湖南省五市十校联考2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
湖南省2017-2018学年高三六校联考理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤=== （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5 【答案】D考点：集合的交集运算．2.“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 【答案】D 【解析】试题分析：依据逆否的概念把原中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原的逆否应为“若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数”，故选D. 考点：四种的概念.3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 【答案】C考点：程序框图中的循环结构. 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=-D ．sin 2cos 2y x x =+【答案】C 【解析】试题分析：A ．22cos 1cos2y x x =-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数不单调；B ．tan y x =-在3(,)44ππ上不连续，也不符合题意；C ．cos(2)sin 2x 2y x π=-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数单调递减，符合题意；D ．sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3x (,)44ππ∈时，372x ,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数不单调，也不符合题意，故选C. 考点：三角函数的单调性.5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．10 【答案】D考点：随机抽样中的系统抽样法.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103πC ．6πD ．83π【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面半径为1高为6的圆柱按图中的截面截去一半剩下的部分，如图所示，所以几何体的体积21163,2V ππ=⨯⨯=故选A.考点：几何体的三视图与体积.7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)ax dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．24 【答案】A考点：二项式定理及微积分基本定理的应用.8.若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件302302x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件，即2xy =图象上存在点(,)x y 在阴影区域内，则必有12m ≤，即实数m 的最大值为12，故选D.考点：简单的线性规划.9.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2λ≥B ．3λ>C ．3λ≥D ．2λ> 【答案】D考点：等差、等比数列的前n 项和公式及数列的函数特性.10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A ．22min 22S a a b b =++ B ．22min 23S a b =+C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关D ．S 有5个不同的值 【答案】C 【解析】试题分析：S 可能的取值有3种情况：2222222212,S a a b b b S a a b a b b b =++++=++++ ，23S a b a b a b a b b =++++ ．2213232()0,()0S S a b S S a b -=->-=->，所以321S S S <<，若2min 4S b a b =+ ，若a b ⊥，则min S 与a 无关，故选C ．考点：共线向量定理及平面向量数量积的应用.【方法点晴】本题以的形式考查平面向量的数量积及共线向量定理的应用，考查学生推理、运算和分析问题的能力，属于中档题.虽然形式上本题条件复杂给考生一种威慑感，但仔细分析实际上就是考查了平面向量的数量积运算，解答本题的关键是先求出S 的三种结果，通过作差比较123,,S S S 的大小关系，问题就迎刃而解了.11.设a b c x y ===+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确 【答案】A考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得c a c a ≥≥>，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到c a b a c -<<+即得p 的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出p 的取值范围.12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．12 D ．2【答案】D 【解析】考点：椭圆的标准方程、几何性质及基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质，着重考查了基本不等式和考生分析问题及利用函数思想解决问题的能力，属于难题.解答本题的入手点是消元法，根据椭圆方程把mn 转化为22b a，然后通过换元来构造函数，考查了考生应用函数的意识和能力，把问题转化为求函数在给定区间上的最值点问题，最后再根据椭圆中基本量,,a b c 求得离心率的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知复数21iz i=-，则z =________．【解析】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以z = 考点：复数模的概念与复数的运算.14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________．【答案】4或【解析】试题分析：1242ABC S C ∆=⨯⨯=，得sin C =，∴cos 5C =±．∴AB =4AB =或考点：利用余弦定理解三角形.15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 【答案】53考点：圆与圆的位置关系.【方法点晴】本题形式上考查了圆圆的位置关系，但本质上还要转化为直线与圆的位置关系问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题.本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了. 16.给出下列：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x + 在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实 数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8 个．则所有正确的序号为________． 【答案】（1）（2）（3）考点：函数的单调性、奇偶性及函数的零点等知识的综合应用.【方法点晴】本题以多选题的形式考查了考生对函数单调性、奇偶性、分段函数及函数与方程等知识及分类讨论和数形结合及化归的能力，属于难题.要准确解答多选题，需要考生对每个都要作出准确判断才能得分.解答的（1）、（2）的关键是构造法，根据题目条件构造函数奇偶性和单调性定义的形式来判断；（3）考查了分段函数的单调性和分类讨论，避免思维定势；（4）需要通过数形结合来解答.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 【答案】(1) 若10a =，则0n a =，若10a ≠，则2nn a λ=；(2) 数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大. 【解析】试题分析：（1）根据11n n a a S S λ=+，当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，写出11,n n a s --的表达式，两式相减消去1,n n S S -得到数列{}n a 的递推式，根据等比数列通项公式求解，注意讨论1a 是否等于0；（2）根据（1）的结论设1lgn nb a =，整理得2lg2nb n =-，判断出{}n b 的单调性和各项的符号，即可求得最大值.考点：数列的递推公式和等差数列通项公式和前n 项和的最值问题. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ；（2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)4（2）解：取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则OC ⊥平面ABD ，CDO ∠即是CD 与平面ABDE所成角，4OC CD =，设AB x =4x=2AB =，取DE 的中点为G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则考点：空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)、、、20,3030,4040,5050,60、两项培训，培训结束分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．【答案】（1）14；（2）35；（3）概率分布见解析，数学期望是267392.由题设知X的可能取值为0，1，2．∴15385153153177 (0)(1)(1),(1)(1)(1)498196498498392 P X P X==--===⨯-+-⨯=，15345(2)498392P X==⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴X的概率分布为X的数字期望为8517745267012196392392392EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：用样本的数字特征估计总体及离散型随机变量的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB；（2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．【答案】（1）234p -；（2）k =3k =±.根据1()(0)f x x x x =+>的图象和性质得，23k =或213k =，即k =3k =±．．．．12分考点：直线与抛物线位置关系的应用.【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系问题，考查学生的运算能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于难题.本题第一问思维简单，主要考查了考生运用方程思想和韦达定理解决问题的能力，第二问的技巧在于利用导数的几何意义求得切线AM 斜率和方程，代换得到BM 的方程，从而求得点M 坐标，发现直线MF 与AB 相互垂直对于最后表示出四边形的面积十分关键，根据弦长公式求出AB 的长，代换得到CD 的出，最后通过四边形ACBD 的面积得到斜率k 的方程，这一过程考查了考生的逻辑推理能力和运算能力.21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间； （2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞；（2）证明见解析.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<．综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F ．（1）求证：DEA DFA ∠=∠；（2）若030EBA ∠=，2EF EA AC ==，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1.考点：平面几何中四点共圆及三角形相似证明和应用.23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB = ，求实数m 的值．【答案】（1）222x y x +=，x m =+；（2）1m =±1m =.（2）把212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由0∆>，解得 13m -<<，∴2122t t m m =-． ∵121PA PB t t == ，∴221mm -=±， 解得1m =或1m =．又满足0∆>．∴实数1m =±或1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.24. （本小题满分10分）函数()f x =．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数()R a b B C A ∈ 、时，证明：124a b ab +<+． 【答案】（1）{}|41A x x x =≤-≥或；（2）证明见解析.考点：绝对值不等式的解法及不等式的证明.。
【数学】湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试(理)
湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试（理）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.所有试题请在答题卡上作答，答题卷上作答无效，考试结束后只收答题卡.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合}05|{2>-=x x x M ，{2,3,4,5,6,7,8}N=,则N M 等于( )A.}4,3{B.}6,5{C.}4,32{，D.}54,32{，， 2.已知复数z 满足35i1z i+=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．74．在等差数列}{n a 中，38,a a 是函数183)(2--=x x x f 的两个零点，则}{n a 的前10项和等于（ ）A ．15-B ．15C ．30D ．30- 5．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[332-，332] D ．[332-，3] 6．已知3=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．B ．2C.32 D ．7．某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( )122A ．24 3B ．8 3 C.833 D ．10338．设0sin a xdx π=⎰，则二项式81()a x x-展开式的常数项是（ ） A. 1120B. 140C. -140D. -11209.函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点，若定点在直线1x y m n+= )0,0(>>n m 上，则的最小值为（ ）A. 13B.14C.16D. 1210．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则=-⋅+)()PN PO PM OP （（ ） A.20- B. 12 C.-12 D. 2011．已知圆()(),1a -x C 22=-+b y ：60400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩平面区域： ，C C C(,)2,8x a b ∈Ω若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点（）连线斜率的取值范围（ ）A ．77--35⎛⎤⎡⎫∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， B ．77--35∞+∞（，）（，） C ．77-35⎛⎫⎪⎝⎭， D ． 77-,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12．已知函数24,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩,()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在2(2,)x e ∈-时有3个实根，则k 的取值范围为( ) A.(1,2] B.{}3(1,]22⋃ C. 33(1,)(,2)22⋃ D. 2331(1,)(,2+)22e⋃ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上） 13．3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.14.现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总A A n m +3金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．15．已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______. 16．已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为2＋22，则AC 边长的最小值是________.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)等比数列}{n a 的各项均为正数，且12233a a +=，62239a a a =.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设1n nn b a +=，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD 是等腰直角三角形,且090=∠APD ,侧面PAD ⊥底面ABCD . (1)若M N 、分别为棱BC PD 、的中点,求证:MN ∥平面PAB ；(2)棱PC 上是否存在一点F ,使二面角F AB C --成030角，若存在,求出PF 的长； 若不存在,请说明理由.19. (本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响。
湖南省普通高等学校2017-2018学年高三全国统一考试考前演练(五)理数试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}|20,2,1,0,1,2A x x x B =-≤=--，则AB =（ ）A ．{}2,1--B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2 2.已知11zii i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限3.已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．54.已知():0,,32x x p x ∀∈+∞>；():,0,32q x x x ∃∈-∞>，则下列为真的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于2a ，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．3 6.已知函数()()cos 02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()00f x f =-，则正确的选项是（ ）A ．0,16x πϕ== B ．04,63x πϕ==C ．0,13x πϕ==D ．02,33x πϕ== 7.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．-2B ．12C ．-1D ．2 8.在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．4π9.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ．2B ．4C ．2．4+10.如图所示，直四棱柱1111ABCD A BC D -O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为（ ）A ．1 B．211.已知函数()()21,02,0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．()0,+∞ C ．()2,0- D ．(),2-∞-12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,b,c a ，已知2,sin c A B ==，则ABC ∆面积的最大值为（ ） ABCD ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件0122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是____________．14. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭人展开式中含2x 项的系数为_____________． 15.已知正实数x y 、满足xy x y =+，若2xy m ≥-恒成立，则实数m 的最大值是__________．16.过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，作,AC BD 垂直抛物线的准线l 于,,C D O 为坐标原点，则下列结论正确的是__________（填写序号）． ①AC CD BD BA +=-；②存在R λ∈，使得AD AO λ=成立； ③0FC FD =；④准线l 上任意点M ，都使得0AM BM >三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,433n n n a S S a +==++． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4,PD E =为PA 的中点．（1）求证：平面EBD ⊥平面 PAC ； （2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值． 19.（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：()()()1122211,n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()1,0F 的距离与它到直线2x =的距离之比为2． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线()0y kx m m =+≠与曲线E 交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于,C D 两点（且C D 、在A B 、之间或同时在A B 、之外）．问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln xf x mx m R x=-∈． （1）当0m =时，求函数()f x 零点的个数；（2）当0m ≥时，求证：函数()f x 有且只有一个极值点；（3）当0b a >>时，总有()()1f b f a b a->-成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 为O 的直径，过点B 作O 的切线,BC OC 交O 于点,E AE 的延长线交BC于点D ．（1）求证：2CE CD CB =； （2）若122,5AB BC ==，求CE 和CD 的长． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）和cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（2）射线:OM θα=与圆1C 的交点为O P 、，与圆2C 的交点为O Q 、，求OP OQ 的最大值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a m x a =-++．（1）当1m a ==-时，求不等式()f x x ≥的解集；（2）不等式()()201f x m ≥<<恒成立时，实数a 的取值范围是{}|33a a a ≤-≥或，求实数m 的集合．参考答案一、选择题二、填空题 13. 12-14. 2 15. 6 16. ①②③ 三、解答题17.【解析】（1）∵143n n n S S a +=++，∴143n n a a +=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴1144411n n n n a a a a +++==++，∴()2221244444411114443333333n n n n n S a a a n n=+++=-+-++-=+++-=+++-()14141443149nn n m +--=⨯-=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.【解析】（1）设ACBD O =，连结,EO PO ，∵O 为正方形的中心，∴PO ⊥底面ABCD ，∴PO BD ⊥． 又∵ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥， ∵POAC O =，∴BD ⊥平面 PAC ，又∵BD ⊂平面 EBD ，∴平面 EBD ⊥平面 PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵PO ⊥平面 ABCD ，AC BD ⊥，建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分则()()(,,,A B P E()(22,0,0,2,OA BE ==-，∵,OA PO OA BD ⊥⊥，∴OA 为平面PBD 的一个法向量． 设BE 与平面 PBD 所成角为θ，则6sin cos ,6OA BE OA BE OA BEθ===， ∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）解法一：容易算得2013,260.2x y ==，()()()12113,260.2132013niii nii x x y y b a y bx x x ==--===-=-⨯-∑∑，故所求的回归直线方程为()13260.2132013132013260.2y x x =+-⨯=-+．．．．．．．．．．．．．．．．6分解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得11110, 3.2n ni i i i x x y y n n ======∑∑，122113013, 3.210ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-====-=-∑∑ 所求的回归直线方程为()()2572013132013 3.2y b x a x -=-+=-+， 即()132013260.2y x =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当2020x =时满足（1）中所求的回归直线方程．此时()1320202013260.2351.2y =-+=（万吨）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．【解析】（1）设(),M x y 2=，整理得2212x y +=， ∴轨迹E 的方程为2212x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）联立2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222124220k xmkx m +++-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()()()()22222441222821mk k m k m ∆=-+-=-+，由0∆>得()2221*m k <+．设()()1122,,,A x y B x y ，则122421mkx x k -+=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由题意，不妨设(),0,0,m C D m k ⎛⎫-⎪⎝⎭， OAC ∆的面积与OBD ∆的面积总相等AC BD ⇔=恒成立⇔线段AB 的中点与线段CD 的中点重合．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴2421mk m k k -=-+，解得2k =±，即存在定值2k =±，对于满足条件0m ≠，且m <*）的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．【解析】（1）当0m =时，()()()2ln 1ln 0,x xf x x f x x x-'=>=，令()0f x '=，得x e =，∴函数()f x 在区间()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵()()max 110,0f x f e f e ee ⎛⎫==>=-< ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 在区间()0,e 内有且只有一个零点； 又当x e >时，()ln 0xf x x=>恒成立， ∴函数()f x 在区间(),e +∞内没有零点．