基本不等式专题课课件-高三数学复习(共23张PPT)
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不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式PPT优秀课件
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
A．3
B．4
+ − 的最小值是（ C．6
） D．7
解：因为 x＞1，所以 + − =2（x﹣1）+ − +2≥ 当且仅当 2（x﹣1）= − ，即 x＝2 时等号成立， 所以 + − 的最小值是 6． 故选：C．
( − ) × − +2＝6，
二次比一次型
分离常数法
已知函数 f(x)＝x2＋ax＋3(x∈R)．若存在 x∈(－∞，1)，使关于 x 的不等式 f(x)≤a 有
2 ab≥1＋1(a>0，b>0)的应用
ab
【多选题】若正实数 a，b 满足 a＋b＝2，则下列结论中正确的有( )
A．ab 的最大值为 1
B.1＋1的最大值为 2 ab
C. a＋ b的最小值为 2 D．a2＋b2 的最小值为 2
a＋b 2 【解析】 因为 ab≤ 2 ＝1，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，则 ab 的最大值为 1，故 A 正确；
2
2
跟踪训练
（多选）（2024•随州模拟）设正实数 a，b 满足 a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A． + 有最小值 4
B． 有最小值
C． + 有最大值
解：正实数 a，b 满足 a+b＝1， 对于 A，即有 a+b≥2 ，可得 0＜ab≤ ，
D．a2+b2 有最小值
即有 + = ≥4，即有 a＝b 时， + 取得最小值 4，故 A 正确；
对于 B，由 0＜ ≤ ，可得 有最大值 ，故 B 错误；
对于 C，由 + = + +
=+
≤ +×= ，
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立，D中最小值不是2. 答案：C
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总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
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总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
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新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
第三章 不等式
3.4 基本不等式： ab≤a＋ 2 b
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
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一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有
条件不满足时，应该怎样处理呢？
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探究利用基本不等式求最值问题的方法
y=x(1-2x)
的最大值.
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)= 12∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即 x=
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总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
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总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
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第三章 不等式
3.4 基本不等式： ab≤a＋ 2 b
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
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一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有
条件不满足时，应该怎样处理呢？
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探究利用基本不等式求最值问题的方法
y=x(1-2x)
的最大值.
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)= 12∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即 x=
高三总复习数学课件 基本不等式
A．3 B．4 C．5 D．6
()
解
析
：
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
y
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
x
＋
4 x－2
＝
(x
－
2)
＋
4 x－2
＋
2≥2
x－2·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时取等号，∴函数 y
＝x＋x－4 2的最小值为 6. 答案：D
2．已知 0<x<3，则 2x(3－x)的最大值为
1．(苏教版必修第一册 P57·T8 改编)设 a＞0，则 9a＋1a的最小值为 A．4 B．5 C．6 D．7
()
解析：9a＋1a≥2 9a×1a＝6.当且仅当 9a＝1a，即 a＝13时等号成立．
答案：C
2．(人教 B 版必修第一册 P73·例 1 改编)若 x<0，则 x＋1x A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最小值是 2 p .(简
记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y
p2 时，xy有最大值是 4 .(简
记：和定积最大)
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满 足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
等号成立，A 选项正确；
对于 B 选项，由基本不等式可得a＋12b＋2a1＋b＝13(3a＋3b)a＋12b＋2a1＋b＝13[(a
基本不等式高三复习优质精品PPT课件
9 ，
2
.
设x，y
为正数,则
的最小值为 _____ .
x
y
1 x
4 y
继续探究
1.函数y x 1 ( x 0)的最小值为____. x
2.函数y x(4 x)(0 x 4)的最大值为 __ .
a+b 2 ab
ab (a+b )2 2
当积ab为定值M时,和a+b有最_小__值:_2__M_; 当和a+b为定值N时,积ab有最_大__值:__( N_2_)2.
过定点A,若点A在直线 x y 1(mn 0)上 mn
则m+n的最小值为3____2___2_.
