(新课标)2019届高考数学一轮复习第十一章统计11.2用样
届数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析
第七节n次独立重复试验与二项分布[最新考纲］［考情分析][核心素养］1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2。
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查条件概率，对相互独立事件及独立重复试验多在解答题中考查,分值为5分左右。
1。
数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下,A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为1P(A|B)。
当P(B）〉0时，我们有P（A|B）＝错误! (其中，A∩B也可以记成AB）。
类似地,当P(A)〉0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A)＝错误!错误!（1)0≤P(B|A）≤1;（2）如果B和C是两个互斥事件,则P（B∪C|A）＝错误!P（B|A)＋P（C|A）2。
事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件,若P(AB）＝错误!P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．（2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B｜A）＝错误!P（B)，P（A｜B)＝P（A），P(AB)＝错误!P（A)P(B)．②如果事件A与B相互独立,那么错误!A与错误!,错误!错误!与B，错误!错误!与错误!也相互独立．3．独立重复试验与二项分布‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1)若事件A,B相互独立,则P（B|A)＝P（B）．(）(2）P(B｜A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P(A）·P(B)．()（3)相互独立事件就是互斥事件．(）(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C错误! p k（1－p）n－k，k＝0，1，2,…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．（)答案：（1)√（2)×(3)×(4)√二、走进教材2．（选修2－3P55T3改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0。
高考数学一轮复习 第十一章 排列与组合课件 新人教A版
变式训练3 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共 有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人 3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
第三十八页，共45页。
解析：(1)分三步：先选一本有C
1 4
＋C
3 4
＋A
2 4
＝
20(种)．
方法二：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至
少有一个小球”，若用“挡板法”，可易得C36＝20.
第三十五页，共45页。
(2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非
空有多少种放法．转化为6个0,2个1的排列，要求1不排在两
端且不相邻，共有C
2 5
＝10种排法，因此方程x＋y＋z＝6有10
解析：重合的有x＋2y＝0与2x＋4y＝0；2x＋y＝0与4x＋ 2y＝0，∴有A25－2＝18(条)．
答案：C
第十二页，共45页。
2．某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门 由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修 三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )
A．120 B．98 C．63 D．56
(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种， 因此满足条件的不同选法种数为 C24C24－C24＝30(种).
第三十二页，共45页。
考点三 排列、组合的综合应用
[例3] (1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中， 试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
123
312
A.6种
【志鸿优化设计】高考数学一轮总复习 11.2 排列与组合课件(含高考真题)文 新人教版
不同排法.
考点一
考点二
考点三
第十一章
11.2 排列与组合 15 -15-
(2)先将男生排好,共有A4 4 种排法,再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个 4 3 空当中插入 3 个女生有A3 种方案 , 故符合条件的排法共有 A 4 A 5 =1 440 种不 5 同排法. (3)甲、乙两人先排好,有A2 2 种排法,再从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙 两人中间,有A3 5 种排法,这时把已排好的 5 人视为一整体,与最后剩下的两人 2 3 3 再排,又有A3 3 种排法,这样总共有A 2 A 5 A 3 =720 种不同排法. (4)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人,有A4 4 种排法;由于甲、乙要相 邻,故再把甲、乙排好,有A2 2 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分 4 2 2 别插入原先排好的 4 人的空当中有A2 5 种排法.这样,总共有A 4 A 2 A 5 =960 种 不同排法. (5)从 7 个位置中选出 4 个位置把男生排好,则有A4 7 种排法.然后再在余 下的 3 个空位置中排女生,由于女生要按身体高矮排列,故仅有一种排法.这 样总共有A4 7 =840 种不同排法.
������ 要借助于排列数公式,公式C������
=
排列数A������ ������ 相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式
������ 计数;组合数公式还可以表示成C������ =
A������ ������(������-1)(������-2)…(������-������+1) ������ ������ = A������ ������! ������! ������!(������-������)!
2025年高考数学一轮复习-第十一章-第二节-二项式定理【课件】
【解析】(2x+1)4的展开式通项为Tr+1=C4 2 4− ,令r=2,得T3=C42 2 2 =24x2,
故x2的系数为24.
解题技法
形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项的求解策略
(1)写出并化简通项;
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解
[例1](1)设 1 + =a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=a3,则n=(
A.5
B.6
C.7
)
D.8
【解析】选A.(1+x)n展开式第r+1项Tr+1=C xr,因为a2=a3,所以C2 =C3 ,所以n=2+3=5.