综上可知，当0m =时，函数()f x 有且只有1个零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证明：∵()()ln 0xf x mx m x=-≥， ∴()()2221ln 1ln 0x x mx f x m x x x---'=-=>， 令()21ln g x x mx =--，∵()120g x mx x'=--<， ∴函数()g x 在区间()0,+∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵2102m m m m g e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭（∵me m >），()20ge m e =-<，∴()00,x ∃∈+∞，使得()00g x =，∴当()00,x x ∈时，()0g x >，即()()0,f x f x '>在区间()00,x 单调递增； 当()0x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在区间()0,x +∞单调递减， ∴0x x =是函数()f x 在区间()0,+∞内的极大值点，即当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）∵当0b a >>时，总有()()1f b f a b a->-成立，即当0b a >>时，总有()()f b b f a a ->-成立，也就是函数()()h x f x x =-在区间()0,+∞上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由()()()ln 10x h x m x x x =-+>可得()()21ln 10xh x m x -'=-+≥在区间()0,+∞恒成立，即21ln 1xm x-≤-在区间()0,+∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设()21ln 1x k x x -=-，则()()32ln 30x k x x x -'=>，令()0k x '=，则32x e =，∴当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x '<，函数()k x 在区间320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当32+x e ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0k x '>，函数()k x 在区间32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ∴()32333min3112112k x k e e ee ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭，∴所求m 的取值范围是3112m e ≤--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．【解析】（1）证明：连接BE ， ∵BC 为O 的切线，∴090ABC ∠=，∵AEO CED ∠=∠，∴CED CBE ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴CEDCBE ∆∆， ∵C C ∠=∠，∴CEDCBE ∆∆， ∴CE CD CB CE=， ∴2CE CD CB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵121,5OB BC ==，∴135OC =， ∴85CE OC OE =-=， 由（1）2CE CD CB =，得281255CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴1615CD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．【解析】（1）圆1C 和2C 的普通方程分别是()2224x y -+=和()2211x y +-=，∴圆1C 和2C 的极坐标方程分别是4cos ρθ=和2sin ρθ=．．．．．．．．．．．．．．5分（2）依题意得，点,P Q 的极坐标分别为()4cos ,P αα和()2sin ,Q αα，不妨取0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴4cos ,2sin OP OQ αα==，从而4sin 24OP OQ α=≤，当且仅当sin 21α=±时，即4πα=时，上式取“=”，O P O Q 取最大值4．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）当1x <-时，不等式等价于()()11x x x -++-≥，解得2x ≤-； 当11x -≤<时，不等式等价于()()11x x x ++-≥，解得01x ≤<；当1x ≥时，不等式等价于()()11x x x +--≥，解得12x ≤≤，综上，不等式()f x x ≥的解集为{}|202x x x ≤-≤≤或.．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()()()()12122f x x a m x a m x a x a m x a m a m x a m a =-++=-+++--≥+--≥≥， 解得1a m ≤-或1a m≥，又实数a 的取值范围是{}|33a a a ≤-≥或， 故13m =，即13m =， ∴实数m 的集合是1|m 3m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分。
2017年届高三五市十校联考理科数学(试卷版)
“湖南省五市十校教研教改共同体”2017届高三12月联考数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2、选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区均无效．3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应题目的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区均无效．4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区均无效．姓名：_______________准考证号：_______________“湖南省五市十校教研教改共同体”2017届高三12月联考数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题） 全卷满分150分，考试用时120分钟 命题单位：湖南省宁乡县第一高级中学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{|A x x =≥2}，1{|0}4x B x x -=>-，则A B =I （ ） A ．∅ B ．[2,4)C ．[2,)+∞D ．(4,)+∞（2）已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ） A ．1BC ． 2D．（3）已知数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+(0)q ≠，则“A B =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分且不必要条件（4）在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）A．2B ．2C1 D1（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．272π B ． 27π C．D．2正视图侧视图俯视图ABC D P（6）若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．A ．4B ．6C ．8D ．12（7）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，过点1F 且与x 垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．2C ．12+D ．22+（8）ABC ∆是边长为2的等边三角形，向量a r ，b r 满足2AB a =u u u r r ，2AC a b =+u u u r r r ，则向量a r ，br的夹角为（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o（9）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，则条件框内应填写（ ） A ．3?i > B ．4?i < C ．4?i > D ．5?i < （10）等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且1a ＜0，若存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则当n ＞m 时，n S 与n a 的大小关系是（ ） A ．n S ＜n a B ．n S ≤n a C ．n S ＞n a D ．大小不能确定（11）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑（ ） A ．1- B ．0 C ．12D ．16π 512π 1-11,10i S ==1i i =+2i S S =-输出S 开始结束是 否（12）已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．⎛-∞ ⎝ B．(-∞C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知直线:0l mx y +=与圆22(1)2x y ++=相交，弦长为2，则m =________．（14）在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）．（15）有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________．（16）有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin 0a C C b c +--= （I ）求A ；（II ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，2AD =，求ABC ∆的面积．ABCD为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统（I ）在该县山区居民中随机抽取户，记其中年用电量不超过度的户数为，求X的数学期望；（II ）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．（I ）求证：AB PC ⊥；（II ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45o，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．PBCMA如图，设点,A B的坐标分别为(，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．（21）（本小题满分12分），函数31()||3f x x x a =+-（x R ∈，a R ∈）． （I ）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （II ）若函数()f x 在R 上不单调时：（i ）记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，求()()M a m a -； （ii ）设b R ∈，若2|()|3f x b +≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． （22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．“湖南省五市十校教研教改共同体”2017届高三12月联考数学（理科）参考答案1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算． 答案：D ．2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算． 答案：A ．1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===-++-．，故选A ． 3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．答案：B ．若0A B ==，则0n S =，故数列{}n a 不是等比数列；若数列{}n a 是等比数列，则1a Aq B =+，22a Aq Aq =-，323a Aq Aq =-，由3221a a a a =，得A B =-．选B ． 4．命题依据：几何概型．答案：D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD于1P 、2P ，则当P 在线段12P P 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB，易得121PP CD=，即ABP ∆的最大边是AB1．5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．答案：B ．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为2，从而计算得表面积为24(272ππ=．故选B ． 6．命题依据：线性规划的应用．答案：B ．作出可行域为开放区域，2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6．故选B ．7．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．答案：C ．由已知22b c a=，即2220c ac a --=，得2210e e --=，解得1e =C ．8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算． 答案：C ．易得120o． 9．命题依据：算法，程序框图．ABD PCP 1 P 2答案：D ．10．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案：C ．若1a ＜0，存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则0d >．因为若d ＜0，则数列是递减数列，则m m S a <，不会有m m a S =．由于1a ＜0，0d >，当m ≥3，有m m a S =，则0m a >，0m S >，而1n m m n S S a a +=+++L ，显然n n S a >．故选C ． 11．命题依据：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．答案：B ．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()sin(2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=， 201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑．故选B ． 12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．答案：B ．由题意得即方程()221ln 2xx e x x a -+-=++有正根，即()1ln 2x e x a --=+有正根， 作函数12x y e -=-与()ln y x a =+的图象，则可知0x =时，()1ln 2x a +<故a <B ．13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．答案：m =．由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离为d =，所以212+=，解得m =． 14．命题依据：二项式定理的应用．答案：223355(1)2(1)10C C -+-=-．15．命题依据：线线角，面面垂直．答案：14． 16．命题依据：数学应用，数学建模．答案：(1L +．思路一：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为Lv v'-，从排头到队尾的时间为L v v '+，往返共用时间为L Lt v v v v=+''-+，则传令兵往返路程S v t '=．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则L vt =．