北京理工大学数值分析课件
数值分析学习课件
数值分析学习课件目录1. 内容概要 (2)1.1 数值分析的重要性 (2)1.2 课件内容概述 (3)2. 基础知识准备 (4)2.1 数学知识要点 (6)2.2 计算机基础 (7)2.3 编程基础 (8)3. 数值计算的基本原理 (10)3.1 误差理论 (11)3.2 近似计算 (13)3.3 算法稳定性与收敛性 (15)4. 数值计算方法与技巧 (16)4.1 插值与逼近 (17)4.2 微分与积分计算 (19)4.3 线性代数方程求解 (19)4.4 优化计算方法 (21)5. 数值分析的应用实例 (22)5.1 数据拟合与预测分析 (23)5.2 微分方程数值解法应用 (24)5.3 线性规划优化问题应用 (26)5.4 其他领域的应用实例 (27)6. 实践操作指导 (28)6.1 编程实践环境搭建 (30)6.2 数值计算软件使用介绍 (31)6.3 编程实践案例分析 (32)7. 课程总结与展望 (33)7.1 课程重点内容回顾 (34)7.2 数值分析发展趋势 (35)7.3 学习建议与展望 (37)1. 内容概要数值分析是一个研究数值算法的学科，旨在寻找有效的方法来求解大量的数学问题，特别是那些无法得到精确解或者求解起来过于繁杂的问题。
它在物理学、工程学、经济学、生物技术以及许多其他科学领域中都是至关重要的。
本课程将涵盖数值分析的核心概念和方法，重点是数值线性代数、数值积分、数值微分方程以及数值优化等经典主题。
学生将理解这些问题的数学背景，掌握相关的数值算法，并能够运用编程实现这些算法。
学生还将学习误差分析、收敛性理论以及如何选择和实现适合特定问题的数值方法。
在整个课程中，学生将通过实际问题的解决，如物理模型、金融模型、生物数据的分析和处理等，来应用所学的数值分析知识和技能。
通过本课程的学习，学生不仅能够加深对数值方法的理解，还能增强解决实际问题的能力。
1.1 数值分析的重要性数值分析是利用计算机解决数学问题的重要工具，在许多领域，例如物理、工程、金融、生物等，现实世界的问题常常难以用精确的解析解表达出来。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
北理研究生数值分析---第九章课件
§1 Euler方法
1.Euler方法 以差分方程初值问题
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y 0 y (a ) n 0 ,1, , N 1
的解作为微分方程初值问题的数值解，即
y(xn ) yn
称为Euler方法。
1.用Euler方法求初值问题
( k 0 ,1, 2 , )
y n 1 y n 1
(k )
( k 1)
h 2
f ( x n 1 , y n 1 ) f ( x n 1 , y n 1 )
(k )
( k 1 )
hL 2 hL 2
y n 1 )
k
( k 1)
y n 1
(k ) (0)
k
hL 2
( )
k p 1
hL 2
)
k
] y n 1 y n 1
(1 ) (0)
1
hL 2
y n 1 y n 1 0
(1 ) (0)
2.2 改进Euler法
y n 1 y n hf ( x n , y n ) h y n 1 y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2 预测 校正
约定：不加特别说明，必有 （1） f ( x , y ) 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，由此保证初始问题的解存在唯一。 （2）步长 h n x n 1 x n ( n 0 ,1, , N 1 ) 为常量 h 。
微分方程离散化的方法
(1) 用差商近似导数
y ( x n ) y ( x n 1 ) y ( x n ) h
北工大数值分析课件
定义：迭代法是通过不断迭代逼 近方程的解的方法。
SOR方法（Successive OverRelaxation Method）：在雅可比 法基础上引入松弛因子，以加速迭 代收敛速度。
优缺点：计算量较小，但需要合 适的初值和参数设置，否则可能 不收敛或收敛到非解。
矩阵分解：LU分解和QR分解
定义
矩阵分解是将一个复 杂的矩阵分解为几个 简单的、易于处理的 矩阵。
步骤
将增广矩阵通过行变换化为阶 梯形矩阵，然后回代求解未知
数。
适用范围
适用于系数矩阵是方阵且系数 矩阵或增广矩阵有唯一解的情
况。
优缺点
方法简单易懂，但对方阵来说 计算量较大，且容易出错。
迭代法：雅可比法和SOR方法
雅可比法：利用前一步的解作为 下一次迭代的初值，通过迭代逐 步逼近方程的解。
适用范围：适用于系数矩阵是稀 疏矩阵或系数矩阵有唯一解的情 况。
04 插值与拟合
多项式插值
定义
多项式插值是根据已知的离散数 据点，构造一个多项式来逼近或
插值这些数据点的方法。
常用方法
拉格朗日插值、牛顿插值、样条插 值等。
应用
在数值分析、数学建模、数据拟合 等领域有广泛应用。
样条插值
定义
样条插值是一种通过样条函数来 逼近或插值数据点的方法。样条 函数是一种分段定义的函数，在 每一段上具有连续的一阶和二阶
改善数值稳定性。
迭代法基础
迭代法原理
迭代法是通过不断迭代来 逼近真实解的一种方法。
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛 速度的快慢是评价迭代法 好坏的重要指标。
常见的迭代法
如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法、松弛法等。
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
北京理工大学 数据结构课件 01 绪论
文件夹2
C: …..
