2018-2019学年高中新创新一轮复习理数：第七章 不 等 式2含解析

第七章⎪⎪⎪不 等 式第一节 不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质； 2.一元二次不等式.突破点(一) 不等式的性质[基本知识]1．比较两个实数大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b <1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a . (2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．[基本能力]1．判断题(1)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( )(2)若a c >bc ，则a >b .( )(3)若a >b ，c >d ，则ac >bd .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．填空题(1)若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________．答案：1a <1b(2)a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b .∴a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b . 答案：a ＜0＜b(3)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b(4)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则M 与N 的大小关系为M ________N . 答案：>[全析考法][例1] (1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝⎭x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．(3)已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．[解析] (1)m ＝x 3＋3x 22＋3x2＋1，n ＝x 3＋3x 22＋3x 2＋12，m －n ＝12>0，故m >n .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .(3)当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.[答案] (1)B (2)＜ (3)S 3a 3＜S 5a 5[方法技巧] 比较大小的常用方法[例2] (1)(2018·河南六市模拟)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)(2018·泰安调研)设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2018·山东烟台期中)下列四个命题中，为真命题的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d C ．若a >|b |，则a 2>b 2 D ．若a >b ，则1a <1b[解析] (1)∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，∴A ，B ，C 均正确．∵b <a <0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．(2)当a <b 时，1b <1a <0不一定成立；当1b <1a <0时，a <b <0.综上可得，p 是q 的必要不充分条件，故选B.(3)当c ＝0时，A 不成立；2>1,3>－1，而2－3<1－(－1)，故B 不成立；a ＝2，b ＝－1时，D 不成立；由a >|b |知a >0，所以a 2>b 2，故选C.[答案] (1)D (2)B (3)C [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[全练题点]1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，A 2－B 2＝2ab ≥0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2.[考点二](2018·安徽淮北一中模拟)若a <b <0，给出下列不等式： ①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b －1|；③1a ＋b >1a >1b .其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由于a <b <0，所以|a |>|b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，③正确．故3个不等式均正确．3.[考点一]若x >y >1,0<a <b <1，则下列各式中一定成立的是( ) A ．x a >y b B ．x a <y b C ．a x <b yD ．a x >b y解析：选C 易知函数y ＝a x (0<a <1)在R 上单调递减，因为x >y >1,0<a <b <1，所以a x <a y <b y .故选C.4.[考点二](2018·河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3解析：选C 由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A ，B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.突破点(二) 一元二次不等式[基本知识]1．三个“二次”之间的关系(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[基本能力]1．判断题(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为空集．( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，则其判别式Δ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．填空题(1)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅(2)不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，所以⎩⎨⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.答案：－14(3)若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)[全析考法]解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2018·石家庄一模)不等式2x 2－x －3>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，1 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－1，32 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(1，＋∞) (2)(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－43，2 C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，2(3)(2018·青岛模拟)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．[解析] (1)2x 2－x －3>0可因式分解为(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1，∴不等式2x 2－x －3>0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.故选B. (2)∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴由f (2x －1)－f (x ＋1)>0得f (2x －1)>f (x ＋1)，∴|2x －1－2|<|x ＋1－2|，∴(2x －3)2<(x －1)2，即3x 2－10x ＋8<0，(x －2)(3x －4)<0，解得43<x <2，故选D.(3)原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. [答案] (1)B (2)D[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] (1)(2018·山西平遥中学月考)若不等式－x 2＋2ax <3x ＋a 2恒成立，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，34 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，34 (2)(2018·湖南湘潭一中模拟)若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) [解析] (1)由题意得－x 2＋2ax <3x ＋a 2恒成立，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2>0恒成立．所以Δ＝(3－2a )2－4a 2<0，解得a >34，故选B.(2)分情况讨论，①当m ＝－1时，不等式化为2x －6<0，即x <3，显然不对任意实数x恒成立．②当m ≠－1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，所以m <－1311.故选C.[答案] (1)B (2)C考法(二) 在某区间上恒成立[例3] (2018·湖北沙市中学月考)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于任意的x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，67 B ．(－∞，1) C ．(1,5)D ．(1，＋∞)[解析] 因为f (x )<－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)<6，而x 2－x ＋1>0，所以将不等式变形为m <6x 2－x ＋1，即不等式m <6x 2－x ＋1对于任意x ∈[1,3]恒成立，所以只需求6x 2－x ＋1在[1,3]上的最小值即可．记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，显然h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．所以g (x )在[1,3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67.故选A.[答案] A [方法技巧]解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．考法(三) 在参数的区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[方法技巧]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．[全练题点]1.[考点一](2018·山东日照联考)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫1，1 B ．⎝⎛⎭⎫－1，－1C.⎝⎛⎭⎫1β，1αD ．⎝⎛⎭⎫－1β，－1α 解析：选C 因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，所以a <0且α＋β＝－ba ，αβ＝ca .