数值分析课件 (第8章)
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数值分析全册完整课件
0
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析(浙江大学)全套课件
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
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10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析课件
format + / format bank / format rat / format hex (详情查看联机帮助)
例：
>> ：命令提示符，不用输入
回车 ：运行所输入的命令
矩阵元素赋值
矩阵元素可以是任何数值表达式
例：>> x=[-1.3, sqrt(3), (1+2+3)*4/5]
矩阵元素的单独赋值
例：>> x(5)=abs(x(1))
Matlab自动将向量 x 的长度扩展到 5，
并将未赋值部分置零。
例：>> x(5)=abs(x(6)) ??
矩阵元素的引用
单个元素的引用
例：>> A(2,3) 利用小括弧和元素所在的位置(下标)
x (i) ：向量 x 中的第 i 个元素 A ( i, j) ：矩阵 A 中的第 i 行，第 j 列元素
多个元素的引用：冒号的特殊用法
a:b:c 产生一个由等差序列组成的向量； a 是首项，b 是公
差，c 确定最后一项；若 b=1，则 b 可以省略。
Matlab 变量
分号和续行符的作用
若不想在屏幕上输出结果，可以在语句最后加分号 如果语句很长，可用续行符 “…”（三个点）续行
续行符的前面最好留一个空格 例：
Matlab 变量
变量的查询 who 显示工作空间中的所有变量 whos 查看工作空间中变量的详细属性
Matlab 变量
系统预定义变量 pi ： 圆周率 ，其值为 imag(log(-1)) inf，Inf ：无穷大 nan，NaN ：Not-a-Number，一个不定值，如 0/0 eps ：浮点运算相对精度
数值分析ppt第8章-矩阵特征值问题计算
现讨论求λ1及x1旳措施.
上页 下页
幂法旳基本思想是: 任取非零旳初始向量v0 , 由矩 阵A构造历来量序列{vk}
v1 Av0 , .v.2.......A..v..1......A...2v0 , vk1 Avk Ak1v0 , .........................
(2.2)
(2.5)
即为矩阵A旳相应特征值1 旳一种近似特征向量.
因为 vk1 Avk 1k1a1 x1 1vk , (2.6)
用(vk)i 表达vk旳第i个分量，则当k充分大时，有
vk1 i
vk
i
1.
(2.7)
即为A旳主特征值1旳近似值.
这种由已知非零向量v0及矩阵A旳乘幂Ak构造向
量序列{vk}以计算A旳主特征值1(2.7)及相应特征向量
当A为实矩阵，假如限制用正交相同变换，因为
A有复旳特征值， A不能用正交相同变换约化为上三
角阵. 用正交相同变换能约化到什么程度呢？
上页 下页
定理10 (实Schur分解) 设A∈Rn×n，则存在正 交矩阵Q使
R11
QT
AQ
R12 R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A旳实特征值，每个二阶对角块Rii旳两个特征值 是 A旳两个共轭复特征值.
上页 下页
8.2.1 幂法（又称乘幂法）
设实矩阵A=(aij)有一种完全旳特征向量组，即 A有n个线性无关旳特征向量，设矩阵A旳特征值为 λ1,λ2,,λn, 相应旳特征向量为x1,x2,,xn. 已知A旳主 特征值λ1是实根，且满足条件
| 1 || 2 | | n |,
数值分析课件
2
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
计算方法课件第八章常微分方程初值问题的数值解法
整体截断误差与局部截断误差的关系
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f(x ,y 1 )f(x ,y 2) L y 1y 2
且局部截断误差有界：
|R n|1 2h2M 2
(n1,2, )
则Euler法的整体截断误差n满足估计式：
ne(ba)L 0h 2L M 2(e(ba)L1)
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n ) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算y n 1 时，只用到x n 1 ,x n和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 y n 1 时，除用到 x n 1 ,x n 和 y n 以外，还要用 x n p 和 y n p (p1 ,2 k;k0) ,即前
其中L为李普希兹常数，b-a为求解区间长度，
M2 mayx(x) 。 axb
证明参见教材。
Remark：该定理表明，整体截断误差比局部截 断误差低一阶。对其它方法，也有类似的结论。
收敛性与稳定性
收敛性定义：如果某一数值方法对于任意固定的
xn=x0+nh，当h0(同时n )时有yn y(xn)，
则称该方法收敛。 稳定性定义 定义 用一个数值方法，求解微分方程初值问 题时，对给定的步长h>0，若在计算 y n 时引入 误差 （n 也称扰动），但由此引起计算后面的 ynk(k1,2, )时的误差按绝对值均不增加，则 称这个数值方法是稳定的。
一般的显式rk方法可以写成型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多其中为常数选取这些常数的原则是要求第一式的右端在处泰勒展开后按h型钢截面只需少量加工即可用作构件省工省时成本低但型钢截面受型钢种类及型钢号限制难于完全与受力所需的面积相对应用料较多上述公式叫做n级的rungekutta方法其局部截断误差为显然euler法是一级一阶rk方法
数值分析Ch8矩阵特征值的计算
• 注(2)可用 A pI 来加速.
