江苏省泰州市姜堰二中2017-2018学年高考数学四模试卷 Word版含解析
江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷及答案
2016～2017高三模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．2．函数()sin(4)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值 为 ▲ ．5．从1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率为 ▲ ．6．若双曲线22221x y a b -=的离心率2=e ，则该双曲线的渐近线方程为▲ ．7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在由5个边长为1，一个顶角为60的菱形组成的图形中， AB CD ⋅= ▲ ．11．已知点,F A 是椭圆:C 2211612x y +=的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆C 上一动点，则PAF ∆周长的最大值为 ▲ ．第10题图DBA第4题图Read x If 5x ≤Theny ←2xElse y ←2log x End IfPrint y12．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ= ▲ ． 14．若函数22()(1)(0)f x ax a x a a =++->的一个零点为0x ，则0x 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b .（1）若3m =，1n =-，且(λ⊥+)a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ． 17．（本题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与 圆22:4O x y +=交于点,A B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．（1）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数2()2ln f x x x ax =+-，R a ∈．（1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，12n n n n T bT b ++=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由．2016～2017高三模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．{1,1}-； 2．2π； 3．2； 4．5； 5．13；6．y =； 7．19； 8．； 9； 10．4-；11．16； 12．04a <<； 13．12+ ； 141. 二、解答题15. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ∴+=+-=+-a b ，若(λ⊥+)a a b ，则(0)=λ⋅+a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． ……………7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=，所以211122()216644mn m n ⋅⨯+≤++=+⨯=a b =， 故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． ……………14分 16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． ……………7分 （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ， ……………10分 又因为平面PAB 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，所以//AB EF ． ……………14分17. 解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以103AB π=，………2分所以广场的面积为2211050(1010)101002343ππ⋅⋅-⋅+=+-2m ）………6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===， ………8分 由余弦定理得 2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥， ………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+= 因此求4条小路的总长度的最小值为 答：（1）广场的面积为501003π+- （2）4条小路的总长度的最小值为 …………14分 18. 解：（1）直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线:1AB y kx =+，因为22()42AB +=，所以AB = ………3分由=215k =，22211()12CD -+-=-，CD === ………6分 （2）当直线AB 斜率不存在时，ABE ∆的面积14242S =⨯⨯=； 当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线:1AB y kx =+，显然0k ≠，直线1:1CD y x k =-+1<得23k >, ………8分所以(,(3,)k ∈-∞+∞．因为22()42AB+=，所以AB =E 到直线AB 的距离即M 到AB的距离，为d ==，所以ABE ∆的面积12S AB d =⋅== ………12分 令234(45)t t k +=<<，则4)S ==．综上，ABE ∆面积的取值范围4]． …………16分说明：求S =范围还可以： 令214k t +=>，S ==∈19．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()2ln f x x x ax =+-，2()2f x x a x'=+-， 由题意，对任意的0x >，都有2()20f x x a x '=+-≥，只要min 2(2)x a x+≥，由基本不等式得224x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞． ………4分（2）当a =e 时，2()2ln f x x x x =+-e ，2222()20x x f x x x x-+'=+-=>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为2()2ln 2f =+-⋅e e e e e =，所以()2()()f x f x f <⇔<e ，因此0x <<e ， 故不等式()2f x <的解集为(0,)e ． ………9分（3）2222()2x ax f x x a x x-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2()22g x x ax =-+，当4a >时，因为2160a ∆=->,所以2()22g x x ax =-+一定有两个零点， 设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分因为2111()220g x x ax =-+=，所以22111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以221111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，所以21()()0f x f x <<，又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 说明：事实上，对任意的R a ∈，函数()y f x =只有一个零点． 20. 解：(1) 因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=- ，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =． ………4分由12n n n n T b T b ++=得 33111122233445112,,,,,n n n n n n n n T bT b T bT b T b T b T b T b T b T b --+++=====， 以上n 个式子相乘得11212n n n T b bT b b ++=，即12n n n T b b += ①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②， 两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥）， ………6分所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………8分另法：由已知显然0n b ≠，因为12n n n n T bT b ++=，所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=，则数列1{}n n n T b b +是常数列，所以111212n n n T T b b b b +==，即12n n n T b b +=，下同上． （2）当1n =时，11n n n n a b a b +++-无意义，设1121(2,)2(1)n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥，显然1n c >，则111112221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]n n n n n n n n nn n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+，即11n n c c +>>， 显然212(1)nnn n ++>-+，所以234731c c c =>=>>>，所以存在2n =，使得72b c =，33b c =， ………12分下面证明不存在2n c =，否则2122(1)n n nn c n ++==-+，即23(1)n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该式不成立．综上，满足要求的n b 为37,b b ． ………16分附加题参考答案21.A ．证明：因为CD 为圆的切线，弧BC 所对的圆周角为BAC ∠ 所以 BCD BAC ∠=∠ （1） 又因为 AB 为半圆O 的直径所以90ACB ∠=︒，又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠ （2） 由（1）、（2）得ABC CBD ∆∆ 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅ ……………10分 21.B . 解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==； ……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分21.C . 解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ……………………………2分直线l的普通方程是0x +=． ……………………………4分 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d=10分21.D .证明：因为2≤(a +1+b +1)(12+12)=6， ………… 8分． …………10分，即证22≤，即证116a b +++≤，即证3(1)(1)a b =+++ 由基本不等式易得。
【数学】江苏省泰州中学2017-2018学年高二下学期4月月考(理)(word版附答案)
江苏省泰州中学2017-2018学年高二下学期4月月考（理）第Ⅰ卷一、填空题（将答案填在答题纸上）1. 总体由编号为01,02,03,49,50,的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为 ． 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 27 41 14 862.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ．3.已知O 为坐标原点，()()3,2,4,0,5,1A B --，若23OC AB =，则C 的坐标是 ． 4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调査了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调査，则月收入在[)2500,3000 (元）内应抽出 人.5.如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ．6.如图是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 ．7.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ．8.已知实数[]1,9x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ．9.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 ．10.从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ．11.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是 ．（答错任意一个均不给分）12. 在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 ． 13.将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ．14.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）第Ⅱ卷二、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x与数学成绩相应分数段的人数()y之比50,90之外的人数.如下表所示，求数学成绩在[)16.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. （1）确定,x y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟的概率.（将频率视为概率)17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA (不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA的值.18.已知关于x 的一次函数y mx n =+.（1）设集合{}2,1,1,2,3P =--和{}2,3Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y mx n =+是增函数的概率；（2）实数,m n 满足条件101111m n m n +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，求函数y mx n =+的图象经过第一、二、三象限的概率.19.如图，圆锥的高4PO =，底面半径2OB =，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF DE ⊥.（1）求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； （2）求二面角O DF E --的正弦值.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⎰平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --.参考答案一、填空题 1. 09 2.45 3.14102,,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4. 255. 496. 27. 38.389. 81 10. 5911. 46,45,56 12.91013. 25,17,8 14. 72 二、解答题15. 解（1）由频率分布直方图知()20.020.030.04101a +++⨯=，解得0.005a =.（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分） （3）由频率分布直方图知语文成绩在[)[)[)[)50,60,60,70,70,8080,90各分数段的人数依次为0.005101005⨯⨯=，0.041010040⨯⨯=，0.031010030⨯⨯=，0.021010020⨯⨯=. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，140202⨯=，430403⨯=，520254⨯=.故数学成绩在[)50,90之外的人数为()100520402510-+++=. 16.（1） 由已知得251055y ++=，35x y +=，∴15,20x y ==， 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，（2）记A 为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟”，1234,,,A A A A 分别表示事件1∵1234A A A A A =⋃⋃⋃，且1234,,,A A A A 是互斥事件，17.（1）以D 为原点,,,DA DC DP 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系：设AB t =, 则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,,0,0,,0,0,0,2,,0,D A t B t t C t P t Q t t ； 所以()()(),,,2,,0,0,0,2CQ t t t DB t t DP t =-==，设平面PBD 的法向量()1,,n x y z =，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量()11,2,0n =-，111cos ,5n CQ n CQn CQ⋅===， 则CQ 与平面PBD . （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为()11,2,0n =-，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PA λ=，()()()()0,0,22,0,22,0,21DQ DP PQ t t t t t λλλ=+=+-=-，()2,,0DB t t =，设平面QBD 的法向量()2,,n x y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()221020t x t z tx ty λλ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得()1020x z x y λλ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所以平面QBD 的一个法向量()21,22,n λλλ=---，121212cos ,5n n n n n n ⋅==所以()2251596105λλλ-=-+，即()2203λλ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 18.