所以不等式cx 2＋bx ＋a >0可化为αβx 2－(α＋β)x ＋1<0，所以(αx －1)(βx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫1β，1α，故选C.h2.[考点二·考法(一)](2018·汕头一模)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选A 当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0化为8≥0，其对任意的x ∈R 恒成立；当k <0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0不能恒成立；当k >0时，要使不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立，对于方程kx 2－6kx ＋k ＋8＝0，需Δ＝36k 2－4(k 2＋8k )≤0，得0<k ≤1.综上，实数k 的取值范围是[0,1]，故选A.3.[考点一](2018·吉林省实验中学月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：选B 将原不等式移项通分得4－(x －2)2x －2≤0，于是原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，(x －2)2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，(x －2)2≤4，解得x ≥4或0≤x <2.故选B.4.[考点二·考法(二)]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5.[考点二·考法(三)]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 不等式的性质1．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b (a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －ab>0恒成立，故③恒成立，所以选B. 2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．ac >bd B ．ac <bd C ．ad <bcD ．ad >bc解析：选B 根据c <d <0，有－c >－d >0，由于a >b >0，故－ac >－bd ，ac <bd ，故选B. 3．已知实数a ，b 满足关系a 2＝b 2－b ＋1，则下列结论正确的是( ) A ．若a <1，b <12，则a >bB ．若a <1，b <12，则a <bC ．若a >1，b >12，则a >bD ．若a >1，b >12，则a <b解析：选D 由题意知，a 2＝b 2－b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b －122＋34，对于A ，取a ＝－1，b ＝0，a >b不成立；对于B ，取a ＝578，b ＝18，a <b 不成立；对于C ，取a ＝3，b ＝2，a >b 不成立；对于D ，若a >1，则b 2－b >0，又b >12，得b >1,1－b <0，所以a 2＝b 2－b ＋1<b 2，则a <b ，故选D.4．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的数为( )A ．aB ．12C ．2abD ．a 2＋b 2解析：选D 因为0<a <b ，且a ＋b ＝1，所以a <12，a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，2ab ＝2a (1－a )＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，所以a ，12，2ab ，a 2＋b 2中最大的数为a 2＋b 2. 5．(2018·山西康杰中学月考)设a >b >1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ln b >b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b <b e aD ．a e b >b e a解析：选C 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x ，x >1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln xx 在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．函数y ＝ln xx 在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x ＝a 和x ＝b 处的函数值无法比较大小．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，x >1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2>0，所以函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上单调递增，又因为a >b >1，所以f (a )>f (b )，即e a a >e bb，所以a e b <b e a ，故选C.6．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是________．解析：设2a －b ＝mf (1)＋nf (－1)＝(m －n )·a ＋(m ＋n )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2，m ＋n ＝－1，解得m ＝12，n ＝－32，∴2a －b ＝12f (1)－32f (－1)，∵0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，∴0<12f (1)<1，－32<－32f (－1)<32，则－32<2a －b <52.答案：⎝⎛⎭⎫－32，52 7．若a >b >0，给出以下几个不等式：①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________．(请填写所有正确的序号)解析：因为a >b >0，所以b ＋5a ＋5－b a ＝5(a －b )a (a ＋5)>0，①正确；lg a ＋lg b 2＝lg ab <lg a ＋b2，②不正确；因为a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝a －b ＋a －b ab >0，所以③正确；(b ＋a －b )2＝a ＋2b (a －b )>a ，所以④不正确． 答案：①③对点练(二) 一元二次不等式1．(2018·信阳一模)已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－52解析：选C 关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)可化简为(x ＋2a )(x －3a )>0，因为a <0，所以－2a >3a ，所以解不等式得x >－2a 或x <3a ，所以x 1＝3a ，x 2＝－2a .又x 2－x 1＝52，所以－5a ＝52，所以a ＝－ 2.2．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2)B ．(a 2＋2,3a )C ．(3,4)D ．(3,6)解析：选B 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.3．(2018·河北石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：选B 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)，故选B.4．(2018·河南洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5] 上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.5．(2018·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________．解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为k ⎝⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.答案：[1,4]6．(2018·辽宁沈阳模拟)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，上式为－4<0，对任意的x ，不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴－2<m <2. 综合①②，得m ∈(－2,2]． 答案：(－2,2][大题综合练——迁移贯通]1．(2018·黑龙江虎林一中期中)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 3．(2018·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2. 当且仅当x ＝1x 时， 即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域； 简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域[基本知识]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界，特殊点定域”．[基本能力]1．判断题(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )答案：(1)× (2)√ 2．填空题(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案：43(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为________．答案：4(3)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．答案：(0,1)[全析考法][典例] (1)(2018·泰安模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．12C.13D ．14(2)(2018·沈阳质监)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2≤0，ax －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．[解析] (1)作出不等式组对应的区域如图中阴影部分所示，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×|y D |＝14.(2)依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC ，所以S ＝12×2|AC |＝3，所以|AC |＝3，即C (2,3)，又点C在直线ax －y ＋2＝0上，得a ＝12.[答案] (1)D (2)12[方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．[全练题点]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：4突破点(二) 简单的线性规划问题[基本知识]1．线性规划中的基本概念2．简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[基本能力]1．判断题(1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(2)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)√ (2)×2．