例 用反幂法求矩阵A的最接近 p 13 的特征值和特 征向量.
解
其中:
3 12 3 A 3 1 2 3 2 7 3 1 3 LU A pI 3 14 2 3 2 20 0 0 3 1 1 3 L 3 1 0 U 0 5 11 11 66 1 3 0 0 5 5
取 1 max v7 3.41, X1 u7 (.707,1,.707)
2.加速方法(原点平移法)
• 令 : B A pI ,设 B 的特征值为 i 则: i i p
i i p i 希望 : 1 1 p 1
若设 : 1 2 n1 n
2 p n p 选p使 : max , min 1 p 1 p
n p 2 n 2 p * 当 取p 达最小. 1 p 1 p 2
2 n • 使用幂法,取 p 计算 1 得到加速. 2
i (1 X 1 i Xi ) i 2 1
k 1 n
k
vk Avk 1 X 1 X 2 X n
k 1 1
k 2 2
k n n
i i 1 (1 X 1 i X ) i 1 i 2 1 vk k lim k 1 X 1 vk 11 X 1
取
v0 u0 1,1,1
T
计算公式:
vk Lyk uk 1 , Uvk yk , uk max vk
0 1
k 迭代向量 分
量 max
《数值分析》》课件
基于函数梯度的方法，通过迭代逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
8~数值分析
2
初始温度分布为
u(x,0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L.
u(0,t) = c , 0 ≤t ≤ ∞ 1 u(L,t) = c2, 0 ≤t ≤ ∞
杆端点的边界值为
是导热率系数， 是热量， 是杆的密度。 其中 k 是导热率系数，σ是热量，ρ是杆的密度。
抛物型方程的古典显格式
8.1 差分格式建立的基础
截断误差
n n ∂u um+1 −um n Em = − ∂x h m n n n 2 2 3 3 ∂u h ∂u h ∂ u h ∂ u n n − = −um + + 2 + 3 +L um h ∂x 2 ∂x 3 ∂x ∂x 1 m ! ! m ! m m n n
2 3 4 5 2 3
n
n
tn
ξ
抛物型方程的古典显格式
三、算子
∂ 为 x 方向偏导数算子 D= x ∂x Tx为 x 方向位移算子
T u =u , T u =u
n x m n m+ 1
−1 n x m
n m− 1
μx 为 x 方向平均算子
1 n n µ u = um+1 +um−1 2 2 2
n x m
一、网格 将求解区域Ω分割成 M·N个小矩形，长宽分 将求解区域Ω 个小矩形， 个小矩形 别为 ⊿x=h ⊿t=k
t tN ┆ t0
k x1
h … xM x
抛物型方程的古典显格式
0 x0
二、差商 一阶偏导数 ∂u 的向前、向后、中心差商为 的向前、向后、 ∂x m
n
u
初始温度分布为
u(x,0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L.
