第二讲 绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法步骤
绝对值不等式的解法步骤一、绝对值的定义在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。
绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。
绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
二、绝对值不等式的基本形式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：1. |x|<a，表示x与0的距离小于a；2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。
三、解绝对值小于形式的不等式1. 当|a|<b时，有两种情况：a) a>0时，解为-b<a<b；b) a<0时，解为空集。
2. 当|a|≤b时，有两种情况：a) a>0时，解为-a≤x≤a；b) a<0时，解为x=0。
四、解绝对值大于形式的不等式1. 当|a|>b时，有两种情况：a) a>0时，解为x<-b或x>b；b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。
2. 当|a|≥b时，有两种情况：a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。
五、解绝对值不等式的注意事项在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。
2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。
3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。
4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。
六、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。
另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。
解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
二 绝对值不等式(2)——绝对值不等式的解法
絕對值不等式的解法目的要求： 會利用絕對值的幾何意義解絕對值不等式 重點難點： 絕對值不等式的解法。
教學設計：一、 復習： 復習：如果a>0，則|x|<a 的解集是(-a, a)；|x|>a 的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)二、型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||學生自己解決()我们有或对于绝对值不等式一个正实数是例如而得到通过转化为上述不等式值不等式的解一般可以即其他绝对的基础是解其他绝对值不等式上述绝对值不等式,)||(||,,.,,11a x x a x x a >-<-*⇔>--<-⇔>-a x x a x x a x x 111,||或.,11a x x a x x +>-<或.92.1,,,||11所示如图数轴上表示出来以上不等式的解可以在所以的点的距离为的点与坐标标为的几何意义是数轴上坐由于绝对值--x x x x 92.1-图ax x <-||1ax x >-||1().的不等式可以解一些含有绝对值式及绝对值的几何意义利用上述*()型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||1.2|13|3≤-x 解不等式例,2132,2|13|≤-≤-≤-x x 得由解得解,131≤≤-x .131,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-x x 原不等式的解集为因此.102.1,3231,3231,32|13|,所示如图合的点的集离不大于的点的距标为它的解集是数轴上到坐得两边除以如果将从几何上看-≤-≤-x x .7|32|4≥-x 解不式例|ax+b|<c 和|ax+b|>c(c>0)型不等式比較：.,.5,,,1,2,112.1.,以得出不等式的解就可点的位置确定出具有上述特点的所以我们只要在数轴上数的点所对应的实两点的距离之和不小于的解就是数轴上到那么不等式对应的点分别是设数轴上与如图分析我们从它的几何意义来式比较复杂分析：这个绝对值不等B A B A --1B 112.1-图;5||||,1.5,,111=+B A A A A A B A 这时有位到点个单向左移动将点的点的距离之和为点关键要在数轴上找出与为了求出不等式的解;5||||,1,111=+B B A B B B 这时也有个单位到点向右移动将点同理的的左边或点点和都小于的距离之之间的任何点到点与点点从数轴上可以看到1111;5,,B A B A B A [].1,2,3,,1,2,112.1都不是原不等式的解上的数因此区间两点的距离是那么为对应的点分别设数轴上与如图解法一---B A B A .5,的距离之和都大于右边的任何点到B A (][).,23,,+∞⋃-∞-原不等式的解集是所以(]()[).,,,1,1,2,2,,1,2,5|2||1|,,等式的解集们综合在一起就得到不把后然况的情解的三个区间上讨论不等式分别在这先集分成了三个区间实数把的点对应数轴上与时解可以发现解法述上分析+∞--∞--≥++-B