解（1）抽取的全部结果的基本事件有()()()()()()()()()()2,2,2,3,1,2,1,3,1,2,1,3,2,2,2,3,3,2,3,3---------，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有()()()()()()1,2,1,3,2,2,2,3,3,2,3,3---，共 6 个基本事件，所以，()63105P A ==. （2）,m n 满足条件101111m n m n +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示.要使函数的图象过第一、二、三象限，则0,0m n >>，故使函数图象过第一、二、三象限的(),m n 的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为112772P ==.19.（1）以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,0,0,4,0,0,2,0,1,2B P D E ，设()()0000,,00,0F x y x y >>，且22004x y +=， 则()00,1,2EF x y =--，()0,1,0DE =，∵EF DE ⊥，即EF DE ⊥，则010EF DE y ⋅=-=，故01y =.∴)()(),3,0,2,0,2,2FEF BD =-=-.设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos 7EF BD EF BDα⋅===（2）设平面ODF 的法向量为()1111,,n x y z =，则11n OD n OF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即111030z xy =⎧⎨+=⎩，令11x =，得1y =ODF 的一个法向量为()11,n =. 设平面DEF 的法向量为()2222,,n x y z =，同理可得平面DEF 的法向量为2n ⎛= ⎝⎭. 设二面角ODFE 的平面角为β，则12127cos n nn n β⋅==∴sin β=. 20.解（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,2,0,4,2C B A B ，()()1110,2,2,2,2,0AA BC B C ===-. 1111cos ,28AA BC AA BC AA BC ⋅===-⋅， 故1AA 与棱BC 所成的角是3π. （2）P 为棱11B C 中点， 设()1112,2,0B P B C λλλ==-，则()2,42,2P λλ-.设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，()2,42,2AP λλ=-， 则1103202000n AP x y z z x y y n AB λ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩， 故()11,0,n λ=- 而平面1ABA 的法向量是()21,0,0n =，则121212cos ,1n n n n n n ⋅===⋅+， 解得12λ=，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()1,3,2P .。
江苏省泰州市姜堰区2017-2018学年高三上学期期中考试 数学(理) Word版含答案
姜堰区2017-2018学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）数学Ⅰ（本卷考试时间：120分钟 总分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若复数(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．2．已知[1,4],(,]A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ▲ ．3．若样本数据1210,,...,x x x 的平均数为8，则数据121021,21,...,21x x x ---的平均数为 ▲ ．4．若,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必 要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ． 8．将函数()cos f x x =图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x ，则()g x = ▲ ．（第5题图）9．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若26a B C π===，则b = ▲ ．10．在ABC ∆中，点,M N 满足2,AM MC BN NC == ，若MN xAB yAC =+，则x y +=▲ ．11．若函数6,2()(0,1)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是▲ ．12．过点(1,0)P -作曲线:x C y e =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，依次下去，得到第1n +()n N ∈个切点1n T +，则点2015T 的坐标为 ▲ ．13．如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1[,2]2单调递减，则mn 的最大值为 ▲ ．14．设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲（写出所有正确条件的编号）①0,2a b ==；②3,2a b ==；③3,3a b =-=-；④3,2a b =-=；⑤3,2a b =-> 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()sin cos sin 222x x xf x =-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,0]π-上的最小值．16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(,(sin ,cos ),(0,)222m n x x x π=-=∈ ．（1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．17．（本小题满分14分）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=．（1）若方程的一根在区间(2,0)-内，另一根在区间(0,4)内，求实数m 的取值范围； （2）若方程的两根都在区间(0,2)，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分16分）强度分别为,a b 的两个光源,A B 间的距离为d ．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为(0,)k k k >为常数．线段AB 上有一点P ，设A P x =，P 点处总照度为y ．试就8,1,3a b d ===时回答下列问题．（注：P 点处的总照度为P受,A B 光源的照度之和）（1）试将y 表示成关于x 的函数，并写出其定义域； （2）问：x 为何值时，P 点处的总照度最小？19．（本小题满分16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列， {}n b 是等差数列，且111,a b ==2332,b b a +=5237a b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*,n n n c a b n N =?，其前n 项和为n T ．①求n T ；②若(3)n n T λ≤-对任意n N +∈恒成立，求λ的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()(1)f x k x >-．数学Ⅱ（本卷考试时间：30分钟 总分40分）21A ．（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，已知2sin 2sin sin B A C =，90B = ，且a = 求ABC ∆的面积．21B ．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式．22．（本小题满分10分）投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m ，可获得利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需场地1002m ，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地9002m ，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？23．（本小题满分10分）已知函数4()4,f x x x x R =-?． （1）求()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £．姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）参考答案数学Ⅰ1.22.4a ≥3.154.25.76.充分不必要7.568.1cos()26x π- 9.32或3 10.1311.12a <≤ 12.2014(2014,)e 13.18 14. ①②③⑤ 15. 解：（1）sin 1cos 11()(sin cos )2222x x f x x x -=-=+-1)242x π=+- -----------4分所以()f x 的最小正周期221T ππ== -----------7分（2）因为[,0]x π∈-，所以3[,]444x πππ+∈------------9分所以当42x ππ+=-，即34x π=-时 -----------11分()f x 取最小值为122-------------14分16．解：（1）因为m n ⊥，所以((sin ,cos )22m n x x ⋅=-⋅cos 022x x =-= -----------4分所以sin cos x x = 因为(0,)2x π∈，所以tan 1x =-----------7分（2）由cos 3||||x x m nm n π⋅==sin()4x π=------------10分因为(0,)2x π∈，所以(,)444x πππ-∈------------12分所以46x ππ-=，即512x π=-----------14分17．解：（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，由题意可知(2)0(0)0(4)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即42(3)00164(3)0m m m m m --+>⎧⎪<⎨⎪+-+>⎩-----------4分 解得405m -<< -----------7分 （2）由题意可知23032(3)40042(3)0m m m m m m -⎧<-<⎪⎪⎪--≥⎨⎪>⎪+-+>⎪⎩ -----------10分解得213m <≤ -----------14分 18．解：（1）由题意可知：P 点处受A 光源的照度为1228ka ky x x== -----------2分P 点处受B 光源的照度为122(3)(3)kb ky x x ==-- -----------4分 从而，P 点的总照度为228(3)k k y x x =+-， -----------6分其定义域为{|03}x x << -----------7分（2）对函数求导，可得'33162(3)k ky x x =-+-， -----------9分令'0y =，得33331622160,(3)(3)k k k kx x x x -+==--， 因为0k >，所以3318(3)x x=-，所以338(3)x x =-，解得2x = -----------11分当''02,0;23,0x y x y <<<<<> -----------13分因此，2x =时，y 取得极小值，且是最小值 -----------15分答：2x =时，P 点处的总照度最小 -----------16分19．解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知,有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩ -----------1分 解得2q d ==-----------3分所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ----------5分（2）由（1）有()1212n n c n -=- ，则()0121123252212,n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯----------7分两式相减得()()2312222122323,nnnn T n n -=++++--⨯=--⨯- 所以()2nn T n =-+-----------10分（3）令(3)(23)2n n n e n T n n =-=- 由1n n e e +<，得1(23)2(1)(21)2n n n n n n +-<+-，即(23)2(1)(21)n n n n -<+-解得对任意n N +∈成立，即数列{}n e 为单调递增数列， 所以{}n e 的最小项为12e =------------13分因为n e λ≤对任意n N +∈恒成立，所以2λ≤-，所以λ的最小值为2------------16分20．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞ -----------1分对函数求导，得2'11()1x x f x x x x-++=-+= -----------2分由'()0f x >，得2010x x x x >⎧⎪⎨-++>⎪⎩，解得0x <<故()f x的单调递增区间为 -----------4分证明：（2）令()()(1),(1,)F x f x x x =--∈+∞，则有2'1()x F x x-=-----------5分当(1,)x ∈+∞时，'()0F x <，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减， -----------7分故当1x >时，()(1)0F x F <=，即1x >时，()1f x x <- -----------9分解：（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意； -----------10分当1k >时，对于1x >，有()1(1)f x x k x <-<-，则()(1)f x k x <-，从而不存在01x >满足题意； -----------12分当1k <时，令()()(1),(1,)G x f x k x x =--∈+∞则有2'1(1)1()1x k x G x x k x x-+-+=-+-=由'()0G x =得，2(1)10x k x -+-+=．解得120,1x x =<=> -----------14分所以当2(1,)x x ∈时，'()0G x >，故()G x 在2(1,)x 内单调递增，从而当2(1,)x x ∈时，()(1)0G x G >=，即()(1)f x k x >-综上，k 的取值范围是1k < -----------16分数学Ⅱ21A ．解：由题意及正弦定理可知：22b ac =； -----------3分因为90B =，由勾股定理得222a c b +=； -----------5分又a =c a == -----------7分所以ABC ∆的面积112S ==． -----------10分21B ．解：由已知12n n S a a =-，有1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12(2)n n a a n -=≥. -----------5分 从而21312,4a a a a ==，又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，所以11142(21)a a a +=+，解得12a =； -----------8分 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =. -----------10分22.解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为2314290x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ； -----------3分目标函数为32S x y =+ . -----------5分作出可行域，将目标函数32S x y =+变形为322S y x =-+ 这是斜率为32-，随S 变化的一族直线.2S 是直线在y 轴上的截距，当2S 最大时，S 最大. 由图象可知，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2314x y +≤与29x y +≤的交点(3.25,2.5)此时14.75S = -----------9分 答：生产A 产品325吨，生产B 产品250米时，获利最大，且最大利润为1475万元. --10分23.解：（1）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-, -----------1分当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞. -----------4分（2）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- -----------5分 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-,即()()()00g x f x x x '=-；令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- -----------6分 则()()()0F x f x f x '''=-；由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减，所以()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=，所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, -----------8分 所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤=，即对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £. ――----10分。
