您的位置：360文档中心› 专题3.6以二次函数与四边形为背景的解答题2018年中考数学备考优生百日闯关系列原卷

专题3.6以二次函数与四边形为背景的解答题2018年中考数学备考优生百日闯关系列原卷

合集下载

2018届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题含答案

2018届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题含答案

1 4
1 ( x 2)( x 8) 1 QG BH 1 ①如图3，当∠DBQ＝90°时， ． ．所以 4 8 x 2 GB HD 2
解得x＝6．此时Q(6,－4)．
QG DH ②如图4，当∠BDQ＝90°时， 2 ．所以 GD HB
解得x＝－2．此时Q(－2,0)．
（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且 线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
l y P A O B x
C
（第27题） 练习4．（2016苏州）如图，直线 与 x 轴、 y 轴分别相交于A、B两点，抛物线 y ax 2ax a 4( a 0) 经过点B． (1)求该地物线的函数表达式；
例1。如图1，已知抛物线 y
图1 例2。2014年苏州市中考第29题 如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A 、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点 A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE． （1）用含m的式子表示a； （2）求证：
1 4 ( x 2)( x 8) 4 2． x
图3
图4
练习2、思路点拨 1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个 ． 2．当直 线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合 ∠AMB＝90°的点M只有1个． 3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 3 3 3 （1）由 y x 2 x 3 ( x 4)( x 2) ， 8 4 8 得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1． （2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距 离相等． 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H． DG CO 3 由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以 ． BG AO 4 3 9 9 所以 DG BG ，点D的坐标为 (1, ) ． 4 4 4 因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG． 27 27 而D′H＝DH，所以D′G＝3DG ．所以D′的坐标为 (1, ) ． 4 4

中考数学压轴题专题-二次函数与平行四边形存在性问题

中考数学压轴题专题-二次函数与平行四边形存在性问题

专题6二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+. 3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点F ，直线m ∥AC ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点E 作EH ⊥m ，垂足为H ，交AC 于点G ，连接AE 、EC 、CH 、AH ．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF ，点P 是x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点，以EF 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．【例4】（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【例5】（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．1．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB ＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x 轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L 关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x 轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【题组三】9．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y 轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．10．（2020•烟台模拟）如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（2020•龙城区一模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2020•长沙模拟）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D为该二次函数图象顶点．（1）求该二次函数解析式，及D点坐标；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P 的坐标；＝S△AOC，点E为直线AM上一动点，在x轴上是（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMC否存在点F，使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2020•东莞市一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．15．（2020•郑州一模）如图，直线y=−23x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+103x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16.（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2020•东营区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．18．（2020•唐山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．19．（2020•安定区校级三模）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−5）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为（2，−32）；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•高州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组五】21.（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．22．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，B B=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【题组七】25．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB 交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．26．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．28．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题2.5 以二次函数与图形的面积、数量问题的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版

专题2.5 以二次函数与图形的面积、数量问题的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版
定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式 1 底·高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过 2
程中，切点即为符合题意要求的点。 （方法 2）过动点向 y 轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模
型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到
S动•（x右（定）-x ） 左（定） ，转化
【例 1】如图，抛物线 y=﹣错误!未找到引用源。x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，并经过点 C，已知点 A 的坐 标是（﹣6，0），点 C 的坐标是（﹣8，﹣6）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标及点 B 的坐标； （3）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连接 CD，并延长 CD 交抛物线于点 E，连接 AC，AE，求△ACE 的面积； （4）抛物线上有一个动点 M，与 A，B 两点构成△ABM，是否存在 S△ADM=错误!未找到引用源。S△ACD？若 存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求此抛物线的解析式； （2）设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF∥AC 交 BC 于 F，连接 CE，当△CEF 的面积是△BEF 面积的 2 倍时， 求 E 点的坐标； （3）若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P 点运动到什么位 置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标.
【答案】(1) y=错误!未找到引用源。x2+2x+1，(2) P（﹣错误!未找到引用源。，﹣错误!未找到引 用源。）．
【解析】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点错误!未找到引用源。表示出错误!未找到引用源。再用 S 四边 AECP=S△AEC+S△APC 建立函数关系式，求 出最大值即可. 试题解析：(1)∵点 A(0,1).B(−9,10)在抛物线上， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ∴抛物线的解析式为错误!未找到引用源。

专题2.6 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版

专题2.6 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版
(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标； (2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA，BC，求△ABC 的面积. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P．使得以 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（4，2）；（2）6；（3）存在， P1（2，6），P2（2，－6） 【解析】试题分析：（1）题利用待定系数法求出解析式； （2）以 AC 为三角形的底，OB 为三角形的高，求出三角形的底与高就可以求出，三角形面积； （3）分两种情况讨论即可． 试题解析：解：（1）将 A（2，0）、B（0，﹣6）两点代入则：
解：（1）把点 A（3，1），点 C（0，4）代入二次函数 y=﹣x2+bx+c 得
9 3b c 1
b2
{
,解得{
,
c4
c4
∴二次函数解析式为 y=﹣x2+2x+4， 配方得 y=﹣（x﹣1）2+5， ∴点 M 的坐标为（1，5）.
（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，把点 A（3，1），C（0，4）代入得{3k b 1 ， b4
【名师点睛】1.求二次函数的解析式
（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（ a 0 ）.列方程组求二次函数解析式.
(2)已知二次函数与 x 轴的两个交点（x1, 0）( x2 , 0) ，利用双根式，y= a x x1 x x2 （ a 0 ）求二次
函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, x x1 x2 . 2
k 1
解得： {
，
b4
∴直线 AC 的解析式为 y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线 x=1 与△ABC 两边分别交于点 E、点 F,

专题3.5以二次函数与三角形为背景的解答题2018年中考数学备考优生百日闯关系列原卷

专题3.5以二次函数与三角形为背景的解答题2018年中考数学备考优生百日闯关系列原卷

第五关以二次函数与三角形为背景的解答题1．如图，二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求点A，点B和点D的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使∆PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；(3)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，∆MNB的面积最大，试求出最大面积．(备用图)2．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴负半轴交于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）点E，F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点（点E在点F上方），且EF=1，求使四边形BDEF的周长最小时的点E，F坐标及最小值；（3）如图2，点P为对称轴左侧，x轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC于点Q，是否存在这样的点P使△PCQ 与△ACH相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．3．如图，已知抛物线y=12x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP 的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q （0，m ），使得△BFQ 为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q 的坐标；如果没有，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x x =的图象与x 轴交于点 A ，B ，交 y 轴于点 C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线顶点 D 的坐标以及直线 AC 的函数表达式；（2）点 P 是抛物线上一点，且点P 在直线 AC 下方，点 E 在抛物线对称轴上，当△BCE 的周长最小时，求△PCE 面积的最大值以及此时点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 P 且平行于 AC 的直线分别交x 轴于点 M ，交 y 轴于点N ，把抛物线2y x x =平移后抛物线的顶点为 D '，在平移的过程中，是否存在点 D '，使得点 D '，M ，N 三点构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点 D '的坐标；若不存在，请说明理由．5．综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣213x +bx+8与x 轴交于点A （﹣6，0）和点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC ．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE=；（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和点B，与y轴交于点C（0,），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q 从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒.（1）求该抛物线的解析式；（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在，请求出对应的t的值;如果不存在，请说明理由.（3）在y轴上有两点M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C.直线y=h(h 为常数，且0＜h＜6)与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G. （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接BE. 求h为何值时，△BDE的面积最大；（3）已知定点M(-2,0)，请问是否存在这样的直线y=h，使△OFM是等腰三角形？若存在，求出h的值和点G 的坐标；若不存在，说明理由.8．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直．接写出．．．所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【9．如图（1），抛物线2316y x =-平移后过点A （8,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）直接写出阴影部分的面积S ；（3）如图（2），直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点（点M 不与点A ，O 重合），∠PMN 为直角，MN 与AP 相交于点N ，设OM=t ，试探究：t 为何值时，△MAN 为等腰三角形？10．如图，直线与轴交于点B ，与轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A(-1，0).（1）求该二次函数的关系式；（2）若抛物线的对称轴与轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点A (5,0)，B (-3,0),C (0,4).（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）过C 作CD ∥x 轴交抛物线于D , 连续BC 、AD ,两个动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发,都以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P 沿着线段AB 向B 点运动，点Q 沿着折线B→C→D 的路线向D 点运动.设这两个动点运动的时间为t （秒)(0＜t ＜7)，△PQB 的面积记为S .①求S 与t 的函数关系式；②当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？③是否存在这样的t 值，使得△PQB 是直角三角形?若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.12．如图，抛物线2616y ax ax a =--（a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，且∠ACB ＝90°，点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．（1）请直接写出A ，B ，C 三点的坐标及抛物线的解析式；（2）连接PB ，以BP ，BC 为一组邻边作平行四边形BCDP ，当平行四边形BCDP 的面积最大时，求P ，D 两点的坐标；（3）若点Q 是x 轴上一动点，是否存在以P ，C ，Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知，经过点A （－4，4）的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点B （－3，0）及原点O ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，平行于y 轴的直线交线段AO 于点Q ，交抛物线于点P ，当四边形AHPQ 为平行四边形时，求∠AOP 的度数；（3）如图2，若点C 在抛物线上，且∠CAO ＝∠BAO ，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G ，使得△GOP ∽△COA ？若存在，请求出所有满足条件的点G 坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在直角坐标系中，已知点A （0, 3）、点C （1, 0），等腰Rt △ACB 的顶点B 在抛物线21y ax ax =--上.（1）求点B 的坐标及抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P （点B 除外），使△ACP 是以AC 为直角边的Rt △？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在抛物线上是否存在点Q （点B 除外），使△ACQ 是以AC 为直角边的等腰Rt △？若存在直接写出所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.15．如图，直线2y x =+与抛物线()260y ax bx a =++≠相交于A 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和B （4，n ）,点P 是直线．．AB ．．上不同于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．设P 点的横坐标为m ．（1）直接写出点B 坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）请用含m 的代数式表示线段PC 的长；（4）若点P 在线段AB 上移动，请直接写出△P AC 为直角三角形时点P 的坐标．。

中考数学总复习《二次函数与四边形》练习题(含答案)

中考数学总复习《二次函数与四边形》练习题(含答案)

二次函数与四边形一 、解答题1.如图，二次函数y =ax 2+bx 的图象与一次函数y =x +2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是﹣1，点B 的横坐标是2． （1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．2.如图，已知二次函数图象的顶点为点，且经过点．（1）求此二次函数的关系式；（2）设点是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点的坐标为，四边形是以为对角线的平行四边形．① 求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；② 当点B 在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形的面积； ③ 当平行四边形的面积为64时，请判断平行四边形是否为菱形？④ 是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y ax c =+()09M -，()30A ，()D x y ，C ()50-，ABCD AC ABCD S x x ABCD ABCD ABCD D ABCD D3.如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <．以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． (1) 求k 的值；(2) 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与二次函数的图象交于、两点，其中点在轴上． （1）二次函数的解析式= ；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上； （3）若为线段的中点，过点作轴于点，与二次函数的图象交于点．① 轴上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是 ；()20，1y x =+A B A y y ()21m m --，C AB C CE x ⊥E CE D y K K Z D C K②二次函数的图象上是否存在点，使得？求出点坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿个单位每秒速度运动，运动时间为．求： （1）的坐标为 ； （2）当为何值时，与相似？（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．6.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点． （1）判断点是否在轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行P 2POE ABD S S =△△P P ABCD ()03A ，()10B ，OP AB N DC M H O x R O OM t C t ANO △DMR △HCR △S t A B C R ，，，t S H y xP N M ROD C BAABOC BO x OCy 1AB =OB ABOC O 60EFOD A E B F C D 2y ax bx c =++A E D ，，E y x P Q O B P Q ，，，四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．ABOC P P Q y xODEC FA B y xO DECFA B M二次函数与四边形答案解析一 、解答题1.（1）把x =﹣1和2分别代入y =x +2，得到y 的值分别是1、4，因而A 、B 的坐标分别是（﹣1，1），（2，4）．根据题意得到：1424a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩因而二次函数的解析式是y=x 2．（2）过点A 、B 作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，分别交于M 、N ．过点C 作CP ⊥BN 与P ．设P 的坐标是（x ，y ）．()()1115=143222AMNB S AM BN MN +⋅=+⋅=梯形； 1122AOM S AM OM =⋅=△； ()()()()21112424222BCP S CP BP x y x x =⋅=--=--△；()()()2111=224222CPNO S CP ON PN x y x x +⋅=-+⋅=-⋅⎡⎤⎣⎦四边形． ∴2=2 3 AOM BCP OABC CPNO AMNB S S S S S x x ---=-++△△四边形四边形梯形． 当x =1时，函数S =﹣x 2+2x +3有最大值是4．【解析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，求面积的最值问题一般要转化为函数的最值问题，依据函数的性质解决．2.（1）由题意得，解之，得，990c a c =-⎧⎨+=⎩19a c =⎧⎨=-⎩故二次函数的关系式为.（2）① 在二次函数的图象上，且位于第三象限， ∴，即，表示点到的距离． ∵是平行四边形的对角线， ∴． 当时，，得,∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点是，自变量x 的取值范围是﹣3＜x ＜0．② 过点作，垂足为点， ∵点在二次函数的图象的对称轴上， 由得，∴OE=2， ∴当时，，；③ 根据题意，当时，即． 解之，得，．故所求的点有两个，分别为，．点不满足，∴平行四边形不是菱形（或者说明点D 不在第三象限）；点满足，∴平行四边形是菱形．④ 当，且时，平行四边形是正方形，此时点的坐标只能是．点不在二次函数的图象上，故不存在这样的点，使平行四边形为正方形．【解析】代数几何综合题。