A x x ..,,,,,因此我们有如下解法绝对值的不等式为不含绝对值不等式可以转化在这三个区间上将数分为三个区间为分界点以点事实上B A 不等式的解法和三、c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-.5|2||1|5≥++-x x 解不等式例(]≥≥++--<<--∞--≤≥+----≤，x x x x x x ，x ： ,53,5)2()1( ,123, ,3,5)2()1( ,22此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法φ①利用絕對值不等式的幾何意義 ②零點分區間法 ③構造函數法 四、小結總結兩種絕對值不等式的常用解法，以及各自的幾何意義.()()().,,.,0,数图象求不等式的解集利用函点我们也可以从函数的观类似地根近似程的可以利用函数图象求方的关系的根的零点与方程由函数时我们知道在学习函数知识==x f x f y (][)+∞⋃-∞-⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--=-++-=≥-++-,23,1 x , 4-2x 1x 2- 2,-6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，x y ，x x y x x：122.1-图型不等式的解法和c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-。
第二节 含绝对值不等式的解法
第二节 含绝对值不等式的解法问1：不等式有哪些性质？你会解关于x 的不等式b ax >吗？问2：)0(||>>+c c b ax 型不等式的解法是什么？)0(||><+c c b ax 型不等式的解法是什么？A 组练习：1．解不等式8|5|<-x ，并把解集画在数轴上。
2．解不等式7|52|>+x ，并把解集画在数轴上。
3．解不等式|26|4x -≥。
4．解不等式3|12|1≤-<x 。
5．已知集合}2|1||{<-=x x A ，}1|1||{>-=x x B ，求B A 。
6．解不等式2|2||1|<++-x x 。
7．解不等式3|32||1|>-+-x x 。
8．解不等式x x x +>-+-3|2||1|。
B 组练习1．解关于x 的不等式3|3|<+ax 。
2．已知}4|||{<-=a x x A ，}3|2||{>-=x x B ，且R B A = ，求a 的范围。
3．已知集合}5|{}2|{>-<=x x x x A ，}|||{a x x B <=，且∅=B A ，求实数a 的取值范围。
4． 完成下列各题：（1） 若不等式a x x ≤++-21的解集非空，则实数a 的取值范围是__________（2） 若不等式a x x >++-21恒成立，则实数a 的取值范围是__________（3） 若不等式a x x >+--21的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________（4） 若不等式a x x ≥+--21恒成立，则实数a 的取值范围是__________（5） 若不等式a x x <+--21恒成立，则实数a 的取值范围是__________（6） 若不等式a x x ≤+--21的解集非空，则实数a 的取值范围是__________写出你对此题的心得体会：。
绝对值不等式解法
绝对值不等式解法绝对值不等式是数学中常见的一种不等式类型，它在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将从绝对值不等式的定义、性质和解法等方面进行探讨。
一、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指形如|a| < b或|a| > b的不等式，其中a和b为实数。
绝对值不等式中的绝对值符号| |表示取绝对值的运算，即将其内部的数取绝对值。
二、绝对值不等式的性质1. 若a > 0，则|a| = a；2. 若a < 0，则|a| = -a；3. 对于任意实数a和b，有以下性质：a) |a| ≥ 0；b) |a| = 0的充分必要条件是a = 0；c) |ab| = |a| |b|；d) |a + b| ≤ |a| + |b|。
三、绝对值不等式的解法1. 绝对值不等式的解集可分为以下几种情况：a) 当|a| < b时，解集为(-b, b)；b) 当|a| > b时，解集为(-∞, -b)∪(b, +∞)；c) 当|a| = b时，解集为{-b, b}。
2. 对于复杂的绝对值不等式，可以通过以下几种方法进行求解：a) 利用绝对值的性质，将不等式转化为简单的形式；b) 通过分析绝对值函数的图像和性质，确定不等式的解集；c) 将不等式分解为多个简单的不等式，并求解其解集；d) 利用代数方法和推理，得出不等式的解集。
四、绝对值不等式的应用举例1. 绝对值不等式在求解方程、不等式和问题中具有广泛的应用，如求解含绝对值的方程、不等式的解集；2. 在实际问题中，绝对值不等式可以用来描述距离、误差等概念，如求解一段路程上的最大误差、最小误差等；3. 绝对值不等式也常用于优化问题的求解中，如求解目标函数的最大值、最小值等。
绝对值不等式作为数学中的重要概念和工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
