2015届高三一轮复习理数_基本不等式04

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【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第6篇第4讲基本不等式

第4讲基本不等式[最新考纲]1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．辨析感悟1．对基本不等式的认识(1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识 (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．(√) (4)2ab a ＋b ＝21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．(√) 3．利用基本不等式确定最值(6)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为4.(×)(7)(2014·福州模拟改编)若x ＞－3，则x ＋4x ＋3的最小值为1.(√) (8)(2013·四川卷改编)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝36.(√) [感悟·提升]两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页考点一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x ＞0，y ＞0，z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点二利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为 ( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3(2)(2014·广州一模)已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．8审题路线 (1)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入zxy ⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把2x ＋1y －2z 转化关于1y 的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)B (2)D规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是A.245B.285 C ．5D ．6(2)(2014·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是A.43B.53 C ．2D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)C (2)C考点三基本不等式的实际应用【例3】 (2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx ×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12.由基本不等式9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≥29t＋12·⎝⎛⎭⎪⎫t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值为34. 答案 34[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案 D对应学生用书P303基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2．(2014·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()．A．2 B.14C．4 D．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3．(2013·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋1 a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案 B4．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案 A5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()．A．－3 B．2 C．3 D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b ＝3.答案 C二、填空题6．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案97．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．解析∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4，即当x＝32，y＝2时取等号．答案 38．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上，∴m＋n＝1.而1m＋1n＝m＋nm＋m＋nn＝2＋nm＋mn≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝12时，取“＝”，∴1m＋1n的最小值为4.答案 4 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. 证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D2．(2014·郑州模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172解析因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D 二、填空题3．(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 6 三、解答题4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )，即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．方法强化练——不等式 (对应学生用书P305)(建议用时：75分钟)一、选择题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立，故选A. 答案 A2．(2014·青岛一模)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＞b 2 B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，又a ＞b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b . 答案 D3．(2014·杭州二中调研)若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a ，b 的值分别为( )．A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－4，b ＝－9C ．a ＝－1，b ＝9D ．a ＝－1，b ＝2解析据题意可得|8x ＋9|＜7的解集是{x |－2＜x ＜－14}，故由{x |－2＜x ＜－14}是一元二次不等式ax 2＋bx ＞2的解集，可知x 1＝－2，x 2＝－14是ax 2＋bx －2＝0的两个根，根据根与系数的关系可得x 1x 2＝－2a ＝12， ∴a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94，∴b ＝－9，故选B. 答案 B4．(2013·浙江温岭中学模拟)下列命题错误的是( )．A ．若a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥ab B ．若a ＋b2≥ab ，则a ≥0，b ≥0C ．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b2＞ab ，则a ≠b D ．若a ＋b2＞ab ，且a ≠b ，则a ＞0，b ＞0解析若a ＋b2＞ab ，且a ≠b ，则a ＝0，b ＞0或a ＞0，b ＝0或a ＞0，b ＞0.故D 错误．答案 D5．(2014·长沙诊断)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋2y ≥0，3x ＋y －5≤0，则2x ＋y 的最大值是( )．A ．0B ．3C ．4D ．5解析设z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，3x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，代入z ＝2x ＋y ，得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 C6．(2013·北京海淀一模)设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．2解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．答案 C8．(2014·天水一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.32 解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C9．(2014·湖州模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )． A.256 B.83 C.113 D ．4解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)．答案 A10．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为( )． A ．4 B ．5 C.115 D.72解析依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 A 二、填空题11．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)．答案 (－2,3)12．(2014·武汉质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ＜0，则不等式f (x )＜9的解集是________．解析当x ≥0时，由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)．答案 (－2,2)13．(2014·湖北七市联考)点P (x ，y )在不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1(k ＞0)的最大距离为22，则k ＝________.解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y ＝kx －1的大概位置，如图所示，因为k ＞0，所以由图可知，点(0,3)到直线y ＝kx －1的距离最大，因此|0－1－3|k 2＋1＝22，解得k ＝1(负值舍去)．答案 114．(2013·湘潭诊断)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________．解析由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2014·宁波十校联考)设a ，b ∈(0，＋∞)，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值为________．解析根据已知结论，f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15∈(0，12)时，f (x )取最小值为25. 答案 25 三、解答题16．(2014·长沙模拟)已知f (x )＝2x x 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0，由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以－2－3＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.17．(2013·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x ＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0＜S≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．18．(2014·泉州调研)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1.f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x＝2－1或2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)法一∵当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，∴3ax2≥－x3－3x－1，∴a≥－x3－1x－13x2，设g(x)＝－x3－1x－13x2，∴求g(x)的最大值即可，则g′(x)＝－13＋1x2＋23x3＝－x3＋3x＋23x3，设h(x)＝－x3＋3x＋2，则h′(x)＝－3x2＋3，当x≥2时，h′(x)＜0，∴h(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴g′(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴g′(x)≤g′(2)＝0，∴g(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(2)＝－5 4，∴a ≥－54.法二因为x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，所以由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 学生用书第105页教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。

