2021高考数学新高考版一轮习题：专题9 阶段滚动检测(六) (含解析)

一、单项选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．02．从一个容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 33．(2019·青岛月考)已知m ＝log 0.55，n ＝5.1－3，p ＝5.10.3，则实数m ，n ，p 的大小关系为( )A ．m <p <nB ．m <n <pC ．n <m <pD ．n <p <m4．焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的离心率为22，则a 等于( ) A ．6B ．6＋3 2 C. 6 D.325．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π2ω个单位长度，得到g (x )的图象，g (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为ωπ4个单位长度，则函数g (x )图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，0 B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.497．(2020·唐山模拟)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率是( )A.12B.23C.13D.14二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A ．若m >0，n <0，则m －n <0B ．“x ＝π3”是“tan x ＝3”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x>2” D ．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为3010．(2019·福州模拟)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B．样本中支出不少于40元的人数有132C．n的值为200D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元11.如图，一张纸的长P1P4、宽P1P2分别为22a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，真命题的是()A．该多面体是三棱锥B．平面BAD⊥平面BCDC．平面BAC⊥平面ACDD．该多面体外接球的表面积为5πa212．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 018x ，x ≥0，－x ，x <0，若关于x 的方程f (f (x ))＝t ，则下列说法正确的是( ) A ．存在实数t ，使得方程没有实根B ．存在实数t ，使得方程恰有1个实根C ．存在实数t ，使得方程恰有2个不同实根D ．存在实数t ，使得方程恰有3个不同实根三、填空题13．已知向量a ，b ，其中|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则|a －2b |＝________.14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝6，b ＝26，则C ＝________. 15．(2020·武汉模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)的右顶点P 作射线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于第一象限的点M 和第二象限的点N ，且PN →＝3PM →，△OMN 的面积为S ＝3，则a ＝________.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <a ，2x ，x ≥a .当a ＝1时，函数的值域是________．若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,2cos C ·(a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．18．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2(a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和S n .19.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，平面ABCD⊥平面P AD，E是PB的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且PD＝AD，AB＝2DF＝6.(1)求证：平面EFG⊥平面P AB；(2)若P A＝4，PD＝3，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．20．(2019·日照模拟)从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x 表示清洗的次数，y 表示清洗x 次后1千克该蔬菜残留农药量(单位：微克)．(1)在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，y ^＝b ^x ＋a ^与y ^＝m ^e －x ＋n ^哪一个适宜作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留农药量的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据判断及下面表格中的数据，建立y 关于x 的回归方程；表中ωi ＝i x e －，ω＝15∑i ＝15ωi .(3)对所求的回归方程进行残差分析．附：①线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中系数计算公式分别为b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x ； ②R 2＝1－∑i ＝1n (y i －y ^i )2∑i ＝1n (y i －y )2，R 2>0.95说明模拟效果非常好； ③1e ≈0.37，1e 2≈0.14，1e 3≈0.05，1e 4≈0.02，1e 5≈0.01.21．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x a －y b ＝1，椭圆的离心率e ＝63，坐标原点到直线l 的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线m 过点P (0,2)且与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f (x )＝ax －sin x －1，x ∈[0，π]．(1)若a ＝12，求f (x )的最大值； (2)当a ≤2π时，求证：f (x )＋cos x ≤0.答案精析1．B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.C9．BD [对于A ，若m >0，n <0，则m －n >0，所以A 错误；对于B ，当x ＝π3时，tan x ＝3，反之，当tan x ＝3时，x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以“x ＝π3”是“tan x ＝3”的充分不必要条件，所以B 正确；对于C ，命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x<2”，所以C 错误；对于D ，因为三个班每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，所以不同的分法为C 24A 33－A 33＝30，所以D 正确．故选BD.]10．BC [在A 中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；在B 中，样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确； 在C 中，n ＝600.3＝200，故n 的值为200，故C 正确； 在D 中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D 错误． 故选BC.]11．ABCD [由题意得该多面体是一个三棱锥，如图所示，故A 正确；因为AP ＝2a ，CP ＝2a ，AC ＝2a ， 所以AP 2＋CP 2＝AC 2， 所以AP ⊥CP ，又AP ⊥BP ，BP ∩CP ＝P ，BP ，CP ⊂平面BCD ， 所以AP ⊥平面BCD ， 又因为AP ⊂平面BAD ，所以平面BAD ⊥平面BCD ，故B 正确； 同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故C 正确； 通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R ＝52a ， 所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故D 正确． 综上，正确命题为ABCD.]12．ABC [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 018x，x ≥0，－x ，x <0，∴在(－∞，0)上，f (x )＝－x 单调递减，且f (x )>0；在[0，＋∞)上，f (x )＝2 018x 单调递增，且f (x )≥1，∴f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2 0182 018x，x ≥0，2 018－x ，x <0.