填空题(1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0，则z ＝x ＋3y 的最小值为________．答案：－8(2)(2018·南昌调研)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案：7(3)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.答案：13[全析考法][例1] (1)(2018·山西太原模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5 B ．[0,5] C.⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 (2)(2017·黑龙江哈尔滨二模)已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为________．[解析] (1)作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，5.(2)z ＝4－x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2－2x ·2－y ＝2－2x －y . 设m ＝－2x －y ，要使z 最小，则只需m 最小． 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由m ＝－2x －y 得y ＝－2x －m ，平移可知当直线y ＝－2x －m 经过点B 时，m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，此时m ＝－2－2＝－4，所以z ＝4－x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最小值为2－4＝116.[答案] (1)D (2)116[方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (1)(2018·四川资阳期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，0<x ≤4，则y x 的最大值是________．(2)(2018·河北唐山模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥10，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．[解析] (1)由题意得，满足条件的可行域如图所示.yx 的几何意义是可行域内的点与原点所在直线的斜率，观察图形易知，当直线过点C (4,1)时，y x 有最大值，最大值为14.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x ＋y －10＝0垂直时，z ＝x 2＋y 2取得最小值，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3×0＋0－10|32＋122＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z ＝x 2＋y 2的最小值为10.[答案] (1)14 (2)10[方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法 距离目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点1.(1)由可行域求线性约束条件； (2)由最优解或最值求参数的取值范围． 2．处理方法(1)对于形式(1)，由可行域的端点写出边界直线的方程，由区域特点确定不等号即可． (2)对于形式(2)，解答问题时，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线的斜率与目标函数表示的直线的斜率之间的关系．[例3] (2018·湖北八校联考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，其中m >0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．4B ．3C ．1D ．2[解析] 根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示．设z ＝x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋12m －1，52m －1.易知当z ＝x ＋y 经过点A 时，z 取得最大值，故3m ＋12m －1＋52m －1＝9，解得m ＝1.[答案] C[方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[全练题点]1.[考点一](2018·山东德州模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则z ＝4x －y 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16解析：选B作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4表示的区域如图，结合图形可知当动直线z ＝4x －y 经过点A (2,2)时，动直线y ＝4x －z 在y 轴的截距最小，z min ＝4×2－2＝6，故选B.2.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[2,10]D ．[3,11]解析：选D 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2(y ＋1)x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率，画出可行域如图中阴影部分所示，易得z ′∈[k DA ，k DB ]，则z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．3.[考点一](2018·浙江宁波九校期末联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2x ，y ≥x ，y ＋x ≤4，则z ＝y －4x 的取值范围是________；z ＝y －4|x |的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图．①当目标函数线z＝y －4x 经过点A (2,2)时，z 取得最小值2－4×2＝－6；经过点B (－4,8)时，z 取得最大值8－4×(－4)＝24，所以z ＝y －4x 的取值范围是[－6,24]．②因为z ＝y －4|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧y ＋4x ，x <0，y －4x ，x ≥0，所以由图知，当x <0时，z 在点B (－4,8)处取得最小值8＋4×(－4)＝－8，在点C (0,4)处取得最大值4，所以当x <0时，z ∈[－8,4)．当x ≥0时，z 在点A (2,2)处取得最小值2－4×2＝－6，在点C (0,4)处取得最大值4－4×0＝4，所以x ≥0时，z ∈[－6,4]．综上，z ＝y －4|x |的取值范围是[－8，4]．答案：[－6,24] [－8,4]4.[考点二](2018·北京朝阳模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示． ∵x 2＋y 2表示可行域内任意一点P (x ，y )与原点(0,0)距离的平方， ∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时，x 2＋y 2取得最小值，∴(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12.答案：125.[考点三]已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．解析：作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，当a ＝0时，z ＝x ， 即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z a .由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －8＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)． 要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1a x ＋z a 的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a ，满足k >k AC ，即－1a >－3. ∵a >0，∴a >13，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞突破点(三) 线性规划的实际应用[全析考法][典例] (2018·山西运城期中)某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1件需消耗A 原料2千克，B 原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元[解析] 设生产甲产品x 件，乙产品y 件，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ∈N ，目标函数z ＝300x ＋400y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12的可行域，其中A (0,6)，B (4,4)，C (6,0)，如图所示．由z ＝300x ＋400y 得y ＝－34x ＋z 400，由图可知，目标函数在点B (4,4)取得最大值，最大值为2 800.所以公司共可获得的最大利润是2 800元．故选C.[答案] C[方法技巧]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[全练题点]1．(2018·云南昆明第三中学月考)某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )A ．11 280元B ．12 480元C ．10 280元D ．11 480元解析：选B 设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤20，8x ＋2.5y ≥100，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝960x ＋360y .如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内横坐标和纵坐标均为整数的点，其中A (10,8)，B (10,20)，C (6.25,20)．当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10,8)时，运费最低，且最低运费为z min ＝960×10＋360×8＝12 480(元)，故选B.2．(2018·南昌模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.2．(2013·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，x ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B ．12C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5.答案：－54．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 解析：画出可行域如图阴影所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. ∴A (1,3)．∴yx 的最大值为3. 答案：35．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，。