斜率为()43161448f '=⨯-⨯=-.故选A3．（2021山东省滨州市高三二模）设曲线2ax y e =(e =2.718…为自然对数的底数)在点()0,1处的切线及直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a =（ ）A ．1-B ．14-C ．14D ．1【答案】B【解析】由题意,函数()2axf x e=,可得()22axf x ae'=,则()02f a '=,即曲线2ax y e =在点()0,1处的切线的斜率为2k a =,所以切线方程为12y ax -=,即21y ax =+,要使得切线与直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即221a ⨯=-,解得14a =-.故选B. 4．（2021江苏省盐城市高三5月第三次模拟）韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系,如：设一元三次方程)(3200ax bx cx d a +++=≠的3个实数根为1x ,2x ,3x ,则123b x x x a ++=-,122331c x x x x x x a++=,123d x x x a =-.已知函数)(321f x x x =-+,直线l 与)(f x 的图象相切于点)()(11,P x f x ,且交)(f x 的图象于另一点)()(22,Q x f x ,则（ ） A ．1220x x -= B ．12210x x --= C ．12210x x ++= D ．1220x x +=【答案】D【解析】)(261f x x ='-,211()61k f x x '∴==-,又直线过点)()(22,Q x f x ,332221211221212121()()222()1f x f x x x x x k x x x x x x x x --+-∴===++---222212112()161x x x x x ∴++-=-,化简得22212120x x x x +-=,即2121(2)()0x x x x +-=,12x x ≠,2120x x ∴+=,故选D5．（2021湖南省永州市高三下学期二模）曲线()2ln f x x =在x t =处的切线l 过原点,则l 的方程是（ ） A ．20x ey -= B ．20x ey += C ．20ex y -= D ．20ex y +=【答案】A【解析】曲线()2ln f x x =,2()f x x'=,切点为(),2ln t t ,所以切线l 的斜率(2)k f t t '==,又直线l 过原点,所以0220lnt k t t -==-,得1lnt =,t e =．所以2k e=,故切线l 的方程为()22y x e e -=-即20x ey -=．故选A ．6．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率可能为（ ） A ．13-B ．2-C ．53-D ．4-【答案】A【解析】由1()cos f x x x=-,得'21()sin f x x x =-+,因为210x >,sin [1,1]x ∈-,所以'()1f x >-,所以函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率大于1-,故选A7．（2021河北省衡水中学高三第一次联考）已知M 为抛物线2:4C x y =上一点,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ,过点P 向C 再作另一条切线2l ,则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】设()00,M x y ,由题意知,214y x =,则12y x '=,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+,所以001122x x y x =='=,所以01x = ,则11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-,即111:24l y x =-,抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- ,则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ,则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭,解得04x =-或01x =（舍去）, 则(4,4)N -,所以2l 的方程为24y x =--.故选D8．（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线,则实数a 的最小值为（ ） A ．12eB ．21eC ．2eD ．1【解析】法一：设公切线与()f x ,()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，, 则()f x 图象在A 处的切线方程为：()()211112y ax ax x x --=--,即21121y ax x ax =-++,同理：()g x 图象在B 处的切线方程为：()()22211ln y x x x x --=--, 即2212ln y x x x =-+-,由上述两直线重合,122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得,()22211ln 4x x a =-,令()()()21ln 0h x x x x =->,则()()12ln h x x '=-,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以()h x 在(单调递增,在)+∞单调递减,则()max 142e h x h a≤==,解得12a e≥, 方法二：在同一坐标系中作出()f x ,()g x 的图象如图所示：由图象知：()f x ,()g x 分别为上凸和下凸函数,要使()f x ,()g x 存在公切线, 只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可,即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立 令()2ln x h x x =,求导得()312ln xh x x-'=,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以当x =,()h x 取得最大值为12e ,所以12a e≥故选A 9．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月调研）已知曲线ln y x =在()11,A x y ,()22,B x y ,两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ,()44,D x y ,则1234x x y y +的值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B【解析】由题设有33111311ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,化简可得111311ln 1x x x x x -=-即31111ln ln x x x x x =+-=-, 整理得到1111ln 1x x x +=-,同理2221ln 1x x x +=-,不妨设12x x <,令12ln ln 111x y x x x x +=-=----,因为当()0,1x ∈时,2ln ,1y x y x ==--均为增函数,故1ln 1x y x x +=--为增函数, 同理当()1,x ∈+∞时,故1ln 1x y x x +=--为增函数,故12,x x 分别为1ln 1x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解,又1111111111lnln ,111x x x x x x ++=-=---,故111111ln 11x x x +=-, 故11x 为1ln 1x y x x +=--在()1,+∞的解,故211x x =即121=x x . 