例4.已知a
b
c,n
N
,
a
1
b
b
1
c
a
n
c
,
求n的最大值。
4
小结
与函数法相比，使用基本不等式 求最值往往快捷的多，特别是处理一 些多元问题，其缺点是较灵活，且限 制条件多，使用时大家要谨记： “一正，二定，三相等”的要诀。
问题 1 .回顾探索基本不等式
代数证法. 证法 1 : 比较法
ab a b 的 2
a b ab 1 a b 2 a b
2
1
a
2
b 2 0.
ab a b .
2
2
证法 2 : 分析法
只要证
要证
ab a b 2
a b 2 ab 0,
只要证
2
a b 0.
只要证 2 ab a b, ab a b .
的最大值为___2___2.
例2.已知x>0,y>0,且x+y=1，求 1 4 的最小值 xy
高考数学(理)总复习课件：基本不等式
[解析] 法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2 3xy，
所以3xy≤
x＋3y 2
2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取
等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
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2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每 小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表 示为y＝71152－x26－x0，13x0∈x＋[840，90102，0].x∈[50，80， (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶 向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
知a＋2 b＞ ab，综上所述，a＜ ab＜a＋2 b＜b，故选B.
3．函数f(x)＝x＋1x的值域为 A．[－2,2]
返回
( C) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：当x＞0时，x＋1x≥2
当x＜0时，－x＞0.
D．R x·1x＝2.
－x＋－1x≥2 －x·－1x＝2.
第三节 基本不等式
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
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1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
专题05基本不等式(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)
解：显然， a2 1 0 ，
则， a2 2 a2 1 1 2 a2 1 1 2 ，
a2 1
a2 1
a2 1
当且仅当
a2 1
1
a2 1 ，即 a 0 时，等号成立.
所以， a2 2 的最小值是 2，此时 a 0 .
a2 1
例 14 ．（ 2022 秋 ·云 南 楚 雄 ·高 三 云 南 省 楚 雄 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 函 数
A．有最大值 4 B．有最小值 4 C．有最大值 4 D．有最小值 4 解： x 0，x 0，
y
x
4 x
(x)
4 x
2
(
x)
4 x
4
，当且仅当
x
2
时等号成立，
故选：A
考点二 拼凑法求最值
例 6．（2023·陕西榆林·统考三模）若 a 1，则 a 9 的最小值为________． a 1
a
2
b
2
a
b2
4a
b
4
0
a
b
2
2
2，
当且仅当 a b 时成立，A 正确；
对于 B， ab 1 a b 2 ab ，即
故答案为：3
例 20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 a，b 满足 a 2b 4 ，则 1 1 的最 a b1
小值是（ ）
A．1 B． 33 C． 3 2 2 D．1 3
28
6
3
解：由已知可得，
a
2b
1
6
，所以
1 6
a
2
b
1
1.
又 a,b 0 ，
所
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
+
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
复习课基本不等式ppt课件
答: (1)仓库表面积S的最大允许值为100米2；
(2)正面铁栅应设计为15米。
探究题二
甲、乙两电脑批发商一次在同一电脑耗材厂以 相同的价格购进电脑芯片。甲、乙两家分别购 芯片两次，每次的芯片价格不同，甲每次购买 10000片芯片，乙每次购10000元芯片。两次 购芯片，哪一家平均成本低？请给出相应的证 明。
1、掌握并熟练应用两个基本不等式是重点
在近几年的高考中,多次出现公式a2+b2≥2ab(a，b∈R)和 a b ab（a，b≥0） 2
及其变形的应用，特点是随着应用能力考查的加强，均值定理求最值、范围以及一些 实际应用性的考查已经成为高考编拟考题的热点。如前面的第3题，利用基本不等式解 题最为简捷。
基本不等式考点：
1、利用基本不等式求解有关范围、函数 最值问题；
2、利用均值不等式解决以生活为背景的 应用问题。
谢 谢 ！
高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方 米造价20元，试计算： （1）仓库表面积S的最大允许值为多少？ （2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么 正面铁栅应设计为多长？
解：设铁栅长为 x 米，一堵砖墙长为 y 米，则S=xy米．
例题选讲
例1、设x，y为正实数，且xy－（x+y）=1，则（ ）
A.x y 2( 2 1); B.x y 2( 2 1); C.x y ( 2 1)2; D.x y ( 2 1)2;
探究题一
求函数 y = x2+ 1 (x＜0)的最大值 2x
例题选讲
例２：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），
ab 2
ab还可以得到以下常用结论
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素养清单,知识归纳
1．重要不等式
a2＋b2≥___2_a_b__(a，b∈R)(当且仅当____a_＝___b时等号成立)．
2．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：____a_>_0_，__b_>__0； (2)等号成立的条件：当且仅当____a_＝__b_时等号成立．
• 3．算术平均数与几何平均数 • 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为__a_b___，
又∵x>2，∴x＝
3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．
• 解题反思，形成素养
• (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆 ”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等 式中“正”“定”“等”的条件．
• (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0， 若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再 运用基本不等式求解．