二次函数中考精品压轴题(四边形的存在性问题)解析精选

二次函数中考精品压轴题(四边形的存在性问题)解析精选

二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。

∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。

∴C 点的坐标为（0，3）。

设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。

∴直线AC 的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。

（2）抛物线上有三个这样的点Q 。

如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。

（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。

过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。

中考数学总复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B 的坐标为(1,0)(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线交线段BC 于N，求△PMN的周长的最大值．(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y=12x2−32x−n(n>0)与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．(1)如图1，若AB=5，则n的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE:ED=1:4，求n．4．抛物线y=ax2−4经过A、B两点，且OA=OB，直线EC过点E(4，−1)，C(0，−3)点D是线段OA（不含端点）上的动点，过D作PD⊥x轴交抛物线于点P，连接PC、PE．(1)求抛物线与直线CE的解析式；(2)求证：PC+PD为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q，使得以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1 抛物线y=−23x2−23x+4与x轴交于A B．两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C直线y=kx+b经过点A C．(1)求直线AC的解析式；(2)点P为直线AC上方抛物线上的一个动点过点P作PD⊥AC于点D过点P作PE∥AC交x轴于点E 求PD+AE的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）问PD+AE取得最大值的情况下将该抛物线沿射线AC方向平移103个单位后得到新抛物线点M为新抛物线对称轴上一点在新抛物线上确定一点N使得以点P C M N为顶点的四边形是平行四边形写出所有符合条件的点M的坐标并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．6．在平面直角坐标系中抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C且点A的坐标为(−5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1 若点P是第二象限内抛物线上一动点求点P到直线AC距离的最大值并求出此时点P的坐标；(3)如图2 若点M是抛物线上一点点N是抛物线对称轴上一点是否存在点M使以A C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．7．如图1 抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于A B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C连接AC,BC．(1)求△ABC的面积；(2)如图2 点P为直线上方抛物线上的动点过点P作PD∥AC交直线BC于点D过点P作直线PE∥x轴交直线BC于点E求PD+PE的最大值及此时P的坐标；(3)在（2）的条件下将原抛物线y=−x2+3x+4向右平移2个单位再向上平移8个单位点M是新抛物线与原抛物线的交点N是平面内任意一点若以P B M N为顶点的四边形是平行四边形请直接写出点N的坐标．8．如图抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A(4,0)和B(−1,0)两点与y轴交于点C点P是直线AC下方的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PD⊥x轴于点D交直线AC于点E求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)取（2）中PE最大值时的P点在坐标平面内是否存在点Q使得以点A C P Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在请说明理由．9．如图抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点且x1<x2与y轴交于点C(0，−5)其中x1，x2是方程x2−4x−5=0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点M是线段AB上的一个动点过点M作MN∥BC交AC于点N连接CM当△CMN的面积最大时求点M的坐标；(3)点D(4，k)在（1）中抛物线上点E为抛物线上一动点在x轴是否存在点F使以A D E F 四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在请说明理由．x2+bx+c与直线AB交于点A(0，−4)B(4，0)．10．如图在平面直角坐标系中抛物线y=12(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点过点P作x轴的平行线交AB于点C过点P作y轴的平行线交x轴于点D求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PC+PD取得最大值的条件下将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位点E为点P的对应点平移后的抛物线与y轴交于点F M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N使得以点E F M N为顶点的四边形是平行四边形直接写出所有符合条件的点N的坐标．11．如图已知抛物线y=−x2+bx+c与一直线相交于A(−1,0)C(2,3)两点与y轴交于点N其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的解析式．(2)设点M(3,m)求使MN+MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B E为直线AC上的任意一点过E作EF∥BD交抛物线于点F 以B D E F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能求出点E F的坐标；若不能请说明理由．12．综合与探究x+如图在平面直角坐标系中直线y=4x+4与x轴交于A点与y轴交于C点抛物线y=ax2+83c(a≠0)）经过A C两点与x轴相交于另一点B连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线对称轴上的一个动点则|DC−DB|的最大值是___________；(3)求PQ的最大值并写出此时点P的坐标；(4)在x轴上找一点M抛物线上找一点N使以点B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形请直接写出点M的坐标．13．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+√3(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)点B(3，0)与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点过点P作x轴的平行线交BC于点D过点P作y轴的平行线交BC 于点E求PD+PE的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2 将抛物线沿射线CB的方向平移使得平移后的抛物线经过线段CB的中点且平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M N R是直线BC上任意两点Q为新抛物线上一点直接写出所有使得以点M N R Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的横坐标并把求其中一个点的横坐标过程写出来．14．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(−3,0)B(1,0)两点与y轴交于点C(0,3)点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1 点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A C重合）过点P作PD⊥AB垂足为D PD 交AC于点E．作PF⊥AC垂足为F若点P的横坐标为t请用t的式子表示PE并求△PEF的面积的最大值；(3)如图2 点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点在抛物线上存在点P使得以点A P C Q为顶点的四边形是平行四边形请直接写出所有符合条件的点P的坐标并把求其中一个点P的坐标的过程写下来．15．综合与探究如图1 在平面直角坐标系中二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A B两点与直线l交于B C两点其中点A的坐标为(−2,0)点C的坐标为(−1,−4)．(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．(2)若P为直线l上一点Q为抛物线上一点当四边形OBPQ为平行四边形时求点P的坐标．(3)如图2 若抛物线与y轴交于点D连接AD,BD抛物线上是否存在点M使∠MAB=∠ADB？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A B两点．其中点A(−2,0)点B(4,0)．16．在直角坐标系中抛物线y=12(1)求抛物线的解析式．x+n经过A点与y轴交于D．在直线l下方的抛物线上有一个动点P连接(2)如图1 在直线l:y=−12PA PD求△PAD面积的最大值及其此时P的坐标．(3)将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1点E是新抛物线y1的对称轴上的一个动点点F是原抛物线上的一个动点取△PAD面积最大值时的P点．若以点P D E F为顶点的四边形是平行四边形直接写出点F的坐标并写出求解其中一个F点的过程．17．如图已知抛物线y=−x2−2x+3的顶点为D点且与x轴交于B A两点（B在A的左侧）与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E在x轴上方且CE∥BD时求sin∠DEC的值；(2)若点Р在抛物线上是否存在以点B E C P为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点Р的坐标；DE取得最小值连接AE并延长交第二象限抛物线为点M请(3)若抛物线对称轴上有点E使得AE+√55直接写出AM的长度．18．图1 在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)B(3,0)两点．P是抛物线上一点且在直线BC的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2 点E为OC中点作PQ∥y轴交BC于点Q若四边形CPQE为平行四边形求点P的横坐标；(3)如图3 连结AC、AP AP交BC于点M作PH∥AC交BC于点H．记△PHM△PMC△CAM的面积分别为S1,S2,S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值若存在求出最大值；若不存在请说明理由．19．如图在平面直角坐标系中抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B 的左侧）与y轴交于点C连接AC、BC点P为直线BC上方抛物线上一动点连接OP交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQOQ 的值最大时求点P的坐标和PQOQ的最大值；(3)把抛物线y=−12x2+bx+c向右平移1个单位再向上平移2个单位得新抛物线y′M是新抛物线上一点N是新抛物线对称轴上一点当以M N B C为顶点的四边形是平行四边形时写出所有符合条件的N点的坐标并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．20．抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1 M 为抛物线对称轴l 上一动点 连接MA 、MC 求MA +MC 的最小值及此时M 点的坐标； (3)如图2 抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E 点F(2，1) P 为抛物线上一动点 Q 为抛物线对称轴l 上一动点 以点E F P Q 为顶点的四边形为平行四边形时 直接写出所有可能的点Q 的坐标．参考答案1．（1）解：∵点B的坐标为(1,0)∵OB=1∵OC=3OB∵OC=3∵C(0,−3)∵抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)过点B,C∵{a+3a+c=0，c=−3，解得{a=34，c=−3，∵抛物线的函数关系式为y=34x2+94x−3；（2）在抛物线上存在点E使以A C D E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形；理由：①如图1 当点E在x轴下方时则：CE∥AD∵点E的纵坐标为−3令y=−3则34x2+94x−3=−3解得x1=−3x2=0∵点E的坐标为(−3,−3)；②如图2 当点E在x轴上方时∵平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形点C到x轴的距离为3∵点E 到x 轴的距离为3 令y =3 则34x 2+94x −3=3解得x =−3±√412∵E 2(−3−√412,3) E 3(−3+√412,3)综上可得 在抛物线上存在点E 使以A C D E 为顶点且以AC 为一边的四边形是平行四边形 点E 的坐标为(−3,−3)或(−3−√412,3)或(−3+√412,3)．2．（1）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +2(a ≠0)过A (−1,0) B (3,0)两点∴{a −b +2=09a +3b +2=0解得{a =−23b =43 ∴抛物线的解析式为y =−23x 2+43x +2； （2）当x =0时 y =2 即：C (0,2) 则OC =2 OB =3 BC =√13设BC 的解析式为：y =kx +b 1 将B (3,0) C (0,2)代入可得： {b 1=23k +b 1=0 解得：{k =−23b 1=2∵BC 的解析式为：y =−23x +2设P (t,−23t 2+43t +2)∵点P 为直线BC 上方的抛物线上一点 过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M 过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N∵{t>0 t<3−23t2+43t+2≤2则2≤t<3当x=t时点N的纵坐标为：y=−23t+2则PN=−23t2+43t+2−(−23t+2)=−23t2+2t=−23(t−32)2+32(2≤t<3)∵当t=2时PN有最大值为：−23×(2−32)2+32=43由题意可知∠BOC=∠P=90°PN∥y轴则∠PNM=∠OCB ∵△BOC∽△MPN则OCPN =OBPM=BCMN则PM=32PN MN=√132PN△PMN的周长为PN+PM+MN=PN+32PN+√132PN=5+√132PN则当PN最大时△PMN的周长有最大值即：△PMN的周长的最大值为5+√132×43=10+2√133；（3）存在点M使得以B C M N为顶点的四边形是平行四边形①以BC为对角线过C作CM∥x轴交抛物线与M点N在x轴上NB=2=MC M(2,2)；②以BC为边过M作MG垂直抛物线对称轴于G当MG=OB=3且OC=GN时四边形CNMB为平行四边形M点横坐标x=3+1=4纵坐标y=−23×42+43×4+2=−103M(4,−103)；③过N 作NH ∥x 轴 与过M 作MH ∥y 轴交于H 当MH =CO =2 NH =BO =3时 四边形CMNB 为平行四边形 M 点横坐标为x =1−3=−2 纵坐标y =−23×(-2)2+43×(-2)+2=−103 M(−2,−103)；综上所述：点M 的坐标为(2,2)或(4,−103)或(−2,−103)．3．（1）解：∵抛物线与x 轴交于A B 两点 ∵x A +x B =−(−32)÷12=3 x A ⋅x B =−2n ∵AB =5 即x B −x A =5 ∵x B −x A =√(x B −x A )2=√(x B +x A )2−4x B x A =√32−4(−2n )=5解得：n =2；（2）由（1）当12x 2−32x −2=0时解得x 1=−1 x 2=4 ∴OA =1 OB =4 ∴B(4,0) C(0,−2)∵抛物线对称轴为直线x =−b2a =−−322×12=32∴设点Q 坐标为(32 b) 由平行四边形性质可知当BQ CP 为平行四边形对角线时 点P 坐标为(112 b +2)代入y =12x 2−32x −2 解得b =238则P 点坐标为(112398)当CQ PB 为为平行四边形对角线时 点P 坐标为(−52 b −2) 代入y =12x 2−32x −2解得b =558则P 坐标为(−52 398)综上点P 坐标为(112 398),(−52 398)；（3）设点D 坐标为(a,b)∵AE:ED =1:4则OE =15b OA =14a∵AD∥BC ∴△AEO ∽△BCO∵OC =n∴OB OC=OA OE∴OB =5an4b由一元二次方程根与系数关系x 1x 2=−n 12=−14a ⋅5an4b ∴b =532a 2将点A(−14a0)D(a,532a2)代入y=12x2−32x−n{0=12×(−14a)2−32⋅(−14a)−n532a2=12a2−32a−n解得a=6或a=0（舍去）则n=278．4．（1）解：令x=0则y=−4∵B(0，−4)∵OA=OB∵OA=OB=4∵A(4，0)将点A(4，0)代入y=ax2−4得：0=16a−4解得：a=14∵抛物线的解析式为：y=14x2−4；设直线CE为y=mx+n将点E(4，−1)C(0，−3)的坐标代入y=mx+n得{4m+n=−1n=−3解得：{m=12 n=−3∵直线CE的解析式是：y=12x−3；（2）证明：设点P(t，14t2−4)0<t<4如图过点P作PF⊥y轴于点F则PF=t则FC=|14t2−4+3|=|14t2−1|PD=4−14t2PC=√t2+(14t2−1)2=14t2+1∵CP+PD=(14t2+1)+(4−14t2)=5为定值；（3）解：存在理由：①当CE是平行四边形的边时如下图：设直线CE交x轴于点M DP交CE于点H令y=0则0=12x−3解得x=6；令x=0则y=−3∵OM=6OC=3则CM=√32+62=3√5∵tan∠OMC=OCOM =12cos∠OMC=OMCM=2√5过点P作PN⊥CE于点N则∠NPD=∠OMC则PN=PHcos∠NPD=2√5PH则以C P E Q为顶点的平行四边形面积=PN⋅CE=2√5CE⋅PH其中2√5CE为常数故当PH最大时平行四边形的面积最大设点P(x，14x2−4)则点H(x，12x−3)则PH=(12x−3)−(14x2−4)=−14(x−1)2+54≤54即PH的最大值为54此时点P(1，−154)；②当CE是平行四边形的对角线时如下图同理可得：以C P E Q为顶点的平行四边形面积=2√5×CE⋅PH此时PH =14(x 2−2x −4)∵当x >1时 PH 的值随x 最大而增大 而x <4 当x =4时 PH 最大值为1<54 故该种情况 不符合题设要求 综上 点P (1，−154) 即四边形CPQE 为平行四边形时 符合题设要求设点Q(s ，t)由中点坐标公式得：{4+1=s−1−154=t −3 解得：{s =5t =−74故点Q (5，−74)．5．（1）解：当x =0时 y =4 ∵点C (0,4)当y =0时 −23x 2−23x +4=0 解得：x 1=−3,x 2=2 ∵点A (−3,0),B (2,0)设直线AC 的解析式为y =kx +b 把点A (−3,0) C (0,4)代入得： {−3k +b =0b =4 解得：{k =43b =4 ∵直线AC 的解析式为y =43x +4；（2）解：如图 过点P 作PF ⊥x 轴于点F 交AC 于点G∵A (−3,0) C (0,4) ∵OA =3,OC =4∵AC =√OA 2+OC 2=5设点P (m,−23m 2−23m +4) 则点G (m,43m +4)∵OF =−m PF =−23m 2−23m +4 PG =(−23m 2−23m +4)−(43m +4)=−23m 2−2m ∵PE ∥AC ∵∠PEF =∠CAO ∵∠PFE =∠AOC =90° ∵△PEF∽△CAO ∵EF OA=PF OC即EF 3=−23m 2−23m+44解得：EF =−12m 2−12m +3 ∵AE =EF +OF −OA =−12m 2−32m∵PD ⊥AC∵∠PDG =∠AOC =90° ∵∠PGD +∠DPG =90°∵∠AGF +∠OAC =90°,∠AGF =∠PGD ∵∠DPG =∠OAC ∵△DPG∽△OAC ∵PG AC=PD OA即−23m 2−2m5=PD 3解得：PD =−25m 2−65m∵PD +AE =(−12m 2−32m)+(−25m 2−65m)=−910m 2−2710m =−910(m +32)2+8140 ∵当m =−32时 PD +AE 有最大值 最大值为8140；此时点P (−32,72)；（3）解：∵y =−23x 2−23x +4=−23(x +12)2+256∵原抛物线的顶点坐标为(−12,256)∵将该抛物线沿射线AC 方向平移103个单位后得到新抛物线∵相当于原抛物线沿x 轴向右平移2个单位 再沿y 轴向上平移83个单位后得到新抛物线 ∵新抛物线的解析式为y =−23(x +12−2)2+256+83=−23(x −32)2+416=−23x 2+2x +163∵新抛物线的对称轴为直线x=32设点M(32,s)N(t,−23t2+2t+163)若以对角线CM,PN为对角线有{t−322=0+322−2 3t2+2t+163+722=4+s2解得：{s=296t=3此时点M的坐标为(32,296)；若以对角线CN,PM为对角线有{0+t2=−32+3224−23t2+2t+1632=72+s2解得：{s=356t=0此时点M的坐标为(32,356)；若以对角线CP,MN为对角线有{0−322=t+322−2 3t2+2t+163+s2=72+42解得：{s=856t=−3此时点M的坐标为(32,856)；综上所述点M的坐标为(32,296)或(32,356)或(32,856)．6．（1）解：将点(−5,0)代入y=−x2−4x+c得：0=−25+20+c解得：c=5∵抛物线的表达式为：y=−x2−4x+5把x=0代入得：y=5∵点C的坐标为(0,5)；（2）解：过点P作PD⊥x轴于点D交AC于点F过点P作PE⊥AC于点E ∵A(−5,0)C(0,5)∵OA=OC=5∵∠OAC=45°∵PE⊥AC PD⊥x轴∵∠PEF=∠ADF=90°∵∠PFE =∠AFD ∵△PFE ∽△AFD∵∠EPF =∠OAC =45°在Rt △PEF 中 PE =PF ⋅cos45°=√22PF 设直线AC 的函数表达式为：y =kx +b将点A (−5,0) C (0,5)代入得：{0=−5k +b 5=b 解得：{k =1b =5∵直线AC 的函数表达式为：y =x +5设点P (t,−t 2−4t +5) 则F (t,t +5)∵PF =(−t 2−4t +5)−(t +5)=−t 2−5t =−(t +52)2+254 ∵当t =−52时 PF 有最大值 最大值为254∵PE =√22×254=25√28． 把x =−52代入y =−x 2−4x +5得：y =−254+10+5=354 ∵P (−52,354) 综上：点P 到直线AC 距离为25√28 此时P (−52,354)；（3）解：由（1）可得 抛物线的表达式为：y =−x 2−4x +5∵该抛物线是对称轴为直线x =−b2a =−2∵点N 再抛物线对称轴上 点M 在抛物线上∵设点N (−2,n ) M (m,−m 2−4m +5)①当AC 为平行四边形的对角线时∵A(−5,0)C(0,5)∵AC中点为(−52,5 2 )∵N(−2,n)M(m,−m2−4m+5)∵−2+m2=−52解得：m=−3∵−m2−4m+5=−(−3)2−4×(−3)+5=8∵M(−3,8)；②当AN为平行四边形的对角线时∵A(−5,0)N(−2,n)∵AN中点为(−72,n 2 )∵M(m,−m2−4m+5)C(0,5)∵m 2=−72解得：m=−7∵−m2−4m+5=−(−7)2−4×(−7)+5=−16∵M(−7,−16)③当AM为平行四边形的对角线时∵A(−5,0)M(m,−m2−4m+5)∵AN中点为(−5+m2,−m2−4m+52)∵N(−2,n)C(0,5)∵−2 2=−5+m2解得：m=3∵−m2−4m+5=−(3)2−4×3+5=−16∵M(3,−16)综上：点M的坐标为(−3,8)或(−7,−16)或(3,−16)．