24
(2)(2023·南昌模拟)在(2x+1)4的展开式中,x2的系数为
(4)二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大项是相同的.(
× )
提示:由二项展开式某一项的系数与某一项的二项式系数的定义可知(4)错误.
2.(选修第三册P31练习T4)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是(
A.C
C.C−1
B.C+1
D.(-1)m-1C−1
【解析】选D.(x-y)n的展开式中,
2
【解析】选A.(1-2 )8展开式的通项公式为Tk+1=C8 (-2 )k=(-2)kC8 .
要求x项的二项式系数,只需 =1,解得k=2,
2
2 8×7
所以x项的二项式系数为C8 = =28.
2×1
)
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
2022数学第十一章概率11.2古典概型学案文含解析新人教A版
11。
2古典概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为。
2.基本事件的特点（1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件）都可以表示成的和.3。
古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件.(2）等可能性:每个基本事件出现的可能性。
4。
古典概型的概率公式.P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数1。
任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和。
2。
求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。
(1）在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(）（2）基本事件的概率都是1n。
若某个事件A包含的结果有m个,则P(A)=mn.(）（3）掷一枚质地均匀的硬币两次，出现“两个正面”“一正一反"“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(4）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为card(A)card(I)。
()(5)从1,2，3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。
2.()2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是（)A.14B.13C。
12D.343.(2019全国3,3）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(）A。
16B。
14C。
13D.124.从集合A={1，3，5,7,9｝和集合B=｛2,4，6,8｝中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是()A。
高考数学一轮复习第11章第3讲二项式定理训练含解析
第十一章 第3讲[A 级 根底达标]1．⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含x 32 项的系数为30，那么a 等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【答案】D2．(4x －2－x )6(x ∈R )的展开式中，常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20【答案】C3．(x 2＋x )5(x 2－2x ＋1)10的展开式中，含x 7项的系数为( ) A ．100 B ．300 C ．500 D ．110【答案】A4．(2022年重庆模拟)假设(a －3x )⎝⎛⎭⎫x －12x 10的展开式中含x 12 项的系数为－30，那么实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A5．(2022年河北月考)将二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式各项重新排列，那么其中无理项互不相邻的概率是( )A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式通项为：T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 6x 6－32 r ，知当r ＝0,2,4,6时为有理项，那么二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式中有4项有理项，3项无理项，所以根本领件总数为A 77，无理项互不相邻有A 44A 35，所以所求概率p ＝A 44A 35A 77＝27.6．(2022年黄冈模拟)⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，那么由曲线y ＝x 13 和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项为第4项且第4项为T 4＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫a 2x 3，因为系数为20，所以C 36·⎝⎛⎭⎫a 23＝20，解得a ＝2.由x 13 ＝x 2得x ＝0或x ＝1，所以封闭图形的面积为⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 13 －x 2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫34 13 －13x 310＝512. 7．(2022年湖南省雅礼中学月考)如果⎝⎛⎭⎫x 3－1x n ()n ∈N *的展开式中存在正的常数项，那么n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x n (n ∈N *)的展开式通项为T k ＋1＝C k n x 3(n －k )⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k nx 3n －4k ，令3n －4k ＝0，那么n k ＝43，由于展开式中存在正的常数项，那么k 为偶数，设k ＝6t (t ∈N *)，所以n ＝8t ，当t ＝1时，n 取最小值8.8．(2022年河北衡水月考)在(x 3－1)⎝⎛⎭⎫1x －x 8的展开式中，含1x 2项的系数等于( ) A ．98 B ．42 C ．－98 D ．－42 【答案】D【解析】⎝⎛⎭⎫1x －x 8二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫1x 8－r (－x )r ＝(－1)r C r 8x 3r 2 －8，令3r 2－8＝－5，得r ＝2，那么含x －5项的系数为C 28，令3r 2－8＝－2，得r ＝4，那么含x －2项的系数为C 48，故含1x2项的系数等于C 28－C 48＝－42.9．(2022年湖南模拟)假设⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项为________．【答案】60【解析】依题意，⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.所以二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6(2x 2)6－k ·(－x －1)k ＝(－1)k ·26－k ·C k 6·x 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为22×C 46＝6010．(2022年新课标Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________(用数字作答)． 【答案】240【解析】因为⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6，其二项式展开通项T r ＋1＝C r 6·()x 26－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 6·x 12－2r ·2r ·x －r ＝C r 6·2r ·x 12－3r ，当12－3r ＝0，解得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是C 46·24＝C 26·16＝15×16＝240.11．(2022年嘉祥月考)()ax 2－17()a >0的展开式中第6项的系数为－189，那么展开式中各项的系数和为________．