基于C-B样条的三角形和四边形曲面生成
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，它能够精确地描述复杂的曲线和曲面形状。
B 样条曲面构建算法的设计与实现是计算机图形学中的重要课题之一，本文将对B样条曲面的构建算法进行详细介绍。
B样条曲面的构建算法主要包括控制点的选择、节点的确定和基函数的计算三个步骤。
控制点的选择是B样条曲面构建算法的第一步，控制点是影响曲线和曲面形状的关键因素。
通常情况下，我们可以根据具体应用需求来确定控制点的数量和位置，常用的方法有手动选择和自动选择两种。
节点的确定是B样条曲面构建算法的第二步，节点是曲线和曲面构建过程中一个重要的参考参数。
节点的个数和位置直接影响着曲线和曲面的形状和光滑性。
常用的方法有等距节点和非等距节点两种。
基函数的计算是B样条曲面构建算法的第三步，基函数是曲线和曲面形状的数学描述，可以通过基函数来计算任意点处的坐标值。
常用的方法有de Boor算法和Cox-de Boor递推算法两种。
在B样条曲面构建算法的实现过程中，我们需要根据上述步骤来设计具体的计算过程。
我们需要确定控制点的数量和位置，可以使用图形编辑工具手动选择或者运用自动控制点选择算法进行自动选择。
然后，我们需要确定节点的个数和位置，可以使用等距节点或者非等距节点。
我们根据基函数的计算公式来计算任意点处的坐标值，可以使用de Boor算法或者Cox-de Boor递推算法。
B样条曲面构建算法的实现涉及到大量的数学计算和图形算法。
我们可以使用现有的数学库和图形库来实现这些算法，比如使用Python中的numpy库或者OpenGL库。
通过合理地设计算法和优化计算过程，可以提高B样条曲面构建算法的效率和可靠性。
B样条曲面的构建算法设计与实现是计算机图形学中的重要课题，需要考虑控制点的选择、节点的确定和基函数的计算等多个因素。
通过合理地设计算法和优化计算过程，可以实现高效、可靠地构建B样条曲面。
C-B样条曲线的分割和拼接
C-B样条曲线的分割和拼接宋丽平【摘要】曲线曲面造型中设计复杂的自由曲线时,单段曲线已不能满足外形设计的要求,因而在实际造型中,经常采用曲线的分割和拼接.C-B样条理论是曲线曲面造型的一项重要内容.在对C-B样条基函数及曲线端点特性分析的基础上,提出了C-B样条曲线的任意分割算法,并对C-B样条曲线间进行了G1拼接.给出了 B样条曲线和C-B样条曲线G1和G2光滑拼接的几何条件.采用分割和拼接技术会增加C-B样条曲线的灵活性,所得结论具有明确的几何意义,并可以进一步推广到C-B样条曲面造型中.%The single curve already can' t satisfy the requirements of shape design when designing complex free curve in curve/surface modeling. Thus in the actual modeling, C-B-spline theory is an important content of curve/surface modeling. Propose the algorithm of arbitrarily divided when analysing C-B-spline basis functions,then splicing between two C-B-spline. In addition,give geometry conditions about B-spline curves and C-B-spline curves. The results are benefit for the shape modification, and they can also be extended to surface modeling with C-B-spline.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2011(021)009【总页数】4页(P114-117)【关键词】C-B样条;均匀B样条;分割;拼接;曲率连续【作者】宋丽平【作者单位】西安工业大学北方信息工程学院,陕西西安710025【正文语种】中文【中图分类】TP391.410 引言Bezier方法[1]，是一种由控制多边形定义曲线的方法，其将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上运用起来得心应手。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种经典的曲面构建方法，它通过对曲面进行局部建模，能够有效地描述复杂的曲面形状。
B样条曲面的构建算法设计与实现是计算机图形学中的重要课题，它涉及到曲线和曲面的参数化表示、插值计算以及曲面的渲染等方面。
本文将围绕B样条曲面构建算法的设计与实现展开讨论，介绍B样条曲面的基本理论、构建算法的设计思路和实现方法，以及在实际工程中的应用情况。
一、B样条曲面的基本理论B样条曲面是一种基于控制点和节点向量的参数化曲面表示方法，它可以通过一系列的局部插值计算来构建整个曲面，具有较好的曲面光滑性和局部调节性。
B样条曲面的基本理论包括曲线和曲面的参数化表示、插值计算和曲面渲染等方面。
1. 曲线和曲面的参数化表示B样条曲线和曲面都是通过一组控制点和节点向量来描述的，其中控制点决定了曲线和曲面的形状，节点向量则决定了曲线和曲面的参数化表示。
通常情况下，参数化表示都是通过多项式函数来实现的，其中节点向量和控制点的位置决定了曲线和曲面在参数空间中的形状。
2. 插值计算B样条曲面的构建是通过一系列的插值计算来完成的，这些插值计算都是针对曲面上的局部区域进行的，通过不断调整相邻控制点的位置来改变曲面的形状。
在插值计算中，通常会使用一些数学工具来进行优化求解，以达到较好的曲面效果。
3. 曲面渲染B样条曲面的渲染是指将曲面的参数化表示转换为真实的三维物体，并在屏幕上进行显示的过程。
曲面渲染包括曲面曲面生成、光照计算和投影等步骤，它能够将曲面的三维形状进行有效地呈现，以满足用户的需求。
B样条曲面的构建算法设计包括对曲线和曲面的参数化表示、插值计算和曲面渲染等方面的设计，而实现方法则是通过数学模型和计算机程序来实现这些设计。
在设计B样条曲面的构建算法时，需要首先确定曲线和曲面的参数化表示方法，其中包括节点向量的选择、控制点的位置和参数空间的范围等方面。
这些参数化表示的设计将直接影响到曲面的形状和效果。
b样条曲线算法 c语言
b样条曲线算法c语言B样条曲线算法是一种用于生成平滑曲线的算法，它在计算机图形学、几何建模和动画等领域有着广泛的应用。
下面是一个使用C语言实现B样条曲线算法的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define N 10 // 控制点数量typedef struct {double x, y; // 控制点坐标} Point;// 计算B样条曲线上的点void computeBSpline(Point *controlPoints, int numControlPoints, double t) { double u = floor(t); // 获取下标double v = t - u; // 获取权重int i, j;double basisFunctions[N][N];double curve[2];// 初始化基函数表for (i = 0; i < N; i++) {for (j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0) {basisFunctions[i][j] = 1.0;} else if (j == i) {basisFunctions[i][j] = pow(v, i - j);} else {basisFunctions[i][j] = pow(v, i - j - 1) * (1.0 - v) / (controlPoints[i].x - controlPoints[j].x);}}}// 计算曲线上的点for (i = 0; i <= N; i++) {curve[0] += controlPoints[i].x * basisFunctions[i][i];curve[1] += controlPoints[i].y * basisFunctions[i][i];}printf("(%f, %f)\n", curve[0], curve[1]);}int main() {Point controlPoints[N] = {{0, 0}, {1, 2}, {2, 0}, {3, 2}, {4, 0}}; // 控制点坐标列表for (double t = 0; t <= 4; t += 0.1) { // 生成曲线上的点，t为参数，范围为[0,4] computeBSpline(controlPoints, N, t);}return 0;}```在上面的代码中，我们首先定义了一个控制点结构体`Point`，然后定义了一个`computeBSpline`函数，用于计算B样条曲线上的点。
C—B样条曲线及曲面的光滑拼接与应用
收 稿 日期 ：０６ １—５ ２ ０ —２１
基金 项 目 ： 国家 “ ６ ” 划 Ｃ ＭＳ项 目（Ｏ ６ ８３计 Ｉ ２ ＯＡＡＯＺ ３ ） 助 ４ １７ 资
作 者简 介 ： 李
鹏 （９ ３ ） 西北 工业 大学 硕 士 生 ， 要 从 事 为计 算 机 辅 助 几 何 设计 、 拟 装 配 技 术 的 研究 。 １８－ ， 主 虚
维普资讯
２ ０ 年１ 月 ０７ ２
西 北 工 业 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｏ ｔ ｗｅｔｒ ｏｙｅ ｈ ｉａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｒｈ ｓｅ ｎ Ｐ ｌｔｃ ｎｃ ｌ ｏ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｙ
Ｄｅ ． ｃ
２ ７ ００
第 ２卷 第 ６ ５ 期
Ｖ ｏ ． ｏ． １ ２５Ｎ ６
Ｃ Ｂ样 条 曲线 及 曲面 的 光 滑 拼 接 与 应 用 —
李 鹏 ，李 原 ，刘 平 ，张 开 富
（ 北 工业 大学 现 代 设 计 与 集 成 制造 技 术 教 育部 重 点 实 验 室 ， 西 西 安 ７０ ７ ） 西 陕 １ ０ ２
摘 要 ： 文在 对 Ｃ Ｂ样 条基 函数 及 端点性 质 分析 的基础 上 ， 出 了 Ｃ Ｂ样 条 曲线 间拼接 的充要 论 — 提 — 条件 ； 同时给 出 Ｃ Ｂ样 条 曲面的 几何 模型 ， — 分析 了两片 Ｃ Ｂ样条 曲 面片拼接 的 几何条件 ， — 并通过 合
维普资讯
第 ６期
李
鹏等 ：— Ｃ Ｂ样 条 曲线 及 曲 面 的光 滑 拼 接 与应 用
的充要条 件是
１
两 曲线 Ｐ （ ）和 Ｑ （ ）在公 共 连接点 处 Ｇ 光 “ 。
ｂ＋ １＋ ２ １一 １ ６ ＋ （ ） ２＋ ｋ ｂ＋ ｌ ３
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面是一种常用的曲线和曲面构建方法，它可以通过控制顶点的位置和权重来
调整曲线和曲面的形状。
B样条曲面的构造算法可以分为两个主要步骤：控制顶点的布局
和曲线的生成。
控制顶点的布局是指确定曲面上的控制顶点的位置和权重。
一般情况下，我们可以通
过拖动顶点来调整曲线和曲面的形状。
在B样条曲面中，每个控制顶点都有一个相应的权重，用于调整该顶点对曲线/曲面的影响程度。
通过调整顶点的位置和权重，我们可以达
到我们想要的曲线/曲面形状。
曲线的生成是指根据控制顶点的布局来生成实际的曲线/曲面。
通常情况下，我们可
以使用插值或逼近方法来生成曲线/曲面。
插值方法通过将控制顶点直接连接起来形成曲
线/曲面，逼近方法则通过近似控制顶点之间的曲线/曲面来生成。
在实际实现中，我们可
以使用多项式函数或者矩阵运算来进行曲线/曲面的生成。
除了控制顶点的布局和曲线的生成，B样条曲面的构造算法还需要考虑到插值或逼近
的精度问题。
一般情况下，我们希望生成的曲线/曲面与控制顶点尽可能接近，同时又要
保持曲线/曲面的平滑度和连续性。
为了实现这一目标，我们可以通过调整控制顶点的位
置和权重，或者使用更高阶的多项式函数来增加曲线/曲面的精度。
B样条曲面的构造算法是一个综合考虑控制顶点布局、曲线生成和精度控制的过程。
通过合理地设计和实现这些算法，我们可以生成出符合要求的曲线和曲面。
在实际应用中，B样条曲面的构造算法被广泛应用于计算机图形学、机械设计和工业制造等领域，具有重
要的实际意义和研究价值。
de boor b样条曲线生成算法
de Boor-Cox算法是用于计算B样条曲线的一种算法，B样条曲线是一种插值技术，通常用于计算机辅助设计和计算机图形学等领域。
该算法的基本步骤如下：
1. 定义节点向量：首先定义一个节点向量，它包含了曲线上的所有节点。
节点向量通常由一组有序的点组成，这些点将曲线划分为多个子区间。
2. 计算混合函数：使用Cox-de Boor递归公式来计算混合函数。
混合函数是一种特殊的基函数，用于将控制点的影响权重分配给每个子区间。
3. 计算B样条曲线：将混合函数与控制点相乘，然后将结果相加，得到B样条曲线的表达式。
这个过程被称为“逼近”，因为B样条曲线是通过逼近一组控制点来生成的。
4. 更新节点向量：在计算过程中，如果节点向量发生变化，需要更新节点向量。
更新的方式可以是移动节点、插入节点或删除节点。
5. 重复步骤2-4：重复步骤2-4，直到达到所需的精度或迭代次数。
需要注意的是，de Boor-Cox算法是一种递归算法，因此对于大型数据集可能会导致计算时间较长。
此外，该算法还需要处理一些特殊情况，例如边界条件和节点向量更新等问题。
带形状参数的C-B样条曲线
第２ ６期
２１ ０ ０年 ９月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ．１ Ｎｏ ２６ Ｓｅ ． ０１ １ ０ ． ｐ２ ０
１７ 一 ｌ１ （０ ０ ２ —５ ９０ ６ １ ８ ５ ２ １ ）６ ６ ５ —４
Ｓ ｉｎｃ ｃ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎｇ ｃｅ ｅ Ｔｅ ｈｎ ｌ ｇ ｎ ｇ ｎ ｅ ｉ
“
，
简洁 、 确 地构 造二 次 曲线 曲 面 ， Ｎ Ｒ Ｓ相 比， — 精 与 ＵＢ Ｃ Ｂ样 条 具有算 法 简 单 、 省存 储 空 间 、 算 速 度 快 、 节 运
参 数选 择容 易 等特 点 。 曲线 的设 计 和修 改一 直 是计 算机 图形 学 、 Ａ ／ Ｃ Ｄ
即 Ｐ（）位于 ｎ个 控制 顶 点 Ｐ （ ￡ ｊｉ＝０ … ， ）的 凸包 ， ｎ 内 ， 由带 形状 参数 Ｃ Ｂ曲线 基 函数 的正 性 和 归一 这 —
性可 得 。
参 数 ＣＢ样 条 基 函 数 —
２ ２ 带 形状参 数 Ｃ Ｂ样 条基 函数 的性质 ． － 性质 １ 端点性 质 。
⑥
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎ ｎ． ０ ０ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇ ｇ
带 形 状 参 数 的 Ｃ Ｂ样 条 曲线 ．
韩 敬 利
（ 国 人 民 解 放 军 理 Ｔ 大 学 指 挥 自动 化 学 院 ， 京 ２ ０ ０ ） 中 南 １０ ７
摘
要 利用 积分方法构造 了带形状 参数的 ｃＢ样 条 曲线基 函数 ， 类 曲线具有标 准 Ｃ Ｂ样条 曲线 主要性质 ， — 这 ． 如连 续性 、 凸
定 义 ２ ｎ阶带 形状 参数 Ｃ Ｂ样条 基 函数 —