高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理

12 y 3x x y
故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = +2 (x+2y)=2+ + y x x y x y
2
4y x 4y x =4+ + ≥4+2 x y =8, x y
1 2
1
4y
x
当且仅当 = ,即x=2y时取等号. 所以 + 的最小值为8.
理数
课标版
第四节基本不等式及其应用
教材研读
1.>0,b>0. 2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立. (3)其中②
ab 2
ab 称为正数a,b的算术平均数,③
称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
ab (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2
2
a 2 b2 a b (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2 2 b a (4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. a b
考点突破
考点一利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
2 1 (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. x y
解析 (1)解法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2 4ab =4 ab ,

2015年高考数学理一轮复习精品资料专题7.4 基本不等式及其应用含解析

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第四节基本不等式及其应用一、选择题1. 已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42.各式中，最小值等于2的是（）A ．x yy x + B 2 C ．θθtan 1tan + D ．22x x -+3．a ,b 为非零实数,则使不等式:成立的一个充分而不必要条件是( )A. ab>0B. ab<0C. a>0,b<0D. a>0,b>0所以a>0,b<0是成立的一个充分而不必要条件，故选C.4．知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )． A ．ab b a 2≥+ B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +>5．直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．12C ．16D ．206 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]7. 【2014·宁波模拟】若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】A【解析】∵a >0，b >0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立．8．已知a>0，b>0，若不等式3m a b +－3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．39．已知函数()lg1xf x x=-，若()()0f a f b +=且01a b <<<，则ab 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是（）A ．34 B ．35C ．2D ．45【答案】C【解析】因为正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则利用均值不等式可知xy 的最大值是2，选C 。

2015高考数学(理)一轮复习配套课件6-4基本不等式

取等号)．
3 项必须注意——基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
答案：18
1 2. 若 a>b>0，则 a ＋的最小值为( ba－b
2
)
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
1 1 2 解析：依题意得 a－b>0，所以 a ＋ ≥a ＋ ba－b b＋a－b 2 [ ] 2
[归纳拓展]
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤( 2 ) (a，b∈R)． a＋b 2 a2＋b2 (3)( )≤ (a，b∈R)． 2 2
b a (4) ＋ ≥2(a· b>0)． a b a＋b (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ a＋b 2 a2＋b2 2 (a>0，b>0)．
1 (3)已知 x，y>0，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值是 16
1 ，x ＋
1 y的最小值是
9
.
02突破3个热点考向
考向一利用基本不等式求最值例 1 值为( A. 9 C. 3 ) 9 B. 2 3 2 D. 2 (1)[2013· 重庆高考 ] 3－aa＋6 (－6≤a≤3)的最大
就是
a＋b 2 ab≤ 2 (a，b>0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式
等号成立的条件等．
2 个重要变形——基本不等式的变形 a＋b 2 a2＋b2 (1)ab≤( )≤ (当且仅当 a＝b 时取等号)，这个不等式链 2 2 用处很大． (2) a2＋b2 a＋b 2 2 ≥ 2 ≥ ab≥1 1(a>0，b>0，当且仅当 a＝b 时 a＋b