u(0,t) = c , 0 ≤t ≤ ∞ 1 u(L,t) = c2, 0 ≤t ≤ ∞
杆端点的边界值为
是导热率系数， 是热量， 是杆的密度。 其中 k 是导热率系数，σ是热量，ρ是杆的密度。
抛物型方程的古典显格式
8.1 差分格式建立的基础
截断误差
n n ∂u um+1 −um n Em = − ∂x h m n n n 2 2 3 3 ∂u h ∂u h ∂ u h ∂ u n n − = −um + + 2 + 3 +L um h ∂x 2 ∂x 3 ∂x ∂x 1 m ! ! m ! m m n n
2 3 4 5 2 3
n
n
tn
ξ
抛物型方程的古典显格式
三、算子
∂ 为 x 方向偏导数算子 D= x ∂x Tx为 x 方向位移算子
T u =u , T u =u
n x m n m+ 1
−1 n x m
n m− 1
μx 为 x 方向平均算子
1 n n µ u = um+1 +um−1 2 2 2
n x m
一、网格 将求解区域Ω分割成 M·N个小矩形，长宽分 将求解区域Ω 个小矩形， 个小矩形 别为 ⊿x=h ⊿t=k
t tN ┆ t0
k x1
h … xM x
抛物型方程的古典显格式
0 x0
二、差商 一阶偏导数 ∂u 的向前、向后、中心差商为 的向前、向后、 ∂x m
n
u
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算
也可将上式改写成
Ax k = y k −1 m = max( x ) k k y = x / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
式(8.8)称为反幂法. 显然有 1 lim mk =
k →∞
(8.8)
λn
, lim y k = x n / max( x n )
k →∞
每一步求xk需要求解线性方程组, 可采用LU分解法求解.
i =2
n
其收敛速度由比值|λ2/λ1|来确定.
又由于
A k x0 mk = max( y k ) = max( Axk −1 ) = max( ) k −1 max( A x0 )
所以
lim mk = λ1
k →∞
= λ1
λ max[β 1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k ξ i ] λ max[ β1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k −1 ξ i ]
可取 λ1 ≈6.000837, ξ1 ≈(1,0.714316,-0.249895)T.
研究生学位课程 数值分析
8.1.2 加速技术
由于
mk = max( x k ) = λ1 + o(
λ2 k λ1
)
所以,乘幂法收敛速度取决于比值|λ2/λ1|,当|λ2/λ1|≈1时,收敛是很慢的.
1.Aitken 加速方法 Aitken
可得
y k = Ax k −1 m = max( y ) k k x = y / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
A x0 xk = = max( A k x0 )
k
λ β1ξ1 + ∑ β i ( λ ) k ξ i
Ax k = y k −1 m = max( x ) k k y = x / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
式(8.8)称为反幂法. 显然有 1 lim mk =
k →∞
(8.8)
λn
, lim y k = x n / max( x n )
k →∞
每一步求xk需要求解线性方程组, 可采用LU分解法求解.
i =2
n
其收敛速度由比值|λ2/λ1|来确定.
又由于
A k x0 mk = max( y k ) = max( Axk −1 ) = max( ) k −1 max( A x0 )
所以
lim mk = λ1
k →∞
= λ1
λ max[β 1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k ξ i ] λ max[ β1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k −1 ξ i ]
可取 λ1 ≈6.000837, ξ1 ≈(1,0.714316,-0.249895)T.
研究生学位课程 数值分析
8.1.2 加速技术
由于
mk = max( x k ) = λ1 + o(
λ2 k λ1
)
所以,乘幂法收敛速度取决于比值|λ2/λ1|,当|λ2/λ1|≈1时,收敛是很慢的.
1.Aitken 加速方法 Aitken
可得
y k = Ax k −1 m = max( y ) k k x = y / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
A x0 xk = = max( A k x0 )
k
λ β1ξ1 + ∑ β i ( λ ) k ξ i
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
数值分析第8章
n
1
k
,
xn uk
35
对给定的误差 ，当 | k – k 1 | < 时，得
k
k
j 1 j 2,, n , 所以 lim k 0 由假设条件 k 1
从而
lim
k
vk
k 1
a1 x1
k 1 1 1
17
所以当k充分大时，有
vk a x
vk a x
且
k 1 1 1
即为矩阵 A 的对应特征值 1 的近似特征向量。
vk 1 Avk a x 1vk
1 2 n1 n 0
Axi i xi A xi x
1
1 i i
其相应的特征向量 x1 , x2, …, xn 线性无关,则 A-1 的特 征值为1/ i ，对应的特征向量仍为 xi (i=1,2, …,n).