复杂曲面零件数控加工的关键问题——解读《复杂曲面零件五轴数控加工理论与技术》
1五轴数控加工简介复杂曲面零件作为数字化制造的主要研究对象之一，在航空、航天、能源和国防等领域中有着广泛的应用，其制造水平代表着一个国家制造业的核心竞争力。
复杂曲面零件往往具有形状和结构复杂、质量要求高等难点，是五轴数控加工的典型研究对象。
当前，复杂曲面零件主要包括轮盘类零件、航空结构件以及火箭贮箱壁板等，如图1所示。
轮盘类零件是发动机完成对气体的压缩和膨胀的关键部件，主要包括整体叶盘类零件和叶片类零件。
整体叶盘类零件的叶展长、叶片薄且扭曲度大，叶片间的通道深且窄，开敞性差，零件材料多为钛合金、高温合金等难加工材料，因此零件加工制造困难。
叶片是一种特殊的零件，数量多、形状复杂、要求高、加工难度大且故障多发，一图1复杂曲面零件直以来都是各发动机厂生产的关键。
航空整体结构件由整块大型毛坯直接加工而成，在刚度、抗疲劳强度以及各种失稳临界值等方面均比铆接结构胜出一筹，但由于其具有尺寸大、材料去除率大、结构复杂、刚性差等缺点，因此加工后会产生弯扭组合等加工变形。
随着新一代大型运载火箭设计要求的提高，为保证火箭的可靠性，并减轻结构质量，提高有效载荷，对火箭贮箱壁板网格壁厚精度和根部圆弧过渡尺寸都提出了更严格的要求。
五轴数控铣削加工具有高可达性、高效率和高精度等优势，是加工大型与异型复杂零件的重要手段。
五轴数控机床在3个平动轴的基础上增加了2个转动轴，不但可以使刀具相对于工件的位置任意可控，而且刀具轴线相对于工件的方向也在一定的范围内任意可控。
五轴数控加工的主要优势包括：①提高刀具可达性。
通过改变刀具方向可以提高刀具可达性，实现叶轮、叶片和螺旋桨等复杂曲面零件的数控加工。
②缩短刀具悬伸长度。
通过选择合理刀具方向可以在避开干涉的同时使用更短的刀具，提高铣削系统的刚度，改善数控加工中的动态特性，提高加工效率和加工质量。
③可用高效加工刀具。
通过调整刀轴方向能够更好地匹配刀具与工件曲面，增加有效切宽，实现零件的高效加工。
occ b样条生成曲线
occ b样条生成曲线
B样条（B-spline）是一种常用的曲线生成方法，它可以用于进行曲线和曲面的建模。
B样条曲线的生成过程涉及控制点、节点向量和基函数的计算。
下面我将从多个角度来解释B样条生成曲线的过程。
首先，B样条曲线的生成需要确定控制点。
控制点是影响曲线形状的关键点，它们的位置决定了曲线的走向。
通常情况下，我们会根据设计需求手动或者通过算法确定这些控制点的位置。
其次，B样条曲线的生成还涉及到节点向量的确定。
节点向量是一个非递减的序列，它决定了曲线上各个控制点的影响范围。
节点向量的确定需要满足一定的规则，比如在曲线端点处重复出现的节点称为多重节点，它会影响曲线的曲率。
最后，B样条曲线的生成还需要计算基函数。
基函数是描述控制点对曲线影响程度的函数，它们通常是局部支撑的，也就是说只在某个区间内起作用。
常见的基函数包括线性、二次和三次样条函数，它们的选择会影响曲线的光滑度和形状。
总的来说，B样条曲线的生成过程是一个综合考虑控制点、节点向量和基函数的计算过程。
通过合理的设置这些参数，我们可以得到符合设计要求的曲线形状。
这种方法在计算机图形学、CAD设计等领域得到了广泛的应用。
希望这个回答能够帮助你更好地理解B样条曲线的生成过程。
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法计算机形学中的曲线与曲面生成与绘制算法是图形学领域中的关键技术之一。
利用算法可以生成各种各样的曲线与曲面，用于创建、编辑和渲染三维模型。
本文将介绍几种常见的曲线与曲面生成与绘制算法。
一、贝塞尔曲线与贝塞尔曲面算法贝塞尔曲线与贝塞尔曲面是计算机形学中最常用的曲线与曲面表示方法之一。
贝塞尔曲线与曲面基于一组控制点，通过调整这些控制点的位置和权重，可以生成平滑且可控制形状的曲线与曲面。
1. 贝塞尔曲线算法贝塞尔曲线算法通过使用插值多项式来定义曲线。
一阶贝塞尔曲线由两个控制点定义，而二阶贝塞尔曲线则需要三个控制点。
一般而言，n阶贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
通过调整控制点的位置和权重，可以生成不同形状的贝塞尔曲线。
2. 贝塞尔曲面算法贝塞尔曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
类似于贝塞尔曲线，贝塞尔曲面也是通过在空间中插值来生成的。
通过调整控制点的位置和权重，可以创造出各种形状的曲面。
贝塞尔曲面常用于建模和渲染三维物体。
二、B样条曲线与曲面算法B样条曲线与曲面是另一种重要的曲线与曲面表示方法。
与贝塞尔曲线相比，B样条曲线具有更高的灵活性和平滑性。
B样条曲线通过使用基函数的加权和来定义曲线。
不同的基函数产生不同的曲线形状。
1. B样条曲线算法B样条曲线算法中，每个控制点都有一个与之关联的基函数，通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状。
B样条曲线可以用于在三维空间中创建平滑的曲线，被广泛应用于计算机辅助设计和动画制作等领域。
2. B样条曲面算法B样条曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
B样条曲面通过在两个方向上使用基函数的加权和来定义曲面。
通过调整控制点的位置和权重，可以实现曲面的形状调整。
B样条曲面广泛应用于计算机辅助设计、虚拟现实和游戏开发等领域。
三、其他曲线与曲面生成与绘制算法除了贝塞尔曲线和B样条曲线，还存在其他一些曲线和曲面生成与绘制算法，如NURBS曲线与曲面算法、Catmull-Rom曲线与曲面算法等。
基于前沿推进技术的自适应曲面三角形和四边形网格生成方法研究
本次演示介绍了一种基于前沿推进技术的自适应曲面三角形和四边形网格生 成方法。该方法具有高效、自适应性强等优点，可以广泛应用于计算机图形学、 仿真、动画等领域。然而，对于复杂特征的曲面和大规模的网格生成任务，该方 法仍存在一定的局限。
未来研究方向之一是改进该方法以更好地处理复杂曲面的细节问题。这可以 通过引入更先进的几何处理技术或优化算法来实现。另一个方向是降低该方法的 计算复杂度，以提高大规模网格生成任务的处理效率。此外，还可以将该方法与 其他网格生成技术相结合，以获得更广泛的应用场景和更优的生成效果。
实验结果与分析
为了验证基于前沿推进技术的自适应曲面三角形和四边形网格生成方法的有 效性，我们进行了一系列实验。实验结果表明，该方法在网格生成效果和效率方 面均具有显著优势。具体来说，该方法可以生成高质量的曲面网格，并且能够自 适应各种形状和拓扑结构。同时，通过与已有方法进行比较，我们发现该方法在 效率方面也有着较高的优势。
基于前沿推进技术的自适应曲面 三角形和四边形网格生成方法
基于前沿推进技术的自适应曲面三角形和四边形网格生成方法是一种高效的 网格生成方法。该方法主要分为两个步骤：首先，利用前沿推进技术生成初始网 格；其次，通过优化算法将初始网格转换为自适应曲面三角形和四边形网格。
1、利用前沿推进技术生成初始 网格
总之，基于前沿推进技术的自适应曲面三角形和四边形网格生成方法具有重 要应用价值和广阔的发展前景。相信在未来的研究中，会出现更多优秀的成果和 更出色的应用表现。
谢谢观看
引言
随着计算机技术的发展，网格生成技术在计算机图形学、仿真、动画等领域 的应用越来越广泛。其中，曲面网格生成技术是网格生成技术中的重要组成部分。 针对曲面网格生成，许多研究者提出了各种不同的方法，如参数化方法、离散微 分几何方法、前沿推进方法等。其中，前沿推进方法是一种较为流行的方法，它 能够适应各种形状和拓扑结构，并可生成高质量的网格。
deboor算法 三角形
deboor算法三角形
De Boor算法是一个递归的算法，主要用于计算几何形状（如B-样条曲线或曲面）的参数形式。
对于三角形，De Boor算法可以用于计算其顶点坐标、面积等。
