集合的概念(第一课时课件)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

用 “我们班的所有男同学构成一个集合”这个说法对吗？为什么？
数 学
对！ 满足确定性
眼
光 “我们班的所有高个子男同学构成一个集合”这个说法对吗？
看
问 为什么？
题
不对！ 不满足确定性
2 集合中元素的特性
元 2)互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的.
素
的
也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
特
性
用 下图中不同信号灯颜色组成的集合中，元素的个数是多少？
2. 设A是一些实数组成的集合，满足条件：
核 心 素
问
若a∈A，则 4 ∈A，且 2 ∉A.
题
2-a
养
(2) A能否只包含一个元素？为什么？
之
数
据 分 析
分 析
不能! 因为方程a=
4
2-a
无实数解.
+
逻
辑 递 推
方
法 这里将元素个数问题转化为方程是否有解的问题．
总 结
用到了方程思想．
问 变题 设A是一些实数组成的集合，若a∈A，则
总 结
对于选项D的排除，用到了反证法思想 .
课堂小结
一、本节课学习的新知识： 元素及其表示 集合及其表示
元素与集合的关系
元素的特性
集合相等
课堂小结
二、本节课提升的核心素养：
数学运算 直观想象 数据分析
逻辑推理（有序思考 分类讨论 反证法）
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法：
递推思想 方程思想 数形结合 分类讨论
(5)立德中学今年入学的全体高一学生.
思 考
以上例子中，我们研究的对象分别是什么？
一般地，我们把研究对象统称为元素；
概
念
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)
2 集合中元素的特性
元 1)确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的.
素
的
也就是说，给定一个集合，那么一个元素
特
性
在或不在这个集合中就确定了.
R
文字语言
符号语言
N*
NZ
QR
图形语言
venn图
练一练
用符号“∈”或“ ∉”填空：
0∈ N; ∉ Z；
-3 ∉ N; ∈Q;
提醒：0∈N, 但 0 ∉N*.
0.5 ∉ Z； π∈R .
新知梳理
元素及其表示
研究的对象； 小写拉丁字母
集合及其表示
元素组成的总体; 大写拉丁字母
元素与集合的关系
元素的特性
确定性 互异性 无序性
集合相等
两个集合所含元素相同
1.1.1 集合的含义
思维篇
素养篇
知识篇
问 1.下列各判断是否正确？为什么？
核 心
题 (1)若x∈N，y∈N，则(x+y)∈N*；(2) 若xy∈Z，则x∈Z，y∈Z；
素 养
(3)若x∈Z，y∈Z，则 ∈Q ； (4) 若x，y均为无理数，则xy ∉Q.
核
心
题
素
a∈N , 且 ∈Z. 则A中元素最5多有 5 个.
养
之
先定量判断：-4≤2-a≤4 且 a≥0
再有序列举：
数
分
据
分 析
析
a=0时，符合； a=2时，无意义； a=4时，符合；
a=1时，符合; a=3时，符合； a=5时，不符合；
+
逻
a=6时，符合.
辑
递 推
方 法
这里元素个数问题的解决分两步：先确定元素范围，再对
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A. 记作a ∉A
练一练
用符号“∈”或“ ∉”填空：
1）若所有奇数组成集合A,则
2 ∉ A，
3 ∈ A；
2）若所有小于4的实数组成集合B，则
∈ B,
∉ B.
4 常用数集
数学中一些常用的数集及其记法
自然数集 N
正整数集 N* 或 N+
整数集
Z
有理数集 Q
实数集
核 心 素
问 2. 设A是一些实数组成的集合，满足条件：
题
若a∈A，则 4 ∈A，且2 ∉A.
2-a
养
(1) 若1∈A，则A中元素个数为 3 .
之
数 据 分
分 析
1∈A
析
4∈A
-2∈A
1∈A
+
逻 辑
方 元素个数问题常用策略：
递 推
法 1）直接列举；（本题列举过程中用到了数值迭代）
总 结
2）通过转化与化归，得到元素的范围后再计数； 3）通过递推等手段，使条件显性化，再确定元素．
亲爱的同学：
欢迎来到高中数学课堂！ 经历过小学和初中阶段，我们已经学习了不少 数学知识，也能用它们解决一些生活中的问题。 但是，到目前为止，我们能解决的更多是些简单的、孤立的问题。而 生活中的问题纷繁复杂、门类众多，该如何高效地解决它们呢？ 数学家想到的办法是：先将它们归类，然后一类一类地解决！要学会 这种高效的方法，我们得先学习如何用数学语言表达一类一类的事物！ 集合，是刻画一类事物的语言和工具，让我们从“集合是什么” 开始 学习吧！
总 结
照条件列举验证．用到了重要的策略：有序思考.
1.1.1 集合的含义
思维篇
素养篇 知识篇
问 1. 已知0∈A，1∈A，a∈A, a2∈A，且A是包含三个
数
题
学
元素的集合，求实数a的值.