7．（1）解：令y=0则−x2+3x+4=0解得x=−1或4∵A(−1,0),B(4,0)∵OA=1,BO=4令x=0则y=4∵C(0,4)∵OC=4∵S△ABC=12×5×4=10；（2）解：∵OA=1,BO=4OC=4∵AB=5,AC=√17∵PE∥x轴∵∠PED=∠CBA∵PD∥AC∵∠EPD=∠CAB∵△ABC∽△PED∵ABPE =ACPD 即5PE =√17PD∵PD =√175PE 设直线BC 的解析式为y =kx +b∵{b =44k +b =0 解得{k =−1b =4∵直线BC 的解析式为y =−x +4设P (t,−t 2+3t +4) 则E (t 2−3t,−t 2+3t +4)∵PE =−t 2+4t∵PE +PD =(1+√175)(−t 2+4t )=−(1+√175)(t −2)2+4(1+√175) ∵当t =2时 PE +PD 的值最大 最大值为4+4√175此时P (2,6)； （3）解：∵原抛物线y =−x 2+3x +4向右平移2个单位 再向上平移8个单位得到新抛物线 ∵平移后的抛物线的解析式为y =−(x −72)2+574 联立方程组{y =−x 2+3x +4y =−x 2+7x +2 解得{x =12y =14∵M (12,214) 设N (x,y )①当PB 为平行四边形的对角线时{6=x +126=y +214 解得{x =112y =34∵N (112,34)；②当PM 为平行四边形的对角线时{2+12=x +46+214=y 解得{x =−32y =454∵N (−32,454)）；③当PN 为平行四边形的对角线时{x +2=4+126+y =214解得{x =52y =34∵N (52,−34)； 综上所述：N 点坐标为(112,34)或(−32,454)或(52,−34)．8．（1）解：把A (4,0) B (−1,0)代入y =ax 2+bx −4得：{16a +4b −4=0a −b −4=0解得{a =1b =−3∴抛物线的函数表达式为y =x 2−3x −4；（2）由题意可得C (0,−4) 则OC =4由题意可得直线AC 过点A (4,0) C (0,−4) 则设函数解析式为：y =kx +b 1依题意得：{0=4k +b 1−4=b 1解得：{k =1b 1=−4AC 的函数关系式为y =x −4令P (m,m 2−3m −4) 则E (m,m −4)∴PE =(m −4)−(m 2−3m −4)=−m 2+4m =−(m −2)2+4∵当m =2时 PE 的最大值为4．∵P (2,−6)；（3）存在．点Q 的坐标为(2,2)或(2,−2)或(−2,−10)．解：设Q (x,y ) 又A (4,0) C (0,−4) P (2,−6)当AC PQ 为平行四边形的对角线时 AC 与PQ 的中点重合∵{x +2=4+0y −6=0−4解得：{x =2y =2∵Q (2,2)；当AP CQ 为平行四边形的对角线时 AP 与CQ 的中点重合∵{x +0=0+2y −4=0−6解得：{x =2y =−2∵Q (2,−2)；当AQ CP 为平行四边形的对角线时 AQ 与CP 的中点重合∵{x +4=0+2y +0=−4−6解得：{x =−2y =−10∵Q (−2,−10)；综上所述 点Q 的坐标为(2,2)或(2,−2)或(−2,−10)．9．（1）解：解方程x 2−4x −5=0得x 1=−1，x 2=5 则A(−1，0)，B(5，0) 设抛物线解析式为y =a (x +1)(x −5)把C(0，−5)代入得−5=a ×1×(−5)解得a =1∵抛物线解析式为y =x 2−4x −5；（2）解：作NH ⊥x 轴于H 如图1设M(t ，0)∵MN ∥BC∴△AMN ∽△ABC∴AM ：AB =NH ：CO 即(x +1)：6=NH ：5∴NH =56(x +1) ∴S △CMN =S △ACM −S △AMN =12(x +1)⋅5−12⋅(x +1)⋅56(x +1)=−512x2+53x+2512=−512(x−2)2+154当x=2时△CMN的面积最大此时M点的坐标为(2，0)；（3）解：当x=4时y=x2−4x−5=−5则D(4，−5)如图2 当AF∥DE则E(0，−5)，CD=4∵AF=4∵此时F点坐标为(3，0)或(−5，0)；当EF∥AD，AD=EF时则点E和点D的纵坐标互为相反数即点E的纵坐标为5当y=5时x2−4x−5=5解得x1=2+√14，x2=2−√14若E点坐标为(2+√14，5)由于点A(−1，0)向右平移5个单位向下平移5个单位得到D点则E 点向右平移5个单位向下平移5个单位得到F点此时F点坐标为(7+√14，0)；若E点坐标为(2−√14，5)同样方法得到此时F点坐标为(7−√14，0)；总上所述满足条件的F点坐标为(3，0)或(−5，0)或(7+√14，0)或(7−√14，0)．10．（1）解：将点A(0，−4)B(4，0)代入y=12x2+bx+c得：{c=−48+4b+c=0解得：{c =−4b =−1∵该抛物线的函数表达式为：y =12x 2−x −4；（2）解：如图 设PD 交BC 于H∵A(0，−4) B(4，0)∵OA =OB =4∵∠OBA =∠OAB =45°∵PC∥OB PD∥OA∵∠BCP =∠OBA =45° ∠PHC =∠BHD =∠OAB =45° ∵PC =PH设直线AB 的解析式为y =kx +b 1则{b 1=−44k +b 1=0 解得：{b 1=−4k =1∵直线AB 的解析式为y =x −4设P (t ，12t 2−t −4) 则H(t ，t −4) D(t ，0)∵PC +PD =PH +PD=t −4−(12t 2−t −4)+(−12t 2+t +4)=−t 2+3t +4=−(t −32)2+254∵当t =32时 PC +PD 取得最大值254 此时P (32，−358)；（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为y =12(x +5)2−(x +5)−4=12x 2+4x +72E (−72，−358)∵F (0，72)∵抛物线y =12x 2+4x +72的对称轴为x =−4∵设M(−4，m) N (n ，12n 2+4n +72)分情况讨论：①当EF 为对角线时则−4+n =−72解得：n =12 此时12n 2+4n +72=458∵点N 的坐标为(12，458)；②当EM 为对角线时则−72−4=n 即n =−152此时12n 2+4n +72=138∵点N 的坐标为(−152，138)；③当EN 为对角线时则−72+n =−4 即n =−12此时12n 2+4n +72=138∵点N 的坐标为(−12，138)综上所述 点N 的坐标为(12，458)或(−152，138)或(−12，138)．11．（1）解；将A (−1,0) C (2,3)两点代入y =−x 2+bx +c 得 {0=−1−b +c 3=−4+2b +c 解得{b =2c =3∵y =−x 2+2x +3设直线AC 的解析式为y =kx +b将A (−1,0) C (2,3)两点代入得 {0=−k +b 3=2k +b 解得{k =1b =1∵y =x +1∵抛物线的解析式为y=−x2+2x+3直线AC的解析式为y=x+1；（2）解：当x=0y=3当x=1y=4当y=0x1=−1或x2=3∵N(0，3)D(1，4)抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)∵M(3，m)如图作直线l=3平行于y轴则M在直线l上作D关于直线l的对称点D′连接ND′与直线l交点为M连接DM由题意知D′(5，4)MD=MD′∵MN+MD=MN+MD′∵当N，M，D′三点共线时MN+MD的值最小且为ND′设直线ND′的解析式为y=px+q将N、D′点坐标代入得{3=q4=5p+q解得{p=15 q=3∵直线ND′的解析式为y=15x+3将M(3，m)代入得m=15×3+3=185∵m的值为185；（3）解：将x=1代入y=x+1得y=2∵B(1，2)BD=2设E(n，n+1)则F(n，−n2+2n+3)∵以B D E F 为顶点的四边形为平行四边形∵EF =BD∵|EF |=|n 2−n −2|=2①当n 2−n −2=−2 解得n 1=0 n 2=1（与B 重合 舍去） ∵n =0 则E(0，1) F(0，3)②当n 2−n −2=2 解得n 3=1+√172 n 4=1−√172∵n =1+√172 则E (1+√172，3+√172) F (1+√172，√17−12)n =1−√172 则E (1−√172，3−√172) F (1−√172，−√17−12)综上所述 以B D E F 为顶点的四边形能为平行四边形 E(0，1)F(0，3)或E (1+√172，3+√172) F (1+√172，√17−12)或E (1−√172，3−√172) F (1−√172，−√17−12)．12．（1）解：∵直线y =4x +4与x 轴交于A 点 与y 轴交于C 点∵A(−1，0) B(0，4)∵抛物线y =ax 2+83x +c (a ≠0)）经过A C 两点∵{a (−1)2+83×(−1)+c =0c =4解得{a =−43c =4∵抛物线的解析式为：y =−43x 2+83x +4（2）解：取C 关于对称轴的对称点C ′ 对称轴x =−b2a =1∵C ′(2，4)解方程−43x 2+83x +4=0得到x 1=−1，x 2=3∵B(3，0)∵CD =C ′D∵当D 、C ′、B 共线时 |CD −BD |有最大值BC ′∵BC ′=√(3−2)2+42=√17∵故答案为：√17；（3）解：过点P做PM⊥x轴交BC于点M 设直线BC的解析式为：y=kx+4∵B(3，0)∵k=−43∵直线BC的解析式为y=−43x+4设P(m，−43m2+83m+4)则M(m，−43m+4)∵PM=−43m2+83m+4+43m−4=−43m2+4m=−43(m−32)2+3∵当m=32时PM有最大值3∵y P=−43×(32)2+83×32+4=5∵PM∥y轴∵∠PMQ=∠OCB∵BC=√OB2+OC2=5∵sin∠PMQ=PQPM =OBBC=sin∠OCB∵PQ=PM⋅OBBC =35PM∵当PM最大时PQ最大∵此时P(32，5)；（4）解：①BC为对角线∵BM∥CN BM在x轴上∵CN∥x轴N为C的对称点∵N(2，4) CN =2∵BM =2∵M(1，0)②BC 为边 BN 为对角线 设M(m ，0) N (n ，−43n 2+83n +4)∵{3+n =m +00−43n 2+83n +4=4+0∵n =2或n =0（舍去）∵m =5∵M(5，0)③BC 为边 CN 为对角线 设M(m ，0) N (n ，−43n 2+83n +4) ∵{3+m =n +00+0=−43n 2+83n +4+4∵n =1±√7∵m =−2±√7∵M(−2+√7，0)或M(−2−√7，0)综上可得到：M 1(1,0) M 2(5,0) M 3(−2−√7,0) M 4(√7−2,0)．13．（1）解：将A(−1， 0) 点B(3，0)代入y =ax 2+bx +√3(a ≠0)得{a −b +√3=09a +3b +√3=0解得{a =−√33b =2√33∴该抛物线的解析式为y =−√33x 2+2√33x +√3； （2）解：∵ tan∠CBO =CO BO =√33∴ ∠CBO =30°∵DP∥x 轴∴ ∠PDE =∠CBO =30°．又由题知△PDE 是直角三角形 ∠DPE =90°∴ PD =PEtan30°=√3PE∴ PD +PE =(√3+1)PE当PE 最大时 PD +PE 的长最大设直线BC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0)∵直线BC 经过点B(3，0) C(0，√3)代入y =kx +b (k ≠0)得：{0=3k +b b =√3解得{k =−√33b =√3∴y =−√33x +√3 设P (m ，−√33m 2+2√33m +√3) 则E (m ，−√33m +√3) ∴PE =−√33m 2+√3m =−√33(m −32)2+3√34∵−√33<0 ∴当m =32时 PE 有最大值 PE max =3√34 ∴(PD +PE )max =9+3√34 此时P (32，5√34)； （3）解：由（2）得B(3，0) C(0，√3)∵BC 中点的坐标为(32，√32) ∵可以看作点C 向右移动32个单位长度 向下移动√32个单位长度∵抛物线经过点C 平移后的抛物线经过中点∵y =−√33x 2+2√33x +√3=−√33(x −1)2+4√33 ∵平移后的抛物线的解析式为：y=−√33(x −1−32)2+4√33−√32=−√33(x −52)2+5√36对称轴为x =52∵与x 轴的交点坐标为M (52，0)设点Q 的坐标为：(m ，−√33(m −52)2+5√36)当MQ 为平行四边形的对角线时 如图所示：对角线的交点仍在直线BC 上∵MQ 的中点为(52+m 2,−√33(m−52)2+5√362) 代入直线解析式得：−√33(x −52)2+5√362=−√33(52+x 2)+√3 解得：m 1=6+√72 m 2=6−√72；当MQ 为平行四边形的边时 MQ∥BC设直线MQ 的解析式为y =cx +d 且c =−√33 将点M (52，0)代入得0=−√33×52+d 解得：d =5√36∵直线MQ 的解析式为y =−√33x +5√36 将点Q 代入得：−√33(m −52)2+5√36=−√33m +5√36解得：m 3=6+√112综上可得：点Q 的横坐标为：6+√112或6−√112或6+√72或6−√72．14．（1）解：将A(−3,0) B(1,0) C(0,3)三点代入解析式得{a +b +c =09a −3b +c =0c =3解得：a =−1 b =−2 c =3∵y =−x 2−2x +3；（2）解：设AC 解析式为y =kx +b将A(−3,0) C(0,3)代入解析式可得{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∵y =x +3∵点P 的横坐标为t∵P(t,−t 2−2t +3)∵PD ⊥AB∵E(t,t +3)∵PE =−t 2−2t +3−(t +3)=−t 2−3t =−(t +32)2+94 ∵A(−3,0) C(0,3)∵∠CAB =∠ACB =45°∵PD ⊥AB PF ⊥AC∵∠CAB =∠AED =∠PEF =∠FPE =45°∵△PEF 是等腰直角三角形过F 作FG ⊥PE∵FG ⊥PE∵FG =12PE∵S △PEF =12×PE ×FG =14PE 2∵当t =−32时 面积最大S△PEF最大=14×(94)2=8164；（3）解：由（1）得x 对=−−22×(−1)=−1设Q(−1,m)∵点A P C Q为顶点的四边形是平行四边形①当AC为对角线时P点坐标为P(−2,3−m)∵3−m=−(−2)2−2×(−2)+3=3解得：m=0P1(−2,3)；②当AQ为对角线时P点坐标为P(−4,m−3)∵m−3=−(−4)2−2×(−4)+3=−5解得：m=−2P2(−4,−5)；③当CQ为对角线时P点坐标为P(2,3+m)∵3+m=−22−2×2+3=−5解得：m=−8P3(2,−5)；综上所述：P 1(−2,3) P 2(−4,−5) P 3(2,−5)；15．（1）解：∵点A 的坐标为(−2,0) 点C 的坐标为(−1,−4) ∵{4−2b +c =01−b +c =−4 解得：{b =−1c =−6∵二次函数的表达式为y =x 2−x −6；令y =0 则x 2−x −6=0解得：x 1=3,x 2=−2∵点B 的坐标为(3,0)；（2）解：如图∵点B 的坐标为(3,0)∵OB =3设直线l 的解析式为y =k 1x +b 1把点(3,0) (−1,−4)代入得：{0=3k 1+b 1−4=−k 1+b 1 解得：{k 1=1b 1=−3∵直线l 的解析式为y =x −3∵四边形OBPQ 为平行四边形∵PQ ∥OB,PQ =OB =3∵PQ ∥x 轴设点P 的坐标为(m,m 2−m −6) 则点Q 的坐标为(m,m −3) ∵PQ =(m −3)−(m 2−m −6)=−m 2+2m +3∵−m 2+2m +3=3解得：m =2或0（舍去）∵点P 的坐标为(2,−1)；（3）解：对于y=x2−x−6令x=0y=−6∵点D的坐标为(0,−6)∵OD=6∵点A(−2,0),B(3,0)∵AB=5,BD=√32+62=3√5AD=√22+62=2√10如图过点A作AE⊥BD于点E∵S△ABD=12OD×AB=12AE×BD∵AE=2√5∵DE=√AD2−AE2=2√5∵AE=DE∵△ADE是等腰直角三角形∵∠ADB=45°∵∠MAB=∠ADB∵∠MAB=45°过点M作MF⊥x轴于点F∵△AFM是等腰直角三角形∵AF=FM设点M的坐标为(t,t2−t−6)∵FM=|t2−t−6|,AF=t+2∵|t2−t−6|=t+2解得：t=−2（舍去）或2或4∵点M的坐标为(2,−4)或(4,6)．16．解:（1）∵抛物线y=12x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A B两点．其中点A(−2,0)点B(4,0)∵y=12(x+2)(x−4)=12x2−x−4（2）将A(−2,0)代入l:y=−12x+n得：0=−12×(−2)+n解得：n=−1∵y=−12x−1令x=0解得：y=−1∵D(0,−1)如图所示过点P作PE⊥x轴交l于点E设P(t,−12t2−t−4)则E(t,−12t−1)∵PE=−12t−1−(−12t2−t−4)=−12t2+12t+3∵S△PAD=12|x D−x A|⋅PE=12×2×(−12t2+12t+3)=−12t2+12t+3=−12(t−12)2+258∵对称轴为t=12且−2<t<3∵△PAD面积最大值为258此时P(12,−358)；（3）∵点A(−2,0)点B(4,0)关于x=1对称则抛物线y=12x2−x−4的对称轴为直线x=1∵将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1∵则平移后新抛物线y1的对称轴为直线x=2设E(2,m)F(t,12t2−t−4)①若以PF为对角线时{12+t=2+0−358+12t2−t−4=m−1解得：t=32∵F(32,−358)②PE为对角线时2+12=t+0解得：t=52当t=52时12t2−t−4=−278∵F(52,−278)③若以PD为对角线时12+0=2+t解得：t=−32当t=−32时12t2−t−4=118∵F(−32,−118)综上所述F(32,−358)或F(52,−278)或F(−32,−118)．17．（1）解：∵y=−x2−2x+3令y=−x2−2x+3=0解得x1=1x2=−3即A(1,0)B(−3,0)把x=0代入y=−x2−2x+3中得y=−3即C(0,−3)∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4∵对称轴是直线x=−1顶点D(−1,4)设对称轴与x轴交于点F∵BF=2DF=4BD=2√5∵CE∥BD∵∠BDE=∠CED在Rt△BDF sin∠DEC=sin∠BDF=BFBD =22√5=√55．（2）解：存在∵点P在抛物线上点E在对称轴上∵可设P(m,−m2−2m+3)E(−1,n)B(−3,0)①以BC为对角线时由平行四边形的对角线互相平分；则x B+x C=x P+x E∵−3+0=−1+m解得m=−2即P(−2,3)；同理②以BE为对角线时−3+(−1)=0+m解得m=−4即P(−4,−5)；③以BP为对角线时−3+m=0+(−1)解得m=2即P(2,−5)；综上所述存在P(−2,3)P(−4,−5)P(2,−5)使得点B E C P为顶点的四边形是平行四边形；（3）解：如图所示过点A作AH⊥DB于点H交对称轴于点E连接AE并延长交第二象限抛物线为点M在Rt △DHE 中 sin∠HDE =HE DE ∵HE =sin∠HDE ×DE =√55DE ∵AE +√55DE =AE +HE∵要AE +√55DE 取得最小值 即要AE +HE 最小 ∵当点A E H 三点共线且AH 垂直BD 时AE +HE 最小此时AE +√55DE 最小 在Rt △DHE Rt △EFA 中 ∠HDE =∠FAE∵tan∠BDE =tan∠FAE =24=EF AF =EF2∵EF =1 即E (−1,1)∵A (1,0)设直线AE 的解析式为：y =kx +b则{−k +b =1k +b =0解得：{k =−12b =12∵AE 的解析式为：y =−12x +12 联立{y =−12x +12y =−x 2−2x +3解得{x =−52y =74或{x =1y =0 （舍去）∵M (−52,74)∵AM =√(1+52)2+(74)2=7√54．18．解:（1）∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (−1,0) B (3,0)∵{−1−b +c =0−9+3b +c =0解得{b =2c =3∵y =−x 2+2x +3（2）当x =0时 y =−x 2+2x +3=3∵点C 的坐标是(0,3)∵OC =3∵四边形CPQE 为平行四边形 E 为OC 中点∵PQ =CE =32设直线BC 的解析式为y =kx +b则{3k +b =0b =3∵直线BC 的解析式为y =−x +3设P(m ，−m 2+2m +3)∵Q(m ，−m +3)∴PQ =−m 2+3m =32∴m =3±√32 ∵点P 的横坐标为3±√32； （3）∵PH ∥AC∵S 1S 2=MH CM =PHAC∴S 1S 2+S 2S 3=2PH AC作AN ∥BC 交y 轴于N 作PQ ∥y 轴交BC 于Q∵∠PQH =∠NCB =∠ANC ∠PHC =∠ACH,ON OC =AO BO ∵ON3=13 ∵ON =1,CN =ON +CO =4,∵∠PHC =∠HPQ +∠PQH ∠ACH =∠NCB +∠ACN∵∠HPQ =∠ACN∵△CAN ∽△PHQ设P (n,−n 2+2n +3) 则Q (n,−n +3)∵PQ =−n 2+3n∴S 1S 2+S 2S 3=2PH AC =2PQCN =2PQ4=−n 2+3n2=−12(n −32)2+98． ∵S 1S 2+S 2S 3最大值98． 即S 1S 2+S 2S 3存在最大值 最大值为98． 19．（1）解：∵抛物线y =−12x 2+bx +c 与x 轴交于A (−2,0) B (4,0)两点（点A 在点B 的左侧）∴{−12×(−2)2−2b +c =0−12×42+4b +c =0 解得：{b =1c =4∴抛物线的函数表达式为y =−12x 2+x +4；（2）解：∵抛物线y =−12x 2+x +4与y 轴交于点C∴C (0,4)∴OC =4设直线BC 的解析式为y =kx +d 把B (4,0) C (0,4)代入 得：{4k +d =0d =4解得：{k =−1d =4∴直线BC 的解析式为y =−x +4如图1 过点P 作PD∥y 轴交BC 于点D设P (m,−12m 2+m +4) 则D (m,−m +4)∴PD =−12m 2+m +4−(−m +4)=−12m 2+2m ∵PD∥OC∴△PDQ∽△OCQ∴PQ OQ =PD OC =−12m 2+2m 4=−18(m −2)2+12∴当m =2时 PQOQ 取得最大值12 此时 P (2,4)； （3）解：∵向右平移1个单位 再向上平移2个单位得新抛物线y ′∴新抛物线解析式为y ′=−12(x −2)2+132=−12x 2+2x +92 对称轴为直线x =2 设M (t,−12t 2+2t +92) N (2,s )①当BC 为▱BCN 1M 1的边时则BC∥MN BC =MN∴{t −2=4s =−12t 2+2t +92+4 解得：{t =6s =52∴N 1(2,52)；②当BC 为▱BCM 2N 2的边时则BC∥MN BC =MN{t −2=−4s =−12t 2+2t +92−4解得：{t =−2s =−112∴N 2(2,−112)；③当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时则{t +2=4−12t 2+2t +92+s =4解得：{t =2s =−52∴N 3(2，−52)；综上所述 N 点的坐标为： (2,52)或(2,−112)或(2，−52)．20．（1）解：将A(−1，0)、B(3，0)代入y =ax 2+bx +3(a ≠0)得{0=a −b +30=9a +3b +3解得 {a =−1b =2∵抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；（2）解：如图1 连接CB 交l 于M ′ 连接AM ′由题意知 抛物线的对称轴为直线x =1 MA +MC =M ′A +M ′C =M ′B +M ′C∵当C ，M ′，B 三点共线时 MA +MC =BC 此时值最小当x =0时 y =3∵C(0，3)在Rt △BOC 中 由勾股定理得BC =√OB 2+OC 2=3√2∵MA +MC 值最小为3√2；设直线BC 的解析式为y =kx +b将(0，3) (3，0)代入得 {3=b 0=3k +b解得 {k =−1b =3∵直线BC 的解析式为y =−x +3当x =1时 y =2∵M(1，2)∵MA +MC 的最小值为3√2 M(1，2)；（3）解：设Q(1，m) 以点E F P Q 为顶点的四边形为平行四边形时 分两种情况求解： ①EF 为平行四边形的边；如图2 四边形EFP 1Q 1为平行四边形∵FP1∥EQ1FP1=EQ1∵P1(2，3)EQ1=FP1=2∵Q1(1，2)；如图3 四边形EFQ2P2为平行四边形)则P2(0，m−1)∵EQ2的中点坐标为(1，m2当x=0时y=3则P2(0，3)∵m−1=3解得m=4∵Q2(1，4)；②EF为平行四边形的对角线；如图4 四边形EQ3FP3为平行四边形。