【答案】128【解析】由题意，通项为T k ＋1＝C k 7(ax )7－k ·(－1)k ＝(－1)k a 7－k C k 7x 7－k ，由于(ax 2－1)7(a >0)的展开式中第6项的系数为－189，那么第六项系数为(－1)5a 7－5C 27＝－189，解得a ＝3，故该二项式为(3x 2－1)7，令x ＝1得展开式各项系数的和为27＝128.12．(2022年河南模拟)⎝⎛⎭⎫ax －2x 25的展开式中，含x 项的系数为40，那么a ＝________. 【答案】1【解析】⎝⎛⎭⎫a x －2x 25的展开式中通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫a x 5－r(－2x 2)r ＝(－2)r a 5－r C r 5 x 3r －5，令3r －5＝1，解得r ＝2.因为含x 项的系数是40，所以(－2)2a 3C 25＝40, 解得a ＝1.[B 级 能力提升]13．(2022年驻马店期末)在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，x 的幂指数是整数的共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项【答案】D【解析】在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－3r2 ，令10－3r 2为整数，求得r ＝0,2,4,6,8,10，共计6个，故x 的幂指数是整数的共有6项．14．(2022年山东模拟)假设⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中x 的系数是( )A ．54B ．81C ．96D ．106【答案】A 【解析】因为⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，所以(1＋3)n ＝256＝28，解得n ＝4，因此⎝⎛⎭⎫x ＋3x 4的展开式的通项是T r ＋1＝C r 434－r ·x r x －4－r2 ＝C r 434－r x 3r2-2 ，由32r －2＝1得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24×32＝54.15．(2022年安徽模拟)假设二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中x－1项的系数为________(用数字作答)．【答案】1 792【解析】由题意可知，n ＝8，所以二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·28－k ·x k －8·(－1)k ·x 5k 2 ＝(－1)k ·28－k ·C k 8·x 7k2－8 ，由7k 2－8＝－1，得k ＝2.所以展开式中x －1的系数为(－1)2·26·C 28＝64×28＝1 792.16．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，那么a ＝________. 【答案】3【解析】设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5①， 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5②. 令①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[C 级 创新突破]17．(多项选择)假设⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 展开式存在常数项，那么n 的取值可以为以下选项中的( )A ．3B ．4C ．5D ．10【答案】CD【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ·(x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫2x 3r ＝C r n ·2r ·x 2n －5r ，r ＝0,1,2，…，n ，由题意可得2n －5r ＝0，即n ＝5r2，由n 为正整数，可得r ＝2时，n 取得最小值5，当r ＝4时，n ＝10.18．(一题两空)(2022年浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当r ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数为5.。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：第十一章+计数原理+11.3
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
1 6 的展开式中,常数项等 ������2
考向一
已知二项式求其特定项(或系数)
关闭
例 1(1)在二项式 3������ +
于 .(用数字作答) (1)展开式的通项公式为 8 2 1 7 ������ (2) ������ - ������ 的展开式中 x 的系数为 .(用数字作答) 1 ������ 6-k 6-3k 6-k ������ Tk+1=C6 (3x) ������2 = C6 3 x . 思考 如何求二项展开式的项或特定项的系数 ?已知特定项的系 4 2 由 6-3k=0,得 k=2,故常数项为 T3=3 C6 =1 215. 数如何求二项式中的参数? 1 ������ ������ 2 8-r ������ 16-3r (2)展开式通项为 Tr+1=C8 (x ) · =(-1)rC8 x ,令
������ + 1 2
(n∈N*)时,C������ ������ 是递增的 (n∈N*)时,C������ ������ 是递减的
������ 2
������-1 2
最大值
当 n 为偶数时,中间的一项C������ 取得最大值
-1 当 n 为奇数时,中间的两项 ������2 和 ������+1 取 2 C������ C������ 得最大值
关闭
(
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
-5-
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
2.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
【学海导航】高考数学第一轮总复习 11
[1.34,1.38) 25 [1.38,1.42) 30
[1.42,1.46) 29
[1.46,1.50) 10
[1.50,1.54) 2
合计
100
(2) 估 计 纤 度 落 在 [1.38,1.50) 中 的 概 率及纤度小于 1.40 的概率是多少？
(3)统计方法中， 同一组数据常用该 组区间的中点值(例 如 区 间 [1.30,1.34) 的 中点值是 1.32)作为 代表．据此，估计纤 度的期望．
解：(1)频率分布表为： 分组
[1.30,1.34) [1.34,1.38) [1.38,1.42)
[1.42,1.46)
[1.46,1.50)
[1.50,1.54) 合计
频数 4 25 30
29
10
2
100
频率 0.04 0.25 0.30
0.29
0.10
0ห้องสมุดไป่ตู้02
1.00
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/102022/1/102022/1/102022/1/10
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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【常用结论】 1.(a+b)n的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为n+1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按 升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
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机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
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机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
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机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
(4) kCkn＝nCkn－ 11 . (
)
(5) C
r an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.