故22()2t v v v L ''-=，可得222()2t v v v tL ''-=．即22()2()0v t L v t L ''--=，解得(1v t L '=，传令兵所走的路程为(1L +． 思路二：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为Lv v'-，从排头到队尾的时间为Lv v'+，则易得 L L Lv v v v v +=''-+，化简得222v v v v ''-=，得1v v'=，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1L ．17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理． 【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值． （II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．【解答】（I ）因为cos sin 0a C C b c +--= ，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，……3分cos 1A A -=，所以1sin(30)2A ︒-=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分（II ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =．……7分则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==12分18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识．解：（I ）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知，3()5P A =．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．……6分 （II ）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）……10分 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……12分19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用． 【分析】（I ）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明； （II ）假设存在点M ，利用二面角M AC D --的大小为45o 确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角． 【解答】（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD ==BC =可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45o ．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．A DBC因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，AN =在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=o．……8分在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅，设点B 到平面MAC 的距离是h ，13B MAC MAC V S h -∆=⋅，则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅，解得h =分 在Rt BMN ∆中，可得BM =．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin h BM θ==．……12分 法二：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=o ，则NG MN =，又AN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A，C，(0,D ，(0,0,2)P，B，(0,2)PD =-u u u r．设PM tPD =u u u u r u u u r（01t ≤≤），则M的坐标为(0,,22)t -．……6分设(,,)n x y z =r是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u ur，得0(22)0t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取(1,1,)1n t =--．……8分 又(0,0,1)m =u r是平面ACD 的一个法向量，所以|||||cos ,|cos 45||||m n m n m n ⋅<>===o u r ru r r u r r解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC的一个法向量可取(1,n =-，(BM =-u u u u r．BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin |cos ,|n BM θ=<>=r u u u u r ．……12分20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。
湖南省2017-2018学年高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷(理科)(二) Word版含解析
2017-2018学年湖南省高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|x﹣1＜0}，B={x|0≤x＜2}，那么A∩B等于（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|x＞2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|1＜x＜2}2．若=i，则复数z为（）A．iB．﹣iC．2D．﹣2i3．下列中真是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx4．函数y=cos（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象向（）A．右平移个单位B．右平移个单位C．左平移个单位D．左平移个单位5．已知，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（）A．B．C．D．6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．15B．29C．31D．637．设M为平面上以A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣3，2）三点为顶点的三角形区域（包括内部和边界），当点（x，y）在M上变化时，z=4x﹣3y的取值范围是（）A．[﹣18，13]B．[0，14]C．[13，14]D．[﹣18，14]8．在正方体中放入9个球，一个与立方体6个表面相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个表面相切，若正视的方向是某条棱的方向，则正视图为（）A．B．C．D．9．某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种10．（a+b+c）10的展开式中，合并同类项后不同的项有（）A．66B．78C．105D．12011．已知a，b为正数，则“a+b≤2“是“+≤2“成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件12．∀x∈（0，）都有：f（x）＞0且f（x）＜f′（x）tanx，则下列各式成立的是（）A．f（）＜f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）＜f（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为．14．f（x）=在区间（1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．15．圆台的侧面积为πcm2，它的内切球的表面积是4πcm2，则圆台的体积为cm3．16．Rt△ABC中，∠A=90°，sin sin=．若∠B，∠C的平分线的长的乘积为8，BC=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1BC的底面△ABC中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA1=4，M．N分别是A1B1，A1A的中点．（1）求证：A1B⊥C1M；（2）设直线BN与平面ABC1所成的角为θ，求sinθ．18．已知等差数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}的前两项为a2，a5且公比为3，记数列{a n}的前n项和为A n，数列{b n}的前n项和为B n．（I）求A n，B n；（Ⅱ）如果≥，试求所有正整数n的值．19．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．（参考公式：，其中n=a+b+c+d）20．已知点A是抛物线y=上的一个动点，过A作圆D：x2+（y﹣）2=r2（r＞0）的两条切线，它们分别切圆D于E，F两点．（1）当r=，A点坐标为（2，2）时，求两条切线的方程；（2）对于给定的正数r，当A运动时，A总在圆D外部，直线EF都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．21．已知f（x）=x2+ax+lnx不是单调函数．（1）求a的取值范围；（2）如果对满足条件的一个实数a，函数f（x）+m都至多有一个零点，求实数m的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
湖南省永州市2017-2018学年高三高考第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案
2017-2018学年数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合()(){}210A x x x =-+<，{}11B x Z x =∈-≤≤，则A B = （ ） A ．{}10-，B ．{}01，C ．{}101-，，D ．{}12-，2.若复数z 满足()122z i +=，则z 的虚部为（ ） A ．45-B ．45 C ．45i -D ．45i3.焦点是()02±，，且与双曲线22133x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ） A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ．222x y -= D ．222y x -=4.若a ，384b =，ln 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<5.“0m =”是“直线0x y m +-=与圆 ()()22112x y -+-=相切”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.运行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．37B ．33C ．11D ．87.下图是一个几何体的三视图，其中俯视图中的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．3B ．32π+C ．4D ．42π-8.如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 9.已知sin cos 6παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A．BC ．13-D ．1310.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（ ） A ．23-B ．23C．D11.已知向量a 与向量b 的夹角为23π，且2a b == ，又向量c xa yb =+ （x R ∈且0x ≠，y R ∈），则xc的最大值为（ ） ABC ．13D ．312.已知函数()()()11 232 [2)x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]08，内所有零点的和为（ ） A ．16 B ． 30C ．32D ． 40第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.(3ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = ．14.将函数()()()sin 30f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移12π个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的值为____________．15.若x ，y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为．16.已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，3A π=，且()sin sin 2B C B --=，则ABC △面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a λ=-，其中λ为常数． （Ⅰ）求λ的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令2221log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：34n T <．18.（本小题满分12分）如图1，在45A ∠=︒的平行四边形ABCD 中，DO 垂直平分AB ，且2AB =，现将ADO △沿DO 折起（如图2），使AC = （Ⅰ）求证：直线AO ⊥平面OBCD ；（Ⅱ）求平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值．19.（本小题12分）2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下表：（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望． 20.（本小题12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的焦距为2，y 轴上一点Q 的坐标为()03，．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB ⋅<,求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a =+-，()2x g x xe =． （Ⅰ）讨论函数()y f x =的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有唯一正整数解，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是ABC △的外接圆，D 是 AC 的中点，BD 交AC 于E ．