2016_2017学年高中数学第二章2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时直线与抛物线的位置关系高效测评
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件1：2.4.2 抛物线的简单几何性质
【自主解答】法一 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴2p＝5，∴p＝10. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
法二 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴． ∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴|m4 |＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛
物线的哪些几何性质？ 【提示】范围、对称性、顶点、离心率．
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
y 0, y R y 0, y R
x轴
y轴
(0,0) 1
(2)当 k＜1，且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； (3)当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
规律方法 判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程 与抛物线的方程联立，整理成关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，利用判别式解决． Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离． (2)当 a＝0 时，方程只有一解 x＝－bc，这时直线与抛物线的对 称轴平行或重合．
双曲线的渐近线方程为 3x－y＝0 或 3x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离 d1＝
| 3×1－0| 3 2＋ －1
2＝ 23或 d2
＝
|
3×31＋2＋0| 12＝
3 2.
【答案】 B
题型二：直线与抛物线的位置关系的判断
高二数学人选修课件抛物线的简单几何性质
02
抛物线的几何特征
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点： 抛物线与x轴的
交点
焦点到准线的距 离：p（抛物线
的参数）
准线：抛物线与 y轴的交点
抛物线的标准 方程：
y^2=2px （p>0）
抛物线的开口方向和大小
开口方向：抛物线开口方向由其系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。 开口大小：抛物线开口大小由其系数b决定，b>0时开口较大，b<0时开口较小。 抛物线顶点：抛物线顶点是抛物线与x轴的交点，其横坐标为-b/2a。 抛物线对称性：抛物线关于其顶点对称，顶点将抛物线分为对称的两部分。
抛物线的顶点和离心率
顶点：抛物线的最高点或最低点，决定了抛物线的位置和形状 离心率：抛物线开口的大小，决定了抛物线的扁平程度 顶点的坐标：可以通过二次公式求解得到 离心率的计算：可以通过二次公式求解得到，也可以根据顶点和焦点的位置关系求解得到
03
抛物线与坐标轴的 交点
抛物线与x轴的交点
抛物线与x轴的交点称为x轴的交点，是抛物线与x轴的公共点。 x轴的交点决定了抛物线的开口方向和大小。 x轴的交点可以通过求解二次方程得到。 x轴的交点在图形上表现为抛物线与x轴的交点，是抛物0时， 抛物线与y轴的 交点为(0,y1)和 (0,y2)，其中y1 和y2是抛物线 与y轴的交点坐 标。
0 2
抛物线与坐标轴 的交点个数：抛 物线与x轴和y轴 的交点个数等于 抛物线的解数， 即抛物线与x轴 和y轴的交点坐 标的个数。
0 3
抛物线与坐标轴 的交点性质：抛 物线与x轴和y轴 的交点坐标决定 了抛物线的开口 方向、对称轴位 置和顶点位置等 几何性质。
抛物线与直线垂直 ：当直线与抛物线 相交，且交点在抛 物线上时，这两个 直线在抛物线上垂 直。
高中数学人教A版选修1-1课件：2.3.2《抛物线的简单几何性质》课时2
抛物线的通径和焦半径
1.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线 相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
y
P ( x0 , y0 )
OF
x
2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式： |PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
1,或 k
1
时, 方程
①
2
没有实数解, 从而
2
方程组 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点.
综上，我们可得：
当k 1,或k 1 ,或k 0时，直线 l 与抛物线 2
只有一个公共点.
当 1 k 1 ，且k 0时, 直线 l 与抛物线有 2
两个公共点.
当k 1,或k 1 ,时 , 直线 l 与抛物线没有公共点. 2
y2=mx(m ≠0)(x2=my
(m≠0)),可避免讨论
例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶 点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B 在抛物线上， 且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，
则 y12＝2px1，y 22＝2px2，
直线DB平行于抛物线的对称轴。
OF
x
DB
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
,
y0 ),则直线OA的方程为y
2p y0
x,
y
抛物线的准线是x p
A
2
联立可得点D的纵坐标为y p2 .
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选修21
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一 个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方 程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论 之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个 公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面 的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面， 这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出 的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
课件2：2.4.2 抛物线的几何性质
[例 3] 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物 线焦点．
(1)设点 P 到直线 x＝－1 的距离为 d，A(－1,1)，求|PA| ＋d 的最小值；
(2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解析]
(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由 抛物线的定义知：|PF|＝d.于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使|PA|＋|PF|最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值 为 22＋12，即 5.
