人教A版高中数学必修五2.5.4数列求和检测题

9．在数列 { an} 中，已知 a1＝ 1， an＋1＋(－1)nan＝ cos(n＋1) π，记 Sn 为数列 { an} 的
前 n 项和，则 S2 017＝ ________.
解析 ：∵ an＋1＋(－1)nan＝ cos(n＋1) π＝ (－ 1)n＋1， ∴当 n＝2k 时， a2k＋1＋a2k＝－ 1，k∈N* ，
15．Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，且 a1＝1，S7＝ 28.记 bn＝[lg an]，其中 [x]表 示不超过 x 的最大整数，如 [0.9] ＝0，[lg 99] ＝1.
（ 1）求 b1， b11，b101；
（ 2）求数列 { bn} 的前 1 000 项和．
解析 ：(1)设{ an} 的公差为 d，据已知有 7＋21d＝ 28， 解得 d＝1. 所以 { an} 的通项公式为 an＝n. b1＝ [lg 1] ＝0，b11＝ [lg 11] ＝1， b101＝ [lg 101] ＝2.
＝
1 n＋
－ 1
1 n＋
，所以 2
{
bn}
的前
10
11 11 11
1 1 11 5
项和为 S10＝ 2－3 ＋ 3－4 ＋ 4－ 5 ＋… ＋ 11－12 ＝2－12＝ 12，故选 B.
答案： B
1 5．已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，a5＝ 5，S5＝15，则数列 anan＋1 的前 100
的前
10
项和为
________．
解析： 由题意得：
n n＋ 1 an＝ (an－ an－1)＋ (an－1－an－2)＋… ＋(a2－a1)＋ a1＝n＋n－1＋…＋ 2＋ 1＝ 2 ，
1 11
1
2n
20
所以 an＝2(n－n＋1)， Sn＝2(1－n＋1)＝ n＋1，S10＝11.
答案：
20 11
项和为 ( )
100 A. 101
99 B. 101
99 C. 100
101 D. 100
解析 ：由 S5＝5a3 及 S5＝15 得 a3＝3，
∴
d＝
a5－a3＝ 5－3
1，a1＝
1，∴
an＝
n，
1 anan＋
＝
1
n
1 n＋1
＝1n－n＋1 1，所以数列
1 anan＋ 1
的前 100 项和 T100＝1－ 12＋ 12－ 13＋ …＋1100－ 1101＝1－1101＝110001，故选 A.
答案 ：59 2
1 12．设 f(x)＝ 2x＋
2，则 f(－ 5)＋f(－4)＋…＋ f(0)＋…＋ f(5)＋f(6)＝________.
1 解析： f(x)＝ 2x＋
1 2， f(1－x)＝ 21－x＋
2x 2＝2＋ 2·2x＝
1 ·2x 2 2＋2x，
1＋ 22·2x ∴ f(x)＋ f(1－x)＝ 2＋2x ＝
项和为 ( )
100 A. 101
99 B. 101
99 C. 100
101 D. 100
6．数列
1，1＋1 2，1＋12＋3，…，
1＋
1 2＋…＋
n的前
n 项和为 (
)
2n A. 2n＋1
2n B. n＋ 1
n＋2 C. n＋1
n D. 2n＋1
11 1
1
7．数列 2·5，5·8，8·11，…， 3n－1 ·3n＋2 ，…的前 n 项和为 ( )
答案 ：A
6．数列
1，1＋1 2，1＋12＋3，…，
1＋
1 2＋…＋
n的前
n 项和为 (
)
2n A. 2n＋1
2n B. n＋ 1
n＋2 C. n＋1
n D. 2n＋1
2 解析：该数列的通项为 an＝n n＋1 ，分裂为两项差的形式为
an＝2 1n－n＋1 1 ，令
n＝1,2,3，… ，则 Sn＝2 1－12＋12－13＋13－14＋ …＋1n－n＋1 1 ，
解析：（1）设等差数列 { an} 的公差为 d.
a1＋2d＝－ 6，
a1＝－ 10，
∵ a3＝－ 6，a6＝ 0，∴
解得
a1＋5d＝ 0，
d＝2.
∴ an＝－ 10＋(n－1)× 2＝ 2n－12.