（Ⅰ）求证：2DC DE DB =⋅；（Ⅱ）若CD =O 到AC 的距离等于点D 到AC 的距离的一半，求圆O 的半径r ． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线1:x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若1a =，解不等式：()41f x x ≥--； （Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]02，，()11002a m n m n+=>>，，求mn 的最小值．永州市2017年高考第一次模拟考试试卷 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1.B2.A3.D4.B5.B6.C7.C8.D9.C 10.B 11.A 12.C 二、填空题 13.4 14.34π15.2 16三、解答题17.（本小题满分12分）． 解（Ⅰ）由12a =，2n n S a λ=-，当1n =时，112a a λ=-，∴2λ=．……………………………………………………2分 ∴22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-．∴1122n n n n n a S S a a --=-=-……………………………………………………………4分 ∴()1120nn n a a a --=≠，()1111222n n n n ⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭．…………………………………9分12n n T b b b =+++…1111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…31134124n n =--<++，即证．……………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由题设：1AO =，1OA OB OD ===，2CD =， 由图1折起成图2后，AC =且CD OD ⊥，AO OD ⊥，①……………………………………………………1分 在AOC △中，2226OA OC AC +==,∴AO OC ⊥，②……………………………………………………………………3分 又OC OD O = ，③…………………………………………………………4分由①②③得，直线AO ⊥平面OBCD ．…………………………………………………6分 （Ⅱ）以O 为坐标原点，分别为OD OB OA ，，为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()001A ，，，()010B ，，，()120C ，，， ()011AB =-，，，()121AC =-，， 设平面ABC 的一个法向量为()1n x y z =，，，由1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：020y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取1y z ==，则1x =-，即()1111n =-，，，…………………………………………8分又OB ⊥平面AOD ，所以，平面AOD 的一个法向量为()2010n OB ==，，，……………………………9分设平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）为θ，则1212cos n n n n θ⋅=== ，………………………………………………………………11分所以，平面AOD 与平面ABC．…………………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，持满意态度的频率为36185025=， 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为1825；……………………………………3分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，………………………………………………………5分()2274225962170103620C C P C C ξ==⋅=⨯=，…………………………………………………………6分 ()211127724422225959421614711036103615C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=．………………………………………7分()1121272344222259594146131210361036180C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=．…………………………………8分()124222594113103690C C P C C ξ⋅=⨯=＝＝，………………………………………………………………9分所以ξ的分布列为：…………………………………………………………………………………………………10分 所以ξ的期望值为：7731138012320151809045E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………………12分 20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =，c a =，． 所以a =，1b =． 所以，所求的椭圆的方程为2212x y +=．………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 方程为：y x n =-+．联立2212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理可得：2234220x nx n -+-=， 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <<……………………………………………5分1243nx x +=，212233n x x -=， 设直线AB 之中点为()00P x y ，，则120223x x nx +==， 由点P 在直线AB 上得：0233n ny n =-+=， 又点P 在直线l 上，233n nm =+，所以3n m ⎛=-∈ ⎝……①………………………………8分又()113QA x y =- ，，，()223QB x y =-，，，∴()()112232323333QA QB x y x y ⋅-=-⋅--，， ()()121232333x x y y =+---223n n =-- 2963m m =+-()()33110m m =-+<解得：113m -<<……②……………………………………………………………………………………11分综合①②，m的取值范围为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．………………………………………………………………12分 （法二：请酌情给分）由题意设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 的中点为()P x y ，， 则121222x x x y y y =+=+，，将A ，B 两点分别代入椭圆方程，并联立22112222220220x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减得：()2222121220x x y y -+-=， 即()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=，又AB l ⊥，所以，12121AB y y k x x -==--， 所以，AB 的中点P 的轨迹方程为：12y x =， 由12y x y x m⎧=⎪⎨⎪=+⎩得：2x m y m =-⎧⎨=-⎩，即()2P m m --，， 又∵P 在椭圆内，∴()()22212m m -+-<，即213m <，即m <<，…………………………① 另一方面：易知：直线AB 的方程3y x m =--；联立223220y x m x y =--⎧⎨+-=⎩，消去y 并整理得：223121820x mx m ++-=， ∴124x x m +=-，2121823m x x -⋅=， 又()113QA x y =- ，，()223QB x y =- ，，∴()()112232323333QA QB x y x y ⋅-=-⋅-- ，， ()()121232333x x y y =+--- ()()212123223391893x x m x x m m =++++++-2963m m =+-()()33110m m =-+<解得：113m -<<，………………………② 综合①②：m的取值范围为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，21.（本小题满分12分）．解（Ⅰ）()'x f x e a =+①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()'0f x =，得()ln x a =-．此时，当()()ln x a ∈-+∞，时，()'0f x >，()f x 单调递增；当()()ln x a ∈-∞-，时，()'0f x <，()f x 单调递减………………………………………………5分（Ⅱ）由()()f x g x >得：()()121x a x e x ->-当1x =时，不等式显然不成立，又x 为正整数，所以1x >，()211x e x a x ->-，………………………………………………………………………………7分记()()211x e x x x ϕ-=-，则()()()223'1x e x x x x ϕ-=-，∴()x ϕ在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，…………………………10分且32342e a ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()()23a a ϕϕ⎧<⎪⎨≥⎪⎩， 解得32532e e a <≤， 综上所述，a 的取值范围为32532e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………………12分 22.（本题满分10分）解：（Ⅰ）∵D 是 AC 的中点，∴ABD CBD ∠=∠又∵ABD ACD ∠=∠∴CBD ACD BDC CDE ∠=∠∠=∠，，∴BDC CDE △∽△，∴BD DC CD DE=，即2DC DE DB =⋅，………………………………………………………………5分（Ⅱ）连结OD ，∵D 是 AC 的中点，∴OD AC ⊥，设垂足为F ， 则12OF DF OF DF OD r =+==，， ∴1233OF r DF r ==，， 在Rt OFC △中，222OF FC r +=，∴2289FC r =， 在Rt DFC △中，22248DF FC CD +==，即22284839r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得6r =．………………………………………………………………………………………………10分23.（本题满分10分）解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y --=，…………………………………………………………2分由()222224cos 04cos 04024x y x x y ρθρρθ-=-=+-=-+=⇔⇔⇔， 即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，…………………………………………………………5分（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得2214⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭，即230t --=，设方程230t --=的两根分别为12t t ，，则12AB t t =-==……………10分24.（本题满分10分） 解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为141x x -≥--，即12x -≥，∴12x -≥或12x -≤-，即3x ≥或1x ≤-，∴原不等式的解集为(1][3)-∞-+∞ ，，；…… ………………………………………………………5分 （Ⅱ）()111111f x x a x a a x a ≤-≤-≤-≤-≤≤+⇔⇔⇔，∵()1f x ≤的解集为[]02，∴10112a a a -=⎧⇒=⎨+=⎩………………………………………………………………………………………………7分∴)111002m n m n +=≥>>，， ∴2mn ≥（当且仅当11122m n ==即21m n ==，时取等号） ∴mn 的最小值为2．…………………………………………………………………………………………10分。
【湖南省师大附中】2017年高考一模数学(理科)试卷-答案
湖南省师大附中2017年高考一模数学（理科）试卷答 案1~5．ABACB 6~10．BDBCB 11~12．CC 13．±161415．12139n + 16．201717．解：（Ⅰ）因为2cos cos cos ,a A c B b C =+则由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C •=+， 所以2sin cos sin()sin A A B C A •=+=， 又0πA <<，所以sin 0A ≠，从而2cos 1A =，1cos 2A =， 故π3A =；（Ⅱ）由π3A =知sin A =ABC △的外接圆半径为1，故由正弦定理可得2sin a A ==， 再由余弦定理2222cos a b c bc A -=+， 可得222734bc b c a -=+==﹣，∴1sin 2ABC S bc A ==△18．解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3。
…（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种，… 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=。
… 所以()120843529P A ==。
答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6。
依题意得，X 的可能取值为0，1，2，262151(X 0)7C P C ===，119621518(X 1)35C C P C ===，2921512(X 2)35C P C ===。
所以X 的分布列为：X 0 1 2P17 1835 123519．（解法1）（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ， 所以BC ⊥平面PCD 。