高考理科数学一轮复习(教学指导)基本不等式

第4讲基本不等式一、知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.答案：812．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用． 1． “x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.2．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0. 答案：0利用基本不等式求最值(多维探究) 角度一通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)23＋2角度二通过常数代换利用基本不等式求最值若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解析】由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.【答案】 C角度三通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时等号成立．所以x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6角度四多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4. 【答案】 4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． (2)常数代换法，主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋by 的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．(2020·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以xy ＝y ＋2x ，xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝7＋2y x ＋6x y≥7＋43(当且仅当y ＝3x ，即x ＝1＋233，y ＝2＋3时取等号)．所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 3基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B. 【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N +)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一与其他知识的交汇问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是________． (2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)9 (2)92角度二求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.2．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，则3a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab≥5＋2 6.当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 63．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N +，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N +，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. 因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 利用均值定理连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D ．3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a＝b ＝12时，取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝⎛⎭⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d≥5＋24d c ·cd＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时，取等号，即1abc ＋1d的最小值为9，故选B.[基础题组练]1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ；对于选项B ，当sin x <0时显然不成立；对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对于选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C. 2．(2020·广西钦州期末)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( )A ．15B ．12C ．5D ．3解析：选C.因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.故选C.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B ．43C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.5．(2020·湖南衡阳期末)已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△P AB ，△P AC 和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是( ) A.23＋13B ．3＋23 C.13 D ．3解析：选D.因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥21－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z的最小值为3.故选D. 6．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋ 37．(2020·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2x sin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t－4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1. 答案：18．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xy x ＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. 答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0，所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥m a ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝a b，即a ＝3b 时等号成立，所以m ≤12，所以m 的最大值为12.2．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a＋b 的最小值为( ) A ．1B ． 2 C. 3 D ．2 解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b 2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝⎛⎭⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b 4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a ＋b ≠0，则a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2的最小值为________．解析：a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2≥（a ＋b ）22＋1（a ＋b ）2≥212＝2，当且仅当a ＝b ＝2－34时，a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2取得最小值 2. 答案： 24．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________．解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x . 因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时， ⎭⎪⎪⎫等号成立，所以3x ＋23x 的最小值为2 2. 又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min，即k ＋1<22，即k <22－1.答案：(－∞，22－1)5．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。

2015届高考数学一轮复习讲义_7.4_基本不等式及其应用

a b ≥ _____ 8
2 2
ab 3
2 2
2 3 a b ≥ ____
6 a b ≥ ____
2 2
4 2 a b 16 a b ≤ ____
ab ≤ ____ 8
5 (0 x 1) 例1．求函数 f ( x ) 2 log 2 x log 的最大值. x
2

x 4
2
1 x2 4
当t 2, 即 : x 0时, ymin 5 . 2 三不等，用单调
x 2 4, 则 y t 1 (t ≥ 2) 在[1,+∞)上单调递增. t
令t
11 例4.已知正数x, y满足2x+y=1, 求 x y 的最小值.
解:
y 2x 3 ≥ 3 2 2. x y y 当且仅当 2 x , 即 y 2 x 时取“=”号. x y 1
3602 3602 (2)∵x>2，∴225x＋ x ≥2 225x× x ＝10 800. 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10 440.
3602 当且仅当 225x＝ x 时，等号成立．即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是 10 440 元．
探究提高
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
[难点正本
疑点清源]
1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． a＋b 2 对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤ ，要弄清它们的作用和 2 使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系． 2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 2 2 a ＋ b a＋b 2 2 用，例如 a ＋b ≥2ab 逆用就是 ab≤ ； ≥ ab (a， 2 2 a＋b 2 b>0)逆用就是 ab≤ b>0)等．还要注意“添、拆项” 2 (a，技巧和公式等号成立的条件等．

【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：6.4基本不等式]