2020届江苏省泰州中学2017级高三下学期4月模拟考试数学试卷及解析
2020届江苏省泰州中学2017级高三下学期4月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：（共14小题,每题5分）1.已知集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =>,则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】直接由集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =>,所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<2.已知i 为虚数单位,则复数11z i=-在复平面内对应的点位于第_______象限 【答案】一【解析】先化简得到z ,即可求出本题答案.【详解】由题,得11111(1)(1)22i z i i i i +===+--+, 所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,位于第一象限. 故答案为：一3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间[]40,80中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=4.袋中装有5个大小相同的球,其中3个黑球,2个白球,从中一次摸出2个球,则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】35分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况,再找出摸出1个黑球和1个白球的情况,由此能求出概率.详解：设3个黑球用A,B,C 表示；2个白球用甲,乙表示,摸出2个球的所有情况：（A,B ）、（A,C ）、（A,甲）、（A,乙）、（B,C ）、（B,甲）、（B,乙）、（C,甲）、（C,乙）、（甲,乙）共10种,其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种,所以,摸出1个黑球和1个白球的概率为63105P ==. 故答案为35. 5.在一次知识竞赛中,抽取5名选手,答对的题数分布情况如表,则这组样本的方差为______． 答对题数4 8 9 10 人数分布1 12 1【答案】225 【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据,计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=,。
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)(word版可编辑修改)的全部内容。
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． （1）【2017年江苏,1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =，则实数a 的值为_______． 【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=，解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年江苏,2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+,其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． (3）【2017年江苏,3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=,则应从丙种型号的产品中抽取630018100⨯=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． (4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图:若输入x 的值为116,则输出y 的值是_______． 【答案】2-【解析】初始值116x =，不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5）【2017年江苏，5,5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=．【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题．（6)【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
江苏省泰州二中2017-2018学年高三上学期一次限时数学(理)试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省泰州二中高三（上）第一次限时数学试卷（理科）一、填空题（请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={1，2，4}，则∁U（A∪B）= ．2．p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；q：a∈N={x|x＜2}；p是q的条件．3．函数的定义域为（以区间作答）4．0.04﹣（﹣0.3）0+16= ．5．在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为．6．若函数f（x）=x2+（a2﹣4a+1）x+2在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）= ．8．已知向量夹角为45°，且，则= ．9．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．10．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+= ．11．如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则的值为．12．定义：F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），设数列{a n}满足a n=，设S n为数列{}的前n项和，则S n1（填“＞”、“=”、“＜”）．13．设函数f（x）=x2+c，g（x）=ae x的图象的一个公共点为P（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同的切线，若函数f（x）﹣g（x）的负零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ．14．下列中，正确的是①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则||=；②已知=（sinθ，），=（1，）其中θ∈（π，）则；③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．二、解答题（将解答过程写在答题纸指定区域内）15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．17．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．18．将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．19．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．2014-2015学年江苏省泰州二中高三（上）第一次限时数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={1，2，4}，则∁U（A∪B）= {3，5} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：首先求出A∪B，进而求出C U（A∪B）．解答：解：A∪B={1，2，4}；∴C U（A∪B）={3，5}故答案为：{3，5}．点评：本题考查了补、并的混合运算，属于基础题型．2．p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；q：a∈N={x|x＜2}；p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析： p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，解出0＜x＜1；q：a∈N={x|x＜2}，然后判断充要条件．解答：解：p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，可知x2﹣x＜0时M={x|0＜x＜1}；q：a∈N={x|x＜2}，显然a∈M则a∈N，即p⇒q；a∈N时则a不一定∈M，q不能推出p，p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒q为假且q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q为真且q⇒p为真，则p是q的充要条件；④若p⇒q为假且q⇒p为假，则p是q的即不充分也不必要条件．⑤判断p与q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断p与q的关系．3．函数的定义域为[1，+∞）（以区间作答）考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲使函数要有意义只需偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组，解之即可．解答：解：函数要有意义则即∴函数的定义域为{x|x≥1}故答案为：[1，+∞）点评：本题主要考查了偶次根式函数、对数函数的定义域，以及利用单调性解对数不等式，属于基础题．4．0.04﹣（﹣0.3）0+16= 12 ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算法则求解即可．解答：解：0.04﹣（﹣0.3）0+16==﹣1+8=12．故答案为：12．点评：本题考查有理指数幂的运算，基本知识的考查．5．在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为 1 ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．解答：解：∵∠A=45°，∠C=105°，∴∠B=30°，∵BC=，∴由正弦定理=得：AC===1．故答案为：1点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．若函数f（x）=x2+（a2﹣4a+1）x+2在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是[1，3] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的对称轴方程为x=﹣，且函数在区间（﹣∞，1]上是减函数，可得﹣≥1，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=x2+（a2﹣4a+1）x+2的对称轴方程为x=﹣，且函数在区间（﹣∞，1]上是减函数，故有﹣≥1，求得1≤a≤3，故答案为：[1，3]，点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）= ﹣1 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由奇函数性质得，f（﹣0）=﹣f（0），可得f（0）的值；再借助x＞0时，f（x）=2x﹣3，可将f（﹣2）转化为f（2）求解．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，又x＞0时，f（x）=2x﹣3，所以f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查奇偶性的定义及其应用奇偶性求函数值，属基础题．8．已知向量夹角为45°，且，则= 3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法9．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值解答：解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．10．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+= ．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．解答：解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+），∴+====．故答案为：．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．（2012•雁峰区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则的值为 5 ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意可得 cos∠PDA=，再由=（+）•（+）=（+2）•（﹣+），利用两个向量的数量积的定义运算求得结果．解答：解：由题意可得tan∠PDA=2，cos∠PDA=，=2，=﹣，||=||==．∴=（+）•（+）=（+2）•（﹣+）=﹣﹣•+2 =﹣5﹣×2 cos（π﹣∠PDA）+2×4=﹣5﹣×2×（﹣）+8=5，故答案为 5．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．12．定义：F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），设数列{a n}满足a n=，设S n为数列{}的前n项和，则S n＜1（填“＞”、“=”、“＜”）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），知a n==，故===﹣，由此能求出结果．解答：解：∵F（x，y）=y x（x＞0，y＞0），∴a n==，∴===﹣，∴S n=1﹣+…+﹣=1﹣＜1．故答案为：＜．点评：本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．13．设函数f（x）=x2+c，g（x）=ae x的图象的一个公共点为P（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同的切线，若函数f（x）﹣g（x）的负零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ﹣1 ．考点：函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意知f′（2）=g′（2），即4=ae2①，f（2）=g（2），即4+c=ae2②，联立①②可求a，c，从而得f（x）﹣g（x），利用导数可判断函数在（﹣∞，0）上的单调性，由零点判定定理可知零点的存在的区间，由此可求k．解答：解：f′（x）=2x，g′（x）=ae x，∵曲线y=f（x），y=g（x）在P（2，t）点处有相同的切线，∴f′（2）=g′（2），即4=ae2，①又P为两曲线的公共点，∴f（2）=g（2），即4+c=ae2，②由①②解得c=0，a=，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣•e x=x2﹣4e x﹣2，则h′（x）=2x﹣4e x﹣2，当x≤0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，又h（﹣1）=1﹣4e﹣3＞0，h（0）=﹣4e﹣2＜0，∴h（x）在（﹣1，0）内有唯一零点，由题意知（k，k+1）=（﹣1，0），∴k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数的零点判定定理．曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题14．下列中，正确的是①②③①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则||=；②已知=（sinθ，），=（1，）其中θ∈（π，）则；③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．考点：的真假判断与应用．专题：综合题；压轴题．分析：①由，求出，在三个向量构成的三角形中，运用余弦定理求；②写出两个向量的数量积，运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论；③把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示，移向整理后得即．由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．解答：解：①如图，因为=（2，0），所以，对应的向量是以和为邻边的平行四边形的对角线，由余弦定理得：=，所以①正确；②由=（sinθ，），=（1，），则==sinθ+|sinθ|，因为θ∈（π，），所以sinθ＜0，所以，所以，所以②正确；③如图，在△ABC中，由（R为三角形ABC外接圆半径），所以，所以+λ（+）=+=，即．所以直线AP一定通过△ABC的内心．所以③正确．故答案为①②③点评：本题考查了的真假的判断与运用，解答此题的关键是判断③，需要掌握的是表示方向上的单位向量，此题是中档题．二、解答题（将解答过程写在答题纸指定区域内）15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解答：解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（4分）（1）∵A∩B=[0，3]∴（6分）∴，∴m=2；（8分）（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}（10分）∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，（12分）∴m＞5，或m＜﹣3．（14分）点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握．16．已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin•cos+cos，为y=2sin，（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．