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1+i，则z1z2＝（）A.2B.−2C.1+iD.1−i2. 设全集U=R，函数f(x)=lg(|x+1|−1)的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则(∁U A)∩B的子集个数为( )A.7B.3C.8D.93. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3,√3)，则f(π4)的值为（）A.√32B.√3C.2D.2√34. 如图所示的茎叶图（图1）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图2）中输入的a1，a2，a3，…，a50为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A.m＝38，n＝12B.m＝26，n＝12C.m＝12，n＝12D.m＝24，n＝105. 设不等式组{y≤x3y≥xx+y≤4表示的平面区域为Ω1，不等式(x+2)2+(y−2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A.√22B.√24C.√2D.3√26. 若函数f(x)=(2−m)xx2+m的图象如图所示，则m的范围为（）A.(−∞, −1)B.(−1, 2)C.(0, 2)D.(1, 2)7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A.11B.√22C.√52D.√58. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014>0，S2015<0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为( )A.1006B.1007C.1008D.10099. 已知非零向量a→，b→，c→满足|a→−b→|=|b→|=4，(a→−c→)⋅(b→−c→)=0，若对每一个确定的b→，|c→|的最大值和最小值分别为m，n，则m−n的值为（）A.随|a→|增大而增大B.随|a→|增大而减小C.是2D.是410. 已知如图所示的三棱锥D−ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB＝3，AC=√3，BC＝CD＝BD＝2√3，则球O的表面积为（）A.4πB.12πC.16πD.36π11. 如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ＝60∘且OQ→=3OP→，则双曲线C的离心率为（）A.2√33B.√72C.√396D.√312. 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[0, 1]，总存在唯一的y ∈[−1, 1]，使得x +y 2e y −a ＝0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[1, e]B.(1+1e,e] C.(1, e] D.[1+1e,e]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知a >0，(√x −x)6展开式的常数项为15，则∫ a−a (x 2+x +√4−x 2)dx =________．设a ，b ∈R ，关于x ，y 的不等式|x|+|y|<1和ax +4by ≥8无公共解，则ab 的取值范围是________．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)，设c n =(−1)n 2a n +12S n，则数列{c n }的前2016项的和为________．已知F 是椭圆C:x 220+y 24=1的右焦点，P 是C 上一点，A(−2, 1)，当△APF 周长最小时，其面积为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）△ABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD →⋅AC →=0,sin∠BAC =2√23，AB ＝3√2,BD =√3．(Ⅰ)求AD 的长； (Ⅱ)求cosC ．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF // AB ，EF =AD =12AB ．（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得AF // 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0, 2000]，(2000, 4000]，(4000, 6000]，(6000, 8000]，(8000, 10000]五组，并作出如下频率分布直方图：(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；(Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？,n=a+b+c+d．附：临界值表参考公式：，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0, c)(c>0)到直线l:x−y−2=0的距离为3√2，2设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0, y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|⋅|BF|的最小值．已知函数f(x)=axe x +1+be −x ，点M(0, 1)在曲线y =f(x)上，且曲线在点M 处的切线与直线2x −y =0垂直． （1）求a ，b 的值；（2）如果当x ≠0时，都有f(x)>xe x −1+ke −x ，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]选修4−4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosarpℎiy =3sinarpℎi （φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2, π3)．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]设f(x)=|x|−|2x −1|，记f(x)>−1的解集为M ． （1）求集合M ；（2）已知a ∈M ，比较a 2−a +1与1a 的大小．参考答案与试题解析2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可．【解答】复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1+i，所以z2＝1−i，∴z1z2＝(1+i)(1−i)＝2．2.【答案】C【考点】子集与真子集的个数问题交、并、补集的混合运算【解析】由对数式的真数大于0求得集合A，求解三角方程化简集合B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：由|x+1|−1>0，得|x+1|>1，即x<−2或x>0．∴A={x|x<−2或x>0}，则∁U A={x|−2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k, k∈Z}，则(∁U A)∩B={x|−2≤x≤0}∩{x|x=k, k∈Z}={−2, −1, 0}．∴(∁U A)∩B的元素个数为3．∴(∁U A)∩B的子集个数为：23=8．故选C.3.【答案】A【考点】正弦函数的奇偶性【解析】，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的根据正弦函数的性质可得相邻对称轴的距离为π2)的值终边经过点(3,√3)，利用定义求解φ，可得f(x)的解析式，即可求解f(π4【解答】由题意相邻对称轴的距离为π2，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点(3,√3)，在第一象限．即tanφ=√33，∴φ=π6故得f(x)=sin(2x+π6)则f(π4)=sin(π2+π6)=cosπ6=√32．4.【答案】B【考点】循环结构的应用茎叶图【解析】算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得【解答】由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n＝12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50−12−12＝26，故m＝265.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用题目的几何意义转化求解即可．【解答】不等式组{y≤x3y≥xx+y≤4表示的平面区域为Ω1，不等式(x+2)2+(y−2)2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：2+22−√2=√2．6.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．【解答】∵当x>0时，f(x)>0，∴2−m>0，故m<(2)f′(x)=(2−m)(m−x2)(x2+m)2．∵f(x)有两个绝对值大于1的极值点，∴m−x2＝0有两个绝对值大于1的解，∴m>(1)故选：D．7.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P−ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，由此能求出该多面体各面的面积中最大的面的面积．【解答】由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P−ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA=√12+(1+1)2=√5，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB=12×1×√5=√52．8.【答案】C【考点】等差数列的前n项和数列的函数特性【解析】由等差数列的求和公式和性质可得a1007>0，a1008<0，且|a1007|>|a1008|，由题意易得结论．【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得，S2014=2014(a1+a2014)2=1007(a1007+a1008)>0，∴a1007+a1008>0.同理由S2015<0可得2015a1008<0，可得a1008<0，∴a1007>0，a1008<0，且|a1007|>|a1008|.∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008.故选C.9.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律圆的一般方程【解析】通过假设a→=(4, 0)、b→=(2, 2√3)、c→=(x, y)，利用(a→−c→)⋅(b→−c→)=0，计算可得向量c→的终点在以(3, √3)为圆心、半径等于2的圆上，进而可得结论．【解答】解：假设a→=(4, 0)、b→=(2, 2√3)、c→=(x, y)，∵(a→−c→)⋅(b→−c→)=0，∴(4−x, −y)⋅(2−x, 2√3−y)=x2+y2−6x−2√3y+8=0，即(x−3)2+(y−√3)2=4，∴满足条件的向量c→的终点在以(3, √3)为圆心、半径等于2的圆上，∴|c→|的最大值与最小值分别为m=2+2√3，n=2√3−2，∴m−n=4，故选D.10.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为√3，利用△ABC和△DBC所在平面相互×垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为ℎ，则ℎ2+3＝R2＝(√322√3−ℎ)2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】∵AB＝3，AC=√3，BC＝2√3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为√3，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，×2√3−ℎ)2，设球心到平面ABC的距离为ℎ，则ℎ2+3＝R2＝(√32∴ℎ＝1，R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π．11.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】设双曲线的一条渐近线方程为ba x，A(a, 0)，P(m, bma)，(m>0)，由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得m=a32c2，r=a2c，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，A(a, 0)，P(m, bma)，(m>0)，由OQ→=3OP→，可得Q(3m, 3bma)，圆的半径为r＝|PQ|=√4m2+4b2m2a2=2m⋅ca，PQ的中点为H(2m, 2bma)，由AH⊥PQ，可得2bma(2m−a)=−ab，解得m=a32c2，r=a2c．A到渐近线的距离为d=√a2+b2=abc，则|PQ|＝2√r2−d2=r，即为d=√32r，即有abc=√32⋅a2c．可得ba =√32，e=ca =√1+b2a2=√1+34=√72．另可得△PAQ为等边三角形，设OP＝x，可得OQ＝3x，PQ＝2x，设M为PQ的中点，可得PM＝x，AM=√4x2−x2=√3x，tan∠MOA=AMOM =√3x2x=ba，则e=√1+(ba )2=√72．12.【答案】B【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】由x+y2e y−a＝0成立，解得y2e y＝a−x，根据题意可得：a−1≥(−1)2e−1，且a−0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．【解答】由x+y2e y−a＝0成立，解得y2e y＝a−x，∴对任意的x∈[0, 1]，总存在唯一的y∈[−1, 1]，使得x+y2e y−a＝0成立，∴a−1≥(−1)2e−1，且a−0≤12×e1，解得1+1e ≤a≤e，其中a＝1+1e时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是(1+1e,e]．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】2 3+2π3+√3【考点】二项式定理的应用定积分【解析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．【解答】由(√x x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅a6−r⋅x3r−62，令3r−62=0，求得r＝2，故常数项为C62⋅a4＝15，可得a＝1，因此原式为则∫a−a (x2+x+√4−x2)dx=∫1−1x2dx+∫1−1xdx+∫1−1√4−x2dx＝2∫10x2dx+2∫1√4−x2dx＝2⋅13+2(12⋅1⋅√3+12⋅π6⋅22)=23+2π3+√3，【答案】[−16, 16]【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】画出不等式表示的可行域，通过对a，b的符号讨论，然后求解ab的取值范围【解答】关于x，y的不等式|x|+|y|<1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标(1, 0)，(0, 1)，(0, −1)，(−1, 0)，关于x，y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a>0，b>0时满足题意，可得2b ≥1，8a≥1，可得0<ab≤16，当a>0，b<0时满足题意，可得2b ≤−1，8a≥1，可得：−2≤b<0，0<a≤8可得−16≤ab<0，当a<0，b>0时满足题意，可得2b ≥1，8a≤−1，可得：0<b≤2，−8≤a<0可得−16≤ab<0，当a<0，b<0时满足题意，可得2b ≤−1，8a≤−1，可得：−2≤b<0，−8≤a<0，∴0<ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[−16, 16]；【答案】−2016 2017【考点】数列的求和【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n(n∈N∗)①，则：2S n+1=a n+12+a n+1②，②-①得：2a n+1=a n+12−a n2+a n+1−a n，整理得：a n+1−a n=1，当n=1时，2S1=a12+a1，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n−1=n，所以：S n=n(n+1)2=n2+n2．