等离子体物理-第六章-3

令ωb=0,得到静止等离子体中波的色散方程：
2 p 1 pe 2 0
令ωpe=0,得到运动的电子束中静电波的色散方程 b2 b 1 0 2 ( kb ) 在该系统中不稳定性是由等离子体本征振荡与电子束中的 静电振荡）相互耦合产生的 耦合的色散方程表明，在ω ＝kvb点，即波的相速 vp= ω /k=vb时，将产生较强的不稳定性
b2 (1
2 ii r
k
pe 2 2 b
) 2 (r ii kb ) i2
2 pe 2 2 b 1/ 2
r kb
i b 1 k
kb pe
上式为 振频率接近等离子体静电波振荡频率 r / k b pe /k 时，即 不稳定性增长率趋于∞。实际 上在考虑到一级近似情况下，增长率存在最大值。
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
在一级近似下，得到关于δ的三次方程，求解可得最大
增长率：
( i ) max
r i( ，并使得 0) 如果
离子体存在着不稳定的静电振荡 0 等离子体不稳定性的必要条件和充分条件 是 Z k
Z 0 k
， f0(V)代表的等
§8•2 静电不稳定性
潘罗斯（Penrose）判据
当且仅当在 f0(V) 在 r 0 / k 点有极小值 时 2 r 0 r 0
k

vb
i (
b / vb 2 pe 1/ 2
2
1)
对于增长模式取“—”号，空间增长率为：
b / vb I m (k ) 2 pe 1/ 2
(
当 pe
时，得到最大的空间增长率

2
1)
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
不稳定性波的时间增长率：
当不稳定波的相速ω/k接近于电子束的定向速度 vb时 定义： kvb | |
2 pe 色散方程变为： b 1 2 p 2
2
将方程的右端在ω＝k vb点处展开，并只保留一阶小量 2 pe p 1 2 ( p ) kv ( kvb ) kv
二、微观不稳定性的产生及意义
形成不稳定性要有能量来源，才能使波不断增长。驱动微观
不稳定性的能量来源有哪些？
§8•1 等离子体微观不稳定性概述
1、等离子体偏离麦克斯韦分布时的自由能 当粒子的密度分布处于Maxwell分布时，等离子体的熵S为 极大值Smax，而非Maxwell分布时的熵值S比Smax小，此时 的自由能将大于Maxwell氏分布时的自由能。当一种非 Maxwell分布向Maxwell分布过渡时，多余的自由能被释放 出来，便可以驱动微观不稳定性 2、等离子体中粒子定向运动的动能： 例如由一定速度注入粒子束或由等离子体中存在密度、温度 的梯度引起的抗磁漂移所提供的能量，也可以驱动微观不稳 定性，但能量较小。 3、膨胀能 等离子体通过膨胀趋向于空间均匀分布时，其内能将会降低， 由此释放的能量可以驱动微观不稳定性，且能量较大。
1/ 3 1 1 2 3 2 b pe 3 ( 1 b max I m max I m i )1 / 3 pe 2 2 2 2 2
同流体理论得到的结果完全一致


v f 0 (v ) f 0 dv 0 k k
等离子体中会出现按指数增长的静电模式
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
设密度为nb的电子束注入到冷等离子体（密度为ne）中，
视离子为静止不动的正电荷背景，则该束——等离子体 系统的电子速度分布函数可写
色散关系 ：
f 0 e d 0 D(k , ) 1 0 mk 2 k
2
k
假定波的传播方向沿 X 轴：
如果具有f0(V)分布函数的等离子体存在静电不稳定性 ， Z 且为实数 0 由于k为实数，k2大于零， k