所以34123412121212x x x x y y x x ex x x x ++=+=+=,故选B. 10．（2021江苏省苏州市常熟市高三抽测）已知两曲线()2sin f x x =,()cos g x a x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭相交于点P ,若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为（ ） A ．2 BC ．2± D．±【答案】B【解析】设切点(P m ,)(0)2n m π<<,由()2sin f x x =的导数()2cos f x x '=,()cos g x a x =的导数()sin g x a x '=-, 可得2cos (sin )1m a m ⋅-=-,所以1sin cos 2m m a=, 又2sin cos m a m =, 即sin tan (0)cos 2m am a m ==>,则2222sin cos tan 12sin cos 1214a m m m m m a sin m cos m tan m a====+++,即为2314a =,解得3a =,故选B11．（2021山东省高考考前热身押题）若x ,y R ∈,0x >,求()()2224ln 21x y x x y -+---的最小值为（ ） ABC ．165D【答案】C【解析】问题可以转化为：()2,4ln A x x x-是函数24ln y x x =-图象上的点,(),21B y y +是函数21y x =+上的点,()()22224ln 21AB x y x x y =-+---.当与直线21y x =+平行且与()f x 的图象相切时,切点到直线21y x =+的距离为AB 的最小值.()2422,20,1f x x x x x x=-=+-==',舍去负值, 又()11f =-,所以()1,1M -到直线21y x =+的距离即为AB 的最小值.min AB =,2min 165AB =.故选C.12．（2021河北省邢台市高考模拟）若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线,则m 的取值范围为（ ） A ．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．4271,e ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线, ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点, 又()()'2101x my x e x =+-=+,即()31xm x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解,设()()()311x f x x e x =+<-,()()()2'14xf x x e x =++,当4x <-时,()'0fx <；当41x -≤<-时,()'0f x >,所以()()4min 274f x f e =-=-, 又当x →-∞时,()0f x →,当1x →-时,()0f x →, 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.故选A. 13．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线,也是曲线1x y e =-的切线,则k b +=（ ）A ．ln22- B ．1ln22- C ．ln212- D ．ln22【答案】D【解析】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ,2x y e -'=,121x k e -=； 曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ,e x y '=,22xk e =；11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：,222221x x x l y e x e x e ∴=+--：121122222121x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩,2ln 2x ∴=-, 2222111ln 21(ln 2)2222x x x k b e e x e ∴+=+-+=+--=．故选D ． 二、多选题14．（2021广东省深圳市高三下学期二模）设函数()xf x e ex =-和()()()21ln 122g x x kx k x k =-+-+∈R ,其中e 是自然对数的底数()2.71828e =,则下列结论正确的为（ ）A ．()f x 的图象与x 轴相切B ．存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切C ．若12k =,则方程()()f x g x =有唯一实数解 D ．若()g x 有两个零点,则k 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】()x f x e e '=-,若()f x 的图象与x 轴相切,则()01xf x e e x '=-=⇒=,又(1)0f =,则切点坐标为(1,0),满足条件,故A 正确；()()212(12)1(1)(12)212kx k x x kx g x kx k x x x-+-++-'=-+-==,()0x >, 当0k <时,易知()0g x '>恒成立,不存在为0的解,故不存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切,B 错误； 由上所述,()f x 在(0,1)x ∈上单减,(1,)x ∈+∞上单增,则()(1)0f x f ≥=； 若12k =,()211ln 22g x x x =-+,()(1)(1)x x g x x+-'=,()g x 在(0,1)x ∈上单增,(1,)x ∈+∞上单减,()(1)0g x g ≤=,故方程()()f x g x =有唯一实数解1x =,故C 正确；()(1)(12)x kx g x x+-'=,()0x >,当0k ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 单增,不存在2个零点,故舍去； 当0k >时,()g x 在1(0,)2k 上单增,在1(,)2k+∞上单减,且0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()g x →-∞,故若()g x 有两个零点,则应使最大值102g k ⎛⎫>⎪⎝⎭, 即()21111111ln ()12ln 202222242g k k k k k k k k ⎛⎫=-+-+=-->⎪⎝⎭, 令11()ln 242h k k k =--,易知()h k 单调递减,且1()02h =, 因此()0h k >的解集为1(0,)2k ∈,D 正确；故选ACD15．（2021河北省邯郸市高三三模）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r 是()0f x =的根,选取0x 作为r 的初始近似值,过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:'l y f x f x x x -=-,则l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠,称1x 是r的一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2,称x 2是r 的二次近似值；重复以上过程,得r 的近似值序列,其中()()()()1'0'n n n n n f x x x f x f x +=-≠,称1n x +是r 的n +1次近似值,这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x =的近似解,则（ ）A ．