通过对绝对值不等式的定义、性质和解法的探讨，我们可以更好地理解和运用这一概念，从而解决实际问题。
同时，我们也应该注意绝对值不等式的合理性和准确性，避免在解题过程中出现错误或误解。
高中数学：绝对值不等式的解法
高中数学：绝对值不等式的解法
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法。
一、注意绝对值的定义，用公式法
即若，则；若，则或。
例1、解不等式
解：由题意知，原不等式转化为
二、注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。
例2、解不等式
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式
解得
故原不等式的解集为
三、注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3、解不等式
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令和得分界点
于是，可分区间
讨论原不等式
解得
综上不等式的解为
四、平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4、解关于x的不等式
解：化为后，通常分
，三种情况去绝对值符号，再分进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。
改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得。
再由定义去绝对值号，有：
（1）
；
（2）。
综上知
故当时，解为；当时，解为。
第2节_含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法
第一章
间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
集合与简易逻辑
2 ．一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的实根
不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 不等式 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
第一章
2．不等式1<|x＋1|<3的解集是 A．{0,2} C．(－4,0) 【解析】
集合与简易逻辑
( )
B．{－2,0}∪(2,4) D．(－4，－2)∪(0,2) 原不等式可化为 ⇒
⇒ ∴0<x<2或－4<x<－2.故选D.
.
【答案】 D
第一章
集合与简易逻辑
3 ．已知不等式 x2 － 2x － 3<0 的解集为 A ，不等式 x2
第一章
集合与简易逻辑
3．(理科)已知不等式mx2－2x－m＋1<0. (1) 若对于所有的实数 x 不等式恒成立，求 m 的取值 范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求
x的取值范围． 【解析】 (1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即 函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在 x轴下方．注意 讨论m＝0时的情况．
∴a≥－1，∴－1≤a<0，综上所述a≥－1.
第一章
【方法技巧】
集合与简易逻辑
关于一元二次不等式恒成立问题，
可以利用数形结合法，根据对称轴和区间的位置关系，
列出不等式求解；也可转化为函数在某区间上的最大值
2.2绝对值不等式的解法教案
绝对值不等式的解法教案教学目标（1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．（2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。
教学重点：型的不等式的解法；教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．教学过程设计教师活动：一、导入新课【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】【不等式的代数意义及几何意义】学生活动口答：代数意义几何意义|a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。
设计意图`绝对值的概念是解与（）型绝对值不等式的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫．【不等式的性质】:①若a>b ；c∈R 则a+c>b+c②若a>b ；c>0 则ac>bc③若a>b ；c<0 则ac<b二、新课1、考察、研究特殊情况【导入】2的绝对值等于几－2的绝对值等于几绝对值等于2的数是谁在数轴上表示出来．【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2．{【提问】如何解绝对值方程．【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数．画出数轴，思考答案不等式的解集表示为【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误．,画出数轴思考答案不等式的解集为或表示为，或2、自主演练：解下列不等式1）| x | < 4| x | < -1| x | ≤0>2）| x | > 4| x | > -3| x | >03一般地，不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a}；不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。