子文件夹21
子文件夹221
子文件夹222
文件2211
文件2212
子文件夹22
子文件夹223 子文件夹n1
文件n11 文件n12
文件夹n 文件1 Data Structure
子文件夹n2
பைடு நூலகம்
28
数据结构
例3：地铁线路图
Data Structure
地铁站之间的连接关系是一种图型结构关系 图型结构关系是对地铁站之间的连接关系的一种抽象表示
printf (”The max number is %f\n”, max);
Data Structure
}
12
非数值计算的程序设计问题2
例2 已知研究生的选课情况，试设计安排课程的考试日程的
程序。 要求在尽可能短的时间内完成考试。
A 算法分析 B C D E 网络技术 F 人工智能
形式语言 计算机图形学 模式识别 石 磊 C
学生间学号顺序关系是一种线性结构关系 线性结构关系是对学生间学号顺序关系的一种抽象表示 学号 cs001 姓名 张扬 出生日期 02121990 入学日期 01092009 班级 专业 cs20091 计算机 cs20091 计算机 cs20091 计算机 cs20091 计算机
cs002 cs003 cs004
杨润生 A B E
石 磊 C D
15
魏庆涛 马耀先 齐砚生 C D B E F F F A
非数值计算问题举例2: 求解（着色法）
每种颜色代表一个考试时间，用尽量少的颜色为顶点着色； 着色原则：相邻顶点着不同颜色;不相邻顶点着相同颜色； 着相同颜色的顶点（课程）安排在同一时间考试；
北京理工大学工科数学分析3-3泰勒(Taylor)公式
(2n)!
x2 x3 ln(1 x) x
(1)n
x n1
o( x n1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn o( xn ) n!
例1. f ( x) ln(1 sin2 x) 在 x 0 的展开式到 x4 次项；
解：ln(1 sin2 x) sin2 x 1 sin4 x o(sin4 x)
2
x
x3 3!
o(
x3
2 )
1[ 2
x
o(
x)]4
o(
x4)
x2 5 x4 o( x4 ) 6
§3 泰勒(Taylor)公式
❖ 局部泰勒展开式(Taylor expension) ❖ Lagrange 余项的泰勒公式(Taylor’s
formula)
问题的提出
1. 设 f ( x) 在 x0 处连续，则有
f ( x) f ( x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) ]
2. 设 f ( x) 在 x0 处可导，则有 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
2! 4! 6!