由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由于 AB 垂直于 x 轴，且∠AOx＝30°. ∴yx11＝tan30°＝ 33，而 y12＝2px1，∴ y1＝2 3p 于是|AB|＝2y1＝4 3p.
[点评](1)求边长并不困难，往往会直观上承认抛物线与正 三角形的对称轴是公共的而忽略了它的证明．但在选择题 中可直接利用．
3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_顶__点__．在方程 y2＝2px(p>0)中，当 y＝0 时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就 是__坐__标__原_点__． 4．离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛 物线的_离__心__率__，用 e 表示，按照抛物线的定义，e＝__1. 5．通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为 2p .
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点 F(1,0)， 准线方程 x＝－1.
由题设，直线 AB 的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程 y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点 A 到准线 x＝－1 的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5.
(教师参考)高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件2 新人教A版选修2-1
y
6
A5
1
|AB |= |AF|+ |BF |
4
A
3
= |AA1 |+ |BB1 |
2
=(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8
B1
F 1
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
精选ppt
11
解法4
FA = AA1 KH p FA cos
p
FA
y
1 cos
6
同理 FB p
A5
1
4
A
1cos
第二章 圆锥曲线与方程
2.4.2 抛物线的简单几何性质
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经
过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
定点F是抛物线的焦点，
y
l
定直线l叫做抛物线的准线.
d .M
K.
OF
x
精选ppt
2
2、抛物线的标准方程：
标准方程 y22p(xp0) y22p(xp0) x22p(yp0) x22p(yp0)
3
AB p p
1 cos 1 cos
2p 22
sin2 sin2 45 8
K
B1
2
F 1
H
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
精选ppt
12
例 抛物线y2=4x的焦点为F,
y
5
点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求 4
抛物线的简单几何性质(第2课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性
跟踪练习
3.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( A )
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
解 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r， 由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1， 所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等， 符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线.
跟踪练习
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点， 若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__x_＝__－__1_．
跟踪练习
5.已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB， 求证：直线AB经过一个定点.
证明 设直线 OA 的斜率为 k，则直线 OB 的斜率为－1k， 则直线OA的方程为y＝kx，
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦 例1 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B点,|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦
典例精析
题型一：抛物线的焦点弦 C
典例精析
题型二：与抛物线有关的定点、定值问题 例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补. 证明:直线AB的斜率为定值. (1)解 ∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切, ∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离, ∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点, 以直线x=-1为准线的抛物线. ∴曲线C的方程为y2=4x. (2)证明 设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.
高中数学 第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质讲解与例
2.4.2 抛物线的简单几何性质问题导学一、抛物线几何性质的应用活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1． 故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k p pk p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA u u u r ·OB uuu r＝0．由OA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2， 得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4，即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0． 当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么|PF |＝( )．A ．43B ．8C ．83D ．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为3(2)y x =--，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，43)．设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为122p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ． 联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1＋2)p ，x 2＝(1－2)p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝22p ． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝13221222p p ⋅⋅=，解得p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2．联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 5l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0．∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得12t≥-．另一方面，由直线OA与l的距离55d=，可得55=，解得t＝±1．∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课件4新人教B版选修2_1
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
l
定点F叫做抛物线的焦点。
N
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即:
若︳︳MMNF
︳ ︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
二、抛物线的标准方程
{ 焦点在x 轴上 y2 mx(m 0)
y2 = 2px（p＞0） y2 = -2px（p＞0）
A4
B -2
C 4或-4
D 12或-2
2、设A为抛物线y2 = 4x上一点，点B(1,0)且 AB 1，则A横 坐标值为（B）
A -2
B0
C -2或0
D -2或2
3、已知F是抛物线y2 = x的焦点，A、B是该抛物线上的两 点，AF BF 3，则AB中点到y轴距离为（C）
3
5
7
A4
B1
C4
D4
2
抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
. .