（ 2）设等比数列 { bn} 的公比为 q， ∵ b2＝a1＋a2＋a3＝－ 24，b1＝－ 8，
2－
n)
4．数列 { an} ， { bn} 满足 anbn＝1，an＝ n2＋3n＋ 2，则 { bn} 的前 10 项和为 ( )
1 A. 4
5 B. 12
3 C. 4
7 D. 12
1 5．已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，a5＝ 5，S5＝15，则数列 anan＋1 的前 100
)
A．16(1－ 4－n)
B．16(1－ 2－n)
C.
32 3 (1－
4－n)
D.
32 3 (1－
2－
n)
1
解析：
由
aa52＝
q3＝42＝
1 8知
1 q＝ 2，
而新的数列 { anan＋1} 仍为等比数列，且公比为
q2＝
1 4.
又 a1a2＝4×2＝8，
故
8 a1a2＋a2a3＋…＋ anan＋1＝
∴ S2 017＝ a1＋(a2＋a3)＋ …＋(a2 016＋ a2 017)＝1＋(－ 1)×1 008＝－ 1 007.
答案 ：－ 1 007 10．数列 1,1＋ 2,1＋ 2＋ 22，…，1＋2＋22＋…＋ 2n－1，…的前 n 项和为 ________．
解析： 该数列的前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋… ＋an，
)
A．－ 6(1－3－10) C．3(1－3－10)
B.
1 9(1－
3－
10)
D．3(1＋3－10)
an＋1
1
4
解析： 由 an ＝－ 3，由 a2＝－ 3，∴ a1＝4，
∴ Sn＝3 1－
1 －3
n
，令
n＝10 得 S10＝3(1－3－10)．
答案： C
1
3．已知 { an} 是等比数列， a2＝ 2，a5＝4，则 a1a2＋a2a3＋…＋ anan＋1＝ (
人教 A 版高中数学必修五
一、选择题
2.5.4 数列求和检测题
1．在等差数列 { an} 中， a9＋a11＝10，则数列 { an} 的前 19 项和为 ( )
A．98
B．95
C．93
D．90
2．已知数列 { an} 满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－ 43，则 { an} 的前 10 项和等于 (
解析：（1）设数列 { an} 的公比为 q，
由题知： 2(a3＋2)＝a2＋a4， ∴ q3－2q2＋q－2＝0，即 (q－ 2)(q2＋ 1)＝0. ∴ q＝ 2，即 an＝ 2·2n－1＝2n. （ 2） bn＝n·2n， ∴ Sn＝1·2＋2·22＋ 3·23＋…＋ n·2n.① 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1) ·2n＋ n·2n＋1.② ①－②得－ Sn＝21＋ 22＋23＋24＋…＋ 2n－n·2n＋1＝－ 2－ (n－1) ·2n＋1. ∴ Sn＝2＋(n－1) ·2n＋1.
前 n 项和，则 S2 017＝ ________. 10．数列 1,1＋ 2,1＋ 2＋ 22，…，1＋2＋22＋…＋ 2n－1，…的前 n 项和为 ________．
11．已知点
nπ sin 2 ，an＋
42π在直线
l ：y＝－
2π 2x＋ 4 ＋2
2上，则数列 { an} 的
前 30 项的和为 ________．
1 12．设 f(x)＝ 2x＋ 2，则 f(－ 5)＋f(－4)＋…＋ f(0)＋…＋ f(5)＋f(6)＝________.
二、解答题
13．已知 { an} 为等差数列，且 a3＝－ 6， a6＝0. （1）求 { an} 的通项公式； （2）若等比数列 { bn} 满足 b1＝－ 8，b2＝a1＋a2＋ a3，求 { bn} 的前 n 项和公式．
)
A
．－
6(1－
－
3
10)
C．3(1－3－10)
B.
1 9(1－
－
3
10)
D．3(1＋3－10)
1
3．已知 { an} 是等比数列， a2＝ 2，a5＝4，则 a1a2＋a2a3＋…＋ anan＋1＝ (
)
A．16(1－ 4－n)
B．16(1－ 2－n)
C.
32 3 (1－
4－n)
D.
32 3 (1－
∴－ 8q＝－ 24，
∴ q＝ 3，
∴ { bn} 的前
n
项和
b1 1－ qn Sn＝ 1－q
－8 1－3n ＝
1－3
＝ 4(1－3n)．
14．已知等比数列 { an} 中， a1＝2，a3＋ 2 是 a2 和 a4 的等差中项．
（1）求数列 { an} 的通项公式；
（2）记 bn＝anlog2an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn.