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线212y x mx n =-++交x 轴于点(4,0)A -和点B ，交y 轴于点(0,2)C ，点(,)P x y 在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当点P 的坐标为(2,3)-时，求BCP 的面积；(3)请过点P 作PQ x ⊥轴，交直线AC 于点Q ，是否存在点P ，使得四边形PQOC 是平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)x 轴上，是否存在一点M ，使BCM 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线与x 轴交于()()1200A x B x ，，，两点，且12x x <，与y 轴交于点()05C -，，其中12x x ，是方程2450x x --=的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点()4D k ，在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴是否存在点F ，使以A ，D ，E ，F 四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2=23y x x --交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)求图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有两个交点，请结合图象，求b 的值或b 取值范围：(3)P 为线段OB 上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，在平面内存在点Q ，使以C ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++经过()1,0A -，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求a ，c 的值；(2)已知F 是抛物线上位于第一象限的点，若在线段OB 上有一点D ，使四边形DCFE 是以CD 为一边的矩形，设F 点横坐标为t ，①求OD 的长（用t 表示）；①当矩形DCFE 的顶点E 恰好也落在该抛物线上时，请求出t 的值．5．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式； (2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线222433y x x =--+与x 轴交于A ，B ．两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，直线y kx b =+经过点A ，C ．(1)求直线AC 的解析式；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，求PD AE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问PD AE +取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC 方向平移103个单位后得到新抛物线，点M 为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N ，使得以点P ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A 和()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD PE +的值最大时，求此时点P 的坐标和5PD PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 9．已知抛物线1C ：22y ax ax c =-+经过点()2,3，与x 轴交于()1,0A -、B 两点．(1)求抛物线1C 的解析式；(2)如图1，已知()0,1E -，以A E C D 、、、为顶点作平行四边形，若C D 、两点都在抛物线上，求C D 、两点的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 沿x 轴平移，使其顶点在y 轴上，得到抛物线2C ，过定点()0,2H 的直线交抛物线2C 于M N 、两点，过M N 、的直线MR NR 、与抛物线2C 都只有唯一公共点，求证：R 点在定直线上运动． 10．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2<0y ax bx c a =++与x 轴交于()()2,04,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且2OC OA =．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接CP ，CPM ∆的面积记为PCM S ∆，CDM ∆的面积记为CDMS，记CPMCDMS m S ∆∆=，试求m 的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P D Q N 、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线()213022y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．(1)如图1，若5AB=，则n的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若:1:4AE ED=，求n．14．图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2y x bx c=-++经过()1,0A-，()3,0B两点．P是抛物线上一点，且在直线BC的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点E为OC中点，作PQ y∥轴交BC于点Q，若四边形CPQE为平行四边形，求点P的横坐标；(3)如图3，连结AC AP、，AP交BC于点M，作PH AC∥交BC于点H．记PHM，PMC△和CAM的面积分别为123,,S S S．判断1223S SS S+是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于()10A-，、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且3OC OA=，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点F 为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E ，使得以点C 、D 、E 、F 为顶点的四边形是以CD 为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =--+(2)1.5(3)存在 (2,3)-(4)存在 ()115,0M - ()251,0M + ()31,0M - 43,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)245y x x =--(2)()20，(3)()30，或()50-，或()7140+，或()7140-，3．(1)223y x x =-++ (2)13b -<<或214b >(3)(0,3)或(2,3)或(0,132)+4．(1)a ，c 的值分别为1-，3(2)①OD 的长为36t -+；①32- 5．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6．(1)443y x =+ (2)PD AE +的最大值为8140；此时点37,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)329,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或335,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或385,26⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为2528，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-8．(1)2712y x x =-++ (2)5PD PE +的最大值为9，此时点P 的坐标为57,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为21535,424N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或21535,424⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或329,420N ⎛⎫⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++(2)(1,4),(2,3)C D 或(1,4),(2,5)C D --或(2,5)C -- ()1,4D10．(1)22(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF 的周长有最大值，最大值为92944+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()355-+，或()355---，或()1,4M11．(1)该抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)m 的最大值为23，此时点P 的坐标为（2,4）； (3)N 点的坐标为732⎛⎫⎪⎝⎭，或()6-3，．12．(1)224233y x x =-++；(2)102133+ (3)点M 的坐标为()2,2或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．13．(1)2(2)11(2，395),(82- 39)8）(3)278n =14．(1)223y x x =-++ (2)332± (3)存在；9815．(1)223y x x =-++ (2)存在，点E 的横坐标为：51456+或53。

