2014分类汇编20：函数的最值与导数

2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编20：函数的最值与导数一、填空题1 ．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.2 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知函数()133+-=x x x f ,()m x g x -=)21(,若对1[1,3]x ∀∈-,2[0,2]x ∃∈,12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.3 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）函数x x x f ln )(=在区间)0](1,1[>+t t 上的最小值为_________.二、解答题4 ．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）(本题满分16分,第1小题 ,第2小题4分,第3小题8分)已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.⑴求函数()f x 的解析式;⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.5 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1﹣ax 2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M.N,交曲线于点P,设P(t,f(t)). (1)将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t); (2)若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a 的值及S(t)的最小值.6 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知函数()3xf x e a =+( 2.71828e =是自然对数的底数)的最小值为3.⑴ 求实数a 的值;⑵ 已知b R ∈且0x <,试解关于x 的不等式()22ln ln3(21)3f x x b x b -<+--;⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞,使得对任意的[1,]x m ∈,都有()3f x t ex +≤,试求m 的最大值.7 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排1l ,在路南侧沿直线排2l ,现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知AB = 60m ,BC = 603m ,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元,设EF 与AB 所成角为α.矩形区域内的排管费用为W . (1)求W 关于α的函数关系式; (2)求W 的最小值及相应的角α.F EDCBAl 2l 1公路公路8 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）(本题满分16分)已知函数)()(23R a ax x x f ∈-=. (Ⅰ)若3)1('=f ,(i)求曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程, (ii)求)(x f 在区间]2,0[上的最大值;(Ⅱ)若当]2,0[∈x 时,0)(≥+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.9 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）已知1ln ()xf x x+=. (Ⅰ)若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解,求实数k 的取值范围; (Ⅲ)当*n N ∈,2n ≥时,求证:111()2231nf n n <+++⋅⋅⋅+-.2013~2014学年度第一学期期中考10．（江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）设函数f (x )=ax 3+bx +c (a ≠0)为奇函数,其图象在点(1,f (1))处的切线与直线x -6y -7=0垂直,导函数f ′(x )的最小值为-12.(1)求a ,b ,c 的值;(2)求函数f (x )的单调区间,并求函数f (x )在[-1,3]上的最大值和最小值.11．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）已知函数()()1ln 10a f x x ax a x-=-+->.(1)设01a <<,试讨论()f x 单调性;(2)设()224g x x bx =-+,当14a =时,若()10,2x ∀∈,存在[]21,2x ∈,使()()12f x g x ≥,求实数b 的取值范围. 12．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R . (1)若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3,求实数a 的值.13．（江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(,设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ,)(x f y '=为)(x f 的导函数,满足)()2(x f x f '=-'.(1)求)(x f ;(2)设)()(x f x x g '=,m >0,求函数)(x g 在[0,m ]上的最大值;(3)设)(ln )(x f x h '=,若对于一切]1,0[∈x ,不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立,求实数t 的取值范围.14．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）设函数f (x )=ax 3-(a +b )x 2+bx +c ,其中a >0,b ,c ∈R.(1)若1()3f '=0,求函数f (x )的单调增区间;(2)求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''.(注:max{a ,b }表示a ,b 中的最大值)15．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知图形OAPBCD 是由不等式组200ln x e y e y x ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪≥⎩,围成的图形,其中曲线段APB 的方程为2ln (1)y x x e =≤≤,P 为曲线上的任一点.(1)证明:直线OC 与曲线段相切;(2)若过P 点作曲线的切线交图形的边界于,M N ,求图形被切线所截得的左上部分的面积的最小值.【答案】16．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）〔本小题满分16分)已知函数2()(f x ax lnx a =-为常数).(1)当12a =时,求f(x)的单调递减区间; (2)若a<0,且对任意的.x ∈[1,e].,f(x)≥(a -2)x 恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）已知(),Px y 为函数1ln y x=+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =.(1)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (2)当 1x ≥时,不等式()1tf x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (3)求证:()*1ln[(1)]2ni i i n n N =⋅+>-∈∑.18．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知)0()(>-=a xax x f ,bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切.(1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当1=a 时,求最大的正整数k ,使得对]3,[e ( 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立; (3)求证:)12ln(14412+>-∑=n i i ni )(*N n ∈.19．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元,每生产千件,须另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,且2210.8(010)30()1081000(10)3x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ (1)写出年利润W(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)20．（江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）已知函数2()1f x a x =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.21．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知函数f (x )=12x 2-m ln x .(1)若函数f (x )在(12,+∞)上是递增的,求实数m 的取值范围;(2)当m =2时,求函数f (x )在[1,e ]上的最大值和最小值.22．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.23．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）(本小题满分16分,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分)设函数()1223+-+=x a ax x x f ,()122+-=x ax x g ,其中实数0≠a . (1)若0>a ,求函数()x f 的单调区间;(2)当函数()x f y =与()x g y =的图象只有一个公共点且()x g 存在最小值时,记()x g 的最小值为()a h ,求()a h 的值域;(3)若()x f 与()x g 在区间()2,+a a 内均为增函数,求实数a 的取值范围.24．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知函数()x x x f ln =.(1)若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e ex ,1,使不等式()322-+-≥ax x x f 成立,求实数a 的取值范围;(2)设b a <<0,证明:()()022>⎪⎭⎫⎝⎛+-+b a f b f a f ..25．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）已知函数21()2ln (2),2f x x a x a x a R =-+-∈. (Ⅰ)当1a = 时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ)当 0a ≤时,讨论函数()f x 的单调性; (Ⅲ)是否存在实数a ,对任意的12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ≠,有2121()()f x f x a x x ->-,恒成立,若存在求出a 的取值范围,若不存在,说明理由. 【答案】26．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知函数32()4f x x ax =-+-(a ∈R ).⑴ 若函数)(x f y =的图象在点()()1,1P f 处的切线的倾斜角为4π,求()f x 在[]1,1-上的最小值;⑵ 若存在),0(0+∞∈x ,使0)(0>x f ,求a 的取值范围.27．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数2()ln f x a x x =-.(1)当2a =时,求函数()y f x =在1[,2]2上的最大值;(2)令()()g x f x ax =+,若()y g x =在区让(0,3)上不单调,求a 的取值范围; (3)当2a =时,函数()()h x f x mx =-的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ,且120x x <<,又()y h x '=是()y h x =的导函数.若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥.证明12()0h x x αβ'+<.28．（江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）已知函数3()3f x x x =-(1)求()f x 的单调区间; (2)求()f x 在区间[-3,2]上的最值.29．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知函数()ln f x x x =.(I)求函数()f x 的单调递减区间;(II)若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围;(III)过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线,求切线方程.30．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）已知函数()sin f x a x x b =-+(a ,b 均为正常数).(1)求证:函数f (x )在(0,a +b ]内至少有一个零点;(2)设函数在3x π=处有极值,①对于一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,不等式()sin cos f x x x >+恒成立,求b 的取值范围;②若函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数,求实数m 的取值范围.31．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）若函数()(ln )f x x x a =-(a 为实常数).(1)当0a =时,求函数)(x f 在1x =处的切线方程; (2)设()|()|g x f x =.①求函数()g x 的单调区间; ②若函数1()()h x g x =的定义域为2[1,]e ,求函数()h x 的最小值()m a .。