（2）求出g（x）=f的表达式，g（x）=2cos．然后判断出奇偶性即可．解答：解：（1）∵f（x）=sin+cos=2sin，∴f（x）的最小正周期T==4π．当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；当sin=1时，f（x）取得最大值2．（2）g（x）是偶函数．理由如下：由（1）知f（x）=2sin，又g（x）=f，∴g（x）=2sin=2sin=2cos．∵g（﹣x）=2cos=2cos=g（x），∴函数g（x）是偶函数．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．17．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得 m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．18．将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．考点：简单线性规划的应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）设A组的人数为x，则B组人数为52﹣x，可求出A组所用时间t1==，B组所用时间=令t1=t2，可求x，然后代入检验即可（2）先求出1小时后A组余下白杨，根据此时的人数可求还需时间，同理可求B组还需时间，两组所化时间进行比较即可求解植树持续时间解答：解：（1）设A组的人数为x，则B组人数为52﹣xA组所用时间t1==，B组所用时间=令t1=t2，则，解可得x=19.5①当 x=19时，t1=≈3.158，≈3.030＜3.158，总用时 3.158小时②当 x=20时，t1==3，=3.125＞3，总用时 3.125小时总用时 3.125小时＜3.158小时∴应分配 A组 20人，B组32人，总用时最短为小时（2）1小时后，A组已种=50捆，余150﹣50=100捆白杨，此后，A组20﹣6=14人，还需=≈2.857小时B组已种=48捆，余200﹣48=152捆，此后B组32+6=38人还需时间=≈2.687 小时＜2.857小时∴植树持续时间+1=点评：本题主要考查了线性规划知识在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题19．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．考点：等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a n}不是递减数列，求出q值，可得答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故q2==又∵数列{a n}不是递减数列，且等比数列的首项为∴q=﹣∴数列{a n}的通项公式a n=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=故0＜≤=﹣=当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=故0＞≥=﹣=综上，对于n∈N*，总有≤≤故数列{T n}的最大项的值为，最小项的值为点评：本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（2）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可；（3）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．解答：解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=∴①时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为；②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=在（0，+∞）上有且只有一根令h（x）=，则∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增∴a=h（x）min=h（1）=3（3）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（）=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意两式相减可得∴x2=4x1代入上述方程可得此时所以，实数a的取值范围为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，考查数形结合的数学思想，综合性强．。
江苏省泰州市姜堰区2017-2018学年高三下学期期初数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省泰州市姜堰区高三（下）期初数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．设U=R，A={x|x＜1}则∁U A=．2．计算i+i3=（i为虚数单位）．3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．4．如图是一个算法的流程图，最后输出的S=．5．若以连续掷两次骰子得到的点数m，n分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=4上的概率为．6．函数f（x）=2sinx+3cosx的极大值为．7．抛物线y2=4x上任一点到定直线l：x=﹣1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F 的坐标为．8．等差数列{a n}的前n项和记为S n，满足2n=，则数列{a n}的公差d=．9．函数f（x）=e x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，则g（x）=．10．圆C过点A（2，0），B（4，0），直线l过原点O，与圆C交于P，Q两点，则•=．11．已知非零向量，，满足x2++=，x∈R．记△=2﹣4，下列说法正确的是．（只填序号）①若△=0，则x有唯一解；②若△＞0，则x有两解；③若△＜0，则x无解．12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．13．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2015，则i+j= ．14．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．16．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．17．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=5，公差d=﹣1，数列{b n}为等比数列，b2=1，公比为q（q＞0），c n=a n b n，S n为{c n}的前n项和，记S n=c1+c2+..+c n．（Ⅰ）求b1+b2+b3的最小值；（Ⅱ）求S10；（Ⅲ）求出使S n取得最大的n的值．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：•定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．20．已知函数f（x）=lnx．（1）方程f（x+a）=x有且只有一个实数解，求a的值；（2）若函数的极值点x1，x2（x1＜x2）恰好是函数h（x）=f（x）﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．[几何证明选讲]（共1小题，满分0分）21．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．[矩阵与变换]（共1小题，满分0分）22．已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵A的特征值λ1、λ2和对应的一个特征向量、．五、[坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为（t为参数）．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）判断直线l和圆C的位置关系．[不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设x，y，z∈R+，求证：．七、必考题（共2小题，满分0分）25．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F 是PB的中点，E是BC上的动点．（Ⅰ）证明：PE⊥AF；（Ⅱ）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．26．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．设U=R，A={x|x＜1}则∁U A={x|x≥1} ．【考点】补集及其运算．【分析】根据全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵U=R，A={x|x＜1}，∴∁U A={x|x≥1}，故答案为：{x|x≥1}2．计算i+i3=0（i为虚数单位）．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：i+i3=i﹣i=0．故答案为：0．3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10人．【考点】分层抽样方法．【分析】本题是一个分层抽样，根据单位共有职工200人，要取一个容量为25的样本，得到本单位每个职工被抽到的概率，从而知道超过45岁的职工被抽到的概率，得到结果．【解答】解：本题是一个分层抽样，∵单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，∴依题意知抽取超过45岁的职工为．故答案为：10．4．如图是一个算法的流程图，最后输出的S=25．【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出s．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为s=9，a=2，P=9，经过第二次循环得到的结果为s=16，a=3，P=16，经过第三次循环得到的结果为s=21，a=4，P=21，经过第四次循环得到的结果为s=24，a=5，P=21，经过第五次循环得到的结果为s=25，a=6，P=25，经过第六次循环得到的结果为s=24，a=7，此时满足判断框中的条件输出25故答案为25．5．若以连续掷两次骰子得到的点数m，n分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=4上的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，由列举法可得P的情况数目，满足条件的事件是点P在直线x+y=4上，即两个数字之和是4，可以列举出P的情况数目，根据古典概型概率公式得到概率．【解答】解：根据题意，以连续掷两次骰子得到的点数m，n分别作为点P的横、纵坐标，则P的情况有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共36种；点P在直线x+y=4上，即两个数字之和是4，有（1，3）（2，2）（3，1）；共有3种结果，则点P在直线x+y=4上的概率为=；故答案为．6．函数f（x）=2sinx+3cosx的极大值为．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．sin（x+θ）．故答案为：．7．抛物线y2=4x上任一点到定直线l：x=﹣1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F 的坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义，可得定点F为抛物线的焦点，求出抛物线y2=4x的焦点坐标，即可得出结论．【解答】解：由抛物线的定义，可得定点F为抛物线的焦点，∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴定点F的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．8．等差数列{a n}的前n项和记为S n，满足2n=，则数列{a n}的公差d=8．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得S n=4n2﹣n，由此能求出数列{a n}的公差d．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和记为S n，满足2n=，∴S n=4n2﹣n，∴a1=S1=4﹣1=3，a2=S2﹣S1=（4×4﹣2）﹣（4﹣1）=11，∴数列{a n}的公差d=11﹣3=8．故答案为：8．9．函数f（x）=e x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，则g（x）=．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得f（x）=e x =g（x）+h（x）①，其中，g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则有e﹣x =g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）②，由①②求得g（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=e x =g（x）+h（x）①，其中，g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则有e﹣x =g（﹣x）+h（﹣x）=﹣g（x）+h（x）②，把①﹣②可得：g（x）=，故答案为：．10．圆C过点A（2，0），B（4，0），直线l过原点O，与圆C交于P，Q两点，则•= 8．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆看成是圆外一点（原点0）向圆作两条交线．根据割线定理即可得到答案．【解答】解：由题意：圆C过点A（2，0），B（4，0），相当于圆与直线AB相交，∴|OA|=2，|OB|=4直线l过原点O，与圆C交于P，Q两点，即为圆外一点（原点0）向圆作两条割线AB与PQ．∵O，P，Q三点在一条直线上，夹角为0，cos0=，∴•=|OQ|•|OP|，由圆的割线定理知：|OQ|•|OP|=|OA|•|OB|=8，所以：•=8，故答案为：8．11．已知非零向量，，满足x2++=，x∈R．记△=2﹣4，下列说法正确的是③．（只填序号）①若△=0，则x有唯一解；②若△＞0，则x有两解；③若△＜0，则x无解．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用向量，表示向量，代入计算△=2﹣4，讨论△=0、△＞0和△＜0时x解的情况，从而判断出正确的．【解答】解：∵非零向量，，满足x2++=，x∈R，∴=﹣x2﹣，∴△=2﹣4=+4（x2+）=+4x2+4•；当△=0时， +4x2+4•=0∴x2=﹣，+4•＞0时x无解，+4•＜0时x有2解，+4•=0时x有1解，故①错误；当△＞0时， +4x2+4•＞0∴x2＞﹣，x有无数解，故②错误；当△＜0时， +4x2+4•＜0∴x2＜﹣，x无解，故③正确．综上，正确的是③．故答案为：③．12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论．【解答】解：由f（x+4）=f（x），得函数的周期是4，则f（）=f（8﹣）=f（﹣），∵f（x）是奇函数，∴，f（﹣）=﹣f（）=﹣×=﹣，f（）=f（8﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣sin=sin，则f（）+f（）=﹣=，故答案为：．13．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2015，则i+j=110 ．【考点】归纳推理．【分析】通过观察给出的三角形数表，找到如下规律，奇数行都是奇数，偶数行都是偶数，且每一行的数的个数就是行数，然后根据2015是第1008个奇数，利用等差数列的前n项和公式分析出它所在的行数，再利用等差数列的通项公式求其所在的列数，则i与j的和可求．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数，2015=2×1008﹣1，所以2015为第1008个奇数，又每一行中奇数的个数就是行数，又前31个奇数行内奇数的个数的和为31×=961，即第31个奇数行的最后一个奇数是961×2﹣1=1921，前32个奇数行内奇数的个数的和为32×1+=1024，故2015在第32个奇数行内，所以i=63，因为第63行的第一个数为1923，则2015=1923+2（m﹣1），所以m=47，即j=47，所以i+j=63+47=110．故答案为：110．14．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴，即，又AB=1，，∠BAD=60°，∴，∴=λ2+3μ2+，∴=≤，∴≤1，∴的最大值为1，当且仅当，取等号．故答案为：1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面EO．（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面DEF．16．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]17．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=5，公差d=﹣1，数列{b n}为等比数列，b2=1，公比为q（q＞0），c n=a n b n，S n为{c n}的前n项和，记S n=c1+c2+..+c n．（Ⅰ）求b1+b2+b3的最小值；（Ⅱ）求S10；（Ⅲ）求出使S n取得最大的n的值．【考点】数列的求和．【分析】（I）b1+b2+b3=q﹣1+1+q，（q＞0），利用基本不等式的性质即可得出最小值．（II）由题意知：，可得，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．（III）令，解得n即可得出．【解答】解：（I）b1+b2+b3=q﹣1+1+q≥2+1=3，（q＞0），∴最小值为3．（II）由题意知：，∴，，，∴，当q=1 时，S10=5．当q≠1 时，（1﹣q）S10=，．（III）令，解得：n≤6，∴n取5或6时，S n最大．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．19．