33
此时,A-1 的特征值满足
1
5 6.7500, 13.5000, 10.1250
13.5007
13.5000
0.5, 1, 0.7500
0.5, 1, 0.7500
可得到B的主特征值 113.5000 特征向量 v1 (0.5 ,1.0, 0.7500)T 因此,A的主特征值为 1 = 1 +p 11.0000, 特征向量仍为v1 =(0.5,1,0.7500)T。
k 1 1 1 k 2 2 2 k
k n n n k
k n 2 1 a1 x1 a2 x a 2 n xn 1 1 k 1 a1 x1 k
16
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v x a 设 a ) 0 a 1 1 a 2x 2 nx n,( 1 0 v x 2x a 1 Av 0 a 1 1 1 a 2 2 n nx n,
k k 2 k n v a x x a x . k Av k 1 1 1 1 a 2 2 n n 1 1 当k很 大 时 ， v k k 1a1 x1 , v k 1 1 v k , Avk 1 v k，
r 2 1 时 收 敛 可 能 就 很 慢 。 1
定理 12 设ARnn有n个线性无关的特征向量 , 其特征值 1 2 n , 则对任何非零初始向量 v0 (a1 0)， vk lim k a1x1 k 1 (vk1 )j lim 1 . k (v ) k j
8.2 幂法及反幂法
一、幂法 幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ 1及其对应的特 征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
n n 设 A( a ) R 有 一 个 完 全 特,征 其 向 特 量 征 组 值 ij n n
为 , x 向 ,x 量 ,x 为 1, 2, n, 对 应 的 特 征 1 2, n. 并设 A 的 主 特 征 值 是满 实足 根，且 1 2 n, 现 在 讨 论 及 求 x 的 基 本. 方法 1 1 (2.1)
定 理 2 若i (i 1,, n)是 矩 阵 A的 特 征 值 ,则 n n (1) i aii tr(A), i 1 i 1 (2) det( A) 1 n . 定理 3 设A Rnn , 则 (AT ) (A).
定 理 4设A为分块上三角阵 , A1 1 A1 2 A1m A A 22 2m A Amm 其中每个对角块 Aii均为方阵 , 则 (A) (Aii ).
计 算 A 的 主 特 征 值 及 相 应 特 征 向 量 的 方 法 称 为幂 法 。 vk以 1 收 敛 速 度 由 比 值 r
k 这 种 由 已 知 非 零 向 量 v0及 矩 阵 A 的 乘 幂 A 构 造 向 量 序 列
2 来 确 定 ， r越 小 收 敛 速 度 越 快 ， 但 当 1
若 ( u , v ) 0 , 则称 u 与 v 正交。
定理8 (Gerschgori n圆盘定理 ) (1)设 A (aij)nn , 则 A 的每 一个特征值必属于下列 某个圆盘之中 n | aii | | aij |, (i 1, , n). ji (2) 如果上述的 n个圆盘中有 m 个圆盘构成一个连通域 S, 且 S与其余 nm 个圆盘分离 ,则 S中恰有 A的 m 个特征值 .
( 1 ) A 与 B 有相同的特征值 ; ( 2 ) 若 y 是 B 的特征向量 ,则 Py 是 A 的特征向量 .
线性无关的特征向量的 个数少于 k ，则称 A 为 亏损 .矩
定理6 （ 1 ）A Rnn可 对 角 化 即 ， 非 奇 异 矩 P 阵 使 1 2 P1AP n 的充要条件 A 是 具有 n个 线 性 无 关 的 特 征.向 量 (2) 若A Rnn有m(m n)个 不 同 的 特 征 值 1 , 2 ,, m , 则 对应的特征向 x1 量 , x2 ,, xm线 性 无 关 .
() det( I A)
ann
n (a1 1 a2 2 ann)n1 (次 级 n 2的 项 ) 为A的特 征 多 项 . 式
A 的特征方程 () det( I A) 0 设 为 A 的 特征 值 ,相 应 的 齐 次 方 程 组 (I A)x 0 的 非 零x 解 称为 A 的 对 应 于 的 特征向量 . (1.2) (1.1)
n n 定义 设 A 2 R , 如果 A 有一个 k 重特征值 且其对应
n n 定 7( 理 对称矩阵的 )设 正 A 交 R 为 约对 化称 ,则 矩阵
(1) A 的特征值均为实数； ( 2 )A 有 n 个 线 性 无 关； 的特征向量
(3) 存 在 正 交 矩 P 阵 使得 1 2 ， P1AP n 且i (i 1,2,, n)为A的 特 征 值 , 而P (u1,u2,,un )的 列 向量 uj为 对 应 于 j的 特 征 向. 量
例2
4 估计 A 1 1
1 0 1
0 1 4
的特征值的范围
| 4 | 1 | | 2 | 4 | 2
n 定义4 设 A 是 n 阶实对称阵 , 对于任一非零向量 x R ,称
( Ax ,x ) R ( x ) ( x, x ) 为关于向量 x 的 瑞 利 ( Rayleigh ) 商 .