第4课时基本不等式1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[对应学生用书P 100]【梳理自测】一、基本不等式1．“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2abD.b a ＋a b≥23．(教材改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案：1.A 2.D 3.C◆以上题目主要考查了以下内容：基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0、b ＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．算术平均数与几何平均数(3)设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．几个重要的不等式(4)a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R)； (5)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)(6)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(7)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．二、利用基本不等式求最值1．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．2432．已知x ＋3y ＝2(x ，y 为正实数)，则xy 的最大值为________． 3．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．答案：1.A 2.133.5◆以上题目主要考查了以下内容：已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p24．(简记：和定积最大)【指点迷津】1．公式的两种应用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab(a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．[对应学生用书P 101]考向一利用基本不等式求最值(1)(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0B .98C ．2D .94(2)(2014·洛阳市高三统考)在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－1B ．1C .12D ．－12【审题视点】 (1)利用基本不等式求出zxy 的最小值及取得最小值时，x 与y 的关系，再利用二次函数性质求结论．(2)利用向量模的意义转化为基本不等式．【典例精讲】 (1)含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时“＝”成立，此时 z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.(2)依题意得，PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝－2|PA →|·|PD →|≥－2(|PA →|＋|PD →|2)2＝－|AD →|22＝－12，当且仅当|PA →|＝|PD →|＝12时取等号，因此PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－12，选D.【答案】 (1)C (2)D【类题通法】 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．1．(2014·山东青岛二模)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b)＝4＋b a ＋4ab ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a 时等号成立．答案：8考向二基本不等式的实际应用(2014·河北省普通高中质检)如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB ＝θ，tan θ＝t.(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为多少？【审题视点】利用Rt △DAQ 和Rt △PAB ，分别求解PB 和DQ ，在Rt △PCQ 中求PQ.把面积表示为t 的函数，求其最值．【典例精讲】 (1)由tan θ＝BPAB＝t ，得BP ＝t(0≤t ≤1)，可得CP ＝1－t. ∵∠DAQ ＝45°－θ，∴DQ ＝tan (45°－θ)＝1－t1＋t， CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t ，∴PQ ＝CP 2＋CQ 2＝（1－t ）2＋（2t 1＋t）2＝1＋t 21＋t， ∴△CPQ 的周长l ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t ＝2为定值．(2)∵S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－t 2－12×1－t 1＋t＝2－12(t ＋1＋2t ＋1)≤2－2，当且仅当t ＋1＝2t ＋1，即t ＝2－1时等号成立．∴探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为(2－2)平方百米．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．2．(2012·高考江苏卷改编)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．求炮的最大射程．解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．[对应学生用书P 102]忽视基本不等式成立条件致误设a ＋b ＝2，b ＞0，则12|a|＋|a|b 的最小值为________．【正解】分a ＞0和a ＜0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．当a ＞0时，12|a|＋|a|b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4a ＋a b ≥54；当a ＜0时，12|a|＋|a|b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a|＋|a|b 的最小值是34.【答案】 34【易错点】 ①直接利用基本不等式，把b 当做定值：12|a|＋|a|b ≥212|a|×|a|b＝212b为最小值，忽视乘积为定值致误． ②变形不等价.a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥14＋2b 4|a|×|a|b ＝54，忽视a ＜0致误．【警示】 1.利用基本不等式求最值需关注以下三个方面：①各数(式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立这三个条件缺一不可，为便于记忆简述为：“一正、二定、三相等”．2．对于不符合条件的式，要经过“变正号”、“拆分项”、“配凑因式或系数”等方法，使之符合三个条件．1．(2013·高考福建卷)若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D .利用基本不等式转化为关于x ＋y 的不等式，求解不等式即可． ∵2x＋2y≥22x ＋y，2x ＋2y＝1，∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2， ∴x ＋y ≤－2，即(x ＋y)∈(－∞，－2]．2．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a ＜b)，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC .ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解析：选A .设甲乙两地的距离为s ，则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b . 由于a ＜b ，∴1a ＋1b ＜2a ，∴v ＞a ，又1a ＋1b＞21ab，∴v ＜ab. 故a ＜v ＜ab ，选A .3．(2012·高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A .245 B .285C ．5D ．6解析：选C .由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x ＞0，y ＞0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y＝15⎝⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ·3x y ＝15×(13＋12)＝5，当且仅当12y x ＝3xy，即x ＝2y 时，“＝”成立．此时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.故选C .4．(2013·高考四川卷)已知函数f(x)＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：借助基本不等式求最值的条件求解． f(x)＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a(x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a 2时等号成立，此时f(x)取得最小值4 a.又由已知x ＝3时，f(x)min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 答案：36。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习基本不等式及其应用教案理

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习基本不等式及其应用教案理知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、（ a,b>0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。

应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

例2：解答下列问题（1）已知x，求x+的最小值；（2）已知0，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x，且x+y=1，求+。