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为1712 B ．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为1712C ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----D ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-+-+【答案】ABC【解析】构造函数2()2f x x =-,则'()2f x x =,取初始近似值01x =,则()()01001231'212f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则A 正确；取初始近似值02x =,则()()0100423222'2f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则B 正确；根据题意,可知()()0100'f x x x f x =-,()()1211'f x x x f x =-,()()2322'f x x x f x =-,()()3433'f x x x f x =-,上述四式相加,得()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----,则D 不正确,C 正确,故选ABC.16．（2021河北省唐山市高三下学期第二次模拟）若直线y ax =与曲线()x f x e =相交于不同两点()11,A x y ,()22,B x y ,曲线()x f x e =在A ,B 点处切线交于点()00,M x y ,则（ ）A ．a e >B ．1201x x x +-=C ．2AM BM AB k k k +>D ．存在a ,使得135AMB ∠=︒【答案】ABC【解析】对于A ：当0a ≤时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有两个不同交点,所以>0a ,如图1所示, 当直线y ax =与曲线()x f x e =相切时,设切点为()(),P t f t ,则'()x f x e =,所以切线方程为：()t ty e e x t -=-,代入点()00，解得1t =,此时a e =,所以直线y ex =与曲线()x f x e =相切,所以当a e >时直线y ax =与曲线()x f x e =有两个不同的交点, 当0a e <<时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有交点,故A 正确； 对于B ：由已知得11x ax e =,22xax e =,不妨设12x x <,则1201x x <<<,又()x f x e =在点A 处的切线方程为：()111+xxy e x x e =-,在点B 处的切线方程为()222+x xy ex x e =-,两式相减得()()121212+1+0x xx x e e x x ex e --=,将11x ax e =,22x ax e =代入得()()()()121122+1+0x x ax ax x x x a a --⋅⋅=,因为()120a x x -≠,所以121x x x +-=,即1201x x x +-=,故B 正确；对于C ：要证2AM BM AB k k k +>,即证12+>2x x e e a ,即证12+>2a ax x a ,因为>a e ,所以需证12+>2x x .令xax e =,则x e a x =,令()x e g x x =,则点A 、B 是y a =与e xy x=的两个交点,令()()()()201G x g x g x x =--<<,所以()()()2'2212x x e x x x e G x -⎛⎫=-- ⎝-⎪⎪⎭,令()()2>0x e x h x x =,则()()'32x e x h x x -=,所以当()0,2x ∈时,()'0h x <,()h x 单调递减,而01x <<,0122x x <<<-<,所以 ()()>2h x h x -,所以01x <<时,()'0G x <,所以()G x 单调递减,所以()()>10G x G =,即()()112>0g x g x --,又()()12g x g x a ==,所以()()21>2g x g x -, 而()()2'1x x g e xx -=,所以当>1x 时,()'>0g x ,()g x 单调递增,又2>1x ,12>1x -,所以21>2x x -,即12+>2x x ,故C 正确；对于D ：设直线AM 交x 轴于C ,直线BM 交x 轴于点D ,作ME x ⊥轴于点E ．若135AMB ∠=︒,则45AMD ∠=,即45MDE MCD ∠-∠=,所以()tan tan tan 11tan tan 1BM AM AM BMk k MDE MCDMDE MCD +MDE MCD +k k -∠-∠∠-∠===∠⨯∠⨯,化简得1BM AM AM BM k k +k k -=⨯,即21121211x x x x x +x e e e e ++e -=⨯=,所以21121ax ax +ax ax -=⨯,即()21121a x x x x --=,令2112m x x x x =--,则()()211212111m x x x x x x ++=--=--,又1201x x <<<,所以()()2112121111m x x x x x x ++>=--=--,而a e >,所以方程()21121a x x x x --=无解,所以不存在a ,使得135AMB ∠=︒,故D 不正确, 故选ABC ．三、填空题17．（2021山东省百所名校高三下学期4份联考）已知函数()3xf x e mx =-,曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,则m 的取值范围是______．【答案】2e ,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()3xf x e mx =-,所以()23xf x e mx '=-,又曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,所以230xe mx -=有3个不同的解,即23xe m x=,令()2xe g x x =,则()()32x e x g x x-'=,当()0g x '>时,0x <或2x >；当()0g x '<时,02x <<,所以()g x 在2x =时有极小值为()24xe g =,结合函数()2x e g x x =图象可知,234e m >,即212e m >．18.（2021江苏省南京市高三下学期5月第三次模拟）已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切,则2k b π+的最大值为______. 【答案】24π 【解析】由2cos y x x =+得：2sin y x x '=-,设直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切与点()2000,cos x x x +,则002sin k x x =-,又2000cos x x kx b +=+,则20000cos sin b x x x x =-+,()20000002sin cos sin 22k b x x x x x x ππ∴+=-+-+200000sin cos 2x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,令()2sin cos 2f x x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,()sin cos sin 22cos 22f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫'∴=++---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 22x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,1cos 1x -≤≤,cos 20x ∴-<,∴当,2x π⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<；()f x ∴在,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,()222maxcos 22244f x f πππππ⎛⎫∴==+-=⎪⎝⎭,即2k b π+的最大值为24π. 