2018年陕西中考数学专题复习二次函数与四边形判定

2018年陕西中考数学专题复习二次函数与四边形判定

二次函数与特殊四边形判定★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，D 是抛物线W 的顶点.(1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标；(2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)∵抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，∴y ＝14x 2－x ＝14(x 2－4x ＋4)－1＝14(x －2)2－1，∴其顶点D 的坐标为(2，－1)，当把抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位得到抛物线W ′，则抛物线W ′的顶点F 的坐标为(6，－52)，∴抛物线W ′的表达式为y ＝14(x －6)2－52；(2)存在.如解图，∵以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴DF ∥MN ，且DF ＝MN ，∵点D 与点F 的纵坐标之差为－1－(－52)＝32，横坐标之差为2－6＝－4，且点M 在x 轴上，∴点N 到x 轴的距离为32，且点N 在抛物线W ′上，∵点F 到x 轴的距离为52>32，∴分点N 在x 轴上方和x 轴下方两种情况进行讨论，第1题解图①当点N 在x 轴上方时，即点N 的纵坐标为32，将y ＝32代入y ＝14(x －6)2－52，解得x 1＝2，x 2＝10，即点N 的坐标为(2，32)和(10，32)，∵点N 在点M 左侧，横坐标之差为－4，∴点M 的坐标为(6，0)和(14，0)；②当点N 在x 轴下方时，即点N 的纵坐标为－32，同①解得点N 的坐标为(4，－32)和(8，－32)，∵点N 在点M 右侧，横坐标之差为－4，∴点M 的坐标为(0，0)和(4，0).综上所述，满足条件的点M 共有4个，分别为M 1(6，0)、M 2(14，0)、M 3(0，0)、M 4(4，0).★2.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点A(－1，0)、B (0，1)，且与x 轴有唯一交点.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式；(2)若将(1)中的抛物线沿y 轴向下平移m 个单位后与x 轴的两个交点分别为C 、D (点C 在点D 的左边)，当∠CBD ＝90°时，求m 的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E ，使以C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-04102ac b c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===121c b a ，∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1；(2)由题可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1－m ， ∵∠CBD ＝90°，点A 是CD 的中点，AB ＝2，∴AC ＝AD ＝AB ＝2，∴C (－1－2，0)，D (－1＋2，0)，将点C 的坐标代入y ＝x 2＋2x ＋1－m ，解得m ＝2；(3)存在.由(2)可知，平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋2x－1.第2题解图分两种情况讨论：①当CD为对角线时，如解图，连接BA并延长至点E，使AE＝BA，连接CE、DE.可得点E的坐标为(－2，－1)，在抛物线y＝x2＋2x－1中，当x＝－2时，y＝－1，∴点E在平移后的抛物线上，且BE＝CD，∴存在点E(－2，－1)，使四边形BDEC是矩形；②当BD或BC为对角线时，由∠CBD＝90°可知，不存在满足题意的点E.综上所述，平移后的抛物线上存在点E(－2，－1)，使以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形.★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)求抛物线的表达式；(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；(3)是否存在过A 、B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，∴抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3；(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点M 的坐标为(1，－4).∵M 与M ′关于x 轴对称，∴点M ′的坐标为(1，4).设直线AM ′的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A (－1，0)，点M ′(1，4)代入得⎩⎨⎧=+=+-40m k m k ， 解得⎩⎨⎧==22m k ， ∴直线AM ′的解析式为y ＝2x ＋2，与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得⎩⎨⎧--=+=32222x x y x y ， 解得⎩⎨⎧=-=0111y x ，⎩⎨⎧==12522y x ， ∴点C 的坐标为(5，12)，又AB ＝4，∴S △ABC ＝12×4×12＝24；(3)存在.∵四边形APBQ 是正方形，∴PQ 垂直且平分AB ，AB 垂直且平分PQ ，且PQ ＝AB ，设PQ 与x 轴交点为N ，则PN ＝12AB ＝2，∴点P 的坐标为(1，2)或(1，－2).设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点(1，2)代入得a ＝－12，此时抛物线表达式为y ＝－12(x ＋1)(x －3)＝－12x 2＋x ＋32；将点(1，－2)代入得a ＝12，此时抛物线表达式为y ＝12(x ＋1)(x －3)＝12x 2－x －32.故存在符合条件的抛物线，使得四边形APBQ 为正方形，抛物线表达式为y ＝－12x 2＋x ＋32或y ＝12x 2－x －32.★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE 的边AB 在x 轴上，A (－1，0)，OB ＝4OA ，OE ＝2，抛物线C 经过△ABE 的三个顶点．(1)求抛物线C 的表达式；(2)将抛物线C 向下平移m 个单位得到抛物线C ′，使抛物线C ′与直线BE 有且只有一个公共点M ，试求点M 的坐标及m 的值；(3)若点P 是抛物线C ′上一点，Q 是y 轴上一点，是否存在这样的点P ，使得以点A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图【思维教练】(1)要求抛物线C的表达式，可由A、B、E三点坐标，考虑利用待定系数法求出，根据点A的坐标及OB＝4OA，即可求得点B的坐标，由OE＝2，即可求得点E坐标；(2)要求公共点M及平移单位m的值，可先根据平移的性质求出平移后含m的表达式，再根据已知抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，可考虑利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，则联立抛物线C′的表达式与BE的解析式，即可求解；(3)要判断是否存在这样的点P使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则考虑到点A、M点为定点，即可分①若AM为对角线，点P和点Q为所对顶点；②若AM 为边，点A和点P为所对顶点；③若AM为边，点A和点Q为所对顶点三种情况进行分类讨论即可．解：(1)∵点A的坐标为(－1，0)，OB＝4OA，∴OB＝4，∴B(4，0)，∵OE＝2，∴E(0，2)．设经过抛物线C的表达式为y＝ax2＋bx＋c，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=c c b a c b a 241600， 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a ， ∴抛物线C 的表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)∵将抛物线C 向下平移m 个单位得到抛物线C ′，∴抛物线C ′的函数表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2－m .设直线BE 的表达式为y ＝kx ＋h ，则⎩⎨⎧+=+=hk h 4002， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=221h k ，∴直线BE 的表达式为 y ＝－12x ＋2.∵直线BE 和抛物线C ′有且只有一个公共点，∴方程－12x 2＋32x ＋2－m ＝－12x ＋2有且仅有一个实根，即x 2－4x ＋2m ＝0 有且仅有一个实根，∴b 2－4ac ＝16－8m ＝0，即m ＝2，∴抛物线C ′的表达式为y ＝－12x 2＋32x ，令x 2－4x ＋4＝0 ，解得x ＝2，则y ＝1，即点M 的坐标为(2，1)；(3)存在这样的点P ，使得以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形.如解图所示，设点P 坐标为(m ，－12m 2＋32m )，点Q 坐标为(0，n )．第4题解图①若AM 为对角线，点P 和点Q 为所对顶点，则()⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--=--n m m m 1023212102，解得⎩⎨⎧==01n m ， ∴P 1(1，1)，Q 1(0，0)；②若AM 为边，点A 和点P 为所对顶点则()⎪⎩⎪⎨⎧-=-+---=-0123211202n m m m ， 解得⎩⎨⎧-==13n m ， ∴P 2(3，0)，Q 2(0，－1)；③若AM 为边，点A 和点Q 为所对顶点，则()⎪⎩⎪⎨⎧-=+----=-01)2321(1202m m n m ， 解得⎩⎨⎧-=-=83n m ， ∴P 3(－3，－9)，Q 3(0，－8)．综上所述，满足题意的点P 共有3个，分别为P 1(1，1)，P 2(3，0)，P 3(－3，－9)．★5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的菱形，且∠AOC ＝60°.(1)求过O 、A 、C 三点的抛物线表达式；(2)记(1)中所求抛物线为L ，若将菱形OABC 绕点O 旋转60°，得到新的菱形OA ′B ′C ′，请你求出过A ′、B ′、C ′三点抛物线的表达式L ′，并写出由抛物线L 到抛物线L ′的平移方式.第5题图解：(1)连接AC ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，如解图①所示.第5题解图①∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝OC ＝2，又∵∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝2OD ＝2，CD ＝OC ·sin60°＝2×32＝3，∴点C 的坐标为(1，3)，点A 的坐标为(2，0)，设过O 、A 、C 三点的抛物线表达式为y ＝ax (x －2)，将点C 坐标代入其中有：3＝a (1－2)，解得a ＝－3，∴过O 、A 、C 三点的抛物线表达式为： y ＝－3x (x －2)＝－3x 2＋23x ；第5题解图②(2)如解图②所示，分两种情况进行讨论：①当菱形OABC绕点O顺时针旋转60°时，记得到新的菱形OA′B′C′为OA1B1C1.由旋转的性质及菱形的性质可知OC1与OA重合，∴点C1的坐标为(2，0)，过点A1、B1向x轴作垂线，垂足分别为点E、F.由题意可知OE＝OA1·cos∠A1OC1＝2×12＝1，A1E＝OA1·sin∠A1OC1＝2×32＝3，同理，C1F＝1，B1F＝3，OF＝OC1＋C1F＝2＋1＝3，∴点A1的坐标为(1，－3)，点B1的坐标为(3，－3).设过点A1、B1、C1三点的抛物线表达式为y＝a1(x－2)2，将点A1的坐标代入所设抛物线表达式中有：－3＝a1(1－2)2，解得：a1＝－3，∴菱形OABC绕点O顺时针旋转60°后，过A′、B′、C′三点的抛物线表达式为y＝－3(x－2)2＝－3x2＋43x－43；②当菱形OABC绕点O逆时针旋转60°时，记得到新的菱形OA′B′C′为OA2B2C2.∴点B2在y轴上，由旋转的性质及菱形的性质可知OA2与OC重合，即点A2与点C重合，即A2(1，3)，过点A2作y轴的垂线，垂足为点G.∴根据菱形的性质可知OB 2＝2OG ，OG ＝OA 2·cos ∠A 2OG ＝2×32＝3，故OB 2＝2OG ＝23，∴点B 2的坐标为(0，23)，设过点A 2、B 2、C 2的抛物线表达式为y ＝a 2x 2＋23，将点A 2(1，3)代入表达式中有3＝a 2＋23，解得a 2＝－3， ∴过点A 2、B 2、C 2的抛物线的表达式为y ＝－3x 2＋2 3.根据题意可知抛物线L 为y ＝－3x (x －2)＝－3x 2＋23x ＝－3(x －1)2＋3，抛物线L ′分别记为：L 1：y ＝－3(x －2)2，L 2：y ＝－3x 2＋2 3.L 移动到L 1的平移方式：抛物线L 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位；L 移动到L 2的平移方式：抛物线L 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位.★6.如图，抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋b 4的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .(1)直接写出点C 的坐标；(2)当AB ＝OB 时，求出抛物线L 的表达式；(3)若将抛物线L 绕原点O 旋转180°后，得到抛物线L ′，其中点A 对应A ′，点B 对应B ′，点C 对应C ′，若以点A 、C 、A ′、C ′为顶点的四边形是正方形时，请求出抛物线L ′的表达式.第6题图【思维教练】(1)根据抛物线表达式及其图象与坐标轴的交点特征得知点C 的坐标为(0，b 4)；(2)令y ＝0，求出x 的值，进而表示出点A 、B的坐标，然后根据AB ＝BO 的关系求出b 的值即可；(3)根据正方形的性质可知OA ＝OC ，求出b 的值，从而结合抛物线旋转后的特征可得出抛物线L ′的表达式.解：(1)(0，b 4)；(2)令y ＝0，有－x 2＋bx ＋b 4＝0， 解得：x 1＝b ＋b 2＋b 2，x 2＝b －b 2＋b 2. ∵抛物线L 的图象与y 轴交于负半轴，∴b ＜0，而点A 在点B 的左边，故点A 的坐标为(b －b 2＋b 2，0)， 点B 的坐标为(b ＋b 2＋b 2，0)，又∵AB ＝OB ， ∴b －b 2＋b 2＝2×b ＋b 2＋b 2， 解得b 1＝0(舍去)，b 2＝－98，∴抛物线L 的表达式为：y ＝－x 2－98x －932； (3)如解图所示，∵四边形ACA ′C ′为正方形，∴OC ＝OA ，∴A (b 4，0)，代入抛物线L 的表达式中有：0＝－(b 4)2＋b ·b 4＋b 4，解得：b ＝－43或b ＝0(舍去)，∴A (－13，0)，C (0，－13)，第6题解图又∵将抛物线L 绕原点O 旋转180°后，得到抛物线L ′，其中点A 对应A ′，点B 对应B ′，点C 对应C ′，∴A ′(13，0)，C ′(0，13)，设抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋ax ＋13，将点A ′(13，0)代入有：0＝(13)2＋13a ＋13，解得：a ＝－43；∴抛物线L ′的表达式为：y ＝x 2－43x ＋13二次函数与特殊四边形判定★1.已知在平面直角坐标系中，抛物线L ：y ＝a (x ＋1)(x ＋3)与x 轴交于A 、B 两点，其中a ＞0，点A 在点B 的左侧，且抛物线L 的顶点为C .(1)求点A 、B 的坐标；(2)用含a 的式子表示抛物线L 顶点C 到x 轴的距离；(3)记抛物线L 关于原点O 中心对称的抛物线为L ′，且抛物线L ′与x 轴的交点为A ′、B ′，其中点A 与点A ′为对应点，点B 与点B ′为对应点，点C ′为抛物线L ′的顶点.若四边形ACA ′C ′为矩形，请你求出抛物线L ′的表达式.【思维教练】(1)要求点A 、B 的坐标，结合已知抛物线的表达式为交点式，令y ＝0求解即可；(2)要求顶点C 到x 轴的距离，即求点C 纵坐标的绝对值，由(1)知点A 、B 的坐标，进而可求出抛物线的对称轴，即可求得点C 的横坐标，将其代入抛物线的表达式，可求出其纵坐标，再结合已知a ＞0，即可求解；(3)过点C ′作C ′D ⊥x 轴于点D ，根据中心对称的性质，结合已知条件可设抛物线L ′的表达式为y ＝－a (x －1)(x －3)，故要求抛物线L ′的表达式，只需求出a 的值，结合点C ′的纵坐标即为C ′D 的值， 而C ′D 的值可通过证明△AC ′D 与△C ′A ′D 相似，列比例关系式C ′D AD ＝A ′D C ′D 进行求解，A ′D 、AD 的值可根据点A 、A ′、D 的坐标求得，进而抛物线L ′的表达式可求.解：(1)∵抛物线L ：y ＝a (x ＋1)(x ＋3)与x 轴交于A 、B 两点， ∴令y ＝0，即a (x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－3， ∵点A 在点B 的左侧，∴点A (－3，0)，点B (－1，0)；(2)由(1)知点A (－3，0)，点B (－1，0)，∴抛物线L 的对称轴为直线x ＝x A ＋x B 2＝－3＋（－1）2＝－2， ∴顶点C 的横坐标为－2，将其代入到抛物线L 的表达式y ＝a (x ＋1)(x ＋3)中得：y ＝－a ，∴顶点C (－2，－a )，又∵a ＞0，∴点C 到x 轴的距离为a ；(3)由(1)知，点A (－3，0)， B (－1，0)，∴点A ′(3，0)，B ′(1，0)，由(2)知，点C (－2，－a )，∴点C ′(2，a )，故设抛物线L ′的表达式为y ＝－a (x －1)(x －3)，如解图，过点C ′作x 轴的垂线，垂足为点D ，即点D 的坐标为(2，0)，第1题解图∵四边形ACA ′C ′为矩形，∴∠AC ′A ′＝90°，∴∠AC ′D ＋∠DC ′A ′＝90°，∵∠AC ′D ＋∠C ′AD ＝90°，∴∠DC ′A ′＝∠C ′AD ，又∵∠ADC ′＝∠C ′DA ′＝90°，∴△AC ′D ∽△C ′A ′D ，∴C ′D AD ＝A ′D C ′D ，∵AD ＝AO ＋OD ＝3＋2＝5，A ′D ＝OA ′－OD ＝3－2＝1，C ′D ＝a ， ∴C ′D 2＝AD ·A ′D ，则a 2＝5×1＝5，∴a ＝5或a ＝－5(负值舍去)，故抛物线L ′的表达式为y ＝－5(x －1)(x －3)＝－5x 2＋45x －3 5.【一题多解】(3)由(1)知，点A (－3，0)，B (－1，0)，∴点A ′(3，0)，B ′(1，0)，由(2)知，点C 坐标为(－2，－a )，∴点C ′的坐标为(2，a )，故AC ′2＝(2＋3)2＋(a －0)2，A ′C ′2＝(2－3)2＋(a －0)2，AA ′2＝36. ∵四边形ACA ′C ′为矩形，∴∠AC ′A ′＝90°，∴AC ′2＋A ′C ′2＝AA ′2.∴25＋a 2＋1＋a 2＝36，解得：a ＝5或a ＝－5(负值舍去)，故抛物线L ′的表达式为y ＝－5(x －1)(x －3)＝－5x 2＋45x －3 5.★2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，D 是抛物线W 的顶点.(1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标；(2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)∵抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，∴y ＝14x 2－x ＝14(x 2－4x ＋4)－1＝14(x －2)2－1，∴其顶点D 的坐标为(2，－1)，当把抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位得到抛物线W ′，则抛物线W ′的顶点F 的坐标为(6，－52)，∴抛物线W ′的表达式为y ＝14(x －6)2－52；(2)存在.如解图，∵以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，第2题解图∴DF ∥MN ，且DF ＝MN ，∵点D 与点F 的纵坐标之差为－1－(－52)＝32，横坐标之差为2－6＝－4，且点M 在x 轴上，∴点N 到x 轴的距离为32，且点N 在抛物线W ′上，∵点F 到x 轴的距离为52>32，∴分点N 在x 轴上方和x 轴下方两种情况进行讨论，①当点N 在x 轴上方时，即点N 的纵坐标为32，将y ＝32代入y ＝14(x －6)2－52，解得x 1＝2，x 2＝10，即点N 的坐标为(2，32)和(10，32)，∵点N 在点M 左侧，横坐标之差为－4，∴点M 的坐标为(6，0)和(14，0)；②当点N 在x 轴下方时，即点N 的纵坐标为－32，同①解得点N 的坐标为(4，－32)和(8，－32)，∵点N 在点M 右侧，横坐标之差为－4，∴点M 的坐标为(0，0)和(4，0).综上所述，满足条件的点M 共有4个，分别为M 1(6，0)、M 2(14，0)、M 3(0，0)、M 4(4，0).★3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的一点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，则是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第3题图解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点B (3，0)、C (0，－3)，∴⎩⎨⎧-==++3039c c b ， 解得⎩⎨⎧-=-=32c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形.设P 点坐标为(x ，x 2－2x －3)，∵点P 在直线BC 下方，∴0<x <3，连接PP ′，则PE ⊥CO 交y 轴于点E ，如解图，第3题解图若四边形POP ′C 是菱形，则有PC ＝PO ，∴OE ＝EC ＝12OC ＝32，∴P 点的纵坐标为－32，∴x 2－2x －3＝－32， 解得x 1＝2＋102，x 2＝2－102(不合题意，舍去)， ∴P 点的坐标为(2＋102，－32).★4.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点A(－1，0)、B (0，1)，且与x 轴有唯一交点.