北京理工大学数值分析课件

准确值x：764.5 mm x 765.5 mm x [764.5 mm, 765.5 mm].
x 765 0.5( mm)
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四舍五入的原则：
四舍六入五成双
1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位
2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数
x2 x4 x6 ( 1)n x 2 n cos x 1 ... ... 2! 4! 6! (2n)! x4 x2 . cos x 1 (| x | 很小时)， | 截断误差 | 24 2! 机器字长有限 —— 舍入误差 7
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
0.5 10 相对误差限εr 1.414
3
0.035%
13
2.2 有效数字
x 作为x的近似值，其绝对误差限为x 某一位
上数字的半个单位
1 |x x | 10 n 2
*
即x 准确到小数点后第n位, 从x 左边第一个非


零数字到该位的所有数字均称为有效数字.
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1 6 例如 1. x 0.005800 10 表示近似值 2 x * 0.005800 准确到小数点后第 6 位，
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关, 还和该量的大小有关 . 为了更好地反映测量值的精度，引入
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* * e ( x ) e ( x ) * * 相对误差er ( x ) : e r ( x ) * x* x x
相对误差限εr : | er ( x * ) | εr
ε * 两种误差限的关系： ε ε |x |ε r r * |x |
考试前交
2
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩 (80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道) 作业中包含下列内容 (1)题目（课本外的说明出处） (2)程序(matlab) (3)计算结果及分析
4月1日前交一次，考试前交一次。
3
• • • •
打印稿(不需要计算过程)，或电子文档 注明学院、专业 完全相同的实验作业没有实验作业成绩 答疑：课间 周二、四中午12:40—13:40 中心教学楼816 • 建议或问题：manhy@bit.edu.cn
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问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题 数学模型
数值 计算

计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论
0.714,
0.776,
0.733
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,
其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
1 上述各近似值的绝对误差限： 103 2
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例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过
5cm, 宽的误差不超过2cm, 如何表示？
y(长) 30 0.05( m ) x(宽) 10 0.02( m)
2.1 绝对误差与相对误差
设x *为准确值x的一个近似值 绝对误差e( x * ) : e ( x * ) = x - x *
绝对误差限ε : e ( x ) = x - x ε
* *
可以表示为: x ε x x ε 或
* *
x x* ε
注 : 绝对误差限不唯一
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例：
用毫米刻度的米尺测量一长度为x，如读出的 长度是x * 765mm, 其绝对误差限为 0.5mm
ε( x ) 0.02 0.002 上例， εr ( x ) * x 10 ε( y ) 0.05 εr ( y ) * 0.0016 0.002 y 30
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例：
2 1.414
Hale Waihona Puke Baidu
(1.41421356237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
1 3 绝对误差限ε 10 2
绝对误差限
有n位有效数字
近似解
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主要内容 • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
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第一章
§1
误差
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 截断误差

m
其中 m为整数，ai为0 9, a1 0,
则x 做为x的近似值有n位有效数字当且仅当
1 m n x x 10 n 2

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绝对误差限 有效数字
1 n ε = 10 2

准确到10 位 确定几位有效数字
n
m
x 0.a1a2 ...an ... 10 1 mn ε = 10 2
准确到小数点后第 5 位， 有 6 位有效数字
1 例：若x 2376490, 且ε = 104，x *有几位有效数字？ 2
*
解： x*准确到 104 位，x*有 3 位有效数字,
它们分别是 2, 3, 7
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有效数字另一等价定义
将x 表示成规范形式： x 0.a1a2 ...an ... 10
• 教 材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社
• 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
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• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 (1)实际问题 (2)数学模型 (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3)计算方法 (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析
x*有 4 位有效数字
2 . 若x* 1452.046具有7位有效数字，
则其准确到小数点后第 3 位，
1 绝对误差限： 103 2
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例： 2=1.41421356237310......
x * =1.414213做为 2的近似值，有几位有效数字？ 1 * * 解：| e( x ) | | x x | 0.0000005623 105 2