x2
e2
1
x2
1
x4
1
x6
o( x6 )
2 2! 4 3! 8
f ( x) 1 x4 7 x6 o( x6 ) 12 360
《数值分析》课件-PPT文档资料
模型误差
处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的 解 之间的误差叫模型误差。 例如
8 6 y 56 x s i n x , 0 x 1 0
是实际问题的解，而若数学模型的解是
6 y 5 x 6 , 0 x1 0,
思考 问：谁的近似程度要好一些？
定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error) e x x er . x x 由于精确值 x 未知, 实际上总把 xe 作为x*的 相对误差，并且仍记为er , 即
e r e . x
定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002) 1.000 004 0,
数 值 分 析
理 学 院
刘 秀 娟
第1章
绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
1 1 e1 dx 1 1 11 1 1 / e 1 0 3 2 ! 5 3 ! 7 4 ! 9
《数值分析》课件-第2章
（1）
则称ϕ (x)
为
f
(x)
在
Φ
中关于节点
{xi
}n i=0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
{xi
}n i=0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
2004-9-9
3
2 . 几何意义、内插法、外插法
M~
=
max{x
i
}n i =0
m~
=
min{x
i
}n i =0
2004-9-9
内插
x ∈[m~, M~ ]
外插 x ∈[a, b] but x ∉[m~, M~ ]
4
3. 多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值 问题
当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值
{ } 特别的取 Φ = Pn =∆ span 1, x, x2 ,L, xn , 即
g
(t )
在区间
[a,
b]
上的
n
+
2
个互异零点：
x
、
{xi
}n i=0
当 g(t) 充分光滑时， g (n+1) (t) 在开区间 (a, b) 内至少存在一个零点ξ
g g
(n (n
+1) +1)
(t) =
(ξ ) =
f( 0
n+1)
(t
)
−
(n
+
1)!k
(
x)
⇒
k
(
数值分析课件第一章
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第11章
区间估计的基本概念前面介绍了参数的点估计，讨论了估计量的优良性准则，给出了寻求估计量最常用的矩估计法和最大似然估计法.参数的点估计是用一个确定的值去估计未知参数，看似精确，实际上把握不大，没有给出误差范围，为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计.Neyman(1894–1981)引例在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条.实际上，N的真值可能大于1000，也可能小于1000.为此，希望确定一个区间来估计参数真值并且满足：1.能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.“可靠程度”是用概率来度量的.2.区间估计的精度要高.可靠度：越大越好估计你的年龄八成在21－28岁之间区间：越小越好被估参数可靠度范围、区间一、置信区间的定义（Confidence Interval ）对于任意θ∈Θ，满足设总体X 的分布函数F (x ,θ)含有一个未知参数θ，θ∈Θ,对于给定常数α(0<α<1)，若由抽自X 的样本X 1,X 2,…,X n 确定两个统计量112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<≥-112ˆ(,,,)nX X X θ212ˆ(,,,)nX X X θ和则称随机区间是θ的置信水平为1−α的置信区间.12ˆˆ(,)θθ和分别称为置信下限和置信上限.1ˆθ2ˆθ（1）当X 连续时，对于给定的α，可以求出置信区间满足此时，找区间使得至少为1−α，且尽可能接近1−α.12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1nnP X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ()P θθθ<<（2）当X 离散时，对于给定的α，常常找不到区间满足12ˆˆ(,)θθ说明：（2）估计的精度要尽可能高. 如要求区间长度尽可能短，或者能体现该要求的其他准则.（1）要求θ以很大的可能被包含在区间内，即概率尽可能的大.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.12ˆˆ()P θθθ<<12ˆˆ(,)θθ21ˆˆθθ-（3）对于样本(X 1,X 2,…,X n )112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n X X X X X X θθ以1−α的概率保证其包含未知参数的真值.随机区间112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-即有：（4）对于样本观测值(x 1,x 2,…,x n )可以理解为：该常数区间包含未知参数真值的可信程度为1−α.112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n x x x x x x θθ常数区间只有两个结果，包含θ和不包含θ.此时，不能说：112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P x x x x x x θθθα<<=-没有随机变量，自然不能谈概率如：取1−α=0.95.若反复抽样100次，样本观测值为112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-1121ˆˆ((,,),(,,))i i i in n x x x x θθ于是在100个常数区间中，包含参数真值的区间大约为95个，不包含真值的区间大约为5个.12,,,ii i nx x x1,2,,100i =对应的常数区间为1,2,,100i =对一个具体的区间而言，它可能包含θ，也可能不包含θ，包含θ的可信度为95%.1121ˆˆ((,,),(,,))i i i i nnx x x x θθ二、构造置信区间的方法枢轴量法1.寻求一个样本X 1,X 2,…,X n 和θ的函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ)，使得W 的分布不依赖于θ和其他未知参数，称具有这种性质的函数W 为枢轴量（Pivotal quantity ）.3.若由不等式a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b 得到与之等价的θ的不等式2.对于给定的置信水平1−α，定出两个常数a 和b ，使得P {a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b }=1−α112212ˆˆ(,,,)(,,,)n n X X X X X X θθθ<<即有P {a <W (X 1, X 2,…, X n ;θ)<b }关键：1.枢轴量W (X 1, X 2,…, X n ;θ)的构造2.两个常数a ,b 的确定一般从θ的一个良好的点估计出发构造，比如MLE因此，是θ的一个置信水平为1−α的置信区间.112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα=<<=-12ˆˆ(,)θθf (w )ababab1−α1−α1−α希望置信区间长度尽可能短.