九年级数学二次函数中的求二次函数的函数关系式华东师大版知识精讲

九年级数学二次函数中的求二次函数的函数关系式华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
第二十六章：二次函数中的求二次函数的函数关系式
知识与技能：
了解二次函数关系式的三种基本表达式；
会运用特定条件及函数表达式求二次函数解析式；
教学过程： 一. 知识点回顾
1. 二次函数关系式：
（1）一般式：y ax bx c a =++≠2
0()
知道二次函数图象经过三个点，常用此表达式求出待定系数a 、b 、c ，最后确定二次函数解析式；
（2）顶点式：y a x h k a =-+≠()()2
知道顶点坐标及另一个点的坐标，常用此表达式求出h 、k 及a ，最后确定二次函数解析式；
（3）交点式：y a x x x x a =--≠()()()120
知道二次函数图象与x 轴的两交点横坐标x x 12，及图象上任意一点坐标求出a ，最后确定二次函数解析式。

【典型例题】
例1. 已知二次函数的图象经过点A （－1，0），B （5，0），C （2，－3），求抛物线的解析式。

命题目的：考查抛物线解析式的三种求法。

解：方法一，设抛物线的解析式为y ax bx c =++2
将A 、B 、C 坐标代入，得a b c a b c a b c -+=++=++=-⎧⎨⎪
⎩
⎪02550423
解得a b c ==-=-13435
3
，，
所以抛物线的解析式为y x x =--13435
3
2
方法二，因为抛物线的图象经过A （－1，0），B （5，0）两点，所以设抛物线的解析
式为y a x x =+-()()15
将C （2，－3）代入-=+-32125a ()()得： a =
13
所以y x x =
+-1
3
15()()
=
--134353
2x x 方法三，因为A 、B 两点为抛物线与x 轴的交点，由抛物线的轴对称可知：
对称轴x ＝2，所以C （2，－3）为抛物线的顶点 设抛物线的解析式为y a x =--()232
将A （－1，0）代入可得01232
=---a ()
所以a =
13 所以y x x x =--=--1323134353
2
2()
例2. 已知二次函数的图象与x 轴交于A （－2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值是2
（1）求二次函数图象的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P ，求∆ABP 的面积。

解：（1）设解析式为y a x x =+-()()23，即y a x a =--()12
254
2
∴-
==-2542825
a a ， ∴所求解析式为：y x =--+8251
2
22()
（2）Θ||||||AB OA OB =+=5，AB 边上的高即P 到x 轴的距离为函数的最大值2
∴=⨯⨯=S ABP ∆1
2
525
例3. 如图，已知点A （－4，0）和点B （6，0），第三象限内有一点P ，它的横坐标为－2，并且满足条件tan tan ∠⋅∠=PAB PBA 1 （1）求证：∆PAB 是直角三角形；
（2）求过P 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并求出顶点坐标。

分析：（1）中须证PA PB AB 2
2
2
+=，由已知条件tan tan ∠⋅∠=PAB PBA 1，应过P 作PC x ⊥轴；（2）中已知P 、A 、B 三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式。

解：（1）过P 作PC x ⊥轴于点C ，由已知易知AC ＝2，BC ＝8 从而tan ∠=PAB PC 2，tan ∠=PBA PC
8
∴
⋅=PC PC
28
1，解得PC ＝4
即P 点的坐标为（－2，－4）
由勾股定理可求得PA 220=，PB 280=
∴=+∴∠=AB PA PB APB 222
90
ο
故∆APB 是直角三角形
（2）解法1：可设过P 、A 、B 三点的抛物线解析式为y ax bx c =++2
，则有
42416403660a b c a b c a b c -+=--+=++=⎧⎨⎪
⎩
⎪
∴==-=-⎧⎨⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪a b c 14126
∴=
--=--y x x x 1412614125
4
22() ∴顶点坐标为（1，-25
4
）
解法2：由抛物线与x 轴交于A （－4，0），B （6，0），可设y a x x =+-()()46，又抛物线过点P （－2，－4）
∴-+--=-∴=a a ()()2426414
， ∴=
+-=--y x x x x 1446141
2
62()() ∴顶点坐标为（1，-25
4
）
解法3：由A （－4，0），B （6，0）可知抛物线的对称轴为x ＝1，可设y a x h =-+()12
，有
()()610214
2
2
-+=--+=-⎧⎨⎪⎩⎪a h a h 解得a h ==-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪14
254
即y x =--141254
2
()
∴顶点坐标为（1，-25
4
）
例4. 抛物线y a x x =+-()()19与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （如图），若∠=ACB 90ο
，求a 的值。