在具体实现中，De Boor算法通常与B-样条曲线和曲面一起使用，用于描述复杂的几何形状。
在三角形的情况下，可以通过将三角形表示为B-样条曲面的一个简单实例来应用De Boor算法。
以下是一个简单的步骤说明：
1. 定义控制点：首先，你需要定义一组控制点，这些点将用于定义三角形的形状。
2. 构建B-样条曲面：使用控制点，你可以构建一个B-样条曲面。
该曲面将通过所有的控制点，并且可以用于表示三角形的形状。
3. 应用De Boor算法：通过递归地应用De Boor算法，你可以计算出B-样条曲面的参数形式。
这包括计算曲面上每个点的坐标。
4. 提取三角形信息：最后，你可以从B-样条曲面提取出三角形的顶点坐标。
将这些坐标连接起来，就得到了三角形的边界。
请注意，这只是一种可能的实现方式，并且在实际应用中可能需要考虑更多的因素，如控制点的选择、曲面拟合的精度等。
如果你想了解更多关于如何使用De Boor算法计算三角形的信息，我建议你查阅相关的数学文献或几何建模教材。
基于C-C细分的四边形网格上插值光滑Bézier曲面的生成
基于C-C细分的四边形网格上插值光滑Bézier曲面的生成蒋跃华;陈志杨;李根;张三元;叶修梓【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》【年(卷),期】2009(021)001【摘要】在任意拓扑的四边形网格上构造光滑的曲面是计算机辅助几何设计中的一个重要问题.基于C-C细分,提出一种从四边形网格上生成插值网格顶点的光滑Bézier曲面片的算法.将输入四边形网格作为C-C细分的初始控制网格,在四边形网格的每张面上对应得到一张Bézier曲面,使Bézier曲面片逼近C-C细分极限曲面.曲面片在与奇异顶点相连的边界上G1连续,其他地方C2连续.为解决C-C细分的收缩问题,给出了基于误差控制的迭代扩张初始控制网格的方法,使从扩张后网格上生成的曲面插值于初始控制网格的顶点.实验结果表明,该算法效率高,生成的曲面具有较好的连续性,适用于对四边化后的网格模型上重建光滑的曲面.【总页数】7页(P53-59)【作者】蒋跃华;陈志杨;李根;张三元;叶修梓【作者单位】浙江大学计算机科学与技术学院,杭州,310027;浙江工业大学软件学院,杭州,310014;浙江大学计算机科学与技术学院,杭州,310027;浙江大学计算机科学与技术学院,杭州,310027;浙江大学计算机科学与技术学院,杭州,310027【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.基于四边形网格细分曲面的生成 [J], 杨俊清2.三角域上邻接有理Bézier曲面片的G1和G2光滑 [J], 张同琦3.基于四边形网格参数细分的平面与自由曲面求交算法 [J], 李慧莹;陈良骥4.基于小波变换与Bézier曲面插值相结合的图像插值方法 [J], 吴伟仁;闫磊;田金文5.光滑曲线生成的一类保凸插值细分方法及其性质 [J], 丁友东;华宣积因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数值分析论文基于VC的B样条曲线插补算法在数控中的应用
数值分析论文授课教师：王永丽题目：基于VC的B样条曲线插补算法在数控中的应用姓名：班级：硕研09级4班学号：摘要：在数控加工中用一小段直线或圆弧去拟合实际曲线，即是“插补”。
它实质上是根据有限的信息完成“数据密化”的工作。
插补的计算方法和计算精度影响到整个数控系统的精度和效率，因此插补算法对整个数控系统的性能指标至关重要，插补是整个数控系统控制软件的核心。
关键词：样条曲线插补，数控技术，vc设计1 三次B样条曲线定义B样条曲线是对Bezier曲线的改进，它不仅保留了Bezier曲线的优点，而且具有局部控制的能力。
在B样条曲线中，给定n+1个控制点P（ii=0，1，……，n），也称为特征多边形的顶点，k次（k＋1阶）B样条曲线的表达式是：其中Ni，k(u)是调和函数，也称为基函数，可由下面的递推关系得到：式中ti是节点值，且为非减序列，T=[t0，t1，..，tn+k+1]构成了k次（k＋1阶）B样条基函数的节点矢量，每一基函数由对应的k＋2个节点决定。
上式也表明，高次B样条函数可用低次的B样条函数来表示，由此式可得其递推计算方法。
由基函数可知B样条基函数具有局部支撑特性，即节点矢量所含节点数目由控制顶点Pi（i＝0，1，……，n）和曲线次数k所确定（节点数＝n＋k＋2），显然，基函数个数与控制点数相等。
在上文B样条曲线的方程式（1）中当k=3，i=0，1，2，3时，所对应的基函数分别为：因此三次B样条曲线方程是：用矩阵形式可表示为：2 三次B样条曲线插补算法设计根据数据采样插补的原理，插补的目的就是要求在一个插补周期T内，刀具沿曲线所截取的轮廓步长运动。
由于三次B样条曲线的各坐标分量均为参数的函数可以直接计算，在每个插补周期T内，有相等的微小增量△u，即参数u的增量步长恒定，然后由公式计算得下一个插补点。
这种插补算法虽然计算简单，速度快，但其存在插补速度不恒速等缺点。
要使得样条插补在轨迹空间内匀速，就必须要根据编程进给速度来确定一个插补周期内的轮廓步长，然后将此参数映射到参数空间中，得到与其相对应的参数空间内的增量△u。
基于B样条的三维人脸曲面生成及特征提取研究的开题报告
基于B样条的三维人脸曲面生成及特征提取研究的开题报告一、研究背景及意义：三维人脸曲面生成和特征提取是人脸识别和人脸动态分析等方面的重要研究内容。
在现实应用中，三维人脸曲面的生成和特征提取可以用于人脸识别、人脸情绪分析、人脸表情识别等领域。
目前，许多研究都涉及到三维人脸曲面的生成和特征提取，但是由于三维人脸曲面的复杂性以及不同特征之间的相关性，导致这些研究最终的效果并不是很理想。
因此，本研究旨在基于B样条的方法进行三维人脸曲面的生成和特征提取。
二、研究内容及计划：1、三维人脸曲面生成针对三维人脸曲面的生成，我们将采用B样条方法进行处理。
通过对数学算法的优化与改进，能够更好的将三维人脸曲面进行建模，提升三维人脸曲面的生成精度、鲁棒性和速度。
计划步骤：（1）对三维人脸数据集进行预处理，包括模型重建、点云重构等。
（2）采用B样条方法进行三维人脸曲面建模。
（3）对B样条的优化与改进，提升算法的效率和精度。
2、特征提取对于三维人脸曲面的特征提取，我们将提取其几何和纹理特征。
通过这些特征的提取，可以更好地描述三维人脸的特征和内在变化。
计划步骤：（1）依据三维人脸曲面的几何特征，提取出基于几何面的特征，例如面积、法向量等。
（2）从三维人脸曲面纹理信息中提取出用于描述人脸属性的特征，例如纹理特征、颜色特征等。
（3）将特征提取的结果应用于人脸识别、情绪分析等领域的研究中。
三、预期研究成果：本研究将开发一种基于B样条的三维人脸曲面生成和特征提取方法，着重研究与改进B样条方法以及特征提取的算法，提高三维人脸曲面的建模精度和特征描述的准确度。
研究成果将被应用于人脸识别、人脸情绪分析等领域，有望提高人脸识别和分析的准确度和可靠性。
四、研究方案的可行性分析：本研究所采用的B样条方法及特征提取算法均为目前人脸识别和人脸情绪分析领域的热门课题，具有广泛的应用前景和应用价值。
同时，本研究已经拥有较为完整的研究思路和可行的研究路线，有望取得较好的研究成果。
Cubic B样条旋转曲面的自由绘制技术
Cubic B样条旋转曲面的自由绘制技术
韩丽;Raffaele De Amicis
【期刊名称】《小型微型计算机系统》
【年(卷),期】2009(030)007
【摘要】随着基于样条曲线的模型逐渐成为CAGD的主要研究对象,进一步带动了高度自由曲面建模技术的发展.本文描述一个新颖、直观的旋转曲面绘制技术,它支持三次B样条的自由输入作为轮廓线,并通过提取的样点矢量以及最小方差逼近方法形成旋转轴,利用轴上测量点的切线方向确定各个圆平面,从而建立了平面上旋转坐标矩阵,最终插值空间球面样点生成双三次B样条曲面.实验结果有效地验证了此技术的高效性.