的 根 称A 为 的 特征值 . (A)表 示 A 的所有特征值的 . 集合
2 1 0 的特 征值及 其特征 例 1求 A 1 3 1 . 向量 0 1 2
定理1设 是矩阵 ARnn的特征值 , x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是 cA的特征值 (常数 c 0)； (2) p为 A pI的特征值 ,即(A pI)x ( p)x； (3) k是 Ak的特征值 ,即Akx kx； 1 1 (4) 设 A非奇异，则 0且 为 A1的特征值 ,即A1x x.
(2.9)
则
事实上， 对于任 给非零向量 u 0 v 0， v 1 Au 0 Av 0 , Av 0 v1 u1 , max( v 1 ) max( Av 0 )
A2v0 A2v0 v2 v 2 Au 1 , u2 , 2 max( Av 0 ) max( v 2 ) max( A v 0 ) , Ak v0 vk Ak v0 vk , uk k 1 max( v k ) max( A k v 0 ) max( A v 0 ) 2 k k A v 0 1 a 1 x 1 a 2 1 n x 2 an 1
例3 用 幂法求 1 0 .5 1 A 1 1 0 . 25 0 .5 0 .25 2
u v , 0 0 v Au , k k 1 ( k 1,2, ) max( v ), k k u v / . k k k
为了避免“溢出”下面 做改进 .记 m ax( v ) 为向量 v 的绝对 v 值最大的分量，规范化 得 u ( v 0 ). 就有 m ax( v )
定理13 设 A R nn 有 n个线性无关的特征向量, 其特征值 1 2 n , 对任何非零初始向量v 0 (a 1 0)， 计算 u 0 v 0 , v Au , k k 1 ( k 1,2,) k max(v k ), u k vk / k . x1 lim u k , lim k 1. k max(x 1 ) k
第八章 矩阵特征值问题计算
内容提要 8.1 引言 8.2 幂法及反幂法
8.1 引言
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求 矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑 物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某 些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定 义 1已 知 A (aij )nn , 则 称 a1 1 a1 2 a2 1 a2 2 an1 an2 a1n a2n
n n 当 ， , 且 A R 有 n 个 1 2 r r r 1 n
线性无关的特征向量时 ，上述结果仍成立
r ( v ) v k 1 j k lim a x , l i m . i i 1 k k k ( v ) i 1 1 k j
k
x n ,
k
2 a x a 1 1 2 k A v0 1 uk max( A k v 0 ) 2 max a 1 x 1 a 2 1 x1 (k ) max( x 1 )
k
的按模最大特 特 征 征 值 向 . 及 量 其
于是主特征值为：2.5365323； 对应特征向量为：(0.7482引 进 矩 阵 B A pI 其 中 p 为 选 择 参 数 。 设 A 的 特 征 值 为 1， 2， ， n， 则 B 的 相 应 特 征 值 为 1 p， 2 p， ， n p , 而 且 A , B 的 特 征 向 量 相 同 。 如 果 需 要 计 算 A 的 主 特 征 值 1， 就 要 适 当 选 择 p 使 1 p仍 是 B的 主 特 征 值 ， 且 使 2 p 2 1 p 1 对 B应 用 幂 法 ， 使 得 在 计 算 B的 主 特 征 值 1 p的 过 程 中 得到加速。这种方法通 常称为原点平移法。
n x2 an xn 1
k k n x2 an xn 1
k
Akv0 max( v k ) max k 1 max( A v 0 ) k k 2 n 1 max a 1 x 1 a 2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n max a 1 x 1 a 2 x2 an xn 1 1 1 (k )
i 1
1 定理5 若 A 与 B 为相似矩阵 ,即 非奇异 P 使 P AP B , 则
m
( 1 ) A 与 B 有相同的特征值 ; ( 2 ) 若 y 是 B 的特征向量 ,则 Py 是 A 的特征向量 .
1 定理5 若 A 与 B 为相似矩阵 ,即 非奇异 P 使 P AP B , 则