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的表达式；(2)若将(1)中的抛物线沿y 轴向下平移m 个单位后与x 轴的两个交点分别为C 、D (点C 在点D 的左边)，当∠CBD ＝90°时，求m 的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E ，使以C 、D 、B 、E 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-04102ac b c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===121c b a ，∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1；(2)由题可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x ＋1－m ， ∵∠CBD ＝90°，点A 是CD 的中点，AB ＝2，∴AC ＝AD ＝AB ＝2，∴C (－1－2，0)，D (－1＋2，0)，将点C 的坐标代入y ＝x 2＋2x ＋1－m ，解得m ＝2；(3)存在.由(2)可知，平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －1.第4题解图分两种情况讨论：①当CD为对角线时，如解图，连接BA并延长至点E，使AE＝BA，连接CE、DE.可得点E的坐标为(－2，－1)，在抛物线y＝x2＋2x－1中，当x＝－2时，y＝－1，∴点E在平移后的抛物线上，且BE＝CD，∴存在点E(－2，－1)，使四边形BDEC是矩形；②当BD或BC为对角线时，由∠CBD＝90°可知，不存在满足题意的点E.综上所述，平移后的抛物线上存在点E(－2，－1)，使以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形.★5.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)求抛物线的表达式；(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；(3)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴点M 的坐标为(1，－4).∵M 与M ′关于x 轴对称，∴点M ′的坐标为(1，4).设直线AM ′的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A (－1，0)，点M ′(1，4)代入得⎩⎨⎧=+=+-40m k m k ，解得⎩⎨⎧==22m k ， ∴直线AM ′的解析式为y ＝2x ＋2，与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得⎩⎨⎧--=+=32222x x y x y ， 解得⎩⎨⎧=-=0111y x ，⎩⎨⎧==12522y x ， ∴点C 的坐标为(5，12)，又AB ＝4，∴S △ABC ＝12×4×12＝24；(3)存在.∵四边形APBQ 是正方形，∴PQ 垂直且平分AB ，AB 垂直且平分PQ ，且PQ ＝AB ，设PQ 与x轴交点为N ，则PN ＝12AB ＝2，∴点P 的坐标为(1，2)或(1，－2).设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点(1，2)代入得a ＝－12，此时抛物线表达式为y ＝－12(x ＋1)(x －3)＝－12x 2＋x ＋32；将点(1，－2)代入得a ＝12，此时抛物线表达式为y ＝12(x ＋1)(x －3)＝12x 2－x －32.故存在符合条件的抛物线，使得四边形APBQ 为正方形，抛物线表达式为y ＝－12x 2＋x ＋32或y ＝12x 2－x －32.★6.已知抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点M (2，－3)，与y 轴交于点C (0，－3).(1)求抛物线L 的表达式；(2)试判断抛物线L 与x 轴交点的情况；(3)平移该抛物线，设平移后的抛物线为L ′，抛物线L ′的顶点记为P ，它的对称轴与x 轴交于点Q ，已知点N (2，－8)，怎样平移才能使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？解：(1)抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过C (0，－3)，M (2，－3)两点，代入得⎩⎨⎧-=++-=3243c b c ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b . ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)令x 2－2x －3＝0，则b 2－4ac ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0， ∴抛物线L 与x 轴有两个不同的交点；(3)由题意得，M (2，－3)，N (2，－8)，∴MN ∥y 轴，MN ＝5.∵PQ ∥MN ∥y 轴，∴当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形.∴设点Q(m，0)，则点P的坐标为(m，－5)，如解图，要使以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形，只需PN＝MN＝5，∴（m－2）2＋（－5＋8）2＝52，解得m1＝6，m2＝－2.第6题解图∴点P(6，－5)或(－2，－5).∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线L的顶点坐标为(1，－4)，∴①当P(6，－5)时，6－1＝5，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L′；②当P(－2，－5)时，－2－1＝－3，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L′.★7.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)与x 轴交于点A (－3，0)和点B (5，0)，与y 轴交于点C (0，154).(1)求抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴；(3)连接AC ，设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)根据题意，设抛物线表达式为y ＝a (x ＋3)(x －5)，∵抛物线经过点C (0，154)，∴154＝a ×3×(－5)，解得a ＝－14，∴抛物线的表达式为y ＝－14(x ＋3)(x －5)＝－14x 2＋12x ＋154；(2)由(1)得y ＝－14x 2＋12x ＋154，则抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－12－24＝1， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1；(3)存在.∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，∴AC ∥EF ，且AC ＝EF ，如解图.第7题解图① 当点E 在x 轴上方时，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .∵AC ∥EF ，∴∠CAO ＝∠EFG .又∵∠COA ＝∠EGF ＝90°，AC ＝EF ，∴△CAO ≌△EFG ，∴EG ＝CO ＝154，即y E ＝154，∴154＝－14x 2E ＋12x E ＋154，解得x E ＝2(x E ＝0时与C 点重合，舍去)，∴E 点坐标为(2，154)；②当点E ′在x 轴下方时，过点E ′ 作E ′G ′⊥x 轴于点G ′，同理可求得E ′(31＋1，－154).综上所述，存在满足条件的点E 的坐标为(2，154)或(31＋1，－154).★8.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE 的边AB 在x 轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点．(1)求抛物线C的表达式；(2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值；(3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图【思维教练】(1)要求抛物线C的表达式，可由A、B、E三点坐标，考虑利用待定系数法求出，根据点A的坐标及OB＝4OA，即可求得点B的坐标，由OE＝2，即可求得点E坐标；(2)要求公共点M及平移单位m的值，可先根据平移的性质求出平移后含m的表达式，再根据已知抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，可考虑利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，则联立抛物线C′的表达式与BE的解析式，即可求解；(3)要判断是否存在这样的点P使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则考虑到点A、M点为定点，即可分①若AM为对角线，点P和点Q为所对顶点；②若AM 为边，点A和点P为所对顶点；③若AM为边，点A和点Q为所对顶点三种情况进行分类讨论即可．解：(1)∵点A 的坐标为(－1，0)，OB ＝4OA ，∴OB ＝4，∴B (4，0)，∵OE ＝2，∴E (0，2)．设经过抛物线C 的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=c c b a c b a 241600， 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a ， ∴抛物线C 的表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)∵将抛物线C 向下平移m 个单位得到抛物线C ′，∴抛物线C ′的函数表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2－m .设直线BE 的表达式为y ＝kx ＋h ，则⎩⎨⎧+=+=hk h 4002， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=221h k ，∴直线BE 的表达式为 y ＝－12x ＋2.∵直线BE 和抛物线C ′有且只有一个公共点，∴方程－12x 2＋32x ＋2－m ＝－12x ＋2有且仅有一个实根，即x 2－4x ＋2m ＝0 有且仅有一个实根，∴b 2－4ac ＝16－8m ＝0，即m ＝2，∴抛物线C ′的表达式为y ＝－12x 2＋32x ，令x 2－4x ＋4＝0 ，解得x ＝2，则y ＝1，即点M 的坐标为(2，1)；(3)存在这样的点P ，使得以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形.如解图所示，设点P 坐标为(m ，－12m 2＋32m )，点Q 坐标为(0，n )．第8题解图①若AM 为对角线，点P 和点Q 为所对顶点，则()⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--=--n m m m 1023212102， 解得⎩⎨⎧==01n m ， ∴P 1(1，1)，Q 1(0，0)；②若AM 为边，点A 和点P 为所对顶点则()⎪⎩⎪⎨⎧-=-+---=-0123211202n m m m ， 解得⎩⎨⎧-==13n m ， ∴P 2(3，0)，Q 2(0，－1)；③若AM 为边，点A 和点Q 为所对顶点，则()⎪⎩⎪⎨⎧-=+----=-01)2321(1202m m n m ， 解得⎩⎨⎧-=-=83n m ， ∴P 3(－3，－9)，Q 3(0，－8)．综上所述，满足题意的点P 共有3个，分别为P 1(1，1)，P 2(3，0)，P 3(－3，－9)．★9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的菱形，且∠AOC ＝60°.(2)记(1)中所求抛物线为L ，若将菱形OABC 绕点O 旋转60°，得到新的菱形OA ′B ′C ′，请你求出过A ′、B ′、C ′三点抛物线的表达式L ′，并写出由抛物线L 到抛物线L ′的平移方式.第9题图解：(1)连接AC ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，如解图①所示.第9题解图①∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝OC ＝2，又∵∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝2OD ＝2，CD ＝OC ·sin60°＝2×32＝3，∴点C 的坐标为(1，3)，点A 的坐标为(2，0)，设过O 、A 、C 三点的抛物线表达式为y ＝ax (x －2)，将点C 坐标代入其中有：3＝a (1－2)，解得a ＝－3，y ＝－3x (x －2)＝－3x 2＋23x ；第9题解图②(2)如解图②所示，分两种情况进行讨论：①当菱形OABC 绕点O 顺时针旋转60°时，记得到新的菱形OA ′B ′C ′为OA 1B 1C 1.由旋转的性质及菱形的性质可知OC 1与OA 重合，∴点C 1的坐标为(2，0)，过点A 1、B 1向x 轴作垂线，垂足分别为点E 、F .由题意可知OE ＝OA 1·cos ∠A 1OC 1＝2×12＝1，A 1E ＝OA 1·sin ∠A 1OC 1＝2×32＝3，同理，C 1F ＝1，B 1F ＝3，OF ＝OC 1＋C 1F ＝2＋1＝3，∴点A 1的坐标为(1，－3)，点B 1的坐标为(3，－3).设过点A 1、B 1、C 1三点的抛物线表达式为y ＝a 1(x －2)2，将点A 1的坐标代入所设抛物线表达式中有：－3＝a 1(1－2)2，解得：a1＝－3，∴菱形OABC绕点O顺时针旋转60°后，过A′、B′、C′三点的抛物线表达式为y＝－3(x－2)2＝－3x2＋43x－43；②当菱形OABC绕点O逆时针旋转60°时，记得到新的菱形OA′B′C′为OA2B2C2.∴点B2在y轴上，由旋转的性质及菱形的性质可知OA2与OC重合，即点A2与点C重合，即A2(1，3)，过点A2作y轴的垂线，垂足为点G.∴根据菱形的性质可知OB2＝2OG，OG＝OA2·cos∠A2OG＝2×3 2＝3，故OB2＝2OG＝23，∴点B2的坐标为(0，23)，设过点A2、B2、C2的抛物线表达式为y＝a2x2＋23，将点A2(1，3)代入表达式中有3＝a2＋23，解得a2＝－3，∴过点A2、B2、C2的抛物线的表达式为y＝－3x2＋2 3. 根据题意可知抛物线L：y＝－3x(x－2)＝－3x2＋23x＝－3(x－1)2＋3，抛物线L′分别记为：L1：y＝－3(x－2)2，L2：y＝－3x2＋2 3.L 移动到L 1的平移方式：抛物线L 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位；L 移动到L 2的平移方式：抛物线L 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位.★10.如图，抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋b 4的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .(1)直接写出点C 的坐标；(2)当AB ＝OB 时，求出抛物线L 的表达式；(3)若将抛物线L 绕原点O 旋转180°后，得到抛物线L ′，其中点A 对应A ′，点B 对应B ′，点C 对应C ′，若以点A 、C 、A ′、C ′为顶点的四边形是正方形时，请求出抛物线L ′的表达式.第10题图【思维教练】(1)根据抛物线表达式及其图象与坐标轴的交点特征得知点C 的坐标为(0，b 4)；(2)令y ＝0，求出x 的值，进而表示出点A 、B的坐标，然后根据AB ＝BO 的关系求出b 的值即可；(3)根据正方形的性质可知OA ＝OC ，求出b 的值，从而结合抛物线旋转后的特征可得出抛物线L ′的表达式.解：(1)(0，b 4)；(2)令y ＝0，有－x 2＋bx ＋b 4＝0， 解得：x 1＝b ＋b 2＋b 2，x 2＝b －b 2＋b 2. ∵抛物线L 的图象与y 轴交于负半轴，∴b ＜0，而点A 在点B 的左边，故点A 的坐标为(b －b 2＋b 2，0)， 点B 的坐标为(b ＋b 2＋b 2，0)， 又∵AB ＝OB ， ∴b －b 2＋b 2＝2×b ＋b 2＋b 2， 解得b 1＝0(舍去)，b 2＝－98，∴抛物线L 的表达式为：y ＝－x 2－98x －932； (3)如解图所示，∵四边形ACA ′C ′为正方形，∴OC ＝OA ，∴A (b 4，0)，代入抛物线L 的表达式中有：0＝－(b 4)2＋b ·b 4＋b 4，解得：b ＝－43或b ＝0(舍去)，∴A (－13，0)，C (0，－13)，第10题解图又∵将抛物线L 绕原点O 旋转180°后，得到抛物线L ′，其中点A 对应A ′，点B 对应B ′，点C 对应C ′，∴A ′(13，0)，C ′(0，13)，设抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋ax ＋13，将点A ′(13，0)代入有：0＝(13)2＋13a ＋13，解得：a ＝－43；∴抛物线L ′的表达式为：y ＝x 2－43x ＋13二次函数与四边形判定★1.已知在平面直角坐标系中，抛物线L ：y ＝a (x ＋1)(x ＋3)与x轴交于A、B两点，其中a＞0，点A在点B的左侧，且抛物线L的顶点为C.(1)求点A、B的坐标；(2)用含a的式子表示抛物线L顶点C到x轴的距离；(3)记抛物线L关于原点O中心对称的抛物线为L′，且抛物线L′与x 轴的交点为A′、B′，其中点A与点A′为对应点，点B与点B′为对应点，点C′为抛物线L′的顶点．若四边形ACA′C′为矩形，请你求出抛物线L′的表达式．【思维教练】(1)要求点A、B的坐标，结合已知抛物线的表达式为交点式，令y＝0求解即可；(2)要求顶点C到x轴的距离，即求点C纵坐标的绝对值，由(1)知点A、B的坐标，进而可求出抛物线的对称轴，即可求得点C的横坐标，将其代入抛物线的表达式，可求出其纵坐标，再结合已知a＞0，即可求解；(3)过点C′作C′D⊥x轴于点D，根据中心对称的性质，结合已知条件可设抛物线L′的表达式为y＝－a(x－1)(x－3)，故要求抛物线L′的表达式，只需求出a的值，结合点C′的纵坐标即为C′D的值，而C′D的值可通过证9明△AC′D与△C′A′D相似，列比例关系式C′DAD ＝A′DC′D进行求解，A′D、AD的值可根据点A、A′、D的坐标求得，进而抛物线L′的表达式可求．解：(1)∵抛物线L：y＝a(x＋1)(x＋3)与x轴交于A、B两点，∴令y＝0，即a(x＋1)(x＋3)＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，∵点A在点B的左侧，∴点A (－3，0)，点B (－1，0)；(2)由(1)知点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线L 的对称轴为直线x ＝x A ＋x B 2＝－3＋（－1）2＝－2， ∴顶点C 的横坐标为－2，将其代入到抛物线L 的表达式y ＝a (x ＋1)(x ＋3)中得：y ＝－a ，∴顶点C (－2，－a )，又∵a ＞0，∴点C 到x 轴的距离为a ；(3)由(1)知，点A (－3，0), B (－1，0)，∴点A ′(3，0)，B ′(1，0)，由(2)知，点C (－2，－a )，∴点C ′(2，a )，故设抛物线L ′的表达式为y ＝－a (x －1)(x －3)，如解图，过点C ′作x 轴的垂线，垂足为点D ，即点D 的坐标为(2，0)，∵四边形ACA ′C ′为矩形，∴∠AC ′A ′＝90°，∴∠AC ′D ＋∠DC ′A ′＝90°，∵∠AC ′D ＋∠C ′AD ＝90°，∴∠DC ′A ′＝∠C ′AD ， 第1题解图 又∵∠ADC ′＝∠C ′DA ′＝90°，∴△AC ′D ∽△C ′A ′D ，∴C ′D AD ＝A ′D C ′D ，∵AD ＝AO ＋OD ＝3＋2＝5，A ′D ＝OA ′－OD ＝3－2＝1，C ′D ＝a ， ∴C ′D 2＝AD ·A ′D ，则a 2＝5×1＝5，∴a ＝5或a ＝－5(负值舍去)，故抛物线L ′的表达式为y ＝－5(x －1)(x －3)＝－5x 2＋45x －3 5.【一题多解】(3)由(1)知，点A (－3，0)，B (－1，0)，∴点A ′(3，0)，B ′(1，0)，由(2)知，点C 坐标为(－2，－a )，∴点C ′的坐标为(2，a )，故AC ′2＝(2＋3)2＋(a －0)2，A ′C ′2＝(2－3)2＋(a －0)2，AA ′2＝36. ∵四边形ACA ′C ′为矩形，∴∠AC ′A ′＝90°，∴AC ′2＋A ′C ′2＝AA ′2.∴25＋a 2＋1＋a 2＝36，解得a ＝5或a ＝－5(负值舍去)，故抛物线L ′的表达式为y ＝－5(x －1)(x －3)＝－5x 2＋45x －3 5.★2.已知抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点M (2，－3)，与y 轴交于点C (0，－3)．(1)求抛物线L 的表达式；(2)试判断抛物线L 与x 轴交点的情况；(3)平移该抛物线，设平移后的抛物线为L ′，抛物线L ′的顶点记为P ，它的对称轴与x 轴交于点Q ，已知点N (2，－8)，怎样平移才能使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？解：(1)抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 经过C (0，－3)，M (2，－3)两点，代入得⎩⎨⎧-=++-=3243c b c ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)令x 2－2x －3＝0，则b 2－4ac ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0， ∴抛物线L 与x 轴有两个不同的交点；(3)由题意得，M (2，－3)，N (2，－8)，∴MN ∥y 轴，MN ＝5.∵PQ ∥MN ∥y 轴，∴当PQ ＝MN ＝5时，四边形MNPQ 为平行四边形．∴设点Q (m ，0)，则点P 的坐标为(m ，－5)，如解图，要使以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，只需PN ＝MN ＝5，∴ （m －2）2＋（－5＋8）2＝52，解得m 1＝6，m 2＝－2.∴点P (6，－5)或(－2，－5)．∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， 第2题解图 ∴抛物线L 的顶点坐标为(1，－4)，∴① 当P (6，－5)时，6－1＝5，－5－(－4)＝－ 1.∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L ′；② 当P (－2，－5)时，－2－1＝－3，－5－(－4)＝ －1.∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L ′.★3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，D 是抛物线W 的顶点．(1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标；(2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，∴y ＝14x 2－x ＝14(x 2－4x ＋4)－1＝14(x －2)2－1，∴其顶点D 的坐标为(2，－1)，当把抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位得到抛物线W ′，则抛物线W ′的顶点F 的坐标为(6，－52)，∴抛物线W ′的表达式为y ＝14(x －6)2－52；。