【总页数】4页(P1441-1444)
【作者】韩丽;Raffaele De Amicis
【作者单位】辽宁师范大学,计算机与信息技术学院,辽宁,大
连,116029;GraphiTech图形技术研究所,特兰托,意大利,38050
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种基于矩阵形式的以B样条为母线的旋转曲面 [J], 刘志平
2.基于推广B样条的非齐次旋转曲面细分生成 [J], 王莹;方美娥
3.C-B样条旋转曲面造型研究 [J], 曾庭俊;王卫民;张纪文
4.均匀T-B样条旋转曲面造型研究 [J], 马素静;刘旭敏
5.N次三角多项式B样条绘制自由曲线 [J], 刘薇
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基于纹理延伸和三角块拼接的快速曲面纹理合成_薛峰
第19卷第2期2007年2月计算机辅助设计与图形学学报JO U RNA L OF COM P U T ER -AI DED D ESIGN &COM P U TER G RA PHI CS V ol .19,No .2Feb .,2007修回日期:2006-09-11.基金项目:国家自然科学基金(60575023);安徽省教育厅自然科学基金(2005KJ096);合肥工业大学科学发展基金(20060504F ).薛 峰,男,1978年生,博士,讲师,主要研究方向为基于图像的绘制、图像识别与理解.张佑生,男,1941年生,教授,博士生导师,主要研究方向为CAD 、图像识别与理解.江巨浪,男,1967年生,博士研究生,副教授,主要研究方向为计算机图形学等.胡 敏,女,1967年生,博士,副教授,主要研究方向为图像处理等.江 涛,男,1981年生,硕士研究生,主要研究方向为图形图像处理、纹理合成.基于纹理延伸和三角块拼接的快速曲面纹理合成薛 峰 张佑生 江巨浪 胡 敏 江 涛(合肥工业大学计算机与信息学院 合肥 230009)(iamxuefeng @ )摘要 对相邻的已合成三角形个数为1的待合成三角形使用“纹理延伸”的方法进行纹理合成;对相邻的已合成三角形个数大于1的待合成三角形采用梯形模板匹配的三角块拼接方法进行纹理合成.实验结果与理论分析表明,该算法合成质量较高,合成速度较现有方法提高了1 3.关键词 纹理合成;曲面;纹理延伸;三角网格中图法分类号 T P391Fast T extu re Synthesis on Arbitrary S urfaces Using T exture Extension and T riangu larT extu re MatchingXue Feng Zhang Yousheng Jiang Julang Hu Min Jiang Tao(S c hool of Computer &In for mation ,Hefei Univers ity of Technol ogy ,Hefei 230009)A bstract We present a fast algorithm of texture synthesis on arbitrary surface using “texture ex tension ”and optim al tex ture coo rdinates searching .As to those triang les w here there is only 1neighbor triangle syn -thesized ,we get their tex ture coordinates by directly extending the neighbo r triangles 'tex ture coordinates ,while those triangles with 2o r 3sy nthesized neighbors are sy nthesized by searching their texture coordinates acco rding to their trapeziform borders .Some experimental results are presented w hich show that synthesis time of our algorithm is about 2 3of that of previous methods .Key words texture sy nthesis ;surface ;tex ture extension ;triangular mesh 基于样图的纹理合成(texture sy nthesis from sample ,TSFS )是近几年计算机图形学领域的研究热点之一,其思想是基于给定小样图的纹理特征生成大面积的曲面纹理,并保证二者纹理结构的连续性和相似性.近10多年来,很多研究者在TSFS 领域做了大量的工作,这些研究成果可分为2部分———二维纹理合成和三维曲面纹理合成.文献[1-3]采用邻域相似性准则在样图中逐个搜索最佳匹配点来合成纹理,合成速度较慢.国内外的学者在基于像素点的纹理合成算法基础上,分别在生成风格图像[4]、多样图纹理合成[5]、流场可视化[6]以及移动纹理[7]方面展开研究,并取得了很好的效果.Efros 等于2001年首次提出Image Quilting 算法[8],该算法显著地提高了纹理合成速度和合成质量.在随后的几年中出现了各种基于纹理块的合成算法[9-12],使得合成速度基本达到实时性.文献[13-16]采用不同的方法实现了曲面纹理合成,取得了较好的效果.受文献[8]中块拼接思想的启发,人们采用三角块纹理匹配的方法逐个合成网格中的每个三角形,完成曲面纹理合成[17-21].其中,文献[17-18]算法思路清晰、简单,其基本思路都是将当前待合成三角形的相邻已合成三角形内部的梯形边界区域作为模板,在样本纹理中搜索最佳匹配三角块纹理完成纹理合成.由于该算法在合成中使用方向场控制三角块纹理生长的比例和方向,合成结果较好.但是,由于对每个三角形均需要在样图中进行搜索与匹配,当合成具有成千上万个三角形单元的网格模型时效率较低.本文在文献[17-18]的基础上,按照当前待合成三角形的相邻已合成三角形个数的不同,提出一种曲面纹理合成算法.1 算法概述曲面纹理合成的目的是根据一定的算法遍历网格中每个三角形,计算其在样图纹理中的纹理坐标,并保证这些三角片纹理的连续性.首先给出当前三角形的约束度定义,如图1a 所示.图1 待合成三角形的约束度定义1.待合成三角形的约束度.对于每一个待合成■T c ,称其相邻的已合成■T n 内的个数为待合成三角形的约束度C .基于三角块拼接的曲面纹理合成算法的基本思想:对于每一个待合成■T c ,使用其相邻的已合成■T n 内的梯形边界区域作为匹配模板,根据一定的相似性准则在样本中搜索对应的三角块纹理,如图1b 所示.这种模板匹配是一种耗时的计算过程,特别是在三角网格数目较多、模板面积较大时,合成效率会很低.显然,若样本纹理无限大,图1中约束度C =1的待合成■T c 在样本纹理中对应的纹理块可以由其相邻的已合成的■T n 的对应纹理块向相应方向延伸得到.基于这种“纹理延伸”的思想,本文提出了三角网格曲面的纹理合成算法,对约束度C >1的三角形采用梯形模板匹配进行纹理合成,而对约束度C =1的三角形,则直接通过“纹理延伸”来得到其对应的纹理块,从而达到提高合成质量和合成速度的目的. 本文算法的主体思路如下:Step1.由样本纹理A ,使用相关算法生成适合“纹理延伸”的新样本纹理B .Step2.由用户事先在种子三角形上指定矢量场,通过插值得到所有三角网格的切向矢量场,这些矢量可以控制纹理的生长方向.Step3.采用广度优先算法遍历网格中的每个三角形,并根据其约束度的不同进行纹理合成:对于约束度C =0的三角形,随机从样本纹理B 中选取相应形状、大小的纹理块;对于约束度C =1的三角形,通过“纹理延伸”求出其顶点在样本纹理平面的对应点,完成纹理合成;对于约束度C >1的三角形,在样本纹理B 中根据梯形边界约束搜索最佳匹配纹理块.Step4.后处理阶段.