8.1多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分学习题解
第八章多元函数微分学习题解第八章多元函数微分学习题解第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyx f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)xx f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210yx -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）zx y=-解：要使表达式有意义，必须0x y ≥， ∴ {(,)|}D x y x y =≥★★（3）22ux y=+解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）22ln()1x z y x x y=-+--解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）2210y x y x y→→+知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
第1节多元函数的基本概念
的示 . 意图
y
解 要使函数有意义须满足
1x2y20, 即 x2y21,
所以函数的定义域为
x
D {(x,y) x2y21}.有界闭区域
2.二元函数的定义域
例2 求 函 z数 lny(x) xy 的 定D 义 . 域 x2y21
解 要使函数有意义须满足
y
y x0
二. 多元函数的概念
注意 (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2y2z2a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy f(x,y)x2y2
0
x2y20 x2y20
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
(4) 函数有加减乘除数乘及复合运算(略)
确定空间一点 M(x,y,z),当(x, y) 取遍
D上的一切点时, 得到空间点集
z
M(x, y,z)
{x ,(y ,z)zf(x ,y )(x ,,y ) D }
这个点集称为二元函数的图形.
该几何图形通常是一张曲面.
而定义域 D 正是这曲面在Oxy 平面上的投影.
D (x, y) y
x
3.二元函数的几何图形
xy
0
x
2
y2
1
0
函数的定义域为
D {(x ,y )y x 0 ,x 0 y ,x 2 y 2 1 }
yx
x
无界开区域
2.二元函数的定义域 例3 求 zarcxs2 in y2 x2y21的 定. 义
4
解 要使函数有意义,必须
x2 4
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
大一高数上册的知识点总结
大一高数上册的知识点总结高等数学作为大学理工科专业的必修课程，对于理工科学生来说具有重要的地位。
大一上学期的高等数学课程主要包括了一些基础的数学概念和计算方法。
下面对大一高数上册的知识点进行总结，以供参考。
1.函数与极限1.1 函数的定义与性质，包括定义域、值域、图像、性质等。
1.2 极限的概念与计算方法，包括极限的存在性、唯一性、与函数连续性的关系等。
2.导数与微分2.1 导数的定义及含义，包括导数的几何意义和物理意义。
2.2 导数的计算方法，包括常见函数的导数、求导法则等。
2.3 微分的概念及计算方法，包括微分的定义、微分与导数的关系等。
3.常用函数与其性质3.1 幂函数、指数函数、对数函数及三角函数等的定义与性质。
3.2 基本函数的图像、性质与变换方法。
4.定积分4.1 定积分的概念与计算方法，包括上、下限的确定、微元法、定积分的性质等。
4.2 定积分的几何意义与物理意义，包括面积计算、物体运动的位移、速度和加速度等。
5.不定积分与简单微分方程5.1 不定积分的概念与计算方法，包括基本积分表、换元法、分部积分法等。
5.2 简单微分方程的概念与基本解法，包括可分离变量、一阶线性微分方程等。
6.多元函数与偏导数6.1 多元函数的定义与性质，包括定义域、值域、图像、性质等。
6.2 偏导数的概念与计算方法，包括一阶偏导数、高阶偏导数、混合偏导数等。
7.多元函数的极限与连续性7.1 多元函数的极限的概念与计算方法，包括极限的存在性、唯一性等。
7.2 多元函数的连续性与可微性的概念与判定方法，包括多元函数的连续性的定义、连续性的性质等。
8.多元函数的方向导数与梯度8.1 多元函数的方向导数的定义与计算方法，包括偏导数的定义、梯度的定义等。
8.2 方向导数与梯度的关系，以及其在实际问题中的应用。
9.二重积分9.1 二重积分的概念与计算方法，包括极坐标下的二重积分、变量替换法等。
9.2 二重积分的几何意义与物理意义，包括面积计算、物体质量、质心等。
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用第一讲 多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。
邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。
同济第三版-高数-(8.1) 第一节 多元函数的基本概念解析
• 作定义域的图形 定义域由三个不等式表出。其中， 不等式 0 < x 2a 表示介于 y 轴和直线 x = 2a 间的平
面区域，它不含 y 轴，但包含直线 x = 2a . 不等式 0 < y 2 2ax 表示抛物线 y 2 = 2ax 下方、x 轴
上方的区域，它包含该抛物线，但不含 x 轴。 结合前两组不等式，不等式 0 2ax x2 y 可改
1
2ax x 2 y
1,
可解得
2ax x 2 y ,
y 0.
x 2a x 0.
由
1
y2 2ax
1,
可解得
0
y2
2ax ,
x 0 .
0 x.
综合两不等式组求得函数定义域为
D f x, y 0 x 2a, 0 y2 2ax, 0 2ax x 2 y .