绝对值不等式的解法
定理2
如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y C . x y 2 B . x y 2 D. x y
C
)
B.1 a 7 C.a 1 D.a 1 6.设m , 0, x a , y b , a m , y m , 2 2 求证 xy ab m
小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
b
a+b
O
a
x
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
a
O
a+b
3x 4 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组 3x 4 6 5 x 1或x 3 3 x 4 1或 3 x 4 1 即 6 3 x 4 6 10 x 2 3 3 10 5 2 解得 x 或1 x 3 3 3 2 10 5 故原不等式的解集为 , 1, . 3 3 3
初中数学教案：绝对值不等式的解法
初中数学教案：绝对值不等式的解法绝对值不等式是初中阶段数学中非常重要的概念之一，不仅在初中数学中，也会涉及到高中数学、甚至是大学数学中的一些想法。
在初中数学教案中，绝对值不等式的解法也是一个非常重要的部分，涉及到了不等式的基本应用和数学知识点的理解。
下面我们将详细探讨初中数学教案中的绝对值不等式的解法。
一、绝对值不等式的定义在初中数学教案中，我们常常说到绝对值不等式，那么什么是绝对值不等式呢？通俗来讲，绝对值不等式就是用来描述数值大小关系的不等式表达式。
其基本形式如下：|f(x)|≤a 或者|f(x)|≥a其中，f(x)是一元函数，a是正数。
二、绝对值不等式的解法1.范围首先在解绝对值不等式时，需要求得变量x的取值范围，然后根据取值范围得出相应的解法。
在求取变量x的取值范围时，需要根据不等式中绝对值符号的正负性情况以及a的取值情况来进行不同情况的讨论。
① |f(x)|≤a如果a>0，则有- a≤f(x)≤a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有0≤f(x)≤a，所以x ∈[b,c]，其中0≤b≤c≤a。
当f(x)＜0时，有-a＜f(x)＜0，所以x∈(d,e)，其中-a<d<e<0。
综合起来，得到x∈[b,c]∪(d,e)。
② |f(x)|≥a如果a≥ 0，则有f(x)≥a或f(x)≤- a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有f(x)≥a，所以x∈[f,g]，其中g≥f≥a。
当f(x)＜0时，有f(x)≤- a，所以x∈(-h,-i]∪[i,h)，其中-i≤h＜i≤-a。
综合起来，得到x∈(-h,-i]∪[f,g]∪[i,h)。
2.常规解法另一种常规的解法是将绝对值符号去掉。
当然，在去掉绝对值符号后需要分别考虑函数f(x)≥0和f(x)＜0两种情况。
如果函数f(x)≥0，则有：f(x)≤a 或f(x)≥-a如果函数f(x)＜0，则有：-f(x)≤a 或-f(x)≥-a通过两种情况的判断，最终得到的解法可以修正前面所得到的结论。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
绝对值不等式的解法(二)
法一:几何法，-5<x≤-1，或1≤x<5
一般化：
a≤|x|≤b a≤x≤b或 -b≤x≤-a
(b>a>0)
法二:转化法，把连不等式转化为不等式组求解,
| x | 1 | x | 5
法三:是去绝对值法，通过分两种情况去掉绝对值.
x 0
x 0
1 x 5 ① 或 1 x 5 ②
变题：解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.
x 3 原不等式等价于 (x 3) (x 1) 1 ①
或
1 x (x 3)
3
(x
1)
1②或x
1 (x 3)
(
x
1)
③
1
方法2：数形结合法.
（4）形如问题：不等式| x+2 | + | x | >a恒 成立，求a的取值范围.
有两种方法：数形结合法，零点分段法. 用数 形结合法最简单.
变题：解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.
解: 法1：由原不等式得 1≤2x-1<5 或 –5<2x-1≤-1 即 2≤2x<6 或 –4<2x≤0. 解得 1x<3 或 –2< x ≤0. ∴ 原不等式的解集为{x|-2<x≤0 或 1≤x<3}
变题：解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 法2：原不等式等价于
（1）形如1≤| 2x-1|<5不等式的解法：有三种. 方法1：几何法，也可看作公式法.
由原不等式得 1≤2x-1<5或 –5<2x-1≤-1
方法2：转化法. 原不等式等价于
| 2x 1| 5 | 2x 1| 1
方法3：零点分段法（去绝对值）.