在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：•定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且A到右准线的距离为6，列方程求解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程；（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），求出直线AP的方程得到M点的坐标，再求出，同理可得，进一步求出•=4+，结合点P在椭圆C上，故，即可证得结论；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0，求出P点的坐标，由k1•k2=﹣1即可求出Q点的坐标，然后分类讨论即可得结论．【解答】（1）解：由题意，且，解得a=2，c=1．∴b=．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），∴直线AP的方程为y=（x+2），得M（0，），∴=（2，）．同理可得N（0，），=（2，），∴•=4+．又点P在椭圆C上，故，即，∴•=4+=1（定值）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0．∴﹣2+x1=，x1=，y1=，∴P（，）．∵k1•k2=﹣1，∴Q（，）．当时，点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为x=﹣，由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为﹣．当时，，直线PQ的方程为y﹣=（x﹣），令x=﹣得：=0．∴直线PQ过定点R（﹣，0）．20．已知函数f（x）=lnx．（1）方程f（x+a）=x有且只有一个实数解，求a的值；（2）若函数的极值点x1，x2（x1＜x2）恰好是函数h（x）=f（x）﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）设切点为（x0，y0），求出函数y=f（x+a）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；（2）求出g（x）和h（x）的导数，运用韦达定理和函数的零点的定义，化简整理，构造函数，运用导数判断单调性，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）由题意得，函数y=f（x+a）=ln（x+a）与直线y=x相切，设切点为（x0，y0），，∴，∴x0+a=1又有x0=ln（x0+a）∴x0=0，a=1；（2），h（x）=lnx﹣cx2﹣bx由已知的两根为x1，x2，当时方程x2﹣mx+1=0的△＞0，则x1+x2=m，x1x2=1，又由x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点可得，两式相减，可解得①而=（x1﹣x2）[代入①式可得y===，令（0＜t＜1），由x1+x2=m，x1x2=1可得，则，设函数，而，则y=G（t）在单调递减，所以，即的最小值为．[几何证明选讲]（共1小题，满分0分）21．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆[矩阵与变换]（共1小题，满分0分）22．已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵A的特征值λ1、λ2和对应的一个特征向量、．【考点】逆变换与逆矩阵；特征值与特征向量的计算．【分析】（1）通过变换可得→，即得结论；（2）令其特征多项式f（λ）为0，即可求得特征值，再分别在f（λ）=0代入特征值即可求得分别对应的特征向量．【解答】解：（1）∵→→→，∴A﹣1=；（2）∵A=，∴f （λ）==λ2﹣5λ+6=（λ﹣2）（λ﹣3）=0，解得λ1=2，λ2=3，设=，=，∵=2，∴，即=，∵∵=3，∴，即=．五、[坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分） 23．已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为（t 为参数）．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（1）消去参数t 得到直线l 的直角坐标方程，再利用ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，将圆的极坐标方程化成圆的直角坐标方程；（2）利用圆心C 到直线l 的距离d 与半径r 进行比较，即可判定直线l 和⊙C 的位置关系．【解答】解：（1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y=2x ﹣3；，即ρ=2（sin θ+cos θ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsin θ+ρcos θ）， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2（2）圆心C 到直线l 的距离，所以直线l 和⊙C 相交．[不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设x ，y ，z ∈R +，求证：．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】由基本不等式可得①，②，③，把①②③相加可得即可证得结论．【解答】证明：∵x，y，z∈R+，∴由基本不等式可得①，②，③．把①②③相加可得≥2x+2y+2z，∴成立．七、必考题（共2小题，满分0分）25．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F 是PB的中点，E是BC上的动点．（Ⅰ）证明：PE⊥AF；（Ⅱ）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE，AF的坐标，得到其数量积为0即可证明结论．（Ⅱ）先根据条件求出D的坐标以及，的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系．设AP=AB=2，BE=a则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）于是，，，则，所以AF⊥PE．…（Ⅱ）若，则，，=（2，2，﹣2），设平面PDE的法向量为=（x，y，z），由，得：，令x=1，则，于是，而设直线AP与平面PDE所成角为θ，则sinθ==．∴直线AP与平面PDE所成角为60°．26．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．2016年10月25日。
【江苏省】2017年高考模拟应用题大全数学试卷(四)(附答案与解析)
江苏省2017年高考模拟应用题大全数学试卷（四）1．（江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．2．（江苏省徐州市2017届高三数学（理）信息卷）如图是一块地皮OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OA =km，AB =，π4OAB ∠=．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a =km ， 矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2．（1）求()f a ，并写出定义域；（2）当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？3．（江苏省盐城市2017届高三第三次模拟考试数学（理）试卷）一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD 是等腰梯形，20AB =米，CBF α∠=（F 在AB 的延长线上，α为锐角）．圆E 与,AD BC 都相切，且其半径长为10080sin α-米．EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？A B C D 第3题图FO B（第17题）A C FOE4．（江苏省盐城中学2017届高三第三次模拟考试（最后一卷）数学试卷）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40,16,AB BC O ==为AB 上一点，且8,BO =线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置（M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值． 5．（江苏省扬州市2017届高三考前调研测试数学试题）如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A 、E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B 、D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离6H =米，圆弧的弓高1h =米，圆弧所对的弦长10BD =米． （1）求弧BCD 所在圆的半径；（2）求桥底AE 的长．6．（7+9=16分）如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P OAC -和Q OBD -是边长分别为a 和()mm a是常数的两个正四面体，底面中AB 与CD 交于点O试求（1）当aBC 上建一座塔维修站E ，该站E 建在何处使得到两塔交点O 最短距离是多少？（2）当a 为多少时，塔尖,P Q 之间的距离最短，最短距离多少？7．如图，在半径为R 的半圆形铁皮截取一块五边形图形ABCDE ，其中ABCD 为矩形和CDE ∆等腰三角形（DE EC =），其中O 为圆心，A 、B 在圆的直径上，C 、D 、E 在圆周上，并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体和圆锥体的罐子的侧面（不计裁剪和拼接损耗）．（1）设BOC θ∠=，当θ为何值时，截取圆柱体和圆锥体的侧面积()S θ为最大？ （2）设BC x =，当x 为何值时，截取圆柱体和圆锥体的体积()V x 为最大？OBC第4题E8．（江苏省如东高级中学、前黄高级中学、栟茶高级中学、马塘中学四校2017届高三12月联考数学试题）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设2AB x =，BC y =．（1）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； （2）求当x 取何值时，凹槽的强度最大．9．（2017年上海模拟）某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n 天()*130,n n ≤≤∈N 的日销售量为()f n （单位:台），函数()f n 图像中的点分别在两条直线上，如图所示该两条直线交点的横坐标为()*m m ∈N ，已知1n m ≤≤时，函数()32f n n =-． （1）当30m n ≤≤时，求函数()f n 的解析式；（2）求m 的值及该店前m 天销售该型号空调的销售总量；（3）按照经验判断当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时才可被认为开始旺销？10．（江苏省张家港暨阳高级中学2016-2017学年第一学期高三年级12月自主学习能力测试）某城市A 计第n 天3016m 314068划每天从蔬菜基地B 处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD 的C 处（不在端点A 、D 处）做一条道路CB ，主干道AD 的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B 在城市A 的东偏北60︒处，AB 长为60千米，设BCD θ∠=，运输汽车在主干道AD 上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．⑴求运输汽车从城市A 到蔬菜基地B 处所用的时间t 关于θ的函数关系式()t θ，并指出其定义域； ⑵求运输汽车从城市A 到蔬菜基地B 处所用的时间t 的最小11．【2017福建4月质检】某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等． （1）求第n 年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）12．（2017上海模拟）如图，欲在一四边形花坛ABCD 内挖一个等腰三角形的水池()AQR AQ AR =，已知四边形ABCD 中，ABD △是等腰直角三角形，AB AD ==BCD △是等腰三角形，CB CD =，角C 的大小为24arctan7，要求AQR △的三个顶点在花坛的边缘上，设水池底边QR 到点A 的距离为h 米，水池的面积为S 平方米．（1）试将S 表示成关于h 的函数；（2）当h 为多少米时，S 能取到最大值？求出最大值.13．（江苏省启东中学2017届高三上学期第一次月考数学（理）试卷）如图，某城市设立以城中心O 为圆心、r 公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O 正东方向上一条高速公路PB 、西南方向上有一条一级公路QC ，现要在保护区边缘PQ 弧上选择一点A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆O 相切直道BC ．已知通往一级公路道路AC 每公里造价为a 万元，通往高速公路的道路AB 每公里造价为2m a 万元，其中,,a r m 为常数，设POA θ∠=，总造价为y 万元． （1）把y 表示成θ的函数()y f θ=，并求出定义域；（2）当2m =时，如何确定A 点的位置才能14．（江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元． （1）试将W 表示为θ的函数()W θ，并写出cos θ的取值范围； （2）如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．第14题图江苏省2017年高考模拟应用题大全数学试卷（四）答 案1、解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米， 所以10OA OB AB ===，则3AOB ∠=π，所以103AB π=， …………2分所以广场的面积为2211050π(π1010)10100233⋅⋅+=+-（2m ）…………6分（2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=， 则2220sin AD DG OK α===，…………8分由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥，…………12分所以1)OD ≥，当且仅当22.5α=时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：（1）广场的面积为501003π+-（2）4条小路的总长度的最小值为 …………14分2、（1）以O 为原点，OA 边所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 过点B 作BG OA ⊥于点G ，在直角ABC △中，AB π4OAB ∠=， 所以1AG BG ==，又因为2OA =， 所以1OG =，则(1,1)B ，设抛物线OCB 的标准方程为22y px =，代入点B 的坐标，得12p =， 所以抛物线的方程为2y x =．…………4分因为CD a =，所以AE EF a ==，则22DE a a =--， 所以2()(2)f a a a a =--322a a a =--+，定义域为(0,1)． …………8分（2）2'()322f a a a =--+，令'()0f a =，得a =．…………10分当0a <<时，'()0f a >，()f a 在上单调增；1a <<时，'()0f a <，()f a 在上单调减．所以当a =时，()f a 取得极大值，也是最大值． …………12分答：（1）32()2f a a a a =--+，定义域为(0,1)； （2）当a =时，矩形草坪CDEF 的面积最大．…………14分3、解：方法一：如图所示，以AB 所在直线为x 轴， 以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系． 因为(10,0)B ，tan BC k α=，所以直线BC 的方程为tan (10)y x α=⋅-， 即tan 10tan 0x y αα--=．…………4分设圆心(0,)(0)E t t >，由圆E 与直线BC 相切，得10tan 10080sin 1cos t ααα+-==， 所以10090sin cos EO t αα-==．…………8分令10090sin ()cos f ααα-=，(0,)2πα∈，则29100(sin )10'()cos f ααα-=， …………10分设09sin 10α=，0(0,)πα∈．列表如下： 所以当0αα=，即9sin 10α=时，()f α取最小值． …………13分 答：当9sin 10α=时，立柱EO 最矮．…………14分方法二：如图所示，延长,EO CB 交于点G ， 过点E 作EH BC ⊥于H ， 则10080sin EH R α==-，HEG OBG CBF α∠=∠=∠=．在Rt EHG △中，10080sin cos cos R EG ααα-== …………4分 在Rt OBG △中，tan 10tan OG OB αα==．…………6分 所以10090sin cos EO EG OG αα-=-=．…………8分（以下同方法一）O · A BC DE第3题图 αFG H4、解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则(8,16),(8,0),(4,4)C B P -，∴:2OC y x =1:2OD y x =-∴OC OD ⊥设(2,),(,2),(0,0)M m m N n n m n ->>∵P 为MN 的中点 ∴2828m n m n -+=-⎧⎨+=⎩∴24585m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时4824(,),55M d -=． …………7分（建系2分）（2）∵PM PN k k =∴424244m n m n --=-++ ∴4125m n mn +=∵OC OD ⊥∴1522OMN S OM ON mn =⋅=△∵4125m n mn +=≥2435m n ==时取等号， ∴19225mn ≥ ∴59625OMN S mn ∆=≥，此时d =答：（1）当d =时，P 为队列MN 的中点； （2）当点M满足d =时，观赏效果最好． …………16分（答1分）5、（1）设弧BCD 所在圆的半径为0r r >（），由题意得222=5(1)r r +-，13.r ∴= 即弧BCD 所在圆的半径为13米．…………4分（2）以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系．