北京理工大学数值分析总复习2019.ppt
数值分析复习重点.doc
第一章、绪论1、了解数值分析的研究对象与特点。
2、了解误差的来源与分类，会求有效数字，会简单的误差估计。
3、了解误茅的定性分析及避免误茅危害。
第一早、插值重点题目：P19, 5, 7.1、 了解插值的概念。
2、 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。
3、 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿(Newton)插值法。
4、 了解茅分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
5、 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。
6、 知道高次插值的病态性质，会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误并和收敛性。
7、 了解三次样条插值，知道其误差和收敛性。
重点题目：P5& 2, 6, 16.第三章、函数逼近与曲线拟合1、 了解函数逼近的基木概念，了解范数和内积空间。
2、 了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质，知道其他常用止交多项式。
理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理，掌握简单的最佳一致逼近多项式的求法。
理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用止交多项式做最佳平 方逼近的方法。
6、了解最佳平方逼近与快速傅里叶变换。
7、了解有理逼近。
重点题目:P115, 4, 13, 15, 17, 19.第四章、数值积分与数值微分1、 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的 收敛性和稳定性。
2、 掌握低阶牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式及其性质和余项。
3、 会复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。
4、 会龙贝格(Romberg)求积算法。
5、 了解高斯求积公式的理论,会高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。
6、 了解儿种常用的数值微分方法。
重点题目：P15& 1, 4, 6.第五章、解线性方程组的直接方法1、 了解求解方程组的两类方法，了解矩阵基础知识。
2、 掌握高斯消去法，了解矩阵的三角分解。
北理工数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
北京理工大学数值分析总复习
考试时带计算器
• 上机题请在11月30日晚9:30之前交，交 打印稿。
• 答疑时间：11月28，29, 30（即星期3, 4， 5）晚上7:30—9:30，上机作业也在答疑 时间交。
• 答疑地点：中教816。
2
第一章 误差
绝对（相对）误差 ( 限 ) 有效数字
(2) H H '((xx ii)) yyii,', (i0,1, ,n).
24
➢ H ( x ) y 0 h 0 ( x ) y 1 h 1 ( x ) y n h n ( x ) y 0 ' H 0 ( x ) y 1 ' H 1 ( x ) y n ' H n ( x )
(i 1 ,2 , ,n )
12
➢ 迭代法收敛的充分必要条件
x(k1) Mx(k) g,
x(0) 任意
收敛
(M)1.
➢ 迭代法收敛的充分条件
若i迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.
若A为对称正定阵, 则求解Ax=b的Gauss-Seidel迭代 法收敛.
复化梯形公式 复化Simpson公式 Romberg算法 Gauss型求积公式 代数精确度 截断误差
33
代数精确度
设有求积公式
b
n
f(x)dx
a
Akf(xk)
k0
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等
号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求
hi (x)
xi x0
(2n+1)次多项式
x i x n 1
h i ( x ) 1 2 l i ' ( x ) x ( x i ) l i 2 ( x ),
北京理工大学工科数学分析4-1不定积分
证明： 由条件 f ( x )dx F ( x ) C 或 F ( x ) f ( x )
[kF ( x )] kF ( x ) kf ( x )
即 kf ( x ) 可积，且
kf ( x )dx k f ( x )dx .