对于任意两个数a 和b ，只要使得f (w )下方的面积为1−α，就能确定一个1−α的置信区间.f(w)abab ab1−α1−α1−α当W 的密度函数单峰且对称时，如：N (0,1),t 分布等，当a =−b 时求得的置信区间的长度最短.如：b =z α/2或t α/2(n )当W 的密度函数不对称时，如χ2分布，F 分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.χ21−αα/2α/222()n αχ21-2()n αχ单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体的情形X 1, X 2,…, X n 为来自正态总体N (μ,σ2)的样本，置信水平1−α.样本均值样本方差11nii X X n ==∑2211()1nii S X X n ==--∑0-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4是枢轴量W 是样本和待估参数的函数，其分布为N (0,1)，完全已知由于是μ的MLE ，且是无偏估计，由抽样分布定理知X ~(0,1)X W N nμσ-=1.均值μ的置信区间（方差σ2已知情形）单峰对称-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4即等价变形为选择两个常数b =−a =z α/222{}1X P z z nααμασ--<<=-22{}1P X z X z nnαασσμα-<<+=-1−αα/2α/2z α/2−z α/2简记为因此，参数μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22(,)X z X z nnαασσ-+2()X z nασ±置信区间的长度为22n l z nασ=说明：2.置信区间的中心是样本均值；4.样本容量n 越大，置信区间越短，精度越高；1.l n 越小，置信区间提供的信息越精确；5.σ越大，则l n 越大，精度越低.因为方差越大，随机影响越大，精度越低.3.置信水平1−α越大，则z α/2越大.因此，置信区间长度越长，精度越低；22n l z nασ=22(,)X z X z nnαασσ-+2.均值μ的置信区间（方差σ2未知情形）想法：用样本标准差S 代替总体标准差σ.是枢轴量包含了未知未知参数σ，~(0,1)X W N nμσ-=此时，因此不能作为枢轴量.~(1)X T t n Snμ-=-由抽样分布理论知：使即枢轴量~(1)X T t n Snμ-=-22((1)(1))1X P t n t n Snααμα---<<-=-22{(1)(1)}1P t n T t n ααα--<<-=-选择两个常数b =−a =t α/2 (n -1)等价于因此，方差σ2未知情形下均值μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22{(1)(1)}1S S P X t n X t n nnααμα--<<+-=-22((1),(1))X t n X t n nnαα--+-例1.现从中一大批糖果中随机取16袋，称得重量（以克记）如下：506508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设每袋糖果的重量近似服从正态分布. 试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.解：这是单总体方差未知，总体均值的区间估计问题.均值μ的置信水平1−α的置信区间为22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-根据给出的数据，算得这里10.95,16n α-==/20.025(1)(15) 2.1315t n t α-==503.75, 6.2022x s ==因此，μ的一个置信水平为0.95的置信区间为6.20226.2022(503.75 2.1315,503.75 2.1315)1616(500.4,507.1)-⨯+⨯=此区间包含μ的真值的可信度为95%.22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-3.方差σ2的置信区间（均值μ未知）σ2的常用点估计为S 2，且是无偏估计。
北京理工大学-数学分析-导数与微分-求导法则与求导基本公式2.1(本科课件)
dy 证明： f (sin2 x )2 sin x cos x f (cos 2 x )2 cos x( sin x ) dx
2 sin x cos x[ f (sin2 x ) f (cos2 x )] 又因 u cos x 时，y f (1 u2 ) f (u2 )，
§2 求导法则和求导基本公式
四则运算
反函数求导
复合函数求导 高阶导数
一. 四则运算
定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
2. 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商.
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x 1 (ln x ) x
(a x ) a x ln a 1 (loga x ) x ln a
推论
数值分析PPT课件
03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经 济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展， 数值计算已经成为解决实际问 题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供 了有效的数值计算方法和技巧， 使得许多问题可以通过计算机 得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对 于数学建模、科学计算、数据 分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析 将更加依赖于计算机实现，因此数值算 法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更 加注重对大规模数据的处理和分析，因 此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值 分析将更加注重对非线性、非平稳问题 的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求 和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单 的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近 似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间， 通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数 值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等 多个数学领域。
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
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应用问题举例
第4页/共44页
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
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二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
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我们仅仅是幸运吗?