探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。

例3：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。

（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。

2015届高考理科数学第一轮总复习教案4

第六章不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4－5)第一节不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.2．不等式的基本性质1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c . 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D. a 3>b 3解析：选D 由性质知选D.2.12－1________3＋1(填“>”或“<”)．解析：12－1＝2＋1＜3＋1.答案：<1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ； (2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd ； (4)0<a <x b －ma －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)． [练一练]若0<a 0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c1.121212与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a的大小．解：a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a .[类题通法]比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．不等式的性质[典例] 且c >d ”的( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是() A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b 且c>d”的必要不充分条件，选D.(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②正确．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C.法二：取特殊值．[答案](1)D(2)C[类题通法]判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．[针对训练](2014·北京东城区综合练习)若a >b >0，则下列不等式不成立的是( )A.1a <1b B ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，选C. 不等式性质的应用[典例] 2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．[解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10，故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. [试一试]1．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.故选D.3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0. 2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)一元二次不等式的解法[典例(1)0＜x 2－x －2≤4；(2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)．[解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.(2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a .[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练]解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1. 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围；(2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围.角度一形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，答案：06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，角度二形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a 2. ①当4－a 2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a 2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零．角度三形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的应用[典例a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%? [解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5. (2)当k ＝2a 时，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.[类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.第三节绝对值不等式(选修4－5)1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法有以下几种：①利用绝对值不等式的几何意义求解的思想；②利用“零点分段法”求解；③通过构造函数，利用函数的图象求解．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，如果a <－b <0当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0则不等式解集为R.[试一试]1．(2013·广东高考)不等式|x 2－2|<2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选D 由|x 2－2|<2得－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，所以－2<x <0或0<x <2.2．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选A 原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[练一练]1．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为(－12，12)，则t＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B|2x－t|<1－t，t－1<2x－t<1－t，2t－1<2x<1，t－12<x<12，∴t＝0.2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：利用绝对值不等式的性质求解．∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]1．在实数范围内，不等式|x－12|＋|x＋12|≤3的解集为____________．解析：法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为2x ≤3⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为1≤3，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－2x ≤3⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：利用几何意义求解．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 答案：⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．(2013·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________．解析：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2.答案：23．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：令y 1＝|x －3|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x >4，2x －7， 3≤x ≤4，－1，x <3.y 2＝a .如图要使|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则a 的取集范围是a >－1.法二：注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x －3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞) [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．[典例f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.[解](1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练](2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1；(2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.绝对值不等式的综合应用＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.[类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2013·辽宁模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围．解：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2(x ≤1)，－4(1<x <2)，2x －8(x ≥2).令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．(2013·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7 B ．－6 C ．－5D ．－3解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B.2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．答案：x ＋y －1>01．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥1)，1－x (x <1)，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A (－1,2)时，2x －y 取最小值－4.答案：－41.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43. 2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一求线性目标函数的最值1．(1)(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52 B ．0 C.53D.52(2)如果函数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－3解析：(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋12z ，可知该直线经过y＝2x 与x ＋y ＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，z 有最大值为13＋43＝53. (2)选B 如图作出可行域，当z 经过直线y ＋1＝0与x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时，z max ＝1.角度二求非线性目标的最值2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.(2)(2014·长春调研)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧ 12≤x ≤1，y ≥－x ＋1，y ≤x ＋1，则y ＋1x 的取值范围是________．解析：由题可知y ＋1x ＝y －(－1)x －0，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k 的取值范围，由图可知k ∈[1,5]．答案：[1,5]角度三求线性规划中的参数3．(1)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2.答案：2(2)(2014·江西七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －b x －a. 注意：转化的等价性及几何意义．[典例] 湖北高考)某旅行社租用排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元[解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[答案] C[类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析：选C 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．第五节基本不等式与柯西不等式(选修4－5)1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)4．平均值不等式(1)定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．(2)一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．5．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.(3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么 x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 3．使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件．[试一试]1．“a >0且b >0”是“a ＋b 2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23解析：选B 由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．3．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为( )A ．510B ．410C ．310D ．210解析：选A ∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，当且仅当3y ＝4x 时等号成立，∴25×10≥(3x ＋4y )2，∴(3x ＋4y )max ＝510.1．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[练一练]若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. [答案] 36(2)(2014·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y ＝4时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2.[答案] (－4,2)(3)(2013·山东高考改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z＝0，则z xy 的最小值为________．[解析] z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y ＝4时“＝”成立．[答案] 1 解：由(3)知当z xy 取最小值时x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.[类题通法]两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．[针对训练](1)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． (2)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10 基本不等式的实际应用[典例品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．。