( x 1) 例1. dx； x 2 2 x 2x 1 ( x 1) 解： dx dx x x
例3. tan 2 xdx；
解：
tan 2 xdx
sin x 2 dx cos x
2
1 cos 2 x dx； 2 cos x (sec 2 x 1)dx
tan x x C
dx 例4. 2 2 ； sin x cos x 2 2 dx sin x cos x 解： 2 dx 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 1 1 ( 2 2 )dx； cos x sin x
例 9. 设 P ( x ) a0 x a1 x
n
n 1
解：将函数 P ( x 1) 在 x 1 处展开得： ( n) (1) 2 P P (1) n P ( x 1) P (1) P (1) x x x 2! n! (k ) n P (1) k x k! k 0 n P ( k ) (1) k 1 n P ( x 1) x n1 dx ( k! x )dx k 0 (k ) n P (1) k 1 n x dx k! k 0 (k ) k 2 n ( n 2) n P (1) x P (1) ln | x | C k! k 2 n ( n 2)! k 0
2
( x 2 x x )dx；
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
T
1 2 Байду номын сангаас 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
h
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭代格式，并证明此格式的收敛性。 2. 先用上述迭代格式计算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
数值分析总复习学习教案
第16页/共36页 17
第十七页，共36页。
几个重要概念
Taylor展开(zhǎn kāi)方法
➢ 局部( júbù)截断误差
➢ 整体(zhěngtǐ)截断误差
➢
数值方法的阶数
第17页/共36页
18 第十八页，共36页。
数值(shùzí)分析总复习例题
第18页/共36页 19
9 第九页，共36页。
二分法(对分区间(qū jiān)法)
➢ 设[a, b]是 f (x)=0的有根区间(qū jiān), 用二分法迭代
|xk
x*|
ba 2k 1
➢ 给定精度( jīnɡ dù), 迭代次数k 满足下式, 能保证满足精度( jīnɡ dù)
k lnb a ln ε 1.
数值分析(fēnxī)总复习
第一页，共36页。
代数(dàishù)精确度
设有求积公式(gōngshì)
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求积公式(gōngshì)具有m次代数精确度.
b
n
f ( x)dx
第19页/共36页
a33 l321 l322 .
20 第二十页，共36页。
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中(qízhōng)
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解:
l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
数值分析总复习提纲资料
数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。
在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。
一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。
基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。
例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。
由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。
当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。
此时，e≈2.718 285。
2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。
基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦ xεδ=注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()r e x e x x =或xεδ=， 这样计算简单。
北工大数值分析课件
好的算法－－有可靠的理论分析以及计算复杂性的算法
课程信息
教材 ： 数值分析（第五版）
李庆扬等编著，清华大学出版社，2008
教材配套辅导书 ：
数值分析全程导学及习题全解（第5版）
清华大学出版社，2010
参考资料
参考资料 第三种科学方法：计算机时代的科学计算
石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000
问题：已知Google矩阵（网页邻接矩阵），如 何求出PageRank? 首先，PageRank可以表示为向量 R=[R1,R2,…,Rn]
PageRank是主特征向量
PageRank是Google矩阵的主特征向量 Google矩阵A 记A=AT（关注被链接） A（注意每列为和1向量） 令 x= PageRank，则 求解 x=Ax A的最大特征值为1(主特征值) x是主特征值1对应的特征向量
应用举例
这个问题就是要求由函数
f(x)=sin x
给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:
L
48
0
1 ( f '( x )) dx
2
48
0
1 (cos x ) dx
2
上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算
数值积分与数值微分 —— 教材第四章
应用举例
例：Google 搜索引擎
应用数学 (Applied mathematics)
着限于说明自然现象，解决实际问题， 是纯粹数学与科学技术之间的桥梁
计算数学 (Computation mathematics)
数值分析是计算数学的一个主要部分, 它研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
2019年数值计算方法复习提纲
－5－
00:02
列主元Gauss消元法（★）
1) 选主元的必要性
2) 算法的改进
Gauss-Jordan 消元法
1) 思想、方法
2) Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵
三角分解法
1) Doolittle分解（★）
2) Crout分解（★）
00:02
第3章 线性方程组求解
线性方程组的求解方法： （★）
直接法 迭代法
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
Guass顺序消元法
1) 适用条件： a) 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
n
||aii| |aij|,A的每行主对值 角同 元行 的其 绝余 对元之 素和 的绝 ji i1 b) 顺序阶主子式为正
－16－
00:02
重点例题、习题
第一章：
例：1-1、1-2、1-14、 习题：2、8、17
第二章：
例：2-3、2-5、2-15、
第三章：
例：3-29
习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元 法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、 高斯-塞德尔迭代法求解
d) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定
e) 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||<q1，则该方程组 的Gauss-Seidel迭代也收敛
3) 能写出其迭代矩阵（★）
－9－
00:02
第4章 插值法
插值的基本概念：
插值条件、插值点
插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
二分法求根
基本原理 误差估计
数值分析第24讲(ExCht1-9)
4. 理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式 的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。
5. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多 项式做最小二乘拟合。
6. 了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。
整理ppt
4
二、练习
1、设 A 31.732050 8， 07问 5 近1.似 73, 值 1.73,21.732, 10.732各 1有几位有 . 效数
0.78 x0 0.56 y 30.21 , 7
0y0.