则：c n=(−1)n2a n+12S n =(−1)n(1n+1n+1)，数列{c n }的前2016项的和为：T 2016=−(1+12)+(12+13)+⋯+(12016+12017)， =−1+12017， =−20162017．【答案】 4【考点】 椭圆的离心率 【解析】利用椭圆的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积． 【解答】 椭圆C:x 220+y 24=1的a =2√5，b =2，c =4，设左焦点为F ′(−4, 0)，右焦点为F(4, 0)．△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a −|PF ′|) =|AF|+|AP|−|PF ′|+2a ≥|AF|−|AF ′|+2a ，当且仅当A ，P ，F ′三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小． 此时直线AF ′的方程为y =12(x +4)，代入x 2+5y 2=20中，可求得P(0, 2)， 故S △APF =S △PF ′F −S △AF ′F =12×2×8−12×1×8=4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】（1）由AD →⋅AC →=0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π2+∠BAD)=cosBAD ， 所以cosBAD =2√23． 在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosBAD 即AD 2−8AD +15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3， 由于AB >AD ， 所以AD ＝3．（2）在△ABD 中，由正弦定理可知，BDsinBAD =ABsinADB ， 又由cosBAD =2√23， 可知sinBAD =13 所以sinADB =ABsinBADBD=√63 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ，即cosC =√63【考点】 解三角形三角形的面积公式 【解析】(Ⅰ)直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果． (Ⅱ)利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果． 【解答】（1）由AD →⋅AC →=0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π2+∠BAD)=cosBAD ， 所以cosBAD =2√23． 在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosBAD 即AD 2−8AD +15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3， 由于AB >AD ， 所以AD ＝3．（2）在△ABD 中，由正弦定理可知，BDsinBAD =ABsinADB ， 又由cosBAD =2√23， 可知sinBAD =13 所以sinADB =ABsinBADBD=√63 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ，即cosC =√63【答案】当N 为CF 的中点时，AF // 平面BDN ． 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ M 是AC 的中点， ∵ N 是CF 的中点，∴ MN // AF ，又AF 平面BDN ，MN ⊂平面BDN ， ∴ AF // 平面BDN ．过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点． 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =1，则BF =1，FP =√32，∵ EF =12AB =1，∴ OP =12(AB −EF)=12，∴OF =√22． ∴ A(12, −32, 0)，B(12, 12, 0)，C(−12, 12, 0)，F(0, 0, √22)，N(−14, 14, √24)．∴ AB →=(0, 2, 0)，AF →=(−12, 32, √22)，BN →=(−34, −14, √24)．设平面ABF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AB →=0n →⋅AF →=0， ∴ {2y =0−12x +32y +√22z =0，令z =√2得n →=(2, 0, √2)，∴ n →⋅BN →=−1，|n →|=√6，|BN →|=√32．∴ cos <n →，BN →>=n →⋅BN →|n →||BN →|=−√23． ∴ 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos <n →，BN →>|=√23．【考点】直线与平面平行 直线与平面所成的角 【解析】（1）当N 为CF 的中点时，AF // 平面BDN ．连结AC 交BD 于M ，连结MN ．利用中位线定理即可证明AF // MN ，于是AF // 平面BDN ；（2）过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点．以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量n →，则|cos <n →，BN →>|即为所求． 【解答】当N 为CF 的中点时，AF // 平面BDN ． 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ M 是AC 的中点， ∵ N 是CF 的中点，∴ MN // AF ，又AF 平面BDN ，MN ⊂平面BDN ， ∴ AF // 平面BDN ．过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点． 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =1，则BF =1，FP =√32，∵ EF =12AB =1，∴ OP =12(AB −EF)=12，∴OF =√22． ∴ A(12, −32, 0)，B(12, 12, 0)，C(−12, 12, 0)，F(0, 0, √22)，N(−14, 14, √24)．∴ AB →=(0, 2, 0)，AF →=(−12, 32, √22)，BN →=(−34, −14, √24)．设平面ABF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AB →=0n →⋅AF →=0， ∴ {2y =0−12x +32y +√22z =0，令z =√2得n →=(2, 0, √2)，∴ n →⋅BN →=−1，|n →|=√6，|BN →|=√32．∴ cos <n →，BN →>=n →⋅BN →|n →||BN →|=−√23． ∴ 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos <n →，BN →>|=√23．【答案】(Ⅰ)记每户居民的平均损失为x 元，则：x =(1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360 (Ⅱ)由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户， ∴ ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ=0)=C 122C 152=2235，P(ξ=1)=C 31C121C 152=1235，P(ξ=2)=C 32C 152=135，∴ ξ的分布列为：Eξ=0×2235+1×1235+2×135=25． (Ⅲ)如图：K2=50×(30×6−9×5)239×11×35×15≈4.046>3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．【考点】频率分布直方图独立性检验【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；(Ⅱ)由频率分布直方图，得损失超过4000元的居民有15户，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．(Ⅲ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】(Ⅰ)记每户居民的平均损失为x元，则：x=(1000×0.00015+3000×0.0002+ 5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360(Ⅱ)由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=C122C152=2235，P(ξ=1)=C31C121C152=1235，P(ξ=2)=C32C152=135，∴ξ的分布列为：Eξ=0×2235+1×1235+2×135=25．(Ⅲ)如图：K2=50×(30×6−9×5)239×11×35×15≈4.046>3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．【答案】解：(1)焦点F(0, c)(c>0)到直线l:x−y−2=0的距离，d=√2=√2=3√22，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．(2)设A(x1,14x12)，B(x2,14x22)，由(1)得抛物线C的方程为y=14x2，y′=12x，所以切线PA，PB的斜率分别为12x1，12x2，所以PA:y−14x12=12x1(x−x1)，PB:y−14x22=12x2(x−x2)，联立可得点P的坐标为(x1+x22,x1x24)，即x0=x1+x22，y0=x1x24，又因为切线PA的斜率为12x1=y0−14x12x0−x1，整理得y0=12x1x0−14x12，直线AB的斜率k=14x12−14x22x1−x2=x1+x24=x02，所以直线AB的方程为y−14x12=12x0(x−x1)，整理得y=12x0x−12x1x0+14x12，即y=12x0x−y0，因为点P(x0, y0)为直线l:x−y−2=0上的点，所以x0−y0−2=0，即y0=x0−2，所以直线AB的方程为x0x−2y−2y0=0．(3)根据抛物线的定义，有|AF|=14x12+1，|BF|=14x22+1，所以|AF|⋅|BF|=(14x12+1)(14x22+1)=116x12x22+14(x12+x22)+1=116x12x22+14[(x1+x2)2−2x1x2]+1，由(2)得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以|AF|⋅|BF|=y02+14(4x02−8y0)+1=x02+y02−2y0+1=(y0+2)2+y02−2y0+1=2y 02+2y 0+5 =2(y 0+12)2+92.所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|的最小值为92．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 抛物线的求解 抛物线的标准方程 【解析】（1）利用焦点到直线l:x −y −2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；（2）先设A(x 1,14x 12)，B(x 2,14x 22)，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有|AF|=14x 12+1，|BF|=14x 22+1，从而表示出|AF|⋅|BF|，再由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|⋅|BF|的最小值． 【解答】解：(1)焦点F(0, c)(c >0)到直线l:x −y −2=0的距离， d =2=2=3√22， 解得c =1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)设A(x 1,14x 12)，B(x 2,14x 22)， 由(1)得抛物线C 的方程为y =14x 2，y ′=12x ， 所以切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以PA:y −14x 12=12x 1(x −x 1)， PB:y −14x 22=12x 2(x −x 2)，联立可得点P 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，即x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，又因为切线PA 的斜率为12x 1=y 0−14x 12x 0−x 1，整理得y 0=12x 1x 0−14x 12，直线AB 的斜率k =14x 12−14x 22x 1−x 2=x 1+x 24=x 02，所以直线AB 的方程为y −14x 12=12x 0(x −x 1)，整理得y =12x 0x −12x 1x 0+14x 12，即y =12x 0x −y 0，因为点P(x 0, y 0)为直线l:x −y −2=0上的点， 所以x 0−y 0−2=0，即y 0=x 0−2， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0． (3)根据抛物线的定义，有|AF|=14x 12+1，|BF|=14x 22+1， 所以|AF|⋅|BF| =(14x 12+1)(14x 22+1) =116x 12x 22+14(x 12+x 22)+1 =116x 12x 22+14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+1，由(2)得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2， 所以|AF|⋅|BF|=y 02+14(4x 02−8y 0)+1=x 02+y 02−2y 0+1=(y 0+2)2+y 02−2y 0+1=2y 02+2y 0+5 =2(y 0+12)2+92.所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|的最小值为92． 【答案】f(x)=axe x +1+be −x 的导数为 f′(x)=a(e x +1)−axe x(e x +1)2−be −x ，由切线与直线2x −y =0垂直，可得 f(0)=1，f′(0)=−12， 即有b =1，12a −b =−12， 解得a =b =1；当x ≠0时，都有f(x)>xe x −1+ke −x ， 即为x1+e x +e −x >xe x −1+ke −x ，即有(1−k)e −x >2xe 2x −1，即1−k >2xe x −e −x ， 可令g(x)=2xe x −e −x ，g(−x)=−2xe −x −e x =g(x)，即有g(x)为偶函数，只要考虑x >0的情况．