2015高考数学基本不等式一轮专练

2015高考数学基本不等式一轮专练2015高考数学基本不等式一轮专练【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明1、3、14基本不等式求最值4、8、12、15基本不等式的实际应用6、7、11、16基本不等式与其它知识的综合2、5、9、10、13一、选择题1.(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是(C)(A)lg>lgx(x>0)(B)sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:对选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,∴lg≥lgx;对选项B,当sinx对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;对选项D,∵x2+1≥1,∴0故选C.2.(2013安徽省示范高中高三模拟)“1(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:2x+≥2⇒2≥2⇒a≥.故选A.3.(2013重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+(a>2),q=(x∈R),则p,q 的大小关系为(A)(A)p≥q(B)p>q(C)p解析:p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时,取得等号;而由于x2-2≥-2,故q=≤-2=4,故p≥q.故选A.4.(2012年高考浙江卷)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(C)(A)(B)(C)5(D)6解析:由x+3y=5xy,得+=5(x>0,y>0),则3x+4y=(3x+4y)=≥=(13+12)=5.当且仅当=,即x=2y时,等号成立,此时由解得故选C.5.(2013湖北省黄冈中学高三二模)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a2+b=4,则+的最大值为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题意得:=log2a,=log2b,+=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log22=2,当且仅当b=a2时等号成立,故选B.6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(B) (A)60件(B)80件(C)100件(D)120件解析:若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是元,存储费用是元,总的费用y=+≥2=20,当且仅当=时取等号,得x=80(件),故选B.7.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a(A)a(C)解析:设甲乙两地相距为s,则v==.由于a∴v>a,又+>2,∴v故a故选A.8.(2013山东师大附中高三三模)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值是(C)(A)2(B)(C)4(D)8解析:由题意知3a×3b=()2,即3a+b=3,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.故选C.二、填空题9.(2013年高考四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.解析:因为x>0,a>0,所以f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号.由题意可得a=4×32=36.答案:3610.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,所以圆心为(2,-1),因为直线过圆心,所以2a+2b=2,即a+b=1.所以ab≤2=,当且仅当a=b=时取等号,所以ab的最大值为.答案:11.(2013北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-x+,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5812.(2013山师大附中高三第四次模拟)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y 都是正实数,若a⊥b,则t=x+2y的最小值是.解析:因为a⊥b,所以a•b=(x,-2)•(y,1)=0,即xy=2.又t=x+2y≥2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立,所以t=x+2y的最小值是4.答案:413.(2013江西省百所重点高中诊断)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为0,+∞),则+的最小值为.解析:由题意知a>0,Δ=4-4ac=0得ac=1,∴+=++(a+c)≥2+2=4,当且仅当a=c时等号成立.答案:4三、解答题14.已知函数f(x)=lgx,若x1,x2>0,判断f(x1)+f(x2)]与f的大小,并加以证明.解:f(x1)+f(x2)]≤f.证明如下:∵f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1x2), f=lg,且x1,x2>0,x1x2≤,∴lg(x1x2)≤lg,∴lg(x1x2)≤lg,即(lgx1+lgx2)≤lg.∴f(x1)+f(x2)]≤f,当且仅当x1=x2时,等号成立. 15.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解:(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立. 所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=+•(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,∴x+y的最小值为18.16.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张书桌,则共需分批,每批价值为20x元,由题意得f(x)=•4+k•20x.由x=4时,f(x)=52,得k==.∴f(x)=+4x(0(2)由(1)知f(x)=+4x(0∴f(x)≥2=48(元).当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第六章+不等式、推理与证明第4节基本不等式

3．已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________．【解析】 ∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当 t＝1 时等号成立．【答案】－2
第七页，编辑于星期五：十一点五十六分。
4．已知 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________．【解析】 ∵x>1，∴x－1>0， ∴x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥4＋1＝5，当且仅当 x－1＝x－4 1即 x＝3 时等号成立．【答案】 5
第二十七页，编辑于星期五：十一点五十六分。
两个变形
基本不等式的变形
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)；
(2)
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a>0，b>0，当且仅当 a
＝b 时取等号)．
第二十八页，编辑于星期五：十一点五十六分。
当
x≥80
时，L(x)＝1
200－x＋10
000
x
≤1 200－2 x·10 x000＝1 200－200＝1 000.
此时，当 x＝10 x000时，即 x＝100 时 L(x)取得最大值 1 000
万元．
由于 950<1 000，
所以，当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利
润最大，最大利润为 1 000 万元．
三点注意 (1)使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． (2) 在运用基本不等式时，要特别注意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件． (3)多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.