四、解答题18．（2021广东省惠州市高三调研）已知实数0a >,函数()22ln f x a x a x x=++,(0,10)x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点,曲线()y f x =在点11(,())P x f x ､22(,())Q x f x (12x x <)处的切线分别为12l l ，,且12l l ，在y 轴上的截距分别为1b ､2b ．若12l l //,求12b b -的取值范围． 【解析】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<. 0a >,010x <<, 20ax ∴+>.①当110a ≥,即当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x '<, ()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<,即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<； 当1,10x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.（2）1x =是()f x 的极值点,()10f '∴=,即()()210a a +-=, 解得：1a =或2a =-（舍）, 此时()2ln f x x x x =++, ()2211f x x x'=-++.1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令0x =,得：1114ln 1b x x =+-； 同理可得：2224ln 1b x x =+-. 12//l l ,221122212111x x x x ∴-++=-++, 整理得：()12122x x x x =+,12122x x x ∴=-, 又12010x x <<<,则1112102x x x <<-, 解得：1542x <<, ()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++.令12x t x =, 则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭, 设()()21ln 1t g t t t-=++, ()()()()222141011t g t t t t t -'∴=-+=>++, ()g t ∴在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又()10g =,16ln 445g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭,即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
导数的几何意义及运用解密
导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。
本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。
一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。
以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。
因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。
从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。
通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。
例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。
而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。
此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。
在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。
由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。
二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。
例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。
以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。
1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。
而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。
例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。
此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。
2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。
由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。
一元函数的导数的几何意义及应用(学生版)
一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用一、知识要点：（一）一元函数的导数的几何意义:函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．（二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2.过某点的切线方程的计算：设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-，然后解出0x 的值（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．3.曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点1.注意曲线上横坐标的取值范围；2.谨记切点既在切线上又在曲线上。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
高考数学之导数几何意义