n
(
)
(6)二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同. ( )
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
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机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
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提示:(1)√.
【解析】选C. (x 1 )12 的展开式的第4项
3x
T4=
C
数学一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析
课时作业67 数系的扩充与复数的引入［基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋5i1＋2i(a∈R）是纯虚数，则a＝(）A．－1B．1C．－2D．22．［2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数错误!＝（) A.错误!－iB。
错误!－错误!iC．－1D．－i3．[2021·大同市高三学情调研测试试题］设z＝错误!2，则z 的共轭复数为（)A．－1B．1C．iD．－i4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷］复数z满足错误!＝1－i，则｜z｜＝()A．2iB．2C．iD．15．[2021·合肥市高三调研性检测］已知i是虚数单位，复数z＝错误!在复平面内对应的点位于（)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝错误!，则z的虚部为（）A．1B．－3C．iD．－3i7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足（1－i）z＝2＋i(其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．－错误!－错误!iB.错误!＋错误!iC．－错误!＋错误!iD.错误!－错误!i8．［2021·长沙市四校高三年级模拟考试］已知复数z＝错误!，则下列结论正确的是（)A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的共轭复数错误!＝－1＋iD．z2为纯虚数9．［2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1＝1－2i，则错误!＝(）A.35－错误!iB．－错误!＋错误!iC．－错误!－错误!iD.错误!＋错误!i10．［2021·唐山市高三年级摸底考试］已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝()A．－4B．0C．2D．4二、填空题11．[2020·江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i)·（2－i)的实部是________．12．［2021·重庆学业质量抽测］已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________。
高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例2用样本估计总体课件新人教A版2
;b.决定组距与
组数;c. 将数据分组
;d.列频率分布表;e.画频率分布直方
图.
-3知识梳理
双基自测
(3)总体密度曲线
①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中
点,就得到频率分布折线图.
②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,
底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方
24
图如图所示,则在抽测的60株树木中,有
株树木的底部
周长小于100 cm.
解析 由题意知,在抽测的60株树木中,底部周长小于100 cm的株
数为(0.015+0.025)×10×60=24.
-11考点1
考点2
考点3
考点 1
组距减小,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,
统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体
在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息.
(4)茎叶图:茎叶图中茎是指 中间 的一列数,叶是从茎的 旁边
生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,
它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表
月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),
月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽
11
1
= ,
取比例为
25+15+10+5
5
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×
1
5 =5(户).