知，它们之间具有联系
R
R1R2 . R1 R2
R1
R
R2 在这一问题中，当 R1、R2 在集合
{( R1, R2 )R1> 0 , R2 > 0 }
内取定一组值( R1, R2 )时，R 的对应值就随之确定。
以上三个问题的具体意义虽各不相同，但都有共同 性质，即一个变量的变化受到两个变量的影响和制约， 抽像出这些共同性质就得出以下二元函数的定义。
写成 x > 0 ，y > 0 ,( x - a )2+ y 2 a 2，因此该表示圆周 ( x - a )2 + y 2 = a 2 的外部位于 x 轴上方的区域，且包含 圆周，但不含 x 轴。
y
y2 2ax
D
0 y2 2ax
x a2 y2 a2
Df
:
(整理)多元函数微分法及其应用.
第八章 多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables ）定义1 设D 是2R 的一个非空子集，称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为()(),,,z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈。
其中点集D 称为该函数的定义域，x 、y 称为自变量，z 称为因变量。
Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R ,we call the mapping :f D R → the function of two variables defined on ,usually denoted by ()(),,,z f x y x y D =∈,or (),z f P P D =∈.The set D is called the domain of the function .We call x and y the independent variables and z the dependent variable.定义2 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点。
如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点()()00,,P x y D U P δ∈⋂，都有 ()(),f P A f x y A ε-=-<成立，那么就称常数A 为函数(),f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作()()()00,,lim,x y x y f x y A →=或()()()()00,,,f x y A x y x y →→，也记作()0lim P P f P A →=或()()0f P A P P →→。
多元函数的概念 教案 - 山西大同大学
第八章 多元函数§8.1多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，…，自变量有n 一个的函数就称为n 元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。
以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。
例如，一个圆锥体的体积h r V 231π=，它有两个独立的变量r 、h 。
为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。
本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。
1．二元函数的概念定义 设有两个独立的变量x 与y 在一定范围D 内取值，任取一组数值时，第三个变量z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z 称为变量x 与y 的二元函数。
记作),(y x f z =其中x 与y 称为自变量，函数z 称为因变量，自变量x 与y 取值范围称为函数的定义域，一般记为D 。
二元函数在点),(00y x 所取得的函数值记作00y y x x z ==，),(00y x z 或),(00y x f类似地，可定义二元函数、四元函数、…、n 元函数等多元函数。
2．二元函数的定义域与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。
那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。
对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个xy 坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。
整个xy 坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。
开区域内的点称为内点。
如果一个区域D (开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M ，则称D 为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称D 为无界区域。
第八章多元函数微分学
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念一、填空题：1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.2． 函数_______________________________.3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221sin()x y +的间断点___________________________.5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。
（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）二、 求下列函数的极限：1．(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xyx y x y x y e →-++5．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim()sin cos x y x y x y →+ 0三、 证明下列极限不存在：1．2(,)(0,)lim x y x y x →- 02．(,)(0,)lim x y xyx y →+ 0四、 函数f(x, y)= 24242420)00x yx y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （（） 在（0，0）点连续吗？§8.2 偏导数一、 选择题：1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。
(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。
2．设z= f (x ,y)，则00(,)z x y x∂∂=（ ）。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题
第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。
2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。
3．11lim0-+→→xy xy y x = 。
二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。
（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。
（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。
三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。
1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。
高等数学 多元函数的微分学 (8.1.1)--多元函数的基本概念
为E 的边界点
内点
·
·
外点
若集合 E 中每个点都是
·
边 界点
E 的内点，称 E 为开集；开集 E 的余集 R2-E 称为 闭集
若集合 E 中任意两点都能用完全属于 E 的折 连接线起来，则称 E 是连通的；连通的开集称为区 域 E 的所有的边界点组成的集合称为 E 的边 区域连界同其边 界称为 闭 区域
若存在 R ，集 E {(x, y) x2 y2 R2}, 称 E 有界 合例 下列集合是否开集、区域、连通、有界
D1 {(x, y) x2 y2 4}, D2 {(x, y) x2 y2 4},
D3 {(x, y) | xy 0}, D4 {x 0, y 0}
称为 P0 的 δ 邻域（不强调半径时为邻域U (P0 )
）
U (P0, P) {P(x, y) 0 d (P, P0 ) }
称为 P0 的去心 δ 邻域
二 . 开集与区域
E 是平面 R2 中的集合， P0 是平面中的点
若存在 δ>0 ， U (P0, ) E, 称 P0 为 E 的内点 若使对任意 δ ， U (P0, ) 内既；有属于 E 的点又有不 在属于 E 的点，称 P0
例 已知f (x y, xy) x3 y3, 求 f (x, y)
例 z y f ( x y), 且 z y1 x 1, 求函数 z 的表达式
例 求 z ln[x ln(y x)] 的定义域
二元函数图形 (图象 )
集合 {(x,y,z) z f (x,y),(x, y) D} 所对应
D5
{(x, y)
x2 4
大学数学微积分第八章 多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。
多元函数
.