专题2.4 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版

专题2.4 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版
【方法归纳】
两个定三角形是否相似： （1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比 例，则相似;否则不相似。 （2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？ 若成比例，则相似;否则不相似。 一个定三角形和动三角形相似： （1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（用字母表示），然后 把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角 的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出 动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。 （2）不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，
【解题思路】理解存在性问题的解题思路，根据已知角相等找出对应边成比例，存在性问题的知识覆盖
面较广，综合性较强，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的要求较高。一般思路是从存在的角度 出发→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出不存在的判 断
【典型例题】
【例 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ 1 x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C.抛物线 y＝ 2
【针对练习】
1．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且以 AB 为直 径的圆经过点 C． （1）若点 A（﹣2，0），点 B（8，0），求 ac 的值； （2）若点 A（x1，0），B（x2，0），试探索 ac 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． （3）若点 D 是圆与抛物线的交点（D 与 A、B、C 不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点 P， 使得以 P、B、C 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在，请直接写出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．

专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列

专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列

∴直线 BC 的解析式为：y=﹣ 1 x+4． 2
（3）存在， 理由：∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点 P（3，t）， ∵A（﹣2，0），C（0，4），
∴AC=2 5 ，AQ= 25 t2 ，CQ= t 42 9 ．
①当 AQ=CQ 时，
第 2 页 共 41 页
有 25 t2 = t 42 9 ，
解得：t=4± 11 ， ∴点 P 坐标为：P2（3，4+ 11 ），P3（3，4﹣ 11 ）． 综上所述，存在点 P，使△ACP 为等腰三角形，点 P 的坐标为：P1（3，0），P2（3，4+ 11 ），P3（3，4 ﹣ 11 ）．
【名师点睛】本题考查了二次函数和一次函数的性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定 及性质等知识，题目较综合，难度较大，解题的关键是会分类讨论，能够做到不重不漏，同时会利用方程 思想解决问题. 【例 2】（如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣2x+10 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 C 的坐标是（8， 4），连接 AC，BC．
【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2）P（1，0）；（3）．
【解析】 试题分析：（1）直接将 A、B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知， 直线 l 与 x 轴的交点，即为符合条件的 P 点； （3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可 先设出 M 点的坐标，然后用 M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【答案】（1）y 1 x2 5 x ，直角三角形；（2）10 ；（3）M1（ 5 ，20 5 19 ），M2（ 5 ，20 5 19 ），

中考数学总复习《二次函数与四边形》练习题(含答案)

中考数学总复习《二次函数与四边形》练习题(含答案)

二次函数与四边形一 、解答题1.已知二次函数图象的顶点坐标为M （2，0），直线y =x +2与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上（如图示） （1）求该二次函数的解析式；（2）P 为线段AB 上一动点（A 、B 两端点除外），过P 作x 轴的垂线与二次函数的图象交于点Q ，设线段PQ 的长为l ，点P 的横坐标为x ，求出l 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在一点P ，使四边形PQMA 为梯形．若存在，求出点P 的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由．2.如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 设该二次函数与x 轴另一交于点为C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积； （3） 设该二次函数的顶点为D ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于E ．求证：四边形ODEB 是平行四边形3.如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点()1236，在图1中表示什么呢？ 李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么()1236，表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系． 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了． 请根据上述对话，帮他们解答这个问题．4.如图，已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （4，0）和点B （3，﹣2），点C 是函数图象与y 轴的公共点、过点C 作直线CE ∥AB ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求直线CE 的表达式；（3）如果点D 在直线CE 上，且四边形ABCD 是等腰梯形，求点D 的坐标．R Q PBCA5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－x 2＋x ＋m 2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上． （1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）． ①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； ②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．6.如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？41-m 45m(1)2)0y a x a =-+≠(2)A -，0D O OM AD ∥D x OM C B x BC P O OM P ()t s t DAOP（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．OC OB P Q O B OC BO t ()s PQ t BCPQPQ二次函数与四边形答案解析一 、解答题1.（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a （x ﹣2）2，由于直线y=x+2与y 轴交于（0，2）， ∴x=0，y=2满足y=a （x ﹣2）2，于是求得a=12， 二次函数的解析式为y =12（x ﹣2）2； （2）依题意得，()()2211122322PQ x x x x ==+--=-+，由()22122y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，求得点B 的坐标为（6，8），∴0＜x ＜6； （3）由（2）知P 的横坐标为0＜x ＜6时，必有对应的点Q 在抛物线上； 反之，Q 的横坐标为0＜x ＜6时，在线段AB 上必有一点P 与之对应． 假设存在符合条件的点P ，由题意得AM 与PQ 不会平行， 因此梯形的两底只能是AP 与MQ ，∵过点M （2，0）且平行AB 的直线方程为y =x ﹣2，由()22122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x =2或x =4∴过M 点的直线与抛物线的另一交点为（4，2）， ∵此交点横坐标4，落在0＜x ＜6范围内， ∴Q 的坐标为（4，2）时，P （4，6）符合条件， 即存在符合条件的点P ，其坐标为（4，6），设直线AB 与x 轴交于N ，由条件可知，△ANM 是等腰直角三角形，即AM=AN=AP=PN ﹣AN=MQ= AM 为梯形PQMA 的高， ∴S 梯形PQMA =12（．【解析】本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、梯形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．2.（1）将A （2，0）、B （0，﹣6）两点代入则2206b c c -++=⎧⎨=-⎩，解得46b c =⎧⎨=-⎩∴解析式为21462y x x =-+- （2）令214602x x -+-=， ∴x 2﹣8x +12=0 解得：x 1=2 x 2=6∴另一个交点C （6，0）∴AC =4，∴S △ABC =12×4×6=12（3）∵21462y x x =-+-=﹣12（x ﹣4）2+2设对称轴与x 轴交与点M ，则DM =2 ∵△OBC 为等腰直角三角形，∴OE ⊥BC ∵OB =6，DN =2，ON =NE =4，∴OB =DE =6， ∵OB ∥DE∴四边形ODEB 是平行四边形【解析】此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及平行四边形的判定方法，题目难度不大，非常典型．3.（1）当12AP =时，36AP PQ ⋅= ∴3PQ =，又在Rt BPQ ∆中，3tan 4B =，∴34PQ PB = ∴4PB = ∴16AB =（2）解法一：若 AP x =，则16PB x =-，3(16)4PQ x =-，∴3(16)4y x x =-，整理得：23(8)484y x =--+ 当8x =时，48y 最大值＝分解法二：由16AB =，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为(16)y ax x =-，将（12，36）代入求得34a =-，∴3(16)4y x x =--，整理得，∴ 当8x =时，48y 最大值＝．解法三：由16AB =，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为8x =∴抛物线顶点的横坐标为8．∴当8AP =时，矩形APQR 的面积最大，此时，8PB =。