y
C
A B -1 O 9 x
命题目的：培养利用几何性质解决代数问题的数、形结合能力。

解：因为抛物线y a x x =+-()()19 所以A （－1，0），B （9，0）
因为∠=ACB 90ο，所以OC OA OB 2199=⋅=⨯= 则OC ＝3
因为y a x x ax ax a =--=--()2
2
8989 所以OC a =-||9，所以||a =13
Θa a <∴=-
013
，
例5. 设二次函数y ax bx c =++2
的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，如图，若AC ＝20，BC ＝15，∠=ACB 90ο，求这个二次函数的解析式。

y
C
A O
B x
解：如图
在Rt ABC ∆中，∠=ACB 90ο
，AC ＝20，BC ＝15 由勾股定理得AB ＝25
由S AC BC AB CO ABC ∆=
⨯=⨯121
2 ∴=⨯=CO AC BC
AB
12
∴点C 坐标为（0，12）
在Rt AOC ∆及Rt BOC ∆中，由勾股定理得AO ＝16，BO ＝9 ∴点A 坐标（－16，0），点B 坐标为（9，0） ∴设二次函数解析式为y a x x =+-()()169
将（0，12）代入上式
∴=⨯⨯-∴=-
12169112
a a ()()，
∴=-
+-=--+y x x x x 1121691127
12
122()()
例6. 已知抛物线y ax bx c =++2与抛物线y x x =--+2
712的形状相同，顶点在直线x ＝1上且顶点到x 轴的距离为3，求此抛物线的解析式。

分析：|a|决定抛物线的形状大小
解：由抛物线y ax bx c =++2与抛物线y x x =--+2
712的形状相同 ∴=±a 1
由已知得抛物线的顶点坐标为（1，3）或（1，-3）
∴解析式为（1）y x y x x =-+
=-++()132132
2，
（2）y x y x x =--=-+-()1321322
， （3）y x y x x =--+
=-+-+()132132
2，
（4）y x y x x =---=-+--()132132
2，
例7. 已知，如图，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4.9米，AB ＝10米，BC ＝2.4米，现把隧道横断面放在图中的平面直角坐标系中，有一辆高为4米，宽为2米，装有集装箱的汽车要通过隧道，问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道石壁多少米才不至于碰到隧道顶部？
O C x A B
命题目的：利用函数解析式及图象解决实际问题。

解：由题意可知AB ＝10米，BC ＝2.4米，所以C （10，0）、B （10，－2.4）A （0，－2.4），所以抛物线顶点为（5，2.5） 设抛物线解析式为y a x =-+().5252
将C （10，0）代入得a =-110
所以y x x =-
+110
2
因为此公路为双向公路，当汽车高为4米时，在抛物线隧道中对应的纵坐标y =-=42416..
所以16110
2
.=-
+x x ，整理得x x 210160-+= 解得x x 1228==，
所以汽车要通过隧道右侧要至少离开2米才不至于碰到隧道顶部。

例8. 已知二次函数y x bx c =
++12
2
的图象经过点A （－3，6）并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠=∠DPC BAC ，求点D 的坐标。

分析：由已知条件很容易求出函数的解析式 解：（1）将A （－3，6），B （－1，0）代入y x bx c =
++12
2
中 得692
3012=-+=-+⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪b c b c
解得b c =-=-⎧⎨⎪
⎩
⎪132
∴解析式为y x x =--123
22
（2）由y x x =--123
2
2
∴C （3，0），P （1，－2） 则CE AE ==6
∴∠==ACE AC 4562ο
， ΘPH OH ==21，，则CH ＝2
∴=PH CH
∴∠==PCD CP 4522ο
，
∠=∠∠=∠⎫
⎬⎭⇒DPC BAC PCD ACE PCD ACB ∆∆~
∴=
CD CB PC AC
∴=⨯=CD 2262
44
3
则OD =-=3435
3
∴D （5
3
，0）
例9. 已知如图，抛物线y x x n =-++2
5经过点A （1，0）与y 轴交于点B 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是y 轴正半轴上一点，且∆PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标。

y
O A x -1
B
1
解：（1）Θ点A （1，0）在抛物线y x x n =-++2
5上
∴-++=∴=-1504n n ，
∴抛物线的解析式是y x x =-+-2
54
（2）由（1）知，抛物线与y 轴交点的坐标为B （0，－4），连结AB 则AB =+=14172
2
Θ∆PAB 为等腰三角形，点P 在y 轴正半轴上 ①当AB ＝AP 时，ΘOA BP ⊥ ∴=OP OB
∴点P 的坐标为（0，4） ②当AB ＝BP 时 ΘAB BP =
∴=1717，
∴=-=-OP BP OB 174 ∴点P 的坐标为（0，174-）
∴点P 的坐标为（0，4）或（0，174-）
例10. 如图，已知抛物线经过A （－3，0），B （0，3），C （2，0）三点 （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如果点D （1，m ）在这条抛物线上，求m 的值和点D 关于这条抛物线对称轴的对称点E 的坐标，并求出tan ∠ADE 的值。