高考数学之导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f （-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax -ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1C.2D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x -9都相切，则a 等于8.抛物线y=x 2上的点到直线x -y -2=0的最短距离为A. 2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14 x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围.11. 已知函数f （x ）=4x -x 4，x ∈R.(1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a +431.。
高三一轮复习导数的概念、几何意义及导数的计算 (1)
第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
3.1.3导数的几何意义1(1)
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y ＝ x
f ( x x) x
f (x)
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
在 x x0 处的瞬时变化率 ,反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么,导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时,割线PPn的 变化 趋势是
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht在t t1附近也
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y
|x
1
lim
x0
[(1
x)2
1] x
(12
1)
lim 2x x2 2 x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。
在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。
一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。
则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。
这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。
对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。
以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。
首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。
在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。
二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。
1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。
设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。
以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。
根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。
下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。
(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。
导数的概念及其几何意义-直击2021年高考中的导数问题(1)
导数的概念及其几何意义一、导数的定义设函数y=f（x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处取得增量∆x（点x0+∆x仍在该邻域内）时，相应的函数y 取的增量∆y = f (x+∆x)-f(x0)；如果∆y与∆x之比当∆x → 0 时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数，记为：y' =lim∆y =lim f (x+∆x)-f (x0)x=x0∆x→0 ∆x∆x→0∆x其他形式：f ' (x )= f(x0 +h)-f(x0)f ' (x )= lim f (x)-f (x0 )0 limh→0 ，x→x0x-x0二、导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P 时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim f (x+∆x)-f (x0)．0 h∆x ∆x→0技巧 1 导数的几何意义例1 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )[思路分析] (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？[解析] 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A 选项符合．『规律方法』1、f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2、若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x) 的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y 轴的直线的一部分．例2、已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(x A)与f ′(x B)的大小关系是( )A．f ′(x A)>f ′(x B) B．f ′(x A)＝f ′(x B)C．f ′(x A)<f ′(x B) D．f ′(x A)与f ′(x B)大小不能确定[解析] 由y＝f(x)的图象可知，在A，B 点处的切线斜率k A>k B，根据导数的几何意义有：f ′(x A)>f ′(x B)．技巧2 求切线方程例3、已知曲线C：f(x)＝x3.) 0 0 (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与曲线 C 相切的直线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ l im [(Δx )2＋3x 2＋3x ·Δx ]＝3x 2，Δx →0∴f ′(1)＝3×12＝3，又 f (1)＝13＝1，∴切线方程为 y －1＝3(x －1)，即 3x －y －2＝0.(2)设切点为 P (x 0，x 3)，由(1)知切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 2，故切线方程为 y －x 3＝3x 2(x －x )．0 0 0 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x 3＝3x 2(1－x )，即 2x 3－3x 2＋1＝0，∴(x －1)2(2x ＋1)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－1.0 0 0 0 0 02故所求的切线方程为：y －1＝3(x －1)或 y ＋1＝3(x ＋1，8 4 2即 3x －y －2＝0 或 3x －4y ＋1＝0.『规律方法』 1.求曲线在点 P (x 0，y 0)处切线的步骤：(1)求出函数 y ＝f (x )在点 x 0 处的导数 f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．