高二数学人选修课件二绝对值不等式的解法
04 多元绝对值不等 式解法
逐项分析法
逐项分析法的定义
通过对多元绝对值不等式中的每一项进行分析，将其转化 为一系列一元或二元绝对值不等式，然后分别求解。
逐项分析法的步骤
首先确定不等式中各项的符号，然后根据绝对值的性质将 其转化为一系列一元或二元绝对值不等式，最后分别求解 这些不等式。
逐项分析法的优缺点
02 一元一次绝对值 不等式解法
分类讨论法
01
02
03
去除绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝 对值不等式转化为分段函 数，分别讨论每个区间内 的情况。
解不等式
在每个区间内，去除绝对 值符号，将不等式转化为 普通的一元一次不等式进 行求解。
合并解集
将每个区间内的解集合并 ，得到最终的解集。
数轴分析法
力学中的弹性和塑性变形
在力学中，弹性和塑性变形是物体受力后发生的两种基本变 形。绝对值不等式可以用来描述物体在受力过程中的变形情 况，帮助分析物体的力学性质和稳定性。
在工程学中应用举例
工程设计中的误差分析
在工程设计中，误差分析是评估设计方 案可行性和可靠性的重要环节。绝对值 不等式可以用来描述设计方案中各项参 数在一定范围内的波动情况，进而分析 误差对设计方案的影响程度和可接受范 围。
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值性质
绝对值具有非负性、对称性和三角不等式性质。即对于任意实数$x, y$，有$|x| geq 0$，$|-x| = |x|$，$|x + y| leq |x| + |y|$。
典型例题解析
15-16版: 2 绝对值不等式的解法
2 绝对值不等式的解法[学习目标] 1.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题.2.了解绝对值不等式的几何解法．[知识链接] 解下列不等式： (1) |x －2|≤3； (2)|x －2|＞1； (3)1＜|x －2|≤3； (4)|2x ＋5|＞7＋x .答案 (1)|x －2|≤3⇔－3≤x －2≤3⇔－1≤x ≤5.(2)|x －2|＞1⇔x －2＞1或x －2＜－1，解得x ＞3或x ＜1.(3)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，(4)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4，或x ＞2}． [预习导引]1．|x |＞a 和|x |＜a (a ＞0)型不等式的解法 |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ；|x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . 2．|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义；(2)利用x －a ＝0，x －b ＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之；(3)通过构成函数，利用函数的图象.要点一 绝对值不等式的解法 例1 (1)解不等式|x ＋3|＋|x －3|＞8； (2)解不等式|2x ＋1|－|x －4|＞2.解 (1)方法一 由代数式|x ＋3|、|x －3|知，－3和3把实数集分为三个区间：x ＜－3，－3≤x ＜3，x ≥3.当x ＜－3时，－x －3－x ＋3＞8，即x ＜－4，此时不等式的解集为{x |x ＜－4}．① 当－3≤x ＜3时，x ＋3－x ＋3＞8，此时不等式无解② 当x ≥3时，x ＋3＋x －3＞8，即x ＞4， 此时不等式的解集为{x |x ＞4}③ 取①②③式的并集得原不等式的解集为 {x |x ＜－4，或x ＞4}．方法二 分别画出函数y 1＝|x ＋3|＋|x －3|和y 2＝8的图象，如图所示． y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x (x ＜－3)6 (－3≤x ＜3)，2x (x ≥3)不难看出，要使y 1＞y 2，只需x ＜－4或x ＞4. ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4，或x ＞4}． (2)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝⎛⎭⎫x ≤－123x －3 ⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜4x ＋5 (x ≥4)，作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|与函数y ＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和⎝⎛⎭⎫53，2.所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. 规律方法 对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点)．令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6，解之得32＜x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x ＜－12，即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， ∴|a －1|＞4，解此不等式得a ＜－3或a ＞5. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 要点二 与函数有关的绝对值不等式 例2 已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解 (1)函数的定义域满足：|x －1|＋|x －5|－a ＞0，即|x －1|＋|x －5|＞a ， 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝|x －1|＋|5－x | ≥|x －1＋5－x |＝4，g (x )min ＝ 4，f (x )min ＝log 2 (4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. |x －1|＋|x －5|－a ＞0，∴a ＜4，∴a 的取值范围是(－∞，4).规律方法 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值的不等式(组)，为此往往需要分区间进行讨论去绝对值符号；有些绝对值不等式利用绝对值的几何意义解起来更快速． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为(－∞，1]∪[5，＋∞)． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12由已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3.要点三 含绝对值不等式的恒成立问题 例3 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m . (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅.分别求出m 的范围．解方法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|P A|－|PB|.由图象知(|P A|－|PB|)max＝1，(|P A|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.方法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.