6H =米，10BD =米，弓高1h =米，(5,5)B ∴-，(5,5)D ，(0,6)C ，设BCD 所在圆的方程为222()(0)x y b r r +-=>则22222(6)5(5)b r b r ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩713b r =-⎧∴⎨=⎩ OBC第4题∴弧BCD 的方程为22(7)169(56)x y y ++=≤≤ …………6分 设曲线AB 所在抛物线的方程为：2()y a x m =-， …………8分 点(5,5)B -在曲线AB 上25(5)a m ∴=+①…………10分又弧BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且弧BCD 在点B 处的切线的斜率为512， 由2()y a x m =-得2()y a x m '=-，52(5)12a m ∴--=， 52(5)12a m ∴+=-②…………12分由①②得29m =-，(29,0)A ∴-，(29,0)E ∴桥底AE 的长为58米…………13分答：（1）弧BCD 所在圆的半径为13米； （2）桥底AE 的长58米．（答和单位各1分） …………14分6、解（1）设底面BC 的最短距离为h11sin 6022OBC m S OC OB a a =⨯⨯⨯︒=⨯=△ 2222cos120BC OC OB OC OB =+-⨯⨯⨯︒221(22=++BC =1OBC S h BC =⨯⨯=△h假设维修站为E 点，CE == （2）过点P 作底面OAC 的垂线交底面OAC 于点1O ， 过点P 作底面OBD 的垂线交底面OBD 于点2O 连接12O O ，则1O 、2O 、O 三点共线，且12//PO QO 则四边形12PO O Q 是直角梯形在1Rt OPO ∆中，OP a =，123OO ==，则1PO =同理得：22OO QO ==法一则222221221())PO O O QO PO =+-=+PQ =≥，（222m a a =，当a = 则当a =,P Q 之间的距离最短法二 记12POO QOO θ∠=∠=，则1cos OO OP θ==，π2POQ θ∠=- 则，21cos(π2)cos211cos 3θθθ-=--=-=在POQ △中，PO a =，m QO a=由余弦定理得，2222cos PQ PO QO PO QO POQ =+-⨯⨯∠22222222cos(2)3m m m a a a m a a a πθ=+-⨯⨯-=+-PQ =PQ =≥，（222m a a =，当a =则当a =,P Q 之间的距离最短 7、（1）连接OE ，可得OE R =，cos OB R θ=，sin BC R θ=，π(0,)2θ∈所以，截取圆柱体和圆锥体的侧面积2()2(sin cos cos )OBCES S R θθθθ==+梯形面积，π(0,)2θ∈2'()(2sin 1)(sin 1)S R θθθ=--+令'()0S θ=，∴sin 10θ+=（舍去）或者1sin 2θ=∵π(0,)2θ∈，π(0,)6θ∈，'()0S θ>，ππ(,)62θ∈，'()0S θ<所以当π6θ=时，()S θ截取的圆柱体和圆锥体的侧面积最大（2）连接BO ，BO =(0,)x R ∈，2AB BO =设圆柱体和圆锥体的底面半径为r ，22r AB BO π===r =截取圆柱体和圆锥体的体积221()ππ()3V x r x r R x =+-222232232211()ππ()(22)π3π3πR x R x V x x R x x x R R x R --=+-=--++ 221'()(622)3πV x x Rx R =--+令'()0V x =，2230x Rx R +-=∴x =x =∵(0,)x R ∈，x ∈，'()0V x >，)x R ∈，'()0V x <所以当x =截取圆柱体和圆锥体的体积最大 8、【解】（Ⅰ）易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为x π． 所以422πx y x =++， 得()42π2xy -+=…………2分依题意知：0x y << 得404πx <<+ 所以，()42π2xy -+=（404πx <<+）． …………6分（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有2122π2T AB S x xy x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()23843πx x =-+()216343π0T x x '=-+=，0x =，169π12x =+…………9分因为16409π12π4<<++， 所以，当1609π12x <<+时，0T '>，当1649π124πx <<++时，0T '<， 所以当169π12x =+，凹槽的强度最大．…………13分 答：所以当169π12x =+，凹槽的强度最大．…………14分9、（1）当30m n ≤≤时，设()f n an b =+，由图可知()()16403068f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则有16403068a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩，所以当30m n ≤≤()*n N ∈时，()28f n n =+．（2）由题意()()2832f m m f m m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得8m =，由题意得()()()12...8220f f f +++=，所以该店前8天，此型号的空调的销售总量为220台． （3）由题意得()()()922085702f f n n ++⋅-≥，即294860n n +-≥，得18n ≥．因为当30m n ≤≤()*n N ∈时，函数()28f n n =+单调增加，所以该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销． 10、解：⑴在ABC △中，πsin(π)sin 3AB BCθ=-，则602sin sin BC θθ==，…………2分又πsin(π)sin()3AC AB θθ=--，则π60sin()3sin AC θθ-=， …………4分所以，运输汽车从城市A 到蔬菜基地B 处所用的时间()tθπ60sin()3sin sin 60206020AC BC θθθ-=+=+πsin()3sin θθ-=+=12=， 其定义域为{|60120}θθ︒︒<<．…………6分⑵2(3cos )sin (3cos )(sin )()sin t θθθθθθ''---'=213cos sin θθ-=，…………9分令()0t θ'=，则1cos 3θ=，当1cos 3θ>时，()0t θ'>；当1cos 3θ<时，()0t θ'<， …………12分所以，当1cos 3θ=时，因为60120θ︒︒≤≤，所以sin θ=时，()t θ取得最小值，此时，最小值为12．答：运输汽车从城市A 到蔬菜基地B 处所用的时间t的最小值为12． …………14分11、【答案】（1）111000(),16220,7n n n a n -⎧⨯≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，8040,16440,7n n n b n -≤≤⎧=⎨≥⎩；（2）由（1）可知当16n ≤≤时，总利润()211000124080401200040200012212n nn n n S n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡+-⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=⨯+- ⎪⎝⎭-，所以，1120008040,22nn n S S n n -⎛⎫-=-⨯+-≥ ⎪⎝⎭，因为()1200080402xf x x ⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭为增函数，(3)0f <，(4)0f >，所以，当23n ≤≤时，1n n S S ->；当46n ≤≤时，1n n S S -<， 又因为160,528.750S S <=-<，所以，当16n ≤≤时，0n S <，即前6年未盈利， 当7n ≥时，()()()()67788528.754206nn n S S b a b a b a n =+-+-++-=-+-，令0n S >，得8n ≥．综上，预计该公司从第8年起开始盈利． 12、解：（1）BC 与圆O 相切于A ，OA BC ∴⊥，在ABC △中，tan AB r θ=…………2分 同理，可得3πtan()4AC r θ=-…………4分223πtan tan()4y m aAB aAC m ar ar θθ∴=+=+- 23πππ[tan tan()],(,)442y ar m θθθ∴=+-∈…………6分（2）由（1）得223π1tan [tan tan()]ar[m tan ]41tan y ar m θθθθθ--=+-=+- 222[m (tan 1)m 1]tan 1ar θθ=-+++-…………9分 ππ(,),tan 1042θθ∈∴->∴22m (tan 1)tan 1θθ-+≥-…………12分当且仅当tan1θ=时取等号，又m =πtan 3θθ==即A 点在O 东偏南π3的方向上，总造价最低． …………14分13解（1）6BD =米，243tan tan 724C C =⇒=，所以(0,14)h ∈ 当(0,6]h ∈时，2QR h =，2S h = 当[6,14)h ∈时，8(6)812h QR --=，4232h QR -= 所以22,(0,6]321,[6,14)42h h S h h h ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩（2）当(0,6]h ∈时，面积最大值为36平方米；当[6,14)h ∈时，23147(7)44S h =--+，所以7h =当时，水池面积最大为1474平方米14、解：（1）过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G ． 在Rt BNF △中，16cos BF θ=，则2016cos MG θ=-在Rt MNG △中，2016cos sin MN θθ-=，…………4分由题意易得π16()2CN θ=-．…………6分 因此，2016cos π()216(),sin 2W a a θθθθ-=⋅+-…………7分4cos (0,)5θ∈…………9分（2）2245cos (2cos 1)(cos 2)()168=8sin sin W a a aθθθθθθ---=-+， 令()=0W θ，，1cos 2θ=，因为1π(,)2θ，所以π3θ=，…………12分设锐角1θ满足14cos 5θ=，1π(0,)3θ∈当1π(,)3θθ∈时，()<0W θ，，()W θ单调递减；当ππ(,)32θ∈时，()>0W θ，，()W θ单调递增． (14)分所以当π3θ=，总造价W最小，最小值为8π)3a +，此时MN=NG =。
江苏省2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：模块综合评价 Word版含解析
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z) 解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案：C2．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R ，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π4对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：将x ＝1＋t2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 所以t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，所以x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1 解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A ．2 B.2 C ．5 D. 5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为⎝⎛⎭⎫0，2，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是 5.答案：D7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意易知圆的圆心M (1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|32＋42＝2.答案：B8．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6解析：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，4π3. 答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)化为普通方程为y 24－x 2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝a 2t －1(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎨⎧at ＝1＋cos θ，a 2t －1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a 2t －1)2＝4， 即a 2(a 2＋4)t 2－2a (a ＋4)t ＋1＝0， Δ＝4a 2(a ＋4)2－4a 2(a 2＋4)＝16a 2(2a ＋3)． 直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0， 即a ≥－32.答案：C11．已知圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF 2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3B ．ρcos θ－3ρsin θ＝ 3 C.3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3 D.3ρcos θ－ρsin θ＝ 3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F 2的坐标为(1，0)，直线AF 2的直角坐标方程是x ＋y3＝1，即3x ＋y ＝3，化为极坐标方程就是3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3. 答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0， 即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－2×3＋1|12＋（－2）2＝5，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2r 2－d 2＝ 29－5＝4.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 14．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝π4时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y ＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝322＋32π8，y ＝322－32π8，所以当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.答案：32＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a >b >0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －3＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝3，所以c ＝3，b ＝1，所以a 2＝3＋1＝4，所以a ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎨⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0， 由l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22， ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎨⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，得ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，π2. 19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t 得x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0，所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的距离为d ， 由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0， 曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－3×0－2|1＋（3）2＝12. 所以|AB |＝2 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 因此|AB |的值为 3.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2， 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1.因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB 面积的最大值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4. (2)直线l 的普通方程为22x －y －1＝0， 圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝223， 所以|AB |＝22－89＝2103， 点P 到直线AB 距离的最大值为2＋223＝523，故最大面积S max ＝12×2103×523＝1059. 22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 ⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。
江苏省泰州市第二中学高三数学第四次模拟考试试题(无答案)