融合边界区域,存储纹理至纹理地图集,完成绘制.2 曲面纹理合成算法2.1 生成新样本纹理要实现三角块的“纹理延伸”操作,需要假设样本纹理“无限大”来保证延伸后的纹理坐标仍然落在样本纹理中,这在实际的合成中是不现实的.我们通过合成一个新样本来解决这个问题:1)由如图2a 所示的输入样本纹理构造一个相同大小的可自拼接纹理,如图2b 所示;2)将图2b 所示的纹理经过拼接得到如图2c 所示的纹理,并将其作为新的样本完成后续的纹理合成.图2 使用随机顺序合成算法得到可无缝自拼接纹理 本文使用随机顺序合成算法[14],由样本纹理(如图2a 所示)得到可无缝自拼接的纹理(如图2b 所示).与基本的L 邻域Wei 等的算法[2]不同,随机顺序合成算法采用方形对称邻域合成每个像素,从222计算机辅助设计与图形学学报2007年而使得其合成结果可以上、下、左、右无缝自拼接,如图2c 所示.在图2c 所示的新样本纹理中,9个栅格纹理块是相同的,纹理合成只需要在一个栅格纹理块中进行即可.我们将图2c 的中心栅格纹理作为纹理合成的目标区域(即“纹理延伸”和模板匹配均在中心栅格内进行),此时如果已合成的相邻■T 1的纹理坐标位于中心栅格纹理的边缘区域,则待合成■T 2的顶点p 3经过“纹理延伸”后的纹理坐标虽然落在中心栅格纹理外面,但是仍然落在图2c 所示的新样本纹理内部,从而可以正确求解.图4 纹理延伸中的几何变换需要指出的是,经过多次这种“纹理延伸”,可能导致某个三角形在样本纹理空间中对应的纹理块超出图2c 所示的大样本纹理的边界.为解决这个问题,在图2c 中,每当某个三角形对应的纹理块的3个顶点都落在中心栅格外面(如T 3),我们将其平移至中心栅格纹理块内部(如T 4),从而保证下一次“纹理延伸”得到的纹理坐标不会超出整个样本纹理.2.2 切向矢量场的建立对于大多数结构性纹理,在进行曲面纹理合成时需要控制纹理的生长方向,以得到满意的合成结果.为此需要为网格指定一个切向矢量场.同时为保证合成后的纹理连续、没有纹理断裂,矢量场中的方向矢量应该连续、光顺.切向矢量场的具体生成方法详见文献[18],图3所示为切向矢量场插值结果.图3 Bunny 的切向矢量场插值结果2.3 曲面纹理合成本文按照当前待合成三角形的约束度C 的不同采取不同的合成方法.2.3.1 约束度为0的三角形合成对于连通的三角网格,只存在一个约束度为0的三角形;而非连通三角网格则存在多个约束度为0的三角形.约束度为0的■T c 的纹理合成十分简单:首先将■T c 旋转至与XOY 平行的平面,得到■T ′c ,记其顶点p i 为(x i ,y i ,z ).随机为三角形的第一个顶点p 0赋一个纹理坐标值(s 0,t 0),则其他2个顶点的纹理坐标值可通过s i =s 0+ratio ×(x 0-x i )t i =t 0+ratio ×(y 0-y i ),i =1,2(1)计算.其中ratio 为合成比例因子,其值为网格中最长边长与样本纹理的宽度的比值.2.3.2 约束度为1的三角形合成对于约束度为1的待合成■T c ,我们采用“纹理延伸”的方法进行合成,需要完成旋转、平移等几何变换来确定其顶点的纹理坐标.Step1.将■T c 绕公共边p 1p 2旋转,使之与T n 位于同一个平面Π,如图4a 所示.这实际上是计算机图形学中的绕任意轴旋转的问题,p ′=p ·M(2)其中M 是一个复合旋转矩阵.Step2.将平面Π旋转至与纹理平面(不妨设为XOY 平面)平行的平面Π′,即平面Π′的法向量N Π′与Z 轴平行,如图4b 所示;Step3.再固定点p 1,将■T n 和T c 在平面Π′内旋转一定的角度,使得p 1p 2平行于w 1w 2(w 1,w 2分别为点p 1,p 2在纹理平面的对应点).此时,由于点p 1是已合成■T n 的顶点,其纹理坐标已知,故可以通过式(2)求得■T c 中点p 的纹理坐标(s p ,t p ),即s p =s 1+ratio ×(x 1-x ′p )t p =t 1+ratio ×(y 1-y ′p ),2232期薛 峰等:基于纹理延伸和三角块拼接的快速曲面纹理合成其中,(x 1,y 1),(x ′p ,y ′p )分别是图4a 中点p 1和p 经过上述3个变换后的坐标.由上述3个步骤完成“纹理延伸”,可以得到■T c 的3个顶点的纹理坐标(其中p 1,p 2点的纹理坐标取■T n 中相应顶点的坐标,p 的纹理坐标通过式(2)求解),从而完成T c 的纹理合成.这种“纹理延伸”过程不仅在计算量上大大小于梯形模板匹配,而且其合成质量也有所提高,因为纹理的自然延伸保证了2个三角形之间的纹理是平滑过渡的.图6 本文算法合成结果2.3.3 约束度大于1的三角形合成对于约束度大于1的■T c ,采用其梯形边界区域作为模板,在输入样本中搜索与之最匹配的三角形完成纹理合成.如图5所示,T c 为当前待合成三角形,T n 1和T n 2为其2个已合成的相邻三角形,它们在样本纹理空间中对应的纹理块分别为X n 1和X n 2.在样本纹理空间中搜索三角形纹理块X c ,使其相应的外部梯形边界区域与X n 1,X n 2的内部边界梯形区域的误差最小,则X c 为T c 在样本纹理中的图5 约束度大于1的三角形合成示意图对应纹理块.需要指出的是,纹理块X c 的形状应该与三维空间中的■T c 相似,比例由式(1)中的ratio决定,方向由第2.2节中计算得到的切向矢量决定,即保持切向矢量V c 始终与纹理坐标X 轴的正方向一致. 误差计算公式为E =∑Ci =1∑{(R n i-R c i )2+(G n i -G c i )2+(B n i -B c i )2}.其中,R n i ,G n i 和B n i 分别表示纹理块X n i 梯形边界区域中相应像素的红、绿、蓝色分量;R c i ,G c i 和B c i 分别表示纹理块X c 相应边上的梯形边界区域中相应像素的红、绿、蓝色分量.2.4 纹理绘制完成第2.3节中的纹理合成后,所有的三角形顶点都包含其在样本纹理空间中的纹理坐标,我们可以使用OpenGL 中的纹理映射函数实时地绘制每个三角形纹理.但是,在第2.3.3节中搜索最佳纹理块合成纹理时,可能会在2个三角形边界区域产生接缝.为进一步提高合成质量,可以采用线性边缘融合技术来减小纹理接缝现象.采用融合技术虽然能够显著地消除纹理接缝,但是在后续纹理映射时需要构造纹理地图集来存储融合后的每个三角纹理块.3 实 验我们在P Ⅳ2.6GHz 512MB RAM 的PC 机上使用VC ++,OpenGL 实现了本文算法,图6所示为本文算法的合成结果.由图6可以看出,本文算法224计算机辅助设计与图形学学报2007年合成质量良好.由于对约束度为1的待合成三角形使用“纹理延伸”的方法合成纹理,使得算法的效率较原有算法有较大程度的提高.对于相同的网格模型和输入样本,文献[17-18]的合成时间基本相同,因此,我们只给出了本文算法与文献[18]的合成时间对比,如表1所示.表1 本文算法与文献[18]算法时间对比模型网格数不同约束度的三角网格个数C =0C =1C =2C =3本文算法合成时间 s文献[18]算法合成时间 sbunny 15001817678430.345.6teapot 10244523487524.537.2horse 45001227622185118.1180.3cat 15361767767137.654.2cow30001152314492781.4122.1 与第2.3.3节中在整个样本纹理中计算梯形模板匹配误差相比,第2.3.2节中的“纹理延伸”的计算量可以忽略.不失一般性,假设合成中每个梯形模板所包含的像素个数相等,其合成单位时间为t ,则本文算法较文献[18]算法的合成时间的比值可用η≈(2×N (C 2)+3×N (C 3))×t(1×N (C 1)+2×N (C 2)+3×N (C 3))×t =(2×N (C 2)+3×N (C 3))1×N (C 1)+2×N (C 2)+3×N (C 3)(3)估计.其中,N (·)表示使用广度优先遍历算法得到的相应约束度三角形的个数.图7所示为由表1中合成时间数据和经过式(3)计算而得到的2种算法的合成时间比.理论分析和实验数据证明,对于一般的网格模型,本文算法的合成时间约为文献[18]算法的2 3.