思
想
当a=0,或a=1,或a=a2时，A只有两个元素0和1，不符!
之 分 当a2=0时，a=0,不符！
分
当a2=1时，a=1或-1
问
数
学 思
题
想
内所有满足CM≤2的点M组成的集合. 若点P、Q分别是△ABC的
内心和外心，则P U，Q U.（填“∈”或“ ∉”）
之
数分
U是以C为圆心、以2为半径的圆内(含边界)的点
形 结
的集合(点集). 由已知及图形分析得：CP=
析
<2，
合
CQ=2.5>2, 故P ∈ U、Q ∉ U.
方 点集问题解决策略：数形结合 法 1）将条件中的符号语言翻译成文字语言和图形语言； 总 2）结合图形，确定点集对应的区域； 结 3）点与点集的关系，取决于点到关键点或线的距离.
无序性 集合中的元素没有前后顺序.
集合相等 两个集合所含元素相同
练一练
1.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由.
(1)大于0且小于10的奇数；
(2) 我国境内的高山.
（1）是，确定由1，3，5，7，9五个元素组成的集合.
（2）否，“高山”不具有确定性.
2.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)由0，∣- 1 ∣，1 , 0.5 组成的集合包含4个元素；
+
思 想
分 由2=1+1∈A，得1×1=1∈A. 故A中至少有四个元素. 析 另一方面，对于选项D，若A中还有第5个元素m，则m≥5，
反
因为m可拆成2+(m-2), 且2(m-2)-m=m-4≥1，所以2(m-2)∈A，
证 法
故A中将会出现第6个元素2(m-2). 与选项D自身矛盾！
方
法 这里同时用到了分拆、递推与循环迭代；
3. 已知集合A中的元素都是正整数，且满足条件：
数
问
学
思
题
想
对任意正整数x、y，若x+y∈A，则xy∈A. 已知4∈A，则A中元素个数有可能是 （ ）
A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个.
之
迭 代
一方面，可将4逆向拆成1+3，或2+2，或3+1； 由已知1+3∈A，得1×3=3∈A；由3=1+2，得1×2=2∈A；
类析 讨 论
若a=1，不符！ 若a=-1，则A中有三个元素0,1,-1,符合条件.
综上所述，得a=-1 .
方 元素含字母问题常用解决策略：分类讨论
法 1）有序思考：不重复，不遗漏；
总 结
2）分层讨论：先按大类讨论，若需要某一类内部可再讨论； 3）检验互异性：对照已知条件判断合理与否.
2. 如图，△ABC中，AB=5, BC=4, CA=3; 已知U是△ABC所在平面
2
(2)由3，1，4与1，4，3分别组成的集合是不同的集合.
(1)错误！不满足集合元素的互异性． (2)错误！依据元素的无序性，这两个集合相等．
3 元素、集合的表示及关系 我们通常用大写拉丁字母A、B、C…表示集合；
用小写拉丁字母a、b、c、…表示集合中的元素.
如果a是集合A中的元素，就说a属于A. 记作a∈A
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合的含义
高中数学/人教A版/必修一
1.1.1 集合的含义
思维篇 素养篇
知识篇
1 什么是集合？
看下面的例子：
抽 (1)1~11之间的所有偶数；
象 与
(2)方程 x2-2x-3=0 的所有实数根；
概 (3)所有的正方形；
括
(4)到直线l的距离等于定长d的所有的点；
数 学
为什么？
眼
光
看
问
3个 重复的只能算作一个
题
2 集合中元素的特性
元 素
3)无序性
同一个集合中的元素列举时无需讲究先后顺序.
的
特
特别地，只要构成两个集合的元素相同，就称这两个
性 集合相等，与元素出现顺序无关.
用 1)电话号码“120”所含字符构成的集合与号码“122”所含
数
学 字符构成的集合是否相等？为什么？
眼
不相等！元素不完全相同
光
看 2)单词“eat”所含字母构成的集合与单词“tea”所含字母
问 题
构成的集合是否相等？为什么？
相等！元素完全相同
2 集合中元素的特性
元素的特性 微 清 单
确定性 互异性
给定集合，它的元素必须是确定的. 也就是说给定一个集合，那么任何 元素在不在这个集合中就确定了.
一个给定集合中的元素是互不相同 的，也就是说，集合中的元素是不 重复出现的.
之
直 观
分 (1)× 反例：x=y=0；
想 象
析 (3)× 反例：y=0；
(2) × 反例：x=2, y=0.5 ； (4) × 反例：x=y= .
+
数
据
数集的性质问题解决策略：
分 析
方 法
1）要否定判断，举一个反例即可；
总 2）要肯定判断，可对照定义、定理等依据；也可以通过推理
结
给出证明；
3）注意０等特殊元素的特殊性，利用数学直观作为思考先导.