2015高考数学一轮课件：第6篇第4节基本不等式

数学第十人九教页，A编版辑于星·期理五科：十三点(A四H十八) 分。
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课时训考练点突破
[解析] (1)∵x<0，∴－x>0，－1x6>0.
∴f(x)＝1－x－1x6
＝1＋(－x)＋－16x
≥1＋2 ＝9.
－x×－1x6
当且仅当－x＝－1x6，即 x＝－4 时取等号，
∴f(x)的最小值为 9.
数学第四人页教，编A辑版于星期·五理：科十三点四(A十H八分) 。
基础梳理
课时训考练点突破
3．几个常用的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)． (3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
答案：D
数学第十人一教页，A编版辑于星·期理五科：十三点(A四H十八) 分。
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课时训考练点突破
4．已知 x，y∈R＋，且满足3x＋4y＝1，则 xy 的最大值为
________．解析：由 x，y∈R＋，则
xy＝12×3x×4y≤123x＋2 4y2
＝12×122
＝3.当且仅当3x＝4y时取等号答案：3
当且仅当 m＝3n 等号成立．故选 C. 答案：C
数学第九人页教，编A辑版于星期·五理：科十三点四(A十H八分) 。
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课时训考练点突破
3．在下列函数中，最小值是 2 的函数是( )
A．y＝x＋1x
B．y＝cos x＋co1s x0＜x＜π2
C．y＝
x2＋3 x2＋2
D．y＝ex＋e4x－2

2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)7.3基本不等式及其应用档专练(新人教A版)文

§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × ) (3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ ) 2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案－2解析由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是 ( )A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析方法一设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，方案乙：(1＋p ＋q 2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q 2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 2ab2b＝a ，∴2a ＋b <1ab ，即2aba ＋b <ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14B.1C.4D.8答案 C解析由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”.5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________.答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________. 答案 94解析由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________. 答案 20解析设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨. 三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值；(2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值.解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ).∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0，∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18，当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为 ( ) A.4 B.16 C.9D.3 答案 B解析因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( ) A.0 B.1 C.94D.3 答案 B解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23. 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元.。

2015届高考数学(文)一轮复习备选练习6-4《基本不等式》(人教A版)word版含详析

[B 组因材施教·备选练习]1．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0B.98 C ．2 D.94解析：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)， ∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y x－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x，即x ＝2y 时“＝”成立，此时 z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.答案：C2．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n >0)，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．16B ．12C ．9D ．8解析：令x ＋3＝1，得x ＝－2，此时y ＝－1，所以函数图象过定点A (－2，－1)，点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥ 4＋24＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝2m 时取等号，此时m ＝14，n ＝12，选D. 答案：D3．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y >M 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数M 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)解析：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要M <4即可，正确选项为D.答案：D。

2015高考数学一轮配套课件：6-4 第4课时基本不等式

y2＝12时取等号，
∴x
1＋y2的最大值为3
4
2 .
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第二十四页，编辑于星期五：十四点六分。
高考总复习数学
(3)因为 2x＞0,2y＞0，所以 1＝2x＋2y≥2 2x·2y
＝2 2x＋y，故 2x＋y≤12，
即 2x＋y≤14＝2－2，所以 x＋y≤－2，故选 D.
课时专项训练
第二十页，编辑于星期五：十四点六分。
高考总复习数学
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次能否保证等号成立，并且要注意多次取等号的条件是否一致，即多次等号能否同时成立． (5)为了创造使用基本不等式的条件，常需要对求值的式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的关键在于凑配“和” 与“积”，并且在凑配过程中注意等号成立的条件．
高考总复习数学
(二)命题趋势 1．从考查内容看，主要考查利用不等式求最值，且常与函
数、数列、解析几何等结合在一起考查． 2．从考查形式看，主要以选择题、填空题的形式出现，考
查最值的求法；也可渗透在解答题中，难度一般不大，属中低档题．
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第三页，编辑于星期五：十四点六分。
试题深度研析
课时专项训练
第八页，编辑于星期五：十四点六分。
高考总复习数学
对点演练
已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为
A．18 B．36
()
C．81 D．243
解析：∵m＞0，n＞0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当 m＝n＝9
时，等号成立．