图7 本文算法与文献[18]算法的合成时间比4 结 论本文方法既得到了很好的纹理合成质量,又明显地提高了合成速度.尽管本文算法需要由输入样本生成可自拼接的纹理而花费一部分时间,但在实际的应用中,可以为每一种纹理事先生成一块可自拼接的纹理,因而不会影响纹理合成速度.此外,由于采用随机顺序合成算法来生成图2b 所示的可自拼接纹理,而随机顺序合成算法对于结构性很强的纹理合成效果不好,因此本文算法也同样不适用于结构性很强的纹理.如何提高算法的适用性,将是我们今后需要研究的课题.参 考 文 献[1]Efros A A ,Lung T K .Texture synthesis by non -parametric sampling [C ] Proceedings of IEEE In ternational Conference on Computer Vision ,Corfu ,1999:1033-1038[2]Wei L -Y ,Levoy M .Fast textu re s ynthesis using tree -structured vector quantization [C ] Computer Graphics Proceedings ,An -nual Conference Series ,ACM SIGGRAPH ,New Orleans ,Louisiana ,2000:479-488[3]Ashikmin M .Synthesizing natural textures [C ] Proceedings of 2001ACM Sympos ium on Interactive 3D Graphics ,Res earch Trian -gle Park ,North Carol ina ,2001:217-226[4]Hertzman A ,Jacobs C E ,Ol iver N ,et al .Image analogies [C ] Computer Graphics Proceedings ,Annual Conference Series ,ACM SIGG R APH ,Los Angel es ,2001:327-340[5]Xu Xiaogang ,Bao Hujun ,M a Lizhuang .M ethod of multi -source texture synthes is bas ed on correl ation principle [J ].Progress in Natural Science ,2002,12(6):665-668(in Chi -nese )(徐晓刚,鲍虎军,马利庄.基于相关性原理的多样图纹理合成方法[J ].自然科学进展,2002,12(6):665-668)[6]Wang Bin ,Wang Wenping ,Yong Junhai ,et al .Fl ow vis ual -ization by near -regular texture synthes is [J ].Journal of Comput -er -Aided Design &Computer Graphics ,2005,17(8):1678-1685(in Chinese )(王 斌,王文平,雍俊海,等.基于半规则纹理合成的流场可视化技术[J ].计算机辅助设计与图形学学报,2005,17(8):1678-1685)2252期薛 峰等:基于纹理延伸和三角块拼接的快速曲面纹理合成[7]W ang Bin,Wang W enping,Yong Junhai,et al.Synthes izing2D directional moving texture[C]Proceedings of the21stS pring Conference on Computer Graphics,Budmerice,2005:169-175[8]Efros A A,Freeman W T.Image quilting for texture synthes isand transfer[C]Com puter Graphics Proceedings,AnnualConference Series,ACM SIGG R APH,Los Angeles,California,2001:341-346[9]Kw atra V,Schödl A,Es sa I,et al.Graphcut textures:imageand video synthesis using graph cuts[J].ACM T ransactions onGraphics,2003,22(3):277-286[10]W ang Bin,Yong Junhai,S un 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程 的测 量 数据 网格 的 曲面 重建 。
（ （ ＋ （ ｆ ） ｆ ） ）
（，‘ ，ｌ
（ １ ，３ （ ） ，２ ） １
１ 预 备 知 识
Ｃ 曲线 由基底 函数 ｛ｉ Ｃ Ｓ ，， ｝ ｓ ｆ Ｏ ｔ １ 生成 ，它 ｎ， ｆ 不仅 可 以精 确表 示 二 次 曲线 ，还 可 以表 示 工程 中 用 到 的螺 旋线 ，摆 线等 一些 超越 函数 曲线 。Ｃ 曲 线 和三 次 曲线 具 有类似 的结构 与性 质 ，也有 三种 曲线形 式 ， 别 叫做 Ｃ Ｈｅｍｉ 项式 ， ， ６ｉｒ 分 ． ｒ ｔ ｅ多 Ｃ Ｂｚ ｅ
Ｆ３ ｏ
，
首 先 ，利用 边一 点方法 构造 ３ 插 值算 子 顶 个
合【Ｊ ７ ，分别 将 ＣＢ 样 条 曲线推 广成 三角 形 曲面 —
片和 四边 形 曲面 片 ，它可 以用 于 Ｃ ＡＤ 的逆 向工
（ ： ｆ（＋ｉ墨 ＋ （ Ｈ ） ） ） （ ）
ｕ ｌ ｒ ｆ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｓ ｐａ ｅ ｒ ｖｉ ｅ ｉｆ ｒ ｎ ｏｌｔｏ ｏ ｒ ｐ ｅ ｅ ｓｃ ｓ ｏ ｈ ｌ ｍｅ ｔ ｉ ｉ ｐ ｒｐ ｏ ｄ ｓ ａ ｄ ｆｅ ｅ ｔｓ ｕ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎｔｂａ ｉ ｍｏ ｔ ｅｅ ｎ ｓ ｌ ｋｅ ｔｉｎ ｕｌｒａ ｕ ｄ ｌ ｔ ｒ ｌｓ ｆ ｃ ａ ｃ ｓｆｏ ｍ ｅ ｈ ｕｓｎ Ｂ ｐｌｎ ｕ ｖ ｓ Ｃ— ｓ ｉ ｕ ｖ ｓ ｒａ ｇ ａ ｎｄ ｑ ａ ｒ ａｅ ａ ｕｒａ ｅｐ ｔｈｅ ｒ ｍ ｓ ｉ ｇ Ｃ— ｓ ｉ ｅｃ ｒ ｅ ． Ｂ ｐｌ ｃ ｒ ｅ ｉ ｎｅ
２ 三 角形 曲面 的 生 成 方 法
设三 角 形 曲面 片 的定义 区域 为三 角形 ，其
３个 顶 点为 ，
，
，顶 点 ，
，
对 应 边
表 示 为 ｅ， ， ３Ｓ 表 示 边 Ｐ上 的点 ，设在 的 ３ １ ｅ， ｉ ｉ 条 边界 ｅ，２ｅ 上构造 了 ３条 Ｃ Ｂ 曲线 Ｆ１ ｌｅ， ３ — ，
ａ ｄ ｑ ｄ ｌｔ ｒ ｌｓ ｒａ ｅｐ ｔｈｅ ｉ ｈｃ ｎ ｂ ｅ ｎ ｒ ｖｅ ｓ ｎ ｉ ｅ ｉ ｇ ｏｆＣＡＤ． ｎ ｕａ ｒ ａｅ ａ ｕ ｆ ｃ ａ ｃ ｓｗｈ ｃ ａ ｅｕｓ ｄ ｉ ｅ ｒ ｅｅ ｇ ｎｅ ｒｎ ｉ
Ｋｅ ｒ ： ｒａ ｇ ｌ ｒｓ ｆ ｃ ； ｕａ ｒｌ ｔｒ ｌ ｕ ｆ ｃ ； － ｓ ｉ ｅ ｓｄ － ｒｅ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄｓ ｔ ｎ ｕ ａ ｕｒａ ｅ ｑ ｄ ｉａ ｅ ａ ｒ ａ ｅ Ｃ・ ｐｌｎ ； ｉ ｅ－ ｔ ｘ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ｓ Ｂ ｖｅ
ａ ｅ ｃ ｍｐｌｘ ａ ｅ ｉ ｕｓ ｈ ｉ ｄ ｇ ｅ ｓａ ｅ ｔ ｏ ｈ ｇ ｒ ｏ ｅ ｎｄ ｔ ｄ ｏ ，ｔ ｅ ｌ ｅ ｒ ｅ ｒ ｏ ｉ ｈ，ａ ｔｉ ｉ ｃ ｔｔ ｓ ｕ ｓｔ ｅ ｒｃ ｎｔｎ ｏ 。 ｎｄ ｉ ｓｄ ｆ ｕｌ ｏ ｄｉｃ ｓ ｈ ｉ ｏ ｉ ｕ ｕｓ ｉ