中考数学复习《二次函数与四边形判定》典型例题解析

中考数学复习《二次函数与四边形判定》典型例题解析

中考数学复习《二次函数与四边形判断》典型例题分析二次函数与四边形判断★1.已知在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝a(x＋1)(x＋ 3)与 x 轴交于 A、B 两点，此中 a＞0，点 A 在点 B 的左边，且抛物线L 的极点为 C.(1)求点 A、B 的坐标；(2)用含 a 的式子表示抛物线L 极点 C 到 x 轴的距离；(3)记抛物线 L 对于原点 O 中心对称的抛物线为L′，且抛物线 L′与 x 轴的交点为A′、 B′，此中点 A 与点 A′为对应点，点 B 与点 B′为对应点，点C′为抛物线 L′的极点．若四边形ACA′C′为矩形，请你求出抛物线L′的表达式．【思想教练】 (1)要求点 A、B 的坐标，联合已知抛物线的表达式为交点式，令y ＝ 0 求解即可； (2)要求极点 C 到 x 轴的距离，即求点C纵坐标的绝对值，由 (1) 知点 A、B 的坐标，从而可求出抛物线的对称轴，即可求得点 C 的横坐标，将其代入抛物线的表达式，可求出其纵坐标，再联合已知a＞ 0，即可求解； (3)过点C′作 C′D⊥ x 轴于点 D，依据中心对称的性质，联合已知条件可设抛物线L′的表达式为 y＝－a(x－1)(x－3)，故要求抛物线L′的表达式，只要求出 a 的值，联合点 C′的纵坐标即为 C′D 的值，而 C′D 的值可经过证 9 明△ AC′D 与△C′A′D 相像，C′D A′D列比率关系式AD＝C′D进行求解，A′D、AD 的值可依据点 A、A′、D 的坐标求得，从而抛物线 L′的表达式可求．解： (1)∵抛物线 L：y＝a(x＋1)(x＋3)与 x 轴交于 A、B 两点，∴令 y＝0，即 a(x＋ 1)(x＋3)＝ 0，解得 x1＝－1，x2＝－ 3，∵点 A 在点 B 的左边，1∴点 A(－3，0)，点 B(－1，0)；(2)由(1)知点 A(－3，0)，点 B(1，0)，x A＋B －＋（－）∴抛物线 L 的对称轴为直线 x＝x ＝ 3 1 ＝－，2 2 2∴极点 C 的横坐标为－ 2，将其代入到抛物线L 的表达式 y＝a(x＋1)(x＋ 3)中得：y＝－a，∴极点 C(－2，－a)，又∵a＞0，∴点 C 到 x 轴的距离为 a；(3)由(1)知，点 A(－3，0), B(－ 1， 0)，∴点 A′(3， 0)，B′(1， 0)，由 (2)知，点 C(－2，－a)，∴点 C′(2， a)，故设抛物线 L′的表达式为 y＝－a(x－1)(x－ 3)，如解图，过点 C′作 x 轴的垂线，垂足为点D，即点 D 的坐标为 (2，0) ，∵四边形 ACA′C′为矩形，∴∠ AC′A′＝90°，∴∠ AC′D＋∠DC ′A′＝90°，∵∠ AC′D＋∠C′AD＝ 90°，∴∠ DC′A′＝∠C′AD，第1题解图又∵∠ADC′＝∠C′DA′＝90 °，∴△ AC′D∽△ C′A′D，2C ′D A ′D ∴ AD ＝C ′D，∵ AD ＝ AO ＋ OD ＝3＋2＝5，A ′D ＝OA ′－OD ＝ 3－ 2＝ 1， C ′D ＝a ， ∴ C ′D 2＝AD ·A ′D ，则 a 2＝5 ×1＝5， ∴ a ＝ 5或 a ＝ － 5(负值舍去 )，故抛物线 L ′的表达式为 y ＝ － 5(x －1)(x －3)＝ － 5x 2＋4 5x －3 5.【一题多解】 (3)由(1) 知，点 A(－3，0)， B(－1，0)，∴ 点 A ′(3， 0)，B ′(1， 0)，由 (2)知，点 C 坐标为 (－2，－ a)，∴ 点 C ′的坐标为 (2，a)，2 2 ＋(a －0) 2 2 2 2 2故 AC ′＝ (2＋3) ，A ′C ′＝(2－ 3) ＋(a － 0) ， AA ′＝36. ∵ 四边形 ACA ′C ′为矩形，∴∠ AC ′A ′＝90°，222∴ AC ′＋′′＝′A C AA .∴ 25＋a 2＋ 1＋ a 2＝36，解得 a ＝ 5或 a ＝－ 5(负值舍去 )，故抛物线 L ′的表达式为 y ＝ － 5(x －1)(x －3)＝ － 5x 2＋4 5x －3 5.★ 2.已知抛物线 L ： y ＝ x 2 ＋bx ＋c 经过点 M(2，－ 3)，与 y 轴交于点 C(0， －3)．(1)求抛物线 L 的表达式；(2)试判断抛物线 L 与 x 轴交点的状况；(3)平移该抛物线， 设平移后的抛物线为 L ′，抛物线 L ′的极点记为 P ，它的对称轴3与 x 轴交于点 Q，已知点 N(2，－8)，如何平移才能使得以 M、N、P、Q 为极点的四边形为菱形？解： (1)抛物线 L： y＝ x2＋bx＋ c 经过 C(0，－3)，M(2，－3)两点，代入得c3b 2，解得，4 2 b c3c 3∴抛物线 L 的表达式为 y＝ x2－2x－ 3；(2)令 x2－ 2x－3＝0，则 b2－4ac＝ (－2)2－4×(－3)＝ 16>0，∴抛物线 L 与 x 轴有两个不一样的交点；(3)由题意得， M(2，－ 3)， N(2，－8)，∴MN∥y 轴， MN＝ 5.∵PQ∥ MN∥y 轴，∴当 PQ＝MN＝ 5 时，四边形 MNPQ 为平行四边形．∴设点 Q(m，0)，则点 P 的坐标为 (m，－5)，如解图，要使以M、N、P、Q 为极点的四边形为菱形，只要 PN＝MN＝ 5，∴（m－ 2）2＋（－ 5＋ 8）2＝52，解得 m ＝6，m ＝－2.1 2∴点 P(6，－5)或(－2，－5)．∵ y＝x2－ 2x－3＝(x－ 1)2－ 4，第2题解图∴抛物线 L 的极点坐标为 (1，－ 4)，∴①当 P(6，－5)时，6－1＝5，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位，可获得切合条件的抛4物线 L′；②当 P(－2，－5)时，－2－1＝－3，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，可获得切合条件的抛物线 L′.1 2★3.在平面直角坐标系X ＯY 中，抛物线 W 的表达式为 y＝4x －x， D 是抛物线 W 的极点．3(1) 将抛物线 W 向右平移 4 个单位，再向下平移2个单位，获得抛物线W′，求抛物线 W′的表达式及其极点F的坐标；(2)若点 M 是 x 轴上的一点，点 N 是抛物线 W′上的一点，则能否存在这样的点M 和点 N，使得以 D、F、M、 N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明原因．1 2－x，解： (1)∵抛物线 W 的表达式为 y＝4x1 2 1 2 1 2∴ y＝4x －x＝4(x －4x＋4)－ 1＝4(x－ 2) －1，∴其极点 D 的坐标为 (2，－1)，3当把抛物线 W 向右平移 4 个单位，再向下平移2个单位获得抛物线W′，5 则抛物线 W′的极点 F 的坐标为 (6，－2)，1(x－6) 2 5∴抛物线 W′的表达式为 y＝－；4 2(2)存在．如解图，∵以 D、 F、M、N 为极点的四边形是平行四边形，5中考数学复习《二次函数与四边形判断》典型例题分析第3题解图∴DF∥MN，且 DF＝MN，5 3∵点 D 与点 F 的纵坐标之差为－1－(－2)＝2，横坐标之差为 2－6＝－ 4，且点 M 在 x 轴上，3∴点 N 到 x 轴的距离为2，且点 N 在抛物线 W′上，53∵点 F 到 x 轴的距离为2>2，∴分点 N 在 x 轴上方和 x 轴下方两种状况进行议论，①当点 N 在 x 轴上方时，即点N 的纵坐标为3 2，3 1 2 5将 y＝2代入 y＝4(x－6) －2，解得 x1＝2，x2＝ 10，3 3即点 N 的坐标为 (2，2)和 (10，2)，∵点 N 在点 M 左边，横坐标之差为－4，∴点 M 的坐标为 (6，0)和 (14， 0)；3②当点 N 在 x 轴下方时，即点 N 的纵坐标为－2，同①解得点 N 的坐标为 (4，－3 32)和 (8，－2)，∵点 N 在点 M 右边，横坐标之差为－4，∴点 M 的坐标为 (0，0)和 (4，0)．综上所述，知足条件的点 M 共有 4 个，分别为 M1(6，0)、M2(14，0)、M 3(0，0)、M4 (4，0)．6中考数学复习《二次函数与四边形判断》典型例题分析2b★4.如图，抛物线 L ：y＝－ x ＋bx＋4的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C.(1)直接写出点 C 的坐标；(2)当 AB＝OB 时，求出抛物线(3)若将抛物线 L 绕原点 O 旋转对应 B′，点 C 对应 C′，若以点出抛物线 L′的表达式．L的表达式；180°后，获得抛物线 L ′，此中点 A 对应 A′，点 B A、C、A′、C′为极点的四边形是正方形时，恳求第4题图【思想教练】 (1)依据抛物线表达式及其图象与坐标轴的交点特点得悉点 C 的坐b标为 (0，4)；(2)令 y＝ 0，求出 x 的值，从而表示出点A、B 的坐标，而后依据AB ＝ BO 的关系求出 b 的值即可；(3)依据正方形的性质可知OA＝OC，求出 b 的值，从而联合抛物线旋转后的特点可得出抛物线L′的表达式．解： (1)(0，b；4)b(2)令 y＝0，有－x2＋bx＋4＝ 0，解得 x1＝b＋b2＋b2 ，b－ 2b ＋b2＝.x27中考数学复习《二次函数与四边形判断》典型例题分析∵抛物线 L 的图象与 y 轴交于负半轴，∴b<0，而点 A 在点 B 的左边，b－b2＋ b故点 A 的坐标为 ( 2 ， 0)，b＋b2＋b，0)，点B的坐标为( 2又∵AB＝ OB，b－ b2＋b b＋ b2＋b∴ 2 ＝2 × 2 ，9解得 b1＝ 0(舍去 )，b2＝－8，299∴抛物线 L 的表达式为 y＝－x －8x－32；(3)如解图所示，∵四边形 ACA′C′为正方形，∴OC＝ OA，b∴ A( ， 0)，代入抛物线 L 的表达式中有4b 2 b b0＝－( ) ＋b·＋，4 4 44解得 b＝－3或 b＝0(舍去 )，第 4题解图1 1∴A(－3，0)，C(0，－3)，又∵将抛物线 L 绕原点 O 旋转 180 后°，获得抛物线 L′，此中点 A 对应 A′，点 B 对应 B′，点 C 对应 C′，1 1，∴ A′(3，0)，C′，(03)设抛物线′的表达式为＝ 2 1 1代入有1 2 1 1，L＋＋，将点A′(，0＝() ＋ a＋y x ax 3 3 0) 3 3 384解得 a＝－3；24 1∴抛物线 L′的表达式为 y＝ x －3x＋3.★5.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE 的边 AB 在 x 轴上，A(－ 1，0)，OB＝ 4OA， OE＝ 2，抛物线 C 经过△ABE 的三个极点．(1)求抛物线 C 的表达式；(2)将抛物线 C 向下平移 m 个单位获得抛物线C′，使抛物线 C′与直线 BE 有且只有一个公共点 M ，试求点 M 的坐标及 m 的值；(3)若点 P 是抛物线 C′上一点， Q 是 y 轴上一点，能否存在这样的点P，使得以点 A、P、Q、M 为极点的四边形为平行四边形，若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．第5题图【思想教练】 (1)要求抛物线 C 的表达式，可由 A、B、E 三点坐标，考虑利用待定系数法求出，依据点 A 的坐标及 OB＝4OA，即可求得点 B 的坐标，由 OE＝ 2，即可求得点 E 坐标； (2)要求公共点 M 及平移单位 m 的值，可先依据平移的性质求出平移后含 m 的表达式，再依据已知抛物线C′与直线 BE 有且只有一个公共点M，可考虑利用一元二次方程根的鉴别式判断根的状况，则联立抛物线C′的表达式与 BE 的分析式，即可求解； (3)要判断能否存在这样的点P 使得以点 A、 P、Q、 M 为极点的四边形是平行四边形，则考虑到点A、 M 点为定点，即可分①9若 AM 为对角线，点 P 和点 Q 为所对极点； ② 若 AM 为边，点 A 和点 P 为所对极点； ③ 若 AM 为边，点 A 和点 Q 为所对极点三种状况进行分类议论即可．解： (1)∵ 点 A 的坐标为 (－ 1， 0)，OB ＝4OA ，∴ OB ＝ 4， ∴B(4，0)，∵ OE ＝ 2， ∴E(0，2)．设经过抛物线 C 的表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，a12 0 a bc则 0 16 a4 b c ，解得 b3 ，2 c2c 21 2 3∴ 抛物线 C 的表达式为 y ＝－2x ＋2x ＋ 2；(2)∵将抛物线 C 向下平移 m 个单位获得抛物线 C ′，∴ 抛物线 C ′的函数表达式为 y ＝－ 123＋ －2x ＋ 2x 2 m.设直线 BE 的表达式为 y ＝KX ＋h ，则2 0 h k 12 ，4 k，解得h2h1∴ 直线 BE 的表达式为 y ＝ －2x ＋2.∵ 直线 BE 和抛物线 C ′有且只有一个公共点，1 2 31∴方程－ 2x＋2x ＋2－m ＝－ 2x ＋2 有且仅有一个实根， 即 x 2－4x ＋ 2m ＝ 0 有且仅有一个实根，∴ b 2－4ac ＝16－8m ＝ 0，即 m ＝ 2，1 2 3∴ 抛物线 C ′的表达式为 y ＝－2x ＋2x ，10令 x2－4x＋ 4＝ 0 ，解得 x＝2，则 y＝1，即点 M 的坐标为 (2，1)；(3)存在这样的点P，使得以 A、 P、Q、M 为极点的四边形为平行四边形，如解1 2 3图所示，设点 P 坐标为 (m，－2m ＋2m)，点 Q 坐标为 (0， n)．第5题解图①若 AM 为对角线，点 P 和点 Q 为所对极点，则0 12 mm 11 2 3 ，解得，m m 0 1 n n 02 2∴P1(1，1)， Q1(0，0)；②若 AM 为边，点 A 和点 P 为所对极点则m 0 2 1m 31 2 3 ，解得，m m n 1 0 n 12 211∴P2(3，0)， Q2(0，－ 1)；③若 AM 为边，点 A 和点 Q 为所对极点，则0 m 2 1m31 2 3 ，解得，n ( m m ) 1 0 n 82 2∴P3(－3，－9)，Q3(0，－8)．综上所述，知足题意的点P 共有 3 个，分别为 P1(1，1)，P2(3，0)，P3(－3，－9)．12。

第12关 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题(原卷版)

第12关 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题(原卷版)

第十二关以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。

由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。

二次函数与特殊平行四边形的综合问题属于初中阶段的主要内容，其主要涉及：二次函数的表达式、二次函数动点问题的讨论、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等）。

在中考中，往往作为压轴题的形式出现，也给很多中学生造成了很大的压力。

【解题思路】以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．【典型例题】【例1】（2019·山东中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D （2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．【例2】（2018·辽宁中考真题）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 个单位长度的速度沿线段AB 向点B 运动，点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA 向点A 运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．以PQ 为边作矩形PQNM ，使点N 在直线x=3上．①当t 为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t 为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上．【例3】（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ，(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【方法归纳】这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“用字母表示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“用字母表示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

专题2.3 以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版

专题2.3 以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列(解析版

解之，得
m 1, n 3.
∴直线 BC 的解析式为 y x 3． 学/*-科+-*网
（2）∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC. ∴使 MA+MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点. 设直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点为 M，把 x＝－1
代入直线 y x 3，得 y＝2.
第 3 页 共 50 页
【答案】（1）（2）见解析；（3）（ 7 ， 9 ）． 24
【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP 和△PCD 相似，再根据相 似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点 P 的坐标，再过点 P 作 PC⊥x 轴于 C， 设 AQ 与 y 轴相交于 D，然后求出 PC、AC 的长，再根据（2）的结论求出 OD 的长，从而得到点 D 的坐标， 利用待定系数法求出直线 AD 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点 Q 的坐标． 试题解析： （1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠APB=90°， ∵AP⊥PC， ∴∠APB+∠CPD=90°， ∴∠A=∠CPD， ∴△ABP∽△PCD，
6
3
第 6 页 共 50 页
3 4
n
3
2, 解之， n
4 3(
4 3
.0),即t1
4
4 3
8 3
②当 Q2 NM
90 , MN
NQ2
OG
时，容易求出
Q2
(
2 3
,0)
t2
4 (

2023年中考数学模块复习压轴题(二次函数背景下的四边形存在性问题)

2023年中考数学模块复习压轴题(二次函数背景下的四边形存在性问题)

2023年中考数学模块复习压轴题（二次函数背景下的四边形存在性问题）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题1. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C 运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c 经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴于A（1，0）和B（﹣3，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为抛物线上第二象限内一点，求使△MBC面积最大时点M的坐标；（3）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点，当S△PAB＝S△ABD时，请直接写出点P的坐标；（4）若F是对称轴上一动点，Q是抛物线上一动点，是否存在F、Q，使以B、C、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．题型二：二次函数与矩形存在性问题1. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M 的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程）（3）点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．题型三：二次函数与菱形存在性问题1. 如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．（1）求直线AB的函数解析式．（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O，C重合的情况），连接CM，BN，当t 为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？若存在，请直接写出四边形BCMN为菱形时t的值，若不能存在请说明理由．2.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（4，0）、C 两点，点D为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点D作DM⊥x轴，交AB于点M，交抛物线于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AN和BN，当△ABN的面积最大时，求出点D的坐标及△ABN的最大面积；（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点B，C，点P是抛物线上的动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点P位于直线BC上方且△PBC面积最大时，求P的坐标；（3）若点E是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点E，使得以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数与正方形存在性问题1. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），其中OA＝1，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交BC于Q，PH∥x轴交BC于H，求△PQH周长最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y水平向右平移1个单位得到新抛物线y′，点G为新抛物线y′对称轴上一点，将线段AC沿着直线BC平移，平移后的线段记为A1C1，点K是平面内任意一点，在线段平移的过程中，是否存在以A1、C1、G、K为顶点且A1G为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）求△BCD的面积；（3）点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）b＝，c＝；（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第六关以二次函数与四边形为背景的解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A、B、C三点，已知B（4，0），C（2，﹣6）．（1）求该抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）点D（m，n）（﹣1＜m＜2）在抛物线图象上，当△ACD的面积为27
8
时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴为l，点D关于l的对称点为E，能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1，0），点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，4），抛物线过A，B，C三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点（点N在直线AC上方），过点N作NG x
轴，垂足为G，交AC于点H，当线段ON与CH互相平分时，求出点N的坐标；
（3）抛物线的对称轴为l，顶点为K，点C关于l对称点为J．是否存在x轴上的点Q、y轴上的点R，使四边形KJQR的周长最小？若存在，写出探寻满足条件的点的过程并画图；若不存在，请说明理由．
3．如图，一次函数y=﹣1
2
x+2分别交y轴、x轴于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直于x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，△NAB 的面积有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）与x 轴交于A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=2OA ．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k ＞0）与y 轴交于点D ，与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，记m=
PM DM
，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线()21502
y ax bx a =++
≠ 经过A （－3,0），C (5,0)两点，点B 为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t ，过点P 作PM ⊥BD ，交BC 于点M ，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ ，边QN 交BC 于点R ，延
长NM 交AC 于点E ．
①当t 为何值时，点N 落在抛物线上；
②在点P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ 为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C （0，3），A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）．点P 是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时点P 的坐标和四边形面积的最大值。

7．如图，己知抛物线经过点A(l, 0)，B(一3,0)，C(0,3)三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）在x 轴下方的抛物线上，是否存在点M ，使得53
ABM ABC s s ∆∆=
？若存在求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P 是位于直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使PBC s ∆的面积最大?若存在，求出P 的坐标及PBC s ∆的最大值:若不存在，说明理由.
8．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两
点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过点B，且顶点在直线上.
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
9．如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C(8，0)两点，AB∥x轴，B(6，4)．
(1)求过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4的表达式；
(2)点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；
(3)若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M 点的坐标和△AMC的最大面积．
10．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364
y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C.
（1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x 轴交于F 、N （点F 在点N 的左侧）两点，交y 轴于E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使点Q 到E 、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212
y x bx c =-++的图象经过点()1,0A ，且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212
y x bx c =-++的图象分别交于B ， C 两点，点B 在第一象限．
（1）求二次函数212
y x bx c =-++的表达式． （2）连接AB ，求AB 的长．
（3）连接AC ， M 是线段AC 得中点，将点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，连接AN ， CN ，判断四边形ABCN 的性状，并证明你的结论．
12．已知如图，矩形OABC 的长 宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC.
（1）求∠PCB 的度数；
（2）若P ，A 两点在抛物线y=43
-x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）题（2）中的抛物线与矩形OABC 边CB 相交于点D ，与x 轴相交于另外一点E ，若点M 是x 轴上的点，N 是y 轴上的点，以点E 、M 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点M 、N 的坐标.
13．如图所示，一次函数3y x =--分别交x ，y 轴于A ，C 两点，抛物线2y x bx c =++与经过点A ，C.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P 为抛物线上A ，C 两点间的一个动点，过点P 作直线x a =，交直线AC 于点Q ，当点P 运动到什么位置时，线段PQ 的长度最大？求此最大长度，及此时P 点坐标。

（3）在（2）条件下，直线1x =-与x 轴交于N 点与直线AC 交于点M ，当N ，M ，Q ，D 四点是平行四边行时，直接写出D 点的坐标。

14．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点
的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒1
2
个单位的速度沿线段AD向点D运动，运
动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
15．如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，分别作直线AE、DE．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）在图1中，直线DE上有一点Q，使得△QCO≌△QBO，求点Q的坐标；
（3）如图2，直线DE与x轴交于点F，点M为线段AF上一个动点，有A向F运动，速度为每秒2个单
位长度，运动到F处停止，点N由F处出发，沿射线FE个单位长度，M、N 两点同时出发，运动时间为t秒，当M停止时点N同时停止运动坐标平面内有一个动点P，t为何值时，以P、M、N、F为顶点的四边形是特殊的平行四边形．请直接写出t值．。

相关文档
最新文档