(2 (0 ) .3 3 0 .5 0 0 .7 6 0 .x 5 8 3 0 .8 5 0 )y y 5 6 0 0 ..1 8 2 3, 2 1 9 0 .2 7 7 1 0 .5 78.
(0 .3 3 0 .3 02)y 9 0 .1 8 2 6 0 .1 7 0 2,7 0.01 00 y4 1 0 0 .4 00.0
第24讲 第1-9章 习题课
整理ppt
1
第1-3章 习题课
(绪论、插值、逼近)
一、基本内容及基本要求 第一章、绪论
1. 了解数值分析的研究对象与特点。 2. 了解误差来源与分类,会求有效数字;
会简单误差估计。
3. 了解误差的定性分析及避免误差危害。
整理ppt
2
第二章、插值法
1. 了解插值的概念。 2. 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。 3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。 4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。 5. 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。 6. 知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分
11 .9 1 9 7 0 .0 20 8 2 ,4 2 7 0 .2 5 1 6 0 .
数值分析复习
插值余项
R3(x) f (x) P3(x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(x
x1)2
,
x [x0,x1]
混合型Hermite插值
例2.9, 题2.8, 题2.10
分段插值 ( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计? )
1) 分段线性插值
2) 分段3次Hermite插值
题2.11, 题2.12
例4.7, 题4.8
3) Newton迭代与开方法 例4.8, 题4.7
简化Newton迭代法 弦截法 Newton下山法
1) 简化Newton迭代法
xk 1 xk
f (xk ) f (x0 )
(k 0,1, 2,L )
例4.9
2) 弦截法
xk 1
xk
f
(
xk
f )
( xk f
) (
xk
1
数值计算中应注意的几个原则
避免相近数相减 ; 避免小除数, 大乘数 ; 避免大数吃小数 ; 采用数值稳定的算法 ; 减少运算次数.
题1.7
Chap 2 插值法与最小二乘法
多项式插值 Lagrange插值公式 Newton插值公式 Hermite插值
插值余项
分段插值 三次样条函数
n 次多项式插值问题：
Review
Chap 1 数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x是准确值，x是 x的近似值
1) 定义 1.1： 称 e(x) x x 为 x 的绝对误差(简称误差)。
2) 定义 1.2：若 | x x | ，则称 是 x 的误差限。
数值分析期末复习总结
定理
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
其中 x(a, b) 且与 x 有关, n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) 证明：（板书）
注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字 12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。
数字末尾的0不可以随意添加或省略！
6
有效数字
定理：设近似值 x* 可表示为
x* = a1.a2·al 10m (a10)， · · 若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足 1 r* 10-(n-1) 2a1 反之，若 x* 的相对误差限满足 1 r* 10-(n-1) 2(a1+1) 有效位数越多， 则 x* 至少有 n 位有效数字。 相对误差限越小 7
k 0
n1
问题
如何从 pn-1(x) 得到 pn(x) ? 怎样确定参数 a0 , … , an ? 需要用到 差商（均差）
21
差商
什么是差商
f [ xi , x j ]
设函数 f(x)，节点 x0 , … , xn
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
xk xi
x* - x er* = x*
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限
4
有效数字
有效数字：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单