外点
. .
边界点
内点
聚点
如果对于 任意给定的δ>0, 点 P 的去心邻域U(P,δ ) 内总 有E中的点, 则称P是E的聚点.
点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E. 例如, 设平面点集 E={(x, y)|1<x2+y2≤2}. 满足1<x2+y2<2的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边∂E上的一切点都是E的聚点.
o
U(P , δ ) ={P| 0<| P P|<δ}. 0 0
o
注：如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U(P0)表示点P0的某个 o 邻域, 点P0的某个去心邻域记作U(P ) 0
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点与点集之间的关系 任意一点P∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种 关系中的一种: •内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)⊂E, 则称P为E的内点; •外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)∩E=∅, 则称P为E的外点; •边界点: 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为 E的边点. E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作∂E. 提问: E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
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•两点间的距离 Rn中点x=(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn)和点y=(y1, y2, ⋅ ⋅ ⋅ , yn)间的距离, 记作ρ(x, y), 规定
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8.1.2、二元函数的极限
定义2. 设 函数 z f ( x, y ) 在P0 (x0, y0)的某个去心邻域
内有定义 , 若当P (x, y)无限趋近于P0 (x0, y0) , 函数 f ( x, y )
无限趋近于一个常数A, 则称 A 为函数 z f ( x, y ) 在 点(x, y) (x0, y0)时的极限.。 记作 lim f ( x, y ) A
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
8.1.3、 二元函数的连续性 定义3. 设 函数 z f ( x, y ) 在P0 (x0, y0)的某个去心邻域 内有定义 , 若 lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) 则称 函数 z f ( x, y ) 在P0 (x0, y0) 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续. 例如, 函数 xy , 2 2 x y 0 2 2 f ( x, y ) x y 2 2 , x y 0 0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
x x0 y y0
又如, 函数 在圆周 x 2 y 2 1 上间断. 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
(证明略)
(有界性定理)
(2) f ( P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
法则 f , 都有唯一确定的实数 u 与之对应, 则称 f 为定义
当 n = 3 时, 有三元函数
2. 二元函数的定义域
(1) 开区域及闭区域 围成 平面区域的曲线称为该区域的边界；
包括边界在内的区域称为闭区域；
不包括边界在内的区域称为开区域； 包括部分边界的区域称为半开区域； 如果区域延伸到无穷远处称为无界区域；否则称为 有界区域。
2 2
则
1 1 lim ( x y ) sin 2 0. 2 lim u sin x 0 x y u 0 u y 0
例3.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x 0 x y 1 1 2
y 0
若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
(2) 二元函数的定义域
使得二元函数的表达式有意义的一切平面区域称为 二元函数的定义域。 例1. 求函数 f ( x, y ) 解:
4 x2 பைடு நூலகம்2 x2 y2 2 x y2
的定义域.
4 x y 0
2 2
y O
2
x y 2 0
2 2
x y 0 2 x2 y2 4 x y2
函数
在点
一定要有定义。
作业
P97 3 (3)；( 5) 4 (4), (6),5.（1）
x x0 y y0
或
f ( x, y) A
(( x, y) ( x0 , y0 ))
又称为二重极限。 二重极限与一元函数的极限具有 相同的性质和运算法则，在此不祥述。
1 例2. 求极限 lim ( x y ) sin 2 2 x 0 x y y 0
2 2
解: 令 u x 2 y 2 ,
xy 例4. 讨论函数 f ( x, y ) 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
k x2 k lim f ( x, y ) lim 2 2 2 x 0 x 0 x k x 1 k 2
第八章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第八章
§8.1 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限
三、多元函数的连续性
8.1.1、多元函数的概念
引例:
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
r
h
三角形面积的海伦公式
b
a c
1. 定义
定义1. 设非空点集 在 D 上的 n 元函数 , 记作 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) , P D 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 若对D中每一点P , 按照
2
2
x
3. 二元函数的几何意义
例如, 二元函数 z
z
O x
O
1 x2 y2
2 2
定义域为 圆域 ( x, y ) x y 1
1 y
z
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
x
y
说明: 一般地, 函数 z f ( x, y ) 的图形 为空间曲面 .
例如，在平面上
( x, y ) x y 0 开区域
y O y O
( x, y ) 1 x 2 y 2 4
( x, y ) x y 0 闭区域
x
( x, y) 1 x 2 y 2 4 半开区域
y O
1 2x
y
x
O
1 2x
(最值定理)
(3) 对任意
Q D，
(介值定理)
内容小结
1. 二元函数概念 (图形一般为空间曲面)
lim f ( x, y ) A 2.二元函数的极限 x x
0 y y0
函数
在点
y y0
0
可以没有定义。
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) 3.二元函数的连续 xlim x