过曲线外的点 P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为 Q (x 0，y 0)；(2)求出函数 y ＝f (x )在点 x 0 处的导数 f ′(x 0)；(3)利用 Q 在曲线上和 f ′(x 0)＝k PQ ，解出 x 0，y 0 及 f ′(x 0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．要正确区分曲线 y ＝f (x )在点 P 处的切线，与过点 P 的曲线 y ＝f (x )的切线．4．f ′(x 0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)<0 时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x 0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f (x )在 x 0 处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴或不存在．一、单选题1．已知函数y =f (x)在x =x 处的导数为11，则lim f(x0-∆x)-f(x0)1 A．11 B．-11 C．∆x→0∆xD．-111 11 【答案】B【解析】【分析】直接化简lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)∆x得解.【详解】由题得lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)∆x=- lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)-∆x=-f '(x) =-11.故选：B【点睛】本题主要考查函数导数公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．函数f (x )在x =x 处导数f ' (x )的几何意义是（）0 0A．在点x =x0 处的斜率B．在点(x0 , f (x0 ))处的切线与x轴所夹的锐角正切值C．点(x0 , f (x0 ))与点(0，0)连线的斜率D．曲线y =f (x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率=（）【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义即可得出.【详解】解： f '(x )的几何意义是在切点(x , f (x )) 处的切线斜率.故选：D.0 0【点睛】考查导数的几何意义，属于基础题.3．函数 f(x)＝e x cosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )A ．B ．0D ．1【答案】A【解析】【分析】求函数导数，代入 x=0 得到切线斜率，进而得倾斜角.【详解】由 f′(x)＝e x (cosx －sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率 k ＝f′(0)＝1，故倾斜角为 π，选 A.4【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 二、填空题x24．曲线y =+ ln x 在点2【答案】2x -y -3= 02(1, f (1)) 处的切线方程为．【解析】【分析】先对函数求导，求出在点(1, f (1))的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.【详解】因为y =x2+，所以y'=x +1，所以y'= 1+1 = 2.ln x2x x=1又因为f (1) =1，所以切线方程为y -1= 2(x -1) ，即2x -y -3= 0 .2 2 2故答案为2x -y -3= 02【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 5．曲线y =(-3x +1)e x 在点(0, 1)处的切线方程为．【答案】y =-2x +1.【解析】【分析】求出导数，得切线斜率，从而得切线方程．【详解】x=0y'=-3e x +(-3x +1)e x =(-3x - 2)e x ，所以k =y ' =-2 ,故切线方程为y -1 =-2(x - 0).即y =-2x +1.故答案为：y =-2x +1．【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求出导数得出切线斜率．三、解答题6．已知定义在R 上的连续函数y = f ( x) 的图像在点M (1, f (1)) 处的切线方程为y=-12x + 2 ，求f (1) +f '(1) . 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可直接求出f '(1) =-1，f (1) =-1+ 2 =3，进而可得出结果.2 2 2 【详解】因为函数y = f ( x) 在点M (1, f (1)) 处的切线方程为y=-12x + 2 ，所以f '(1) =-1，f (1) =-1+ 2 =3，因此f (1) +f '(1) = 1.2 2 2【点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.x x 2 x2 x 0 x 0 2 x 01+ 4x 051．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f (x ) = x 4 - 2x 3 的图像在点(1，f (1)) 处的切线方程为A ．y = -2x -1 B ． y = -2x +1 C ． y = 2x - 3 D ．y = 2x +1【答案】B【解析】 f (x )= x 4- 2x 3，∴ f '(x ) = 4x 3- 6x 2，∴ f (1) = -1， f '(1) = -2 ， 因此，所求切线的方程为 y +1 = -2(x -1)，即 y = -2x +1.故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.2．【2020 年高考全国 III 卷理数】若直线 l 与曲线 y =1 和 x 2+y 2= 5都相切，则 l 的方程为A ．y =2x +1B ．y =2x + 12 C ．y = 12 x +1D ．y = 12 x + 12【答案】D【解析】设直线l 在曲线 y =上的切点为(x 0 ,x 0 )，则 x 0 > 0 ，函数 y = 的导数为y ' = 1，则直线l 的斜率 k = 1 ，设直线l 的方程为y - = 1(x - x )，即 x - 2 y + x 0 = 0，由于直线l 与圆 x 2+ y 2= 1相切，则x 05= 1 ，两边平方并整理得5x 2- 4x -1 = 0 ，解得 x = 1， x = - 1（舍），5x x 0 0则直线l 的方程为x - 2 y+1= 0 ，即y =1x +1.2 2故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线y =a e x +x ln x 在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．a = e，b =-1 B．a=e，b=1 C．a = e-1，b = 1D．a = e-1 ，b =-1【答案】D【解析】∵ y'=a e x + ln x +1,∴切线的斜率k =y'|x=1 =a e +1= 2 ，∴a = e-1 ，将(1,1) 代入y = 2x +b ，得2 +b =1, b =-1.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y= f (x) 在点(0, 0) 处的切线方程为A．y =-2x B．y =-x C．y = 2x D．y =x【答案】D【解析】因为函数f崘᮱新是奇函数，所以aെ1െ0，解得aെ1，所以f崘᮱新െ᮱3+᮱，f᮱崘᮱新െ3᮱2+ 1，所以f᮱崘0新െ1᮱f崘0新െ0，所以曲线yെf崘᮱新在点崘0᮱0新处的切线方程为yെf崘0新െf᮱崘0新᮱，化简可得yെ᮱.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线yെf崘᮱新在某个点崘᮱0᮱f崘᮱0新新处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f᮱崘᮱新，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线y=3(x2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为．【答案】3x -y = 0【解析】y'= 3(2x +1)e x + 3(x 2 +x)e x = 3(x 2 + 3x +1)e x ,所以切线的斜率k =y'|x=0 = 3，则曲线y = 3(x2 +x)e x 在点(0, 0) 处的切线方程为y = 3x ，即3x -y = 0 ．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．6.【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】曲线y = 2 ln(x +1) 在点(0, 0) 处的切线方程为．【答案】y െ2᮱【解析】y᮱െ2᮱+1，在点（0᮱0）处切线的斜率为kെ20+1െ2，则所求的切线方程为y െ2᮱.【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a =．【答案】െ 3【解析】y'=a e x +(ax +1)e x ，则y'|=a+1=-2，所以aെെ3.x=0【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分中一项重要的概念。
它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。
导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。
一、导数的几何意义在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。
当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。
1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。
切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。
通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。
2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。
具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。
这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。
二、导数的物理意义导数在物理学中也有着广泛的应用。
它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。
1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。
对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。
通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。
这在运动学中有着广泛的应用。
2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。
在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。
通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。
3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。
例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。
通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念之一，它不仅有着深刻的几何意义，还在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将深入探讨导数的几何意义以及其在实际问题中的应用。
导数的几何意义导数的几何意义可以从两个方面来理解，即斜率和切线。
首先，导数可以被解释为函数图像上某一点的切线斜率。
具体而言，对于函数y=f（x），如果在某一点x=a处的导数存在，则导数f’(a)即为函数图像在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们能够得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而更加准确地描述函数的变化趋势。
其次，导数还可以被解释为函数的变化率。
导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化速率，进而揭示函数的增减性和凸凹性质。
具体而言，如果导数f’(a)在某一点x=a处为正，那么函数在该点上是递增的；如果导数f’(a)在某一点x=a处为负，那么函数在该点上是递减的；如果导数f’(a)在某一点x=a处等于零，那么函数在该点上可能存在极值点。
导数的应用导数作为微积分的基本工具，在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
以下将介绍导数在不同领域的具体应用。
1. 极值问题导数在求解函数的极值问题中起着重要作用。
对于一个可导函数，可以通过求导将极值问题转化为寻找导数为零的点或者导数不存在的点。
通过求解导数为零或导数不存在的方程，可以找到函数的可能极值点，进而得到函数的最大值或最小值。
2. 凸凹性分析凸凹性分析是导数在物理学、经济学等领域中的重要应用之一。
通过函数的二阶导数信息，可以判断函数的凸凹性质。
具体而言，如果函数的二阶导数大于零，那么函数是凸函数；如果函数的二阶导数小于零，那么函数是凹函数。
3. 曲线绘制与图像分析导数在曲线绘制与图像分析中也扮演着关键的角色。
通过求导，可以得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而帮助我们绘制更加准确的曲线。
同时，导数还可以帮助我们分析函数的拐点、极值点和最值点，进而对函数的整体形态进行深入理解。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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12
又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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9
栏目索引
栏目索引
方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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栏目索引
例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数的几何意义及四则运算
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明 （略）
15
定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
13
例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续 看左右导数是否存在且相等.
11
§2-4 求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、 为常数.
第1讲 导数及其应用(知识点串讲)(解析版)
第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用在微积分中，导数是一个重要的概念，它不仅有着深刻的几何意义，还在各个科学领域中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的变化率，进而揭示函数的本质特征，为实际问题的求解提供强有力的工具。
本文将从导数的几何意义和应用两个方面进行论述。
一、导数的几何意义导数的几何意义表现在函数图像的切线和曲线斜率的计算上。
对于函数f(x)来说，它在x点的导数f'(x)代表了函数图像在x点处的切线斜率。
具体来说，可以通过将切线近似看作曲线在这一点的局部性质，通过求出曲线上两点间的斜率的极限来表示切线的斜率，即导数。
这样一来，导数的几何意义就被转化为切线的斜率。
导数的几何意义和切线紧密相关。
对于函数图像上每一个点，都存在唯一的切线与之对应。
切线具有两个重要的性质，一是切线与函数图像相切于给定点，二是切线与函数图像在给定点处具有相同的斜率。
因此，通过计算导数，我们可以得到函数图像上任意一点的切线斜率。
二、导数的应用导数的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、社会经济等领域都有着重要的作用。
以下将介绍导数在几个典型应用中的具体运用。
1. 最优化问题：导数可以帮助我们求解最优问题，如最大最小值问题。
通过求取函数的导数，并令其等于零，我们可以找到函数取得最大或最小值的点。
这在经济学中的成本最小化、收益最大化问题中有重要的应用。
2. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的运动状态。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过求导，我们可以计算出物体的速度和加速度，进而揭示物体运动的规律。
3. 金融学中的利率和风险：在金融学中，导数被用来描述利率和风险。
例如，在借贷中，利率的变化可以通过利率的导数来表示。
而金融衍生品的风险可以通过导数来衡量，从而帮助投资者做出明智的决策。
4. 统计学中的回归分析：回归分析是统计学中常见的分析方法，它基于导数和线性关系的原理。
通过对数据进行回归分析，我们可以建立数据之间的数学模型，并通过导数计算模型参数的变化率，从而了解变量之间的关系。
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1 ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： 2
1 y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 4
变式2：若曲线C：y=x3－x+2上一点Q处的切线恰好平行于直 (2,8)或(－ 2, －4) 线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
变式3：若曲线C：y=x3－2ax2+2ax上任意一点处的切线的倾
小 结
1.求切线方程的步骤： （1）设切点P（x0,y0） （2）求k=f/(x0) （3）写出切线方程 y－y0= f/(x0)(x－x0) 2. 求曲线上点到直线的最值. 3. 利用导数的几何意义研究函数图象 的变化趋势.
∴P到直线的最短距离
3 9 | 4| 19 2 d= 2 4 8 2
例3. f/(x)是f(x)的导函数，f/(x)的图象如图所示， 则 f(x)的图象只可能是( D )
练习：课本P10 A组6题
巩固练习
1.过点P（－1，2）且与y=3x2-4x+2在点M（1，1）处 的切线平行的直线方程是__________． y=2x+4 2.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切 线方程是 __________ . y=3x－11 3.曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3=0的最短距离 是__________ ． 5 4.过曲线C: y=x2－1（x>0）上的点P作C的切线与坐标 轴交于M、N两点，试求P点坐标使△OMN面积最小． 思考：已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且 直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程 及切点坐标．
例1:已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为：y－经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)
求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
导数的几何意义及应用
知识回顾
1.导数的几何意义:
导数f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率。
2.求切线方程的步骤:
• 1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
斜角都是锐角，那么a的取值范围为__________。 0<a< 1.5
例2：已知曲线C:y=x2－2x+3,直线L:x－y－4=0,在曲线C上
求一点P,使P到直线L的距离最短，并求出最短距离。
9 ∴ y0= , 4
解：设P（x0，y0）, 3 /(x)=2x－2, ∴2 x －2=1, 解得x = ∵f , 0 0 2
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 1 解得x0=1或x0=－ 2 ①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x