y
F
o
x
y F ox
y
F
x o
y
o
x
F
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛物线的顶 点就是坐标原点（0，0）。
y P(x,y)
o F( p ,0) x
2
4、离心率
高中数学第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
变式训练 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称
轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交于 A、B 两点， |AB|＝2 3，求抛物线方程．
解：由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上， 也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)， B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴 对称，∴点A与B关于x轴对称，
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且 垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标 原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标 准方程．
【思路点拨】 设抛物线方程y2＝2pxp≠0 →
求A、B两点的坐标 → 求出弦长AB →
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
【思路点拨】 求 x1x2 及 y1y2 的值可考虑用根与 系数的关系；证明 OM⊥ON，可用 kO M·kON＝－1 或O→M·O→N＝0 来证明．
【解】 (1)直线 l 的方程为 y＝k(x－2)．(k≠0)
y＝kx－2 (2)由y2＝2x
消去 y 并整理可得 k2x2－2(2k2
＋1)x＋4k2＝0， ∴x1x2＝4kk22＝4，y21·y22＝4x1x2＝16，
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44＝－1，即 OM⊥ON.
第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质
13．已知倾斜角为π的直线 l 过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F，抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴上一点 Q(5,0)关 6
于直线 l 对称，则 p 等于( )
A.1
B．1
C．2
D．3
2
14.如图，已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线 AF， BF 分别与抛物线交于点 M，N. (1)求 y1y2 的值； (2)连接 MN，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：kk12为定值．
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.
5．抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，
其面积为( )
A．2 3
B．4
C．6
D．4 3
6．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标
为 2，则该抛物线的准线方程为( )
2 所在的直线方程．
引申探究 本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离．
反思感悟 求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. (2)焦点弦长
设过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所 在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1＋x2 即可． 跟踪训练 3 已知 y＝x＋m 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点． (1)若|AB|＝10，求实数 m 的值；(2)若 OA⊥OB，求实数 m 的值．
抛物线的简单几何性质(第2课时) 高中数学获奖教案
3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选修第一册第三章)一、教学目标1.掌握直线与抛物线的三种位置关系和焦点弦的简单几何性质，会用弦长公式求直线与抛物线的相交线.2.通过对直线与抛物线的位置关系的探究，以及焦点弦的有关重要结论的证明，掌握坐标法求解解析几何问题的一般思路，体会数形结合在解析几何应用中的重要性，培养数学运算、逻辑推理的数学素养. 二、教学重难点 教学重点：1. 直线与抛物线的位置关系.2.与焦点弦有关的重要结论3.坐标法的应用 教学难点：几何图形与代数运算的联系的建立 三、教学过程1.探究直线与抛物线的位置关系【复习回顾】直线与椭圆的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？例 已知直线和椭圆. 为何值时，直线与椭圆:有两个公共点？有且只有一个公共点？没有公共点？【预设答案】位置关系 公共点个数 方程解的个数 判别式 相交 2个 2个不等 相切 1个 2个相等 相离0个0个问题1：直线与抛物线的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？ 【预设答案】:450l x y m -+=22:1259x yC +=m l C ∆0∆>0∆=0∆<公共点个数 判别式 1个 或 2个 0个例1 已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 【预设答案】解：由题意，设直线的方程为，由方程组 消去，得（1）当时，直线的方程为，将代入，得， 此时直线与抛物线只有一个公共点（2）当时， 方程①的根的判别式由，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与抛物线有且只有一个公共点.由，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个公共点.由，得，此时方程①没有实数根，直线与抛物线没有公共点. 【设计意图】复习回顾直线与椭圆的位置关系，用同样的研究方法来研究直线与抛物线的位置关系.2.证明抛物线的焦点弦的有关重要结论问题2:直线过抛物线的焦点时，直线与抛物线的位置关系如何？有多少个公共点？∆0k =0∆=0∆>0∆<24y x =l ()2,1P -k k l 24y x =l ()12y k x -=+()2124y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩x ()2-44210ky y k ++=①0k =l 1y =1y =24y x =14x =l 1,14⎛⎫⎪⎝⎭0k ≠()21621k k ∆=-+-0∆=-1k =12k =l0∆>112k -<<l 0∆<112k k <->或l【预设答案】直线与抛物线相交, 有两种情况，当直线与抛物线对称轴重合时，有一个公共点；当直线与抛物线不重合时，两个公共点，第二种情况中，过焦点的直线被抛物线所截的弦长就是焦点弦.【设计意图】由一般到特殊，由研究三种位置关系到研究其中一种，为接下来研究直线与抛物线相交时所成的焦点弦的有关重要结论打下基础.【复习回顾】上节课例2，求焦点弦的弦长，用了哪些方法？例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB 的长.