曲线及 Ｃ Ｂ 样 条 曲线 。这 里 ，我们 只 介绍 Ｃ Ｂ — ．
Ｈｏ ：（一 ）（＋２） Ｈ１ ） ｔ 一 ）， ） １ １ ｔ， （ ＝一（ １
形 式 ，求 导求 积 分复 杂繁 琐 ，而 且微 分后 分母 的 阶 数过 高 ，给 讨 论其连 续 拼接 时增 加 了 困难 。另 外 有 理 Ｂ 样 条 中 的每个 控 制 点都 有 的权 因 子 的 确 定方 法 也不 明确 ，再就 是它 也 不 能精 确 的表 示 像 螺旋 线 ，摆线 等 一些 超越 函数 曲线Ｉ。 Ｊ Ｊ 为 了克 服 上述 问题 ，Ｚ ａ ｇ ｉ ｎ ｈ ｎ Ｊ ｗｅ 和 Ｐ ｔ ｎ ［分 别考 虑 了 由基 底 ｛ｉ ｔ Ｃ Ｓ ，， ） ｏｔ ｎ５ ｍａ ］ ｓ ， Ｏ ｔ １ 产 ｎ ｔ 生的 Ｃ Ｂ 样条 曲线 。 Ｃ Ｂ样条 曲线 可 以构造 张 — 由 ． 量 积型 曲面＿， ４ 我们在 这 篇文 章 中利用 边一 点方 ］ 顶 法 Ｊ 造 插 值 算 子 ， 再 将 这 些算 子进 行 凸性 组 构
２ ２笠 ０１
４月
图 学 学 报
ＪｏＵＲＮＡＬ Ｆ ＲＡＰＨＩ ｏ Ｇ ＣＳ
Ａｐ ｌ ２０１ ｉ ｒ ２
、０ －３ Ｎ Ｏ． ，ｌ ３ ２
第３ ３卷 ２期 第
基 于 Ｃ Ｂ样 ： — 条的三 角形 和 四边 形 曲面 生 成
李 薇 吴卓奇２ 荻原 一 郎 ， ，
（ ． ｏｌ ｅ ｆ ｔｅ ｔｓ ｎ ｈ ｓ ｓＮａｊ ｇＵ ｉｅｓｙｏ Ｉｆｒ ｔ ｎＳｉ ｃ ｎ Ｔ ｃｎｌｇ， ｎｉ ａｇｕ １０４Ｃ ｉａ １Ｃ ｌｇ Ｍａ ｍａｃ ｄＰ ｙｉ ， ｎｉ ｎｖｒｉ ｆｎｏｍａｏ ｃ ｎｅａｄ ｅｈｏｏｙＮａｊ ｇＪ ｎ ｓ ０４ ， ｈｎ； ｅ ｏ ｈ ｉ ａ ｃ ｎ ｔ ｉ ｅ ｎ ｉ ２
ｃＢ样 条 曲线推 广成三 角 形 曲面 片和 四边形 曲 面 片，它可 以用 于 Ｃ — ＡＤ 的逆 向工程 中散 乱数
据 的 曲面 重构 。
关 键 词：三角形曲面；四边形曲面；Ｃ Ｂ样条；边一 — 顶点方法 中图分 类号 ：Ｔ ９ Ｐ３ １
文献 标 识码 ：Ａ 文 章 编 号 ：２ ９ —０ Ｘ（０ ２０ —０ ５０ ０ ５３ ２ ２ １ ）２０ ４ —４
自由 曲面在 计 算机 辅助 设 计 （ＡＤ） 几 何模 Ｃ 及
型等 领 域 有 着 重 要 和 广 泛 的应 用 。我们 知 道 ，
收稿 日期 ：２ １ ９ ３ ０ 卜Ｏ— ０
基金 项 目：南 京信 息工 程大 学科 研 启动 费资 助项 目
作者 简 介： 李 薇 （９ ０ ） １６ 一 ，女 ，陕西 城 固人 ，教授 ，博 士 ，主 要研 究方 向为 计算 机辅 助几 何设 计 ， 曲线 曲面 造型 ，图像处 理 。
３ Ｄ ｐ ｒ ｎ ｆ ｃ ａ ｉ ｌ ｎ ｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｔ ｋ ｏＩｓ ｔｔ ｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ， ｏｙ ５ — ５０ Ｊｐ ） ． ｅ ａ ｍｅ ｔ Ｍｅ ｈ ｎ ａ ａ ｄ ｇ ｅ ｎ ， ｏ ｙ ｔｕｅ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｔ ｋ ｏ１ ２８ ５ ，ａ ａ ｔ ｏ ｃ Ｅ ｎ ｉ ｎｉ ｎ
ｕ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ｃ ｎ ｒ ｌ ｏ ｎ ｎ ｏ ｄ ｒｔ ａｉｆ ｈ ａａ ｇ ｄ ｔ ｐ ｌ ｇ ， ｈ ｉ ｄ ｒ ａｉ ｅ ａ ｄ ｉｔ ｇ ａ ｎ ｅ ｅ ｓ ｒ ｏ ｔｏ ｉ ｔｉ ｒ ｅ ｏ ｓ ｔ ｙ ｔ ｅ ｄ ｔ ｒ ｏ ｏ ｏ ｙ ｔ ｅ ｒ ｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｒ ｌ ｐ ｓ ｉ ｖ ｖ ｎ
图 学
学
报
Ｂ样 条和 有理 Ｂ样 条 已经 成 为 自由曲线 曲面表 示 的标准 ，具有 参 数 曲面表 示和 精确 表 示 圆锥 曲面 等优 点， 是 由于 其 多项 式及 有 理 多 项式 的表 示 但 形 式会 产 生一些 局 限性 ，例 如 ，它在 张量 积 的拓 扑 方面 的 限制 是一 个很 大 的缺 点 ，往往 会 为 了满
Ｔｒ ａ ｕｌ ｒ ａ ｉ ｎｇ ａ ｎｄ ｑｕａ ｉａ ｅ ａ ｕｒ ａ ｅ ｃ ｎｓ ｒ ｔｏ ｉ Ｂ ｐｌｎｅ ｄｒ ｌ ｔ ｒ ｌ ｓ ｆ ｃ ｏ ｔ ｕｃ ｉ ｎ ｕｓｎｇ Ｃ－ ｓ ｉ
ＬｉＷ ｅ Ｗ ｕ Ｚｈ ｑｉ， Ｉ ｈ ｒ ｇ ｗａ ａ ｉ， ｕｏ ｃ ｉｏ Ｈａ ｉ ｒ ３
２． ｃ ｏ ｌ ｆ ｅ ｈ ａｃ ｌ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ Ｓ ｎ ｈ ｉ ｉ ｏ ｏ ｇＵｎ ｖ ｒｉｙ Ｓ ａ ｇ ａ ０ ２ ０ Ｃ ｉ ａ Ｓ ｈ ｏ Ｍ ｃ ｍ ｉ ａ ｇ ｎ ｅ ｉ ， ｈａ ｇ ａ ａ ｔ ｎ ｉ ｅ ｓ ， ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ４ ． ｈ ｎ ； ｏ Ｅ ｎ Ｊ ｔ ２
ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ Ｈｏ ｔ ｅ ｅ ｏ Ｂ ｓ ｌ ｅｃ ｒ ｅ ｔ ｕ ｆ ｃ ｅ ｏ ｓａ ｏ ｄ ｔ ｎ ． ｗ ｄ ｖ ｌ ｐ Ｃ” ｐ ｉ ｕ ｖ ｓ ｎ ｏ ｓ ｒａ ｅｂ ｃ ｍｅ ｎ ｉ ｏ ｔ ｔ ｒ ｂ ｅ ． ｎ ｔ ｉ ｉ ｏ ｎ ｉ ｍｐ ｒａ ｏ ｌｍ Ｉ ｓ ｎ ｐ ｈ ｐ ｐ ｒ ｈ ｎ ｅ ｐ ｌｔ ｎ ｏ ｅ ａ ｏ ｓ ａ ｅ ｃ ｎ ｔ ｃ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｓｄ － ｅ ｔｘ ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ａ ｃ ｎ ｅ ａ ｅ ，ｔ ｅ ｉ ｔｒ ｏ ａ ｉ ｐ ｒ ｔ ｒ ｒ ｏ ｓｒ ｔ ｄ ｂ ｓ ｉ ｅ ｖ ｒｅ ｏ ｎ ｏ ｖ ｘ ｏ ｕ ｎ － ｔ ｃ ｍｂ ｎ ｔ ｎ ｏ ｅ ｅ ｏ ｅ ａｏ ｓ ｉ ａ ｈ ｅ ｅ ． ｈ Ｂ ｐ ｉ ｅ ｃ ｒ ｅ ｒ ｅ ｅｏ ｅ ｎ ｏ ｔ ａ ｇ ｌｒ ｏ ｉ ａ ｉ ｆｔ ｓ ｐ ｒ ｔ ｒ ｓ ｃ ｉｖ ｄ Ｔ ｅ Ｃ－ ｓ ｌ ｕ ｖ ｓ ａ ｅ ｄ ｖ ｌ ｐ ｄ ｉ ｔ ｒ ｎ ｕ ａ ｏ ｈ ｎ ｉ
（ ． 南京信 息工程 大学数理学院，江苏 南京 ２ ０４ ；２ 上海 交通 大学机械 与动力： 程学院，上海 ２ ０ ４ １ １０ ４ ． ［ ０２０ ３ ．东： 京工业大学理工学研 究科 ，日本 东京 １２８ ５ ） ．５ ０ ５
摘 要 ：文章给出了基于 ｃＢ 样条的由网格数据产生三角形乖 四边形曲面片的方 — ｒ 法 ，ｃ． Ｂ样条 是 由基底 函数 ／ｉ ＣＳ，， ｝ 出的一 种新 型样 条 曲线 ，它可 以克服 现在 正在 ｓ ｔ Ｏ ｔ１导 ｎ， ｔ 使用的 Ｂ样条和有理 Ｂ样条为 了满足数据 网格 的拓扑结构而增加 多余的控制点，求导求积 分复杂繁琐 ， 阶数过高， 从而讨论其连续拼接 时增加 了困难等缺点，如何将 它推广成曲面就 成为一个重要问题 。作者利用边一 顶点方法构造插值算子 ，再将这些算于进行凸性组合 ，将
ａｅｄｖ ｌ ｅ ｙｔｅ ａｉ ｓ Ｃ Ｓ，， ｝ ａ ｄｉｏ ｅｃｍｅ ｍｅｓｏｔｏｒｎ ｓ ｆｈ — ｌ ｅ ｒ ｅ ｅ ｐ ｄ ｓ ｉ ｔ Ｏ ｔ１ ， ｎ ｖ ｒｏ ｓ ｏ ｒ ｒ ｇ ｅ ｓ ｉ ｏ ｂ ｈ ｂ ｓ｛ ｎ ， ｔ ｔ ｓ ｈ ｃ ｆ ｏｔ Ｂ ｐ ｎ ｉ ａ ｄ ｎ ｎｕ ｉ ｒ ｒｔ ｎ ｌＢ ｓｌ ｅ （ ｎ ｏ －ｎｆ ｍ ａｉ ａ —ｐｉ ｓ ＮＵＲ ） ｍｏ ｅ ｏ ｘ ｍｐｅ ｈ ｙ ｈｖ ｏ ｉｃｅ ｓ ｏ ｏ ｎ ＢＳ ｄ ｌ ｒ ｅａ ｌ，ｔｅ ａ ｅ ｔ ｎ ｒａｅ ，ｆ