0
2
多
考点突破一配凑法求最值 利用基本不等式求最值
维
探
• 利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，主要考究
查求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试
题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有
时解答题中也会利用基本不等式求最值．
1(基本)若 x>0，y>0，且 2(x＋y)＝36，则 xy的最大值为
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
(2)ab≤(a＋2 b)2 成立的条件是 ab>0.( × )
(3)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π x，x∈(0， 2 )的最小值等于
4.(
×
)
(4)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充要条件.( × )
(5)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.( × )
1．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2 ab(a>0，b>0)． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)． (3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)． (4)ba＋ab≥2(a，b同号)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b．
(概念辨析)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”)
几何平均数为__a_＋_b__，基本不等式可叙述为： _______________2__________________________ ________两．个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
4．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当___x_＝__y__时，x＋y有最小值2 P(简记：“积定和最小”)． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值S42(简记：“和定积最大”)．
• (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a ＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重 要，忽略它往往会导致解题错误．
• (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果 的题目切记等号成立的条件要一致．
• [误区警示] 使用基本不等式求最值，“一 正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可 ．
• 考点突破二：常数代换法求最值 • 1（基础）若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x
4．（变式 1）(2020·贵州贵阳月考)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值B
为
()
A．13
B．12
C．34
D．23
解析
∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3
x＋1－x 2
2＝
3 4
.
当且仅当x＝1－x，
即x＝12时，“＝”成立．
（变式 2） _________．
1
(2018·湖北荆州期末)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为
解析
因为x<
5 4
，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋4x－1 5
＝－
5－4x＋5－14x
＋3≤
－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋4x－1 5的
最大值为1．
解析 (1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋y y＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2. 当且仅当yx＝2yx时，取等号. (2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1， 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号.
A．9
B．18
C．36
D．81
() A
解析 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9时， 等号成立．
2．（引申）已知 f(x)＝x＋1x(x<0)，则 f(x)有
C
()
A．最大值 0
B．最小值 0
C．最大值－2
D．最小值－2
解析 ∵x<0，∴f(x)＝－－x＋－1x≤－2，当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等 号．∴f(x)有最大值－2．
（拔高）若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取得最小值，则 a 等于
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
() C
解析 ∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2· x－2·x－1 2
＋2＝2＋2＝4，
当且仅当x－2＝
1 x－2
，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3.
基本不等式
数学组 杨强
• • 1.了解基本不等式的证明过程． • 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
Hale Waihona Puke 真题再现• (2019天津13) • 设X>0,y>0, X+2y=5,则 (x 1)(2y 1)的最小值为___
xy
【点睛】使用基本不等式求最值时 一定要验证等号是否能够成立
• 2019年天津高考题用到哪些知识点？遇到 该类型题你如何应对？你必须具备哪些数 学素养？
＋3y的最小值是____5_．
解析 由3x＋y＝5xy，得3xx＋y y＝3y＋1x＝5，
所以4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x
＝154＋9＋3xy＋1y2x≥15(4＋9＋2 36)＝5，
当且仅当3xy＝12yx，即y＝2x时，“＝”成立．
（变式） 2 (1)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为 ________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最大值为________. 答案 (1)3＋2 2 (2)1