【预设答案】法一：直接求两点坐标，利用两点间的距离公式求弦长法二：设而不求，利用弦长公式和根与系数的关系（韦达定理）求弦长 法三：活用定义，利用根与系数的关系（韦达定理）求弦长【设计意图】梳理求焦点弦长度的几种解法，引导学生体会坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决.例3 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.（1）用，表示线段的长，并证明：长度最小为（通径）.（2）求证：.（3）求证：. （4）求证：以为直径的圆与准线相切. （5）求证：以焦半径为直径的圆与轴相切.【预设答案】l 24y x =F A B l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y 1x 2x AB AB 2p 221212,4p x x y y p ==-112FA FB p+=AB AF y此时，代入得， ，（不妨设），故（称为通径） ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由方程组得， 所以 所以， 所以长度最小为.（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，，显然成立；当直线斜率存在时，由方程组得，所以，，所以 （3）由（1）知，当直线斜率不存在时，， ，结论显然成立. 当直线斜率存在时，122px x ==22(0)y px p =>1y p =2y p =-12y y >2AB p =l l 2=-()py k x 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k+=+122222pAB x x p p p k =++=+>AB 2p l (,)2p A p (,)2p B p -221212,4p x x y y p ==-l 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k pk x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =22212121212((()2224p p p p y y k x k x k x x x x p ⎡⎤=-⋅-=-++=-⎢⎥⎣⎦l (,)2p A p (,)2pB p -l由方程组得，所以，，（4）如图，设的中点为， 过,,分别作准线的垂线， 垂足分别为,,，则， 结论得证.(5) 如图，设的中点为， 过 ,分别作轴的垂线， 垂足分别为,，则， 结论得证.【设计意图】由例2到例3，由特殊到一般. 一方面，利用代数方法研究焦点弦的重要结论，使学生在解题过程中充分认识坐标法的程序性、普适性特点；另一方面，引导学生在解析几何的解题中，先用几何眼光观察，再用代数运算解决，充分利用图形的几何特征简化运算，注重数形结合，相辅相成.【总结】与抛物线焦点弦有关的重要结论直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =121111222+=+=++p p FA FB px x ABM A B M 'A 'B 'M '''222AA BB AF BF ABMM ++===AF N A N y E 'N 2'222pAF OF AE FOAF NN -++===l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y（1），长度最小为（通径）（2）（3）.（4）以为直径的圆与准线相切.（5）以焦半径为直径的圆与轴相切.【设计意图】由学生自己证明并总结出与抛物线焦点弦的有关重要性质，加深对抛物线几何性质的理解.3.直线与抛物线的相交弦问题3:当直线不过抛物线焦点时，结论是否成立？【预设答案】不成立，证明如下：例4斜率为1的直线经过抛物线的定点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长.【预设答案】解：由方程组，得所以，它的长度与紧密关联.【设计意图】区分抛物线的焦点弦和一般相交弦，求解方法也有差异，一般弦长无法利用定义简化计算过程，只能用两点间的距离或弦长公式.四、课外作业1.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛12AB x x p=++AB2p221212,4px x y y p==-112FA FB p+=ABAF y12AB x x p=++121222p pFA FB x x x x p AB+=+++=++>l24y x=(,0)P m A B24y x my x=-⎧⎨=⎩22(24)0x m x m-++=1224x x m+=+212x x m=2AB x=-==mF A B A更多高中资料见：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495物线的准线于点，求证：直线平行与抛物线的对称轴．2. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，求的最小值．3. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，求证：是一个定值． 【答案】4. 已知过定点的直线交抛物线于，两点，求△面积的最小值． 【答案】D DB 24y x =F (),P x y ()1,0A -PF PA24y x =F F l A B OA OB ⋅3-()2,0P l 24y x =A B AOB。
高中数学2-4-2抛物线的简单几何性质
16k2－16k＋4 4k2－4k＋1 ∴4·xB＝ ，即 xB＝ . k2 k2 4k2＋4k＋1 以－k 代换 xB 中的 k，得 xC＝ ， 2 k yB－yC ∴kBC＝ xB－xC k（xB－4）＋2－[－k（xC－4）＋2] ＝ xB－xC 8k2＋2 k（xB＋xC－8） k（ k2 －8） ＝ ＝ xB－xC －8k k2 1 ＝－ . 4 所以直线 BC 的斜率为定值．
类型
图象
课前探究学习
课堂讲练互动
续表 焦点 准线
p F ，0 2 _______ p F－ ，0 2 ________ p F0， 2 _______
p F0，－ 2 ________
p x＝－ 2 ______
p x＝ 2 ______
课前探究学习 课堂讲练互动
y2＝4x， 由 得 y2＋2y－2t＝0， y＝－2x＋t
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点， 所以 Δ＝4＋8t≥0， 1 解得 t≥－ . 2 另一方面，由直线 OA 与直线 l 的距离等于 ∴t＝± 1， 1 1 由于－1∉[－ ，＋∞)，1∈[－ ，＋∞)， 2 2 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 y＝－2x＋1. 5 |t| 5 可得 ＝ ， 5 5 5
课堂讲练互动
是定值．
证明 设kAB＝k(k≠0)， ∵直线AB，AC的倾斜角互补， ∴kAC＝－k(k≠0)， ∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
y＝k（x－4）＋2， 由方程组 2 y ＝x，
消去 y 后，整理得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
高中数学教案——抛物线的简单几何性质 第二课时
课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为：d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
高中数学选择性必修第一册 抛物线的简单几何性质(第2课时)
1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定 理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．
2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．
课后巩固
1．直线 2x－y－4＝0 与抛物线 y2＝6x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为