（ 1）求 b1， b11，b101； （ 2）求数列 { bn} 的前 1 000 项和．
16．等差数列 { an} 中， a2＝ 4， a4＋a7＝15. （1）求数列 { an} 的通项公式； （2）设 bn＝2an－2＋n，求 b1＋b2＋b3＋…＋ b10 的值．
人教 A 版高中数学必修五
，
∴ Sn＝a1＋ a2＋a3＋… ＋an
＝
1 3
12－
1 5
＋
15－18
＋
18－111
＋…＋
3n1－1－3n1＋2
＝
1 3
12－
1 3n＋2
＝ 13× 2
3n 3n＋2
＝
n 6n＋4.
答案： B
二、填空题
8．数列 { an} 满足
a1＝ 1，且
an＋1－an＝n＋1(n∈N*
)，则数列
{
1 an}
1－
1 4 1
n
＝
32 3 (1
－
4－n)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1－ 4
答案： C 4．数列 { an} ， { bn} 满足 anbn＝1，an＝ n2＋3n＋ 2，则 { bn} 的前 10 项和为 ( )
1 A. 4
5 B. 12
3 C. 4
7 D. 12
解析： 依题意
bn＝a1n＝
n2＋
1 3n＋
2＝
1 n＋ 1 n＋2
A.
n 3n＋2
B.
n 6n＋4
3n C. 6n＋4
n＋1 D. n＋2
二、填空题
8．数列 { an} 满足
a1＝ 1，且
an＋1－an＝n＋1(n∈N*
)，则数列
{
1 an}
的前
10
项和为
________． 9．在数列 { an} 中，已知 a1＝ 1， an＋1＋(－1)nan＝ cos(n＋1) π，记 Sn 为数列 { an} 的
前 30 项的和为 ________．
解析 ：点 sin n2π，an＋ 42π在直线 l：y＝－ 2x＋ 42π＋ 2 2上，
∴ an＝2 2－ 2sin n2π，sinn2π的最小正周期为 4，取值是 1,0，－ 1,0 的循环，
∴数列 { an} 的前 30 项和 S30＝30× 2 2－ 2[7 ×(1＋0－1＋0)＋1＋0] ＝ 59 2.
22，
即 f(x)＋f(1－x)是一个定值．
2 ∴ f(－ 5)＋f(－4)＋ …＋f (0)＋… ＋f(5)＋f(6)＝6× 2 ＝3 2.
答案： 3 2
二、解答题
13．已知 { an} 为等差数列，且 a3＝－ 6， a6＝0.
（1）求 { an} 的通项公式； （2）若等比数列 { bn} 满足 b1＝－ 8，b2＝a1＋a2＋ a3，求 { bn} 的前 n 项和公式．
14．已知等比数列 { an} 中， a1＝2，a3＋ 2 是 a2 和 a4 的等差中项． （1）求数列 { an} 的通项公式； （2）记 bn＝anlog2an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn.
15．Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，且 a1＝1，S7＝ 28.记 bn＝[lg an]，其中 [x]表 示不超过 x 的最大整数，如 [0.9] ＝0，[lg 99] ＝1.
∴ Sn＝2
1 1－n＋1
2n ＝ n＋ 1.
答案： B
11 1
1
7．数列 2·5，5·8，8·11，…， 3n－1 ·3n＋2 ，…的前 n 项和为 ( )
n A. 3n＋2
n B. 6n＋4
3n C. 6n＋4
n＋1 D. n＋2
解析：
∵ an＝
3n－1
1 ·3n＋ 2
＝
1 3
1
1
3n－1－3n＋2
2.5.4 数列求和检测题解析
一、选择题
1．在等差数列 { an} 中， a9＋a11＝10，则数列 { an} 的前 19 项和为 ( )
A．98
B．95
C．93
D．90
解析：
19 S19＝
a1＋a19 2
19 ＝
a9＋ a11 2
＝19×2 10＝95.
答案： B
2．已知数列 { an} 满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－ 43，则 { an} 的前 10 项和等于 (
而
an＝
1＋
2＋
22＋
…
＋
2n－
1＝
1·1－2n 1－2
＝2n－ 1.
∴ Sn＝(21－ 1)＋(22－ 1)＋ …＋ (2n－1)＝
(2＋22＋
…
＋
2n)
－
n＝
2·1－ 2n 1－2
－n＝2n＋1
－ 2－ n. 答案： 2n＋1－ 2－ n
11．已知点 sinn2π，an＋ 42π在直线 l ：y＝－ 2x＋ 42π＋2 2上，则数列 { an} 的