数值分析课件第一章
x x*
1 10 m n 1. 2
（2.2）
21
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) ), (2.1)
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数. 1）若 x * 具有 n位有效数字， 则其相对误差限为 1 10( n 1) 2a1
1 6 5 I n1 , I 0 ln 0.1820 I n n 5 1 1 公式2 I n1 I n , I 8 0.019 In 5 n In I 公式1 I n
n
0.1820 0.0900 0.0500 0.0830 -0.165 1.0250 -4.958 24.933 -124.540
* * A* f ( x1 , xn ),
于是由泰勒展开， 函数值 A* 的误差 e( A*) 为
* * e( A*) A * A f ( x1 ,, xn ) f ( x1 ,, xn )
* * f ( x1 , , xn ) * ( xk xk ) xk k 1 n
x x* 1 10 m n 1. 2
（2.2）
19
例如 取3位
x π 3.14159265
x3 * 3.14,
1 π 3.14 =0.00159265 102 , 2
故x3 * 3.14有3为有效数字。
取5位
x5 * 3.1416 ,
1 104 . 2
16
把近似值的误差 e * 与准确值 x 的比值
e* x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 e r .
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有n位有效数字
考试前交
2
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩 (80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道) 作业中包含下列内容 (1)题目（课本外的说明出处） (2)程序(matlab) (3)计算结果及分析
4月1日前交一次，考试前交一次。
3
• • • •
m
其中 m为整数，ai为0 9, a1 0,
则x 做为x的近似值有n位有效数字当且仅当
1 m n x x 10 n 2
17
绝对误差限 有效数字
1 n ε = 10 2
准确到10 位 确定几位有效数字
n
m
x 0.a1a2 ...an ... 10 1 mn ε = 10 2
准确值x：764.5 mm x 765.5 mm x [764.5 mm, 765.5 mm].
x 765 0.5( mm)
9
四舍五入的原则：
四舍六入五成双
1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位
2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数
ε( x ) 0.02 0.002 上例， εr ( x ) * x 10 ε( y ) 0.05 εr ( y ) * 0.0016 0.002 y 30
12
例：
2 1.414
(1.41421356237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
1 3 绝对误差限ε 10 2
0.5 10 相对误差限εr 13
2.2 有效数字
x 作为x的近似值，其绝对误差限为x 某一位
上数字的半个单位
1 |x x | 10 n 2
*
即x 准确到小数点后第n位, 从x 左边第一个非
零数字到该位的所有数字均称为有效数字.
14
1 6 例如 1. x 0.005800 10 表示近似值 2 x * 0.005800 准确到小数点后第 6 位，
x2 x4 x6 ( 1)n x 2 n cos x 1 ... ... 2! 4! 6! (2n)! x4 x2 . cos x 1 (| x | 很小时)， | 截断误差 | 24 2! 机器字长有限 —— 舍入误差 7
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关, 还和该量的大小有关 . 为了更好地反映测量值的精度，引入
11
* * e ( x ) e ( x ) * * 相对误差er ( x ) : e r ( x ) * x* x x
相对误差限εr : | er ( x * ) | εr
ε * 两种误差限的关系： ε ε |x |ε r r * |x |
近似解
5
主要内容 • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
6
第一章
§1
误差
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 截断误差
2.1 绝对误差与相对误差
设x *为准确值x的一个近似值 绝对误差e( x * ) : e ( x * ) = x - x *
绝对误差限ε : e ( x ) = x - x ε
* *
可以表示为: x ε x x ε 或
* *
x x* ε
注 : 绝对误差限不唯一
8
例：
用毫米刻度的米尺测量一长度为x，如读出的 长度是x * 765mm, 其绝对误差限为 0.5mm
准确到小数点后第 5 位， 有 6 位有效数字
1 例：若x 2376490, 且ε = 104，x *有几位有效数字？ 2
*
解： x*准确到 104 位，x*有 3 位有效数字,
它们分别是 2, 3, 7
16
有效数字另一等价定义
将x 表示成规范形式： x 0.a1a2 ...an ... 10
0.714,
0.776,
0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,
其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
1 上述各近似值的绝对误差限： 103 2
10
例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过
5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y(长) 30 0.05( m ) x(宽) 10 0.02( m)
x*有 4 位有效数字
2 . 若x* 1452.046具有7位有效数字，
则其准确到小数点后第 3 位，
1 绝对误差限： 103 2
15
例： 2=1.41421356237310......
x * =1.414213做为 2的近似值，有几位有效数字？ 1 * * 解：| e( x ) | | x x | 0.0000005623 105 2
• 教 材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社
• 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
1
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 (1)实际问题 (2)数学模型 (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3)计算方法 (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析
打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院、专业 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑：课间 周二、四中午12:40—13:40 中心教学楼816 • 建议或问题：manhy@
4
问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型
数值 计算
计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论