2015-2016学年度第二学期第四次模拟考试高三数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题纸相应的位置上. 1.设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}U A =--=-，则=A C U .2.复数z 满足1(1i)i z -=-，则复数z 的模z = .3.在区间[1,3]-上随机地取一个数x ，则1x ≤的概率为 .4.棱长均为2的正四棱锥的体积为 .5.一组数据,1,,3,2a b 的平均数是1，方差为2，则22a b += . 6．如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值 为 ．7．用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为 ．8．不等式组100y a x y x y x +⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤，，，≥≥表示的平面区域的面积为2，则实数a 的值为 ．9．已知函数)06πsin(2)(>+=ωωx x f ，函数)(x f 的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则)(x f 的单调递增区间是 ．10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3，AD =2，E 为BC 中点，若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ．11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,)B b ，右焦点为F ，直线BF 与椭圆的另一交点为M ，且2BF FM =，则该椭圆的离心率为 .12．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的个数是 ． ①若α⊥β，l ⊥β，则l 不一定平行α； ②若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ④若l 与α，β所成角相等，则α∥β．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }满足a n ＋2－a n ＝d (d 为常数，且d ≠0，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，且a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4成等差数列，则S 20等于 .14．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a 、b 、c ，已知5sin 13B =，且12BA BC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值．中，1CC ⊥底面ABC ，1==2AB AC AA =，1[来源:]17（本小题满分14分）某房产公司计划投入2160万元购买一块土地建一个小区，计划建造10幢楼房，每幢楼房的楼层数相同，且每层建筑面积均为2000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼层楼房每平方米的建筑费用为（kx+560）元（其中k 为常数）。
江苏省泰州中学2017-2018学年高二上学期开学摸底考试数学试题扫描版含答案
1江苏省泰州中学高二年级数学期初检测班级 _________ 学号 ____________ 姓名 ______________一、填空题：（本大题共14小题，每小题6分，共70分.请榜答案填入答题纸填空题的相应答題线上・）2. 己知全集U 二R,集合力二{X |F-X —6S O}, ^ = {x| —>0}>那么集合 xA c (C a B) =▲ •3.用■卍将0.2^,2.2-2\log 022J 从小到大排列是一 ▲x + 2y224. 设变».x f y 满足约束条件2x+yS4 ,则目标函数z^3x-y 的取值范围迪 ▲5. 若sina = *,a w (-彳冷)，则cos(a + ^) = 6•设：与S 是两个不共线向熱 且向量：+力与共线，则2= A 7•若m,n,/是互不重合的直线，是至不垂合的平面，给出卜列命题^① 若a 丄卩、acp = m 、m 丄“则”丄a 或wl/?； ② 若all 卩、ar\Y = m 、卩= 则加〃力$八习灸③ 若加不垂直于Q,则加不可能垂直于a 内的无数条直线； ④ 若acXm 、mlln 、nua,n （z 卩.则n ：/a 且力〃0$⑤ 若acXm"cy = n 、acy = /且a 丄久a 丄儿0丄八则加丄久加丄l.nll. 其中正确的命题是 ▲.（填序号）8•已知尊比数列0｝中，各项都是止数.且4丄久2$成轄泊毁=▲ .2 兔十吗9.已知耳线x-y + a = 0打9!心为C 的圆x 2+/+2x-4^-4 = 0相交丁 A,B 两点，且 *。
丄BC •则实数a 的值为▲・10・设'ABC 的内角A.B.C 所对的边分别为a ,b 9c 9若三边的长为连续的三个正整数，且 A>B>C, 3b =的定义域为1 •函数 /(x) =20acos%,则sin^:sinB:sinC为▲・11-设^G/?,C€[0,2^),若对任意实数x都有2sin(3x-y) = asin(^+c).则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为▲.12. 设为实数，若4x2+/+rv = l,则2x+y的最大值_ ▲.13. 己知因数/(x) = sinx。
2017届高三数学四模考试(姜堰二中暂定稿)(1)
2017届高三年级第四次模拟考试数 学命题：高三数学组（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1. 设集合}3,0,1{-=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A∩B= ▲ ． 2. 复数2(2)(32)Z a a a a i =-+-+的对应点在虚轴上，则实数a 的值是 ▲ ． 3. 某学校选修篮球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名．现用分层抽样的方 法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的 学生中应抽取的人数为 ▲ ． 4．执行如图程序： S ← 1For I From 1 to 10 Step 3 S ←S+S ×IEnd For Print S输出的结果S 是 ▲ ．5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为34y x =，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．6. 现有5张分别标有数字-2,-1,0,1,2的卡片，它们的大小和颜色完全相同，从中随机抽取2张， 则所取卡片上的数字之和为0的概率为 ▲ ．7. 若一圆锥的底面半径为4，体积是16π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．8. 直线l 过点(－1,0)，且与直线2x ＋y －1＝0平行，直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于M 、N 两点，则MN ＝ ▲ ． 9. 三角形的面积()12S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为其边长，r 为内切圆半径，四面体的四 个面的面积分别为1234,,,S S S S ，r 为其内切球的半径，可利用类比得出四面体的体积为 ▲ ．10.函数sin (sin cos )([0,])2y παααα=+∈的最大值为 ▲ ．11.设是正项数列，其前项和满足,则= ▲ ．{}n a n n S 4(1)(3)n n n S a a =-+n a12.OA 、OB 的夹角为θ2=1=，OB t OQ OA t OP )1(,-==，)(t f =， )(t f 在0t t =时取得最小值，若5100<<t ，则θ的取值范围是 ▲ ． 13.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧++-=-,4415)(2|1|x x x f x 00<≥x x若关于x 的方程0)()12()(22=++-m x f m x f ，有7个不同的实数解，则m = ▲ ．14.若对任意的正数x 、y ,不等式xy y x m y mxy x ≥++++))(2()(222恒成立, 则正实数m 的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．．．．，14BC CC ==,D 是11A C 中点. （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ； （Ⅱ）求点B 到平面1B CD 的距离.16．（本小题满分14分）设的三个内角所对的边分别为．已知． （Ⅰ）求角Ａ的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围.ABC ∆C B A ,,c b a ,,A A cos 6sin =⎪⎭⎫⎝⎛-π2=a c b + AB1AC1C D 1B17．（本小题满分14分）溱湖风景区在升级改造时，欲建造两条圆形观景道路21,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知600,===⊥AD AC AB AC AB 米，且圆1M 与AD AB ,分别相切于D B ,，圆2M 与AD AC ,分别相切于D C ,.（1）若ο60=∠BAD ，求圆21,M M 的半径；（2）若观景道路21,M M 的造价分别为8.0万元每米 与9.0万元每米.记θ2=∠CAD ，建造总费用为y （万元）. ①将y 表示成关于θ的函数，并写出其定义域；②当圆21,M M 的半径分别为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，左顶点A(-4,0)，过A 作斜率为k （k≠ 0）的直线l ，分别交椭圆和圆222a y x =+于相异两点D 、E ，P 为AD 中点，交y 轴于H 。
高考专题高三数学四模II卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学附加题 2016.5注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点DAC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.A B D E OC ·C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数4 8 16 20 26 （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=_______．2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为_______．3．“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是_______．4．执行如图程序：输出的结果S是_______．5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为_______．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为_______．7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=_______．8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于_______．9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值_______．10．已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是_______．11．设点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2（S1﹣S2）=S3，则双曲线的离心率为_______．12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为_______．13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为_______．14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为_______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．16．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．（1）求d的最大值；（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．20．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{P n}，称{P n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{P n}为1，3，2．（1）求证：有穷数列{a n}的序数列{P n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a n}为单调数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}，{c n}的通项公式分别是b n=n•（）n（n∈N*），c n=﹣n2+tn（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；}的序数列单调减，（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，|d n+1﹣d n|=（）n（n∈N*），且{d2n﹣1{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的函数解析式．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（1）求m的值；（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．解答题25．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了20014周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．26．在数列|a n|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a n+1（a n+t n﹣1）=a n（t n+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|a n|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：a n+1＞a n，（n∈N+）．2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B={x|﹣1≤x≤3} ．【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2+i，则复数|z|==．故答案为：．3．“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是∀x≥0，x（x+3）＜0．【考点】的否定．【分析】根据“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称，其否定为全称，即∀x≥0，使x（x+3）＜0，从而得到答案．【解答】解：∵“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称∴否定为∀x≥0，x（x+3）＜0，故答案为：∀x≥0，x（x+3）＜04．执行如图程序：输出的结果S是880．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=10时，结束循环，从而得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得S=1，I=1，执行循环体，S=2，I=4，执行循环体，S=10I=7，执行循环体，S=80I=10，执行循环体，S=880输出S的值为880．故答案为：880．5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件|x|+y≤0的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图所示，满足条件|x|+y≤0”的区域为图中扇形的面积即阴影部分的面积，∵|x|+y≤0，∴扇形的圆心角为90°，∵R=2，=×4π=π，圆的面积为4π，∴S阴影故|x|+y≤0的概率为=，故答案为：6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由降幂公式和三角恒等变换公式化简f（x），由正三角形知道高和底，由此知道周期，得到ω．【解答】解：∵f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），∵△ABC为正三角形，∴△ABC的高为2，BC=4，∴周期T=8，∵T==8∴ω=．8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，只需求出A，B在图中的位置，∠AOB最大，即tan ∠AOB最大即可．【解答】解：作出可行域，则A、B在图中所示的位置时，∠AOB最大，即tan∠AOB最大，由题意可得A（1，2），B（2，1）∴K OA=tan∠AOM=2，K OB=tan∠BOM=∵∠AOB=∠AOM﹣∠BOM，∴tan∠AOB=tan（∠AOM﹣∠BOM）===，所以tan∠AOB的最大值为，故答案为：．9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值．【考点】基本不等式．【分析】由条件可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：x≥0，y＞0，x+y≤2，可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++≥5+2=9，可得+≥=≥当且仅当2（2x +y ）=x +2y ，即x=0，y=2时，取得最小值．故答案为：．10．已知sin （+α）+sin α=，则sin （α+）的值是 ﹣ ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，求得sin （α+）的值，再利用诱导公式求得sin （α+）=﹣sin （α+）的值．【解答】解：∵sin （+α）+sin α=cos α+sin α+sin α=（cos α+sin α）=sin （α+）=，∴sin （α+）=，故sin （α+）=﹣sin （α+）=﹣，故答案为：﹣．11．设点P 为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）上一点，F 1，F 2分别是左右焦点，I 是△PF 1F 2的内心，若△IPF 1，△IPF 2，△IF 1F 2的面积S 1，S 2，S 3满足2（S 1﹣S 2）=S 3，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题意作出示意图，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式2（S 1﹣S 2）=S 3，化简可得|PF 1|﹣|PF 2|=|F 1F 2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．