2015届高三数学(文,山东版)一轮课件：第6章第4节基本不等式

数学·新课标(文科)山东专用
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800
元．若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的
仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费
用之和最小，每批应生产产品应为________件．
【解析】设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得
y＝80x0＋x8≥2 80x0·x8＝20.
当且仅当80x0＝x8(x＞0)，当且仅当 x＝80 时，“＝”成立．【答案】 80
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5．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) A．lgx2＋14>lg x(x>0) B．sin x＋sin1 x≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.x2＋1 1>1(x∈R)
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3．设 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时，x 的值为( )
1
1
A.3
B.2
C.34
D.23
【解析】 ∵0＜x＜1，
∴x(3－3x)≤3·x＋21－x2＝34，
当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时等号成立．
【答案】 B
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∴ 2a＝3，即 a＝36. 【答案】 36
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考向一 [102] 利用基本不等式求最值 (1)(2014·青岛模拟)下列命题中正确的是( A．y＝x＋1x的最小值是 2 B．y＝2－3x－4x(x＞0)的最大值是 2－4 3 C．y＝sin2x＋sin42x的最小值是 4 D．y＝2－3x－4x(x＜0)的最小值是 2－4 3

2015届高三数学一轮课件：7.4 基本不等式及不等式的应用

2
2 + +
a +b ≥2ab的逆用就是 ab≤
;
≥
2
2
2
2
(a,b>0)的逆用就是
+ 2
ab≤
(a,b>0)等.还要注意“
添、拆项”
技巧和公式等号成立的条件等.
2

(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数 y=x+ (m >0)的
单调性.
基础梳理
自我检测
第六页，编辑于星期五：八点三十九分。
∴y=4x·(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2
2+(3-2)
2
2
9
2
= ,
3
4
当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时等号成立.
3
4
∵ ∈ 0,
3
2
,∴函数 y=4x(3-2x) 0 < <
3
2
9
2
的最大值为 .
(3)由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10.
2

5

则 + =
答案:
重点难点
.
1
16
1
1 +4 2
解析:xy= x·4y≤
4
4
2
1
2
1
4
1
4
= × =
1
,当且仅当
16
x=4y,
1
8
即 x= ,y= 时等号成立.
基础梳理
自我检测
第九页，编辑于星期五：八点三十九分。
第4讲基本不等式及不等式的应用

2015高考数学一轮课件：7-4基本不等式及其应用

的最小值为________．
第二十页，编辑于星期五：十三点二十三分。
[解析] (1)∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝28x－＋x2＞0，
∴
－
1
＜
x
＜
8
，
∴
x
＋
2y
＝x＋8－ Nhomakorabea 2·2x＋2
＝
(x
＋
1)
＋x＋9 1
－
2≥2 x＋1·x＋9 1－2＝4，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，即 x＝2 时，
等号成立．故选 B.
第二十九页，编辑于星期五：十三点二十三分。
[方法·规律] 证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证．
如 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab (a，b∈{正实数})可变形为 ab≤(a＋2 b)2 等．同时要从整体上把握基本不等式，
第二十八页，编辑于星期五：十三点二十三分。
题型二证明不等式
【例 2】证明：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋
c)． [证明] ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，又 a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2， c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即 a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．即原命题可得证．
第二十六页，编辑于星期五：十三点二十三分。

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04 基本不等式
要点梳理
1．基本不等式ab ≤
a ＋
b 2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)．
(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． (4)a 2
＋b 2
2≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋
b 2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最
大)
[难点正本疑点清源]
1．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用
就是ab ≤
a 2＋
b 22
；
a ＋
b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m
x
(m >0)的单调性．
基础自测
1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________．
2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1
t
的最小值为________．
3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2
y
的最小值是_____________．
4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )
A.245
B.285
C ．5
D ．6
5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围
是 ( ) A.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，14
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14，0
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，14
题型分类
题型一利用基本不等式证明简单不等式
例1 已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x z ＋y z ≥8.
变式训练已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1
c
≥9.
题型二利用基本不等式求最值
例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1
y
的最小值为________；
(2)当x >0时，则f (x )＝2x
x 2＋1
的最大值为________．
变式训练 (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( )
A ．3
B ．4 C.92
D.112
(2)已知a >b >0，则a 2＋16b a －b
的最小值是________．
题型三基本不等式的实际应用
例3 某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，
房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2
，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
变式训练 (2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使
平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( ) A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
专项基础训练
1． (2011·陕西)设0<a lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.
1
x 2＋1
>1(x ∈R )
3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y
＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1
y
的最大值为
( )
A ．2
B.3
2
C ．1
D.12
4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为
( )
A.1
3
B.1
2
C.3
4
D.23
5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y
4
＝1，则xy 的最大值为________．
6． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 2＋4y 2的最小值为________．
7. 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．
8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2
万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______．。