画出函数y ＝f (f (x ))和y ＝t 的图象的示意图，如图所示，结合函数y ＝f (f (x ))与y ＝t 的图象可得，当实数t ≤1时，关于x 的方程f (f (x ))＝t 没有实根，A 正确；当实数1<t <2 018时，关于x 的方程f (f (x ))＝t 恰有1个实根，B 正确；当实数t ≥2 018时，关于x 的方程f (f (x ))＝t 恰有2个不同实根，C 正确；不存在实数t ，使得关于x 的方程f (f (x ))＝t 有3个不同实根，D 错误．故选ABC.]13.21解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ， ∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，∴(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝21， ∴|a －2b |＝21. 14.5π12解析 在△ABC 中，∵A ＝π3，a ＝6，b ＝26，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝22，由a >b ，得B ＝π4， 所以C ＝5π12.15．3解析 由等轴双曲线可设M (x 1，x 1)， N (x 2，－x 2)，x 1>0，x 2<0， 由PN →＝3PM →，得(x 2－a ，－x 2) ＝3(x 1－a ，x 1)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a ＝3(x 1－a )，－x 2＝3x 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x 1，x 2＝－3x 1，S △OMN ＝122x 1·2(－x 2)＝3，解得x 1＝1，则a ＝3. 16．[0,1)∪[2，＋∞) (2,4) 解析 当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2x，x ≥1，当0≤x <1时，0≤x 2<1，当x ≥1时，2x ≥2， 综上f (x )≥2或0≤f (x )<1，即函数f (x )的值域是[0,1)∪[2，＋∞)．函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即f (x )＝b 有两个根，当x ≥0时，作出函数y ＝x 2和y ＝2x 的图象(图略)，由于y ＝x 2在[0，a )上单调递增，y ＝2x 在[a ，＋∞)上单调递增，要使函数f (x )在[0，＋∞)不单调，即有a 2>2a ，设h (a )＝a 2－2a ，又h (2)＝h (4)＝0，可得2<a <4.即实数a 的取值范围是(2,4)．17．解 (1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0， 即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°<B <180°，∴sin B ≠0， ∴cos C ＝－12，即C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4， 又a >0，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.18．解 (1)由已知a n －a n －1＝2n －1，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1， ∴a n ＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋22＋21＋1， ∴a n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.(2)b n ＝log 2(a n ＋1)＝n ， 1b n ·b n ＋1＝1n (n ＋1) ＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.19．(1)证明 如图，取P A 的中点M ，连接MD ，ME ，则ME ∥AB ，ME ＝12AB ，又DF ∥AB ，DF ＝12AB ，所以ME ∥DF ，ME ＝DF ，所以四边形MDFE 是平行四边形，所以EF ∥MD ， 因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A ，因为平面ABCD ⊥平面P AD ，平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ， 因为MD ⊂平面P AD ，所以MD ⊥AB ， 因为P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， 所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB ， 又EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面P AB .(2)解 过点P 作PH ⊥AD 于点H ，则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，HA 所在直线为x 轴，过点H 且平行于AB 的直线为y 轴，PH 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，在等腰三角形P AD 中，PD ＝AD ＝3，P A ＝4， 因为PH ·AD ＝MD ·P A ，所以3PH ＝4×32－22，解得PH ＝453，则AH ＝83，所以P ⎝⎛⎭⎫0，0，453，B ⎝⎛⎭⎫83，6，0， 所以PB →＝⎝⎛⎭⎫83，6，－453，易知平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－26539，所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为26539.20．解 (1)散点图如图，用y ^＝m ^e －x ＋n ^作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．(2)由题意知m ^＝∑i ＝15(ωi －ω)(y i －y )∑i ＝15(ωi －ω)2＝0.90.09＝10，n ^＝y －m ^ω＝2－10×0.12＝0.8， 故所求的回归方程为y ^＝10×e －x ＋0.8. (3)列表如下：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.19，∑i ＝15(y i －y )2＝9.1，R 2＝1－0.199.1≈0.979>0.95，所以回归模拟的拟合效果非常好． 21．解 (1)由直线l ：x a －yb ＝1，∴32＝|ab |a 2＋b 2，即4a 2b 2＝3a 2＋3b 2，①又由e ＝63，得c 2a 2＝23，即c 2＝23a 2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13a 2，②将②代入①得43a 4＝4a 2，∴a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2， ∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为x ＝0， 则直线m 与椭圆的交点为(0，±1)，又∵E (－1,0)，∴∠CED ＝90°，即以CD 为直径的圆过点E ； ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为y ＝kx ＋2， C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 由Δ＝144k 2－4×9(1＋3k 2)＝36k 2－36>0，得k >1或k <－1，∴x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， ∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ⊥ED ，即EC →·ED →＝0，由EC →＝(x 1＋1，y 1)，ED →＝(x 2＋1，y 2)，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0，∴9(1＋k 2)1＋3k 2＋(2k ＋1)·－12k 1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76>1，即直线m ：y ＝76x ＋2；综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为x ＝0或y ＝76x ＋2.22．(1)解 当a ＝12时，f ′(x )＝12－cos x ，由f ′(x )＝0，得x ＝π3，所以x ∈⎣⎡⎭⎫0，π3时，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎦⎤π3，π时，f ′(x )>0，因此f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫0，π3，单调递增区间为⎝⎛⎦⎤π3，π， 所以f (x )的最大值为max{f (0)，f (π)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，π2－1＝π2－1.(2)证明 先证2πx －sin x ＋cos x －1≤0，令g (x )＝2πx －sin x ＋cos x －1，则g ′(x )＝2π－cos x －sin x＝2π－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]与y ＝2π的图象易知， 存在x 0∈[0，π]，使得g ′(x 0)＝0，故x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0；x ∈(x 0，π)时，g ′(x )>0， 所以g (x )的单调递减区间为(0，x 0)，单调递增区间为(x 0，π)， 所以g (x )的最大值为max{g (0)，g (π)}，而g (0)＝0，g (π)＝0，又由a ≤2π，x ≥0，所以ax －sin x ＋1＋cos x ≤2πx －sin x －1＋cos x ≤0，当且仅当a ＝2π，x ＝0或x ＝π时，等号成立，即f (x )＋cos x ≤0.。