y
B
E D
A O C x
解：（1）由条件可设抛物线的解析式为y a x x =+-()()32 将B （0，3）代入上式得a =-12
∴=-
+-y x x 1
2
32()()
即y x x =-
-+121
2
32 （2）把（1，m ）代入上式，得m =2
Θ抛物线过点A （－3，0），C （2，0） ∴对称轴为直线x =-
12
∴点E 的坐标为（－2，2）
过D 作DF x ⊥轴于点F ，则DF ＝2，AF ＝4 Θ点D 、E 关于抛物线的对称轴对称 ∴DE x //轴 ∴∠=∠ADE DAF ∴∠=∠=
=tan tan ADE DAF DF AF 1
2
例11. 用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ） A.
6425
2
m B.
43
2m C.
83
2m
D. 42m
命题目的：培养学生运用二次函数的最值问题解决生活中的实际问题 解：设窗户的横条长为xm ，则纵条长为832
-x
m 所以S x x x x =⨯-=-+8323
2
42 因为a =-
<3
20，所以S 有最大值 当x =-⨯-=42324
3()
时
S 最大=
-⨯-=4432
8
32()
故选C
例12. 某跳水运动员进行10m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中运动路线是如图所示坐标系下经过原点的一条抛物线（图中标出数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面1023
m ，入水处距离池边4m ，同时运动员在距水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现
失误。

（1）求这条抛物线的解析式
（2）在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（1）的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的平均距离为335
m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为
y ax bx c =++2
由题意知，O 点坐标为（0，0），B 点坐标为（2，－10），顶点A 的纵坐标为
23
c ac b a a b c =-=++=-⎧⎨⎪
⎪⎩⎪⎪0442
34210
2 解得a b c 1112561030=-==⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪或a b c 232
20=-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
又Θ抛物线的对称轴在y 轴右侧
∴->b
a
20
∴>∴=-=-=b a b c 03
2
20，，，不合题意，舍去
∴=-==a b c 25610
3
0，，
∴抛物线的解析式为y x x =-+256103
2 （2）当运动员在空中距池边的水平距离为33
5
m 时，即
x =-=335285时，y =-⨯+⨯=-()()256851038516
3
2
∴运动员距水面的高度为1016314
3
5-=<
因此，此次试跳会出现失误。

【模拟试题】
1. 根据所给的条件，求二次函数的关系式
（1）抛物线的顶点是（2，－1），且过点（－1，2）
（2）最小值是-3，且与x 轴的两个交点的横坐标分别为2和3
（3）图象过y 轴上的点C （0，－12），且过点A （1，－12），B （－1，－8） 2. 已知：二次函数y ax bx a =+≠2
0()的图象与x 轴交于点A （6，0），它的顶点B 的纵坐标是－3
（1）求这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点，并确定它的函数关系式； （2）求∆AOB 的面积；
3. 已知抛物线y x bx c =++2
的顶点在第一象限，顶点的横坐标是纵坐标的2倍，对称轴与x 轴的交点在一次函数y x c =-的图象上，求b 、c 的值
4. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米（如图），则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ） A. 9.2米 B. 9.1米 C. 9米 D.
5.1米
5. 已知二次函数y ax bx c =++2
的图象的最高点M 的坐标为（－3，2），且图象与x
轴交于A 、B 两点，∆AMB 的面积为4，求这个二次函数的解析式
6. 如图是三角形形状的铁板，已知BC ＝12，AD ＝8，在铁板上截一个内接矩形，使矩形的两个点落在AC 、AB 边上，一边落在BC 上，问EH 的值取多少时，截得的矩形面积最大？最大面积是多少？
A
E H
B F D G C
7. 已知抛物线过A （－2，0），B （1，0），C （0，2）三点 （1）求这条抛物线的解析式
（2）在这条抛物线上是否存在点P ，使∠=AOP 45ο
？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

8. 如图所示，一块铁皮，它的拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4dm ，抛物线的顶点P 到边MN 的距离是4dm ，要在这块铁皮上截下一个矩形ABCD ，使B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上。

（1）如图，以MN 所在直线为x 轴，过点M 的MN 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，
求这条抛物线的函数关系式；
（2）设截得的矩形的周长为l（dm），试判断，截得的矩形周长能否为8dm？
y
P
D A
O
M C B N x
【试题答案】
1. （1）y x =--13212()，即y x x =-+134313
2 （2）y x x =-+1260722
（3）y x x =--22122
2. （1）另一个交点即原点（0，0），y x x =-13
22 （2）S AOB ∆=9
3. b c =-=112
， 4. 选B
5. y x x =-
--12352
2 6. 当EH ＝6时，S 最大=24 7. （1）y x x =--+22
（2）存在，P （----1313，）或P （-22，）
8. （1）M （0，0），N （4，0），P （2，4）
⇒=-+≤≤y x x x 2404()
（2）l x x =-+-21282（令A （x ，y ），x ≠2） l 不可能为8。