-14考点1
高考数学一轮复习第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理
第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第6讲 离散型随机变量的均值与方差练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的概率分布为则X 的数学期望E (X )＝解析 由概率分布的性质，a 2＋a 22＝1，∴a ＝1.故E (X )＝12×0＋12×1＝12.答案 122.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________，________.解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6 0.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差V (X )的值为________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴V (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案24254.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是________. 解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________. 解析 记“不发芽的种子数为Y ”，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2Y ，故E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 答案 2006.已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋1，则Y 解析 由概率分布的性质，a ＝1－12－16＝13，∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.答案 237.(2016·青岛模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6， 则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.答案 802438.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案 25二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E (ξ). 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.都付2元的概率为P 1＝14×12＝18，都付4元的概率为P 2＝12×14＝18，都付6元的概率为P 3＝14×14＝116，故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P (ξ＝4)＝14×12＝18， P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的概率分布为所求数学期望E (ξ)＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有2人申请A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 24×2234＝2481＝827.即恰有2人申请A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为1，2，3.P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 24×A 23＋C 24A 23A 2234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49.X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝1×27＋2×27＋3×9＝27.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则V (X )＝________.解析 由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故V (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 6512.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________.解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，又∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时上式取等号.答案 1613.(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元. 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1， ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金ξ的概率分布为∴E (ξ)＝700×17＋560×7＋420×7＝500(元).答案 50014.(2016·苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”.(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望.解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首，若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首.故所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23·13·23·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝1681.(2)因为ξ＝|S 5|的取值为10，30，50. 所以P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081； P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081； P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.。
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集合与常用逻辑用语 统 计
11．2 用样本估计总体
1．用样本的频率分布估计总体分布 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的__________ 估计总体的__________；另一种是用样本的________估计总体的__________． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用 ________________表示．各小长方形的面积总和等于________． (3) 连 接频率 分布 直方图中 各小 长方形 上端的 中点 ，就 得到频 率分 布 ________．随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相 应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线， 统计中称之为______________， 它能够更加精细地反映出____________________________________． (4) 当 样本数 据较 少时，用 茎叶 图表示 数据的 效果 较好 ，它不 但可 以 ____________________，而且可以______________，给数据的记录和表示都带 来方便．
2 2 2 2
2
0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.16 ＝ ＝0.1.故填 0.1. 5
(2017· 山东 ) 如图所示的茎叶 图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日 的产量数据 (单位：件)．若这两组数 据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 ________．
解：根据两组数据的中位数相等可得 65＝60＋y，解得 y 56＋62＋65＋74＋（70＋x） ＝5， 又它们的平均值相等， 所以 ＝ 5 59＋61＋67＋（60＋y）＋78 ，解得 x＝3.故填 3，5. 5
1 [（x1－ x ）2＋（x2－ x ）2＋…＋（xn－ x ）2] n
， 其 中 xn 是
__________________ ， n 是 ________ ， x 是 ________ ．标准差是反映总体 __________的特征数，样本方差是样本标准差的__________．通常用样本方 差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解：根据柱形图易知选项 A，B，C 正确， 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负 相关，选项 D 错误．故选 D.
类型一
数字特征及其应用
(2015· 广东)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表： 工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年龄 40 44 40 41 33 40 45 42 43 工人编号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 年龄 36 31 38 39 43 45 39 38 36 工人编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 年龄 27 43 41 37 34 42 37 44 42 工人编号 28 29 30 31 32 33 34 35 36 年龄 34 39 43 38 42 53 37 布 数字特征 数字特征 频率 (2) 各小长方形的面积 1 组距 (3)折线图 组数 总体密度曲线 总体在各个范围内取值的百分比 (4)保留所有信息 随时记录 1 2．(1)最多 平均数 (x1＋x2＋…＋xn) 相等 n (2)样本数据的第 n 项 样本容量 平均数 波动大小 平方
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数，中位数，平均数 众数：在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或 者最中间两个数据的________)叫做这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即 x＝______________． 在频率分布直方图中， 中位数左边和右边的直方图的面积应该________． (2)样本方差，样本标准差 标 准 差 s ＝
A．56
B．60
C．120
D．140
解：由频率分布直方图知，自习时 间不少于 22.5 小时的有 200×(0.16＋ 0.08＋0.04)×2.5＝140(人)．故选 D.
(2017· 全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量， 收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位： 万人)的数据， 绘制了下面的折线图．
(2016· 江苏)已知一组数据 4.7，4.8，5.1， 5.4，5.5，则该组数据的方差是________．
解：这组数据的平均数 — 4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5 x＝ ＝5.1，则方差 5 2 （4.7－5.1） ＋（4.8－5.1） ＋（5.1－5.1） ＋（5.4－5.1） ＋（5.5－5.1） s ＝ 5
根据该折线图，下列结论错误的是( A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
)
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化 比较平稳
解：易知 B，C，D 对，A 错．故选 A.
(2015· 全国卷Ⅱ)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二 氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确 的是( ) ．．．
(2016· 山东)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)， 制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本 数据分组为[17.5，20), [20，22.5), [22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据 直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )