第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(六十七) 10.6模拟方法(几何概型)、概率的应用

课时提升作业(六十七)
模拟方法(几何概型)、概率的应用
(25分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·宝鸡模拟)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )
A.1-
B.1-
C.1-
D.1-
【解析】选B.
由函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点,
可得Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,整理得a2+b2≥π2,
如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点,
试验的全部结果构成的区域为
Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π},
其面积SΩ=(2π)2=4π2.
事件A表示函数f(x)有零点,
所构成的区域为M={(a,b)|a2+b2≥π2},
即图中阴影部分,其面积为S M=4π2-π3,
故P(A)===1-,所以选B.
【加固训练】(2015·张掖模拟)如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC
内,曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任意一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由定积分可求得阴影部分面积为sinxdx=-cosx=2,矩形OABC面积为2π,根据几何概型概率公式得所投点落在阴影部分的概率为=.
2.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为P==.
3.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正
方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的
倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为.
4.(2015·九江模拟)有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为
( ) A. B. C. D.
【解析】选C.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积
V半球=×π×13=
π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为=,故点P到点O的距离大于1的概率为1-=.
5.已知平面区域Ω={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},平面区域
M=,若向区域Ω内随机抛掷一点P,则点P落在区域M内的概率为( )
A. B. C. D.
【解题提示】平面M所表示的区域,可利用线性规划知识画出其区域.
【解析】选B.如图所示,画出区域Ω与区域M,则区域Ω是以(1,1)为圆心,1为半径的圆,其面积为π,区域M是边长为的正方形,其面积为
×=2,故所求的概率为,故选B.
【加固训练】(2015·亳州模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆,故
即化简得又a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,
求得阴影部分的面积为,故所求的概率P==.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是.
【解析】由题意可知,点P位于BC边的中线的中点处.记黄豆落在△PBC
内为事件D,则P(D)==.
答案:
7.图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边
形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,
它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积
是.
【解题提示】设长方体的高为h,用h表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有h的方程,求出h后再求解体积.
【解析】设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知=,得h=3,所以长方体的体积是V=1×3=3.
答案:3
8.已知m∈[1,7],则函数f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在实数集R 上是增函数的概率为.
【解析】f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,
依题意,知f′(x)在R上恒大于或等于0,
所以Δ=4(m2-6m+8)≤0,得2≤m≤4.
又m∈[1,7],所以所求的概率为=.
答案:
(20分钟40分)
1.(5分)向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈的概率为( )
A.1-
B.1-
C.
D.
【解析】选A.由题意,易知:(1)点P在以A点为圆心,1为半径的圆外;(2)若点P在以DC为直径的圆上,则∠DPC=,若点P在以DC为直径的圆内,则∠DPC>,故只有点P在以DC为直径的圆外时满足∠DPC为锐角.因此,点P落入图中的阴影部分,故所求概率为=1-.
【方法技巧】解决几何概型的关键
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考
察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径一定时,由于弧长之比等
于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
2.(5分)(2015·咸阳模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+
cosx≤1”发生的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长度为π,设A表示取出的x满足sinx+cosx≤1这样的事件,对条件变形为sin≤,即事件A包含的区域长度为.所以
P(A)==.
3.(5分)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为.
【解析】要使2x2-ax+8≥0在(0,+≦)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+在(0,+≦)上恒成立.又2x+≥2=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为=.
答案:
4.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).
(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率.
(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.
【解析】(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因圆x2+y2=1的面积S1=π,故所求概率为=.
(2)由题意≤,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S2=4,所求概率为=.
5.(13分)(能力挑战题)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=.
(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.
(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率. 【解析】(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有:
x-,x+,x+,4x-,4x+,4x+,
共6种且每种情况被取到的可能性相同.
又当a>0,b>0时ax+在上递减,在上递增;
x-和4x-在(0,+≦)上递增,
所以对x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有x-,x+,x+,4x-, 故事件A包含的基本事件有4种,
所以P(A)==,故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
因为a是从区间[1,4]中任取的数,b是从区间[1,4]中任取的数,所以点(a,b)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.
要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立,
需f(1)+g(1)=a+b≤8且f(2)+g(2)=2a+≤8,
所以事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.
所以P(B)==,
故所求的概率是.。