(B )
A．8
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x＜0)．
(2)若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆 圆心的轨迹方程．
【解析】 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2， 0)，半径 r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＝－2 为准线的抛物线， 且p2＝2，p＝4， 故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2＝8x.
285 B. 2
C.
305 2
D.
335 2
2．已知 AB 是过抛物线 y＝2x2 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐
标是( D )
A．1
B．2
5
15
C.8
D. 8
3．(2018·北京)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为__(_1_，_0_)__．
当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.
若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．
高中数学2.3.2《抛物线的简单几何性质》优秀课件
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
那么｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
y
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
DA 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
1、求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点在直线x-2y-4=0上. (2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 15.
2.抛物线 y2 4x 的弦AB垂直x轴，假设|AB|4= 3 ，
那么焦点到AB的距离为 2
。
1.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程
是 x2=16y.
(2)点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,那么
p= 4 .
(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为 y轴 .
要复杂的代数运算.
下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.
y
A'
A
OF
x
B' B
y
A'
A
OF
x
B' B
还可以如何 求x1+x2?
如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
DA
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
yl
y F
y l
形
OF x F O x
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2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程2.4.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 直线与抛
物线的位置关系高效测评 新人教A版选修2-1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析： 设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，
即切线方程为2x－y－1＝0.
答案： D
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
解析： 由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．
答案： B
3．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A．2 B.
C．2 D.
解析： 设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A，B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.
又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．
∴|AB|＝ |x1－x2|
＝ · ＝
＝2.
答案： C
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两
点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.
解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4. ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析： ∵F，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴x A＋x B＝3p.由焦半径公式x A＋x B＋p＝4p＝8，得p＝2.
答案： 2
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析： 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义
知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．k取何值时，直线y＝2x＋k与抛物线y2＝4x无交点？
解析： 把抛物线y2＝4x与直线y＝2x＋k联立方程组得，消去y整理得4x2＋(4k－4)x＋k2＝0，Δ＝(4k－4)2－4×4×k2<0解得k>.综上，当k>时直线与抛物线没有交点．
8．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在P点被平分，求这条弦所在直线方程．
解析： 设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直线方程为y－1＝k(x－4)，
∵P1，P2在抛物线上，
∴y＝6x1，y＝6x2，
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ①
将y1＋y2＝2代入①得k＝＝3，
∴直线方程为3x－y－11＝0.
9．(10分)已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O 为坐标原点．
(1)若△OAB的面积为，求k的值；
(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点．
解析： (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得
k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝· ，
由点到直线距离公式得d＝，
∴S△OAB＝|AB|·d＝＝，解得k＝±.
(2)证明：由(1)可得k OA＝，k OB＝，k OA·k OB＝.∵y＝－x1，y＝－x2，
∴x1x2＝(y1y2)2，
∴k OA·k OB＝，
又得ky2＋y－k＝0，
∴y1y2＝－1，即k OA·k OB＝－1，
∴OA⊥OB，
∴以弦AB为直径的圆必过原点．。