【解答】解：如图，设圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2、PF 1、 PF 2分别相切于点E 、F 、G ，连接IE 、IF 、IG ， 则IE ⊥F 1F 2，IF ⊥PF 1，IG ⊥PF 2，它们分别是△IF 1F 2，△IPF 1，△IPF 2的高，∴S 1=|PF 1|•|IF |=|PF 1|r ， S 2=|PF 2|•|IG |=|PF 2|r ，S3=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵S1﹣S2=S3，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，两边约去得：|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c⇒离心率为e==2．故答案为：2．12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2+4=0，从而记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，从而可得=cosA，从而解得．【解答】解：∵+2+3=，∴++2+2=，取AC，BC的中点分别为E，F；∴2+4=0，记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，故=cosA，即=2cosA，解得cosA=或cosA=﹣（舍去），故A=，故答案为：．14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为301．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意和等差数列的通项公式得a1+53d=4028，由d为正整数得a1是53的倍数，由等比中项的性质列出式子：a542=a1a k=4×4×19×19×53×53，对a1分类讨论，分别化简后结合题意可得结论．【解答】解：由题意得a54=4028，则a1+53d=4028，化简得+d=76，∵d为正整数，∴a1是53的倍数，∵a1，a54，a k成等比数列，∴a542=a1a k=4×4×19×19×53×53，且a n是整数，（1）若a1=53，53+53d=4028，解得d=75，此时a k=4×4×19×19×53=53+75（k﹣1），得k=4081，成立，（2）若a1=2×53，106+53d=4028，解得d=74，此时a k=2×4×19×19×53=2×53+74（k﹣1），得k=2886，成立，（3）若a1=3×53，159+53d=4028，解得d=73，此时a k=（4×4×19×19×53）不是整数，舍去，（3）若a1=4×53，212+53d=4028，解得d=72，此时a k=4×19×19×53=4×53+72（k﹣1），得k=1060，成立，（4）若a1=16×53=848，848+53d=4028，得53d=3180，d=60，此时a k=19×19×53=16×53+60（k﹣1），得k不是整数，不成立，（5）若a1=19×53=1007，1007+53d=4028，得53d=3021，d=57，此时a k=4×4×19×53=19×53+57（k﹣1），得k=265，成立，（6）若a1=53×53=2809，2809+53d=4028，得53d=1219，d=23，此时a k=4×4×19×19=53×53+72（k﹣1），得k=129，成立，∴公差d的所有可能取值之和为75+74+72+57+23=301．故答案为：301．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，利用三角形的中位线性质，证明DE∥A1B，即可证明A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）利用等体积，求点B到平面B1CD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，∴DE∥A1B，∵DE⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD．（Ⅱ）解：△B1CD中，B1D=CD==2，B1C=4，∴==4．设点B到平面B1CD的距离为h，则h=，∴h=．16．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．【分析】（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．【解答】解：（1）由正弦定理有：∴=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．【解答】解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．（1）求d的最大值；（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得b=2，c=1，解得a，可得椭圆的方程，设椭圆上一点（m，n），代入椭圆方程，再由两点的距离公式，化简整理可得n的二次函数，即可得到所求最大值；（2）①当过点F（1，0）的直线的斜率不存在，显然成立；当过点F的直线的斜率存在，设为x=my+1，代入椭圆方程4x2+5y2=20，运用韦达定理和中点坐标公式，可得ST的中点Q的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得n=﹣4m，由直线的斜率公式即可得证；②由①可得k2=，运用两点的斜率公式，计算k1+k3，运用点满足直线方程，化简整理，代入韦达定理，结合等差数列的中项的性质即可得证．【解答】解：（1）由题意可得b=2，c=1，a==，可得椭圆方程为+=1，设椭圆上一点（m，n），可得+=1，即m2=5（1﹣），即有d====，由于﹣2≤n≤2，可得n=﹣2时，d取得最大值8；（2）①证明：当过点F（1，0）的直线的斜率不存在，即为x=1，显然有直线OP平分线段ST；当过点F的直线的斜率存在，设为x=my+1，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（4m2+5）y2+8my﹣16=0，设S（x1，y1），T（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，（*）线段ST的中点Q坐标为（，﹣），由椭圆的准线方程可得l：x=5，设P（5，n），即有直线OP的斜率为，由PF⊥ST，可得k PF==﹣m，即n=﹣4m，可得直线OP的斜率和直线OQ的斜率相等，且为﹣，则直线OP平分线段ST；②证明：由①可得k2=，k1+k3=+=+=，代入（*），可得k1+k3==，即有k1+k3=2k2，则k1，k2，k3成等差数列．19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；（3）由l1⊥l2知，，得到，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值．【解答】解：函数，求导得．（1）当，时，，若，则恒成立，所以f（x）在上单调减；若，则，令f′（x）=0，解得或（舍），当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调减；当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增．所以函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是．（2）当x＞c，时，，而，所以当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．所以函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为，所以恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，又由，得a＞﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]．（3）由l1⊥l2知，，而，则，若，则，所以，解得，不符合题意；故，则，整理得，，由c＞0得，，令，则，t＞2，所以，设，则，当时，g′（t）＜0，g（t）在上单调减；当时，g′（t）＞0，g（t）在上单调增．所以，函数g（t）的最小值为，故实数c的最小值为．20．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{P n}，称{P n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{P n}为1，3，2．（1）求证：有穷数列{a n}的序数列{P n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a n}为单调数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n }，{c n }的通项公式分别是b n =n •（）n （n ∈N *），c n =﹣n 2+tn （n ∈N *），且{b n }的序数列与{c n }的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列{d n }满足d 1=1，|d n+1﹣d n |=（）n （n ∈N *），且{d 2n ﹣1}的序数列单调减，{d 2n }的序数列单调递增，求数列{d n }的通项公式． 【考点】数列的应用． 【分析】（1）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{a n }的序数列{P n }为等差数列，则有穷数列{a n }为单调数列，分别讨论{P n }为递增数列时，数列{a n }的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{a n }为单调递减数列；同理{P n }为递减数列，有穷数列{a n }为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{a n }分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{P n }为等差数列；（2）通过作差法比较相邻两项的大小关系，即b n+1﹣b n =•（）n ，得到当n ≥2时，b n+1＜b n ．所以需要比较第一项的大小所在的位置，计算可以得出b 2＞b 3＞b 1＞b 4的大小关系．由数列{c n }大小关系为c 2＞c 3＞c 1＞c 4＞c 5＞…＞c n ﹣1＞c n ．分别算出c 1=t ﹣1，c 2=2t ﹣4，c 3=3t ﹣9．由列c 2＞c 3＞c 1列不等式并求解得t 的取值范围． （3）因为{d 2n ﹣1}的序数列单调减，即d 2n+1﹣d 2n ﹣1＞0，将其变形可得到d 2n+1﹣d 2n +d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0．利用|d 2n+1﹣d 2n |=＜|d 2n ﹣d 2n ﹣1|=可得d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0，即d 2n﹣d 2n ﹣1==①，由d 2n+1﹣d 2n ＜0，d 2n+1﹣d 2n ==②整理①②得d n+1﹣d n =．所以可知数列{d n+1﹣d n }是等比数列，则可求其前n 项和为Tn ﹣1=（d 2﹣d 1）+（d 3﹣d 2）+…+（d n ﹣d n ﹣1）=d n ﹣d 1．即可求出数列{d n }的通项公式． 【解答】（1）证明：由题意得， 充分条件：因为有穷数列{a n }的序数列{P n }为等差数列 所以①{P n }为1，2，3，…，n ﹣2，n ﹣1，n 所以有穷数列{a n }为递减数列，②{P n }为n ，n ﹣1，n ﹣2，…，3，2，1 所以有穷数列{a n }为递增数列，所以由①②，有穷数列{a n }为单调数列 必要条件：因为有穷数列{a n }为单调数列 所以①有穷数列{a n }为递减数列则{P n }为1，2，3，…，n ﹣2，n ﹣1，n 的等差数列 ②有穷数列{a n }为递增数列则{P n }为n ，n ﹣1，n ﹣2，…，3，2，1的等差数列 所以由①②，序数列{P n }为等差数列综上，有穷数列{a n }的序数列{P n }为等差数列的充要条件是有穷数列{a n }为单调数列（2）解：由题意得， 因为b n =n •（）n （n ∈N *）所以b n+1﹣b n =•（）n当n ≥2时，b n+1﹣b n ＜0即b n+1＜b nb 2=，b 2=，b 3=，b 4=b 2＞b 3＞b 1＞b 4＞b 5＞…＞b n ﹣1＞b n又因为c n =﹣n 2+tn （n ∈N *），且{b n }的序数列与{c n }的序数列相同 所以c 2＞c 3＞c 1＞c 4＞c 5＞…＞c n ﹣1＞c n 又因为c 1=t ﹣1，c 2=2t ﹣4，c 3=3t ﹣9 所以2t ﹣4＞3t ﹣9＞t ﹣1 所以4＜t ＜5即t ∈（4，5）（3）解：由题意得，d 2n+1﹣d 2n ﹣1＞0 所以d 2n+1﹣d 2n +d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0又因为|d 2n+1﹣d 2n |=＜|d 2n ﹣d 2n ﹣1|=所以d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0，即d 2n ﹣d 2n ﹣1==①d 2n+1﹣d 2n ＜0，d 2n+1﹣d 2n ==②整理①②得d n+1﹣d n =令数列Bn=d n+1﹣d n 则数列{Bn }是以为首相，为公比的等比数列，所以{Bn }的前n﹣1项和为T n ﹣1==所以d n =d 1+T n ﹣1=附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接AD ，BD ．若AC=4，DE=3，求BD 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】先证明△EDA ∽△DBA ，再证明△ACD ≌△AED ，即可得出结论． 【解答】解：因为CD 与⊙O 相切于点D ，所以∠CDA=∠DBA ，… 又因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB=90°． 又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA=∠DBA ，所以∠EDA=∠CDA ．…又∠ACD=∠AED=90°，AD=AD ，所以△ACD ≌△AED ． 所以AE=AC=4，所以AD=5，…又=，所以BD=．…附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx 在矩阵（MN ）﹣1变换下的函数解析式．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【分析】先求出MN ，从而求出矩阵（MN ）﹣1=，设（x ，y ）是曲线y=sinx 上的任意一点，在矩阵（MN ）﹣1变换下对应的点为（a ，b ），得到x=，y=2b ，由此能求出曲线y=sinx 在矩阵（MN ）﹣1变换下的曲线方程．【解答】解：∵矩阵M=，N=，∴MN==，∵→，∴矩阵（MN ）﹣1=，设（x ，y ）是曲线y=sinx 上的任意一点，在矩阵（MN ）﹣1变换下对应的点为（a ，b ）．则=，∴，即x=，y=2b，代入y=sinx得：2b=sin（a），即b=sin（a）．即曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的曲线方程为y=sin（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（1）求m的值；（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆C：（φ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，可得右焦点F（1，0）．根据直线l：（t为参数）恒经过点（c，0），可得m．（2）当α=时，直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2+2t﹣2=0，利用|FA|•|FB|=|t1t2|，即可得出．【解答】解：（1）椭圆C：（φ为参数），消去参数化为： +y2=1，可得右焦点F（1，0）．直线l：（t为参数）恒经过点（1，0），取t=0，则m=1．（2）当α=时，直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2+2t﹣2=0，∴t1t2=﹣．∴|FA|•|FB|=|t1t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．【考点】不等式的证明．【分析】由正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，运用三元均值不等式，可得ab2c3≤，再由均值不等式即可得证．【解答】证明：因为正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，所以，即，所以，因此．解答题25．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了20014周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，ξ×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…26．在数列|a n|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a n+1（a n+t n﹣1）=a n（t n+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|a n|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：a n+1＞a n，（n∈N+）．【考点】用数学归纳法证明不等式．【分析】（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|a n|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．【解答】解：（1）由原递推式得到，，=猜想得到…下面用数学归纳法证明10当n=1时a1=t﹣1 满足条件20假设当n=k时，则，∴，∴即当n=k +1时，原也成立．由10、20知…（2）==而nt n ﹣（t n ﹣1+t n ﹣2+…+t +1）=（t n ﹣t n ﹣1）+（t n ﹣t n ﹣2）+…+（t n ﹣t ）+（t n ﹣1）=t n ﹣1（t ﹣1）+t n ﹣2（t 2﹣1）+t n ﹣3（t 3﹣1）+…+t （t n ﹣1﹣1）+（t n ﹣1）=故t ＞0，且t ≠1时有a n+1﹣a n ＞0，即a n+1＞a n …2016年9月9日。