df 0 2 e 2 d k dv Z 0m k k
§8•1 等离子体微观不稳定性概述
1、当研究波沿某一方向传播的情况时，可假定ω 为实
数，k为复数
A1 e
i ( k r t )
k k 0 ik1
A1 eik0 r k1 r
表明波在传播过程中幅度随exp(k1r) 变化，所谓的“空
间不稳定性” 2、当研究所谓“时间不稳定性”时，可假定k为实量， 从色散方程中求出 :
隔之内,即
（波的增长率） (粒子间的碰撞频率)
§8•1 等离子体微观不稳定性概述
等离子体不稳定性特征为： 1、宏观不稳定 相对增长缓慢：增长率
，可以仅用流体理论处
理，不必作涉及分布函数的分析。 2、微观不稳定性 不能仅用宏观运动方程导出，而必须考虑等离子体的精细描 述（如分布函数的变化）后才能得到，故又称为“速度空间 不稳定性”。
§8•1 等离子体微观不稳定性概述
三、微观不稳定性分析方法
在不稳定性的初始阶段，扰动的振幅较小，可用线性近
似方法处理 。即联立求解Vlasov和Maxwell方程。 将粒子分布函数 f 与场矢量展开为扰动的一级量，略去 扰动量的二次以上项，得到线性化方程组。采用 Fourier变换，相当于作平面波近似，即设一级扰动量 按平面波因子（ exp[i(k r t)] ）变化，问题即转化为研究 各个Fourier分量的性质，并从此可以由基本方程组导 出波的色散方程，并且色散方程中的k、ω 都可能是复 数值。
§8•1 等离子体微观不稳定性概述
一个平衡的等离子体，总是会受到各种各样的扰动。假设扰
动是以波的形式出现，而一般的波可以看成是平面波的适当 组合，因此研究不稳定性只讨论平面波则可。平面波的时空 变化因子：
exp[i(k r t )] r i
当 0 时波就随时间指数增长，从而出现不稳定性. 等离子体不稳定性通常发生在远小于碰撞特征时间的时间间
b
1
2 pe
2
2
kvb
2 pe
3
b

kvb
2 2 pe 2 pe b2 1 2 2 3 (kb ) (kb )
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
考虑零级近似，即去掉展开式中的一阶小量
令对应于实数k的振荡波的角频率为 ：
f
(0)
() nb ( b ) ne () f
在0<v<vb区间上选择点vm，对应f
f ()
(0)
(0) b (0)(v
() f
(0) e
()
m)=0，

(0)


f ( 0) (v) f (0) (vm ) nb ne dv 0 2 2 2 (v vm ) (vb vm ) (0 vm )
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
将色散方程的形式进行变换：
2 b ( kvb ) 2 12 pe 2
当ω <ω pe时，上式的右端始终大于0，不存在虚根，系
统是稳定的 当ω >ω pe时，右端小于0，存在虚根 设k为复数， ω 为实数，得到k为：
1
nb ne df ( 0 ) v dv 2 k dv k vb k

2
D( k , ) 1
2 pe
2

2 b
( kvb )
2
0
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
§第八章 微观不稳定性
§8•1 等离子体微观不稳定性概述
一、基本特征
所谓等离子体不稳定性，是指等离子体中正在增长着的集体
运动。对于处于热力学平衡状态的等离子体而言，其中出现 的集体振荡模式一般是稳定的。如果等离子体偏离了热力学 平衡状态，集体模式就可能变成不稳定。 等离子体偏离热力学平衡其形式包括有两类方式： 一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学 量的空间局部化或不均匀性；这种不稳定性中等离子体通常 以整体形式在空间改变其形状，是等离子体作为整体时的宏 观运动，因而称为宏观不稳定性 一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布。这 种原因产生的不稳定性是等离子体内部的高频短波波长振荡， 即振荡波的波长接近Debye长度的量级，称为微观不稳定性。
fe ( )
(0)
fb ( )
由潘罗斯（Penrose）判据，表 明该系统是不稳定的，存在增 长的静电模式，其的相速
0 m
b

ph

k
m
§8•3 束——等离子体不稳定性
等离子体尾场加速器中静电波特性
静电不稳定性波的分析：
仅考虑纵向振荡，不稳定性色散方程为
df (0) e2 d d 0 D(k , ) 1 0 m0 k 2 k

存在着振幅增大和与之对应的不稳定性模式 在研究不稳定性时，通常希望得到： a）使(k ) 0 的 必要与充分条件； (k ) 对等离子体参数的依赖形式 b）

0
(k ) r (k ) i(k )
§8•2 静电不稳定性
条件是均匀、无界、非磁化等离子体： E0 B0 0