规律方法问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，都属于恒成立问题，问题(2)、(3)则属于恒成立问题．要对任意实数x，结论都成立或都不成立，都不成立也就是结论的矛盾方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.跟踪演练3设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当时a＝－5，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．解(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象(如图所示), 知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0， 即|x ＋1|＋|x －2|≥－a 由(1)|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴－a ≤3，∴a ≥－3.1．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ＋13－x ＜0，则A ∩B 是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，或2＜x ＜3， B ．{x |2＜x ＜3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2 D ．{x |－1＜x ＜－12}答案 D解析 ∵A ＝{x |－2＜2x ＜4}＝{x |－1＜x ＜2}．B ＝{x |(2x ＋1)(x －3)＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－12，或x ＞3.∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12.2．不等式3≤|5－2x |＜9的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 由3≤|5－2x |＜9得3≤2x －5＜9，或－9＜2x －5≤－3，即4≤x ＜7或－2＜x ≤1，所以不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)，选D. 3．不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，53解析 当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0，当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53.综上不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，53. 4．解不等式|x 2－2x ＋3|＜|3x －1|. 解 x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0， |x 2－2x ＋3|＜|3x －1|⇔x 2－2x ＋3＜|3x －1| ⇔3x －1＞x 2－2x ＋3或3x －1＜－x 2＋2x －3. 由x 2－5x ＋4＜0，得1＜x ＜4，由x 2＋x ＋2＜0，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74＜0， 该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1,4)．1.解不等式|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c(1)当c ≥0时，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，解之即可； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，解之即可．(2)当c ＜0时，由绝对值的定义知|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．解|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的一般步骤 ①令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； ④这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．。
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解：对绝对值里面的代数式符号讨论：
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
5x-6<0
(Ⅱ)
-（5x-6）<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ<6/5 取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 当6-x≦0时,显然无解； 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： 6-x≤0 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x)
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4 3、| x-1 | > 2( x-3)
x x x2 x2
4、
5、| 2x+1 |> | x+2 |
类型2
课本P17
x a x b c和 x a x b c
例：解不等式
x 1 x 2 5
方法2：去绝对值
x | x x1或x x2 x | x x1
R
x | x1 x x2
大于取两边，小于取中间
大于取两边，小于取中间
类型1
| f(x)|<a, |f(x)|>a (a>0)
课本P15
课本P16
引伸：
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？
(Ⅰ ) 或
(Ⅱ )
无解
解(Ⅰ)得：0<x<2; (Ⅱ) 无解
综上得：0<x<2
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 进一步反思 :不等式组 当6-x ≦0时,显然无解； 中 6-x>0 是否可以去掉 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)
解： 类型 1 由绝对值的意义，原不等式转化为：
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得（0，2） 解：
5x-6 ≥ 0
方法1：几何意义 方法3：函数的观点
x 1 x 2 5
x 1 x 2 5
课本P19
b 2 4ac
ax 2 bx c 0 (a 0)的根
0
x1 x2
0
x1 x2
0
无实数根
y ax 2 bx c (a 0)的图象
x1
x2
x
x1
x
x
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集 ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
有更一般的结论： 6-x>0 X<6 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) -(6-x)<5x-6 -(6-x)<5x-6<(6-x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) 5x-6<(6-x)
0<x<2
练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。