由g(x)−1=2x−e x −e −xe x −e −x ，x >0时，e x >e −x ，由ℎ(x)=2x −e x +e −x ，ℎ′(x)=2−(e x +e −x )≤2−2√e x ⋅e −x =0，则ℎ(x)在x >0递减，即有ℎ(x)<ℎ(0)=0，即有g(x)<1．故1−k ≥1，解得k ≤0．则k 的取值范围为(−∞, 0]．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与2x −y =0垂直，可得a ，b 的方程，解方程可得a ，b 的值；（2）由题意可得x 1+e x +e −x >x e x −1+ke −x ，即有(1−k)e −x >2x e 2x −1，即1−k >2xe x −e −x ，可令g(x)=2x e x −e −x ，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到k 的范围．【解答】 f(x)=ax e x +1+be −x 的导数为f′(x)=a(e x +1)−axe x(e x +1)2−be −x ，由切线与直线2x −y =0垂直，可得f(0)=1，f′(0)=−12，即有b =1，12a −b =−12，解得a =b =1；当x ≠0时，都有f(x)>x e x −1+ke −x ，即为x 1+e x +e −x >x e x −1+ke −x ，即有(1−k)e −x >2x e 2x −1，即1−k >2x e x −e −x ，可令g(x)=2x e x −e −x ，g(−x)=−2x e −x −e x =g(x)，即有g(x)为偶函数，只要考虑x >0的情况．由g(x)−1=2x−e x −e −xe x −e −x ，x >0时，e x >e −x ，由ℎ(x)=2x −e x +e −x ，ℎ′(x)=2−(e x +e −x )≤2−2√e x ⋅e −x =0，则ℎ(x)在x >0递减，即有ℎ(x)<ℎ(0)=0，即有g(x)<1．故1−k ≥1，解得k ≤0．则k 的取值范围为(−∞, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,π3),(2,5π6),(2,4π3),(2,11π6)点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1,√3),(−√3,1),(−1,−√3),(√3,−1)设P(x 0, y 0)，则{x 0=2cosarpℎi y 0=3sinarpℎi（arpℎi 为参数） t ＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x 2+4y 2+16＝32+20sin 2φ∵ sin 2φ∈[0, 1]∴ t ∈[32, 52]【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化椭圆的参数方程【解析】（1）确定点A ，B ，C ，D 的极坐标，即可得点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,π3),(2,5π6),(2,4π3),(2,11π6)点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1,√3),(−√3,1),(−1,−√3),(√3,−1)设P(x 0, y 0)，则{x 0=2cosarpℎi y 0=3sinarpℎi（arpℎi 为参数） t ＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x 2+4y 2+16＝32+20sin 2φ∵ sin 2φ∈[0, 1]∴ t ∈[32, 52][选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)=|x|−|2x −1|={ x −1,x ≤03x −1,0<x <12−x +1,x ≥12. 由f(x)>−1，得{x ≤0x −1>−1 或{0<x <123x −1>−1 或{x ≥12−x +1>−1解得0<x <2，故M ={x|0<x <2}．由（1）知0<a <2，因为a 2−a +1−1a=a 3−a 2+a−1a =(a−1)(a 2+1)a ， 当0<a <1时，(a−1)(a 2+1)a <0，所以a 2−a +1<1a ； 当a =1时，(a−1)(a 2+1)a =0，所以a 2−a +1=1a ；当1<a <2时，(a−1)(a 2+1)a>0，所以a 2−a +1>1a ．综上所述：当0<a <1时，a 2−a +1<1a ； 当a =1时，a 2−a +1=1a ；当1<a <2时，a 2−a +1>1a ．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即M 即可； （2）作差，通过讨论a 的范围，比较大小即可．【解答】f(x)=|x|−|2x −1|={ x −1,x ≤03x −1,0<x <1−x +1,x ≥12. 由f(x)>−1，得{x ≤0x −1>−1 或{0<x <123x −1>−1 或{x ≥12−x +1>−1 解得0<x <2，故M ={x|0<x <2}．由（1）知0<a <2，因为a 2−a +1−1a=a 3−a 2+a−1a =(a−1)(a 2+1)a ， 当0<a <1时，(a−1)(a 2+1)a <0，所以a 2−a +1<1a ； 当a =1时，(a−1)(a 2+1)a =0，所以a 2−a +1=1a ；当1<a <2时，(a−1)(a 2+1)a >0，所以a 2−a +1>1a ．综上所述：当0<a <1时，a 2−a +1<1a ；当a =1时，a 2−a +1=1a ；当1<a <2时，a 2−a +1>1a ．。
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B 的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y ﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．水秀中华[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B 的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）水秀中华【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y ﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•a6﹣r•，+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故S△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos ＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分） （Ⅱ）由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）设，， 由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]水秀中华[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,参考解析)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<I A B x x B ．A B =R U C ．{}1=>U A B x xD ．A B =∅I【答案】A【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<∴{}0A B x x =<I ，{}1A B x x =<U ， 选A2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248=故选B3. 设有下面四个命题（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ，【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d624d =4d =∴ 选C5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15， ∴2x 的系数为151530+= 故选C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯 故选B8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶 故选D9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16，故选A11. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.ln33ln 22x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<，故选D12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后第n 组的和为122112nn -=-- n 组总共的和为()2122212n nn n --=---若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ ()2log 3k n =+→295n k ==，则()2912954402N ⨯+=+=故选A二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(一) Word版含答案
2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（一） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合122(23),M x y x x x N -⎧⎫⎪⎪==-++∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{},,Q z z x y x M y M ==+∈∈，则集合M 与Q 的关系是（ ）A ．M Q ⋂=∅B ．M Q Z ⋃=C ．M Q Q ⋃=D ．M Q Q ⋂= 2.已知i 为虚数单位，复数(2),2ii i i--在复平面内对应的点分别是,A B ，则线段AB 的中点C 对应的复数的模为（ ）A ．85 B ．5 C ．5D ．325 3.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线3y x =垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 D4.已知函数()f x x θ=在点(,())44f ππ处的切线的倾斜角为α，则sin 2α=（ ）A ．45 B ．54 C.35 D ．535.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，2345620a a a a a ++++=-，则“n S 取得最小值”的一个充分不必要条件是（ ）A ．5n =或6B ．5n =或6或7 C.6n = D ．11n =6.我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF ，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中6AB =尺，10CD =尺，8EF =尺，,AB CD 间的距离为3尺，,CD EF 间的距离为7尺，则异面直线DF 与AB 所成角的正弦值为（ ）A ．130．130C.97 D ．797.设2log 3a =，ln 3b =，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．9ln 3+B ．3ln 3- C.11 D ．18.近几个月来，继“共享单车”后，“共享汽车”也在我国几座大城市中悄然兴起，关系非常要好的,,A B C 三个家庭（每个家庭2个大人，1个小孩，且大人都有驾照）共9人决定周末乘甲、乙两辆共享汽车出去旅游，已知每车限坐5人（乘同一辆车的人不考虑位置），其中A 户家庭的3人需乘同一辆，则A 户家庭恰好乘坐甲车且甲车至少有2名小孩的概率为（ ） A ．113 B ．1124 C. 1142 D ．5219.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．212π+ BD10.将函数()(0)f x x ωω=>的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移ϕ(0<ϕ<1)个单位，得到函数()y g x =的图象，直线43x =是函数()y g x =图象的一条对称轴，点,A B 是该图象上相邻的最高点和最低点，若3AB =，则函数()y g x =的单调递减区间是（ ）A ．11,()33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．14,()33k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.142,2()33k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．212,2()33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，动直线AB 交抛物线C 于,A B 两点，且AFB θ∠=（θ为常数），2FD FA FB =+，DE l ⊥于点E ，若D E A B λ= ，且实数λ的，则θ=（ ） A ．4π B ．3π C. 34π D ．23π 12.若定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意1212,()x x x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 为“关于(,)a b 的和谐函数”.已知函数(2018)f x -是关于(2018,0)的和谐函数，若,a b 满足不等式22(3)(3)0f a b f a b ++--≤，则当3,52b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22a b a b -+的取值范围为（ ） A ．1141,38⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1141,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.91,83⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．91,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.1122880(1C x C x -+⎰337788888...)C x C x C x dx -+-+= ．14.已知力1(1,2)F m =+，2(6,4)F =，3(,1)F n =，且12//F F ，3F 在1F 方向上的投影为13，某物体在力(,)F m n =的作用下从点(3,4)A 移动到点(5,10)B ，则力F 所做的共为 ．15.已知实数,x y 满足2101010x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，其表示的平面区域为M ，若圆224:()()9C x t y t -++=与区域M 有公共点，则实数t 的取值范围为 ． 16.正项数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，21(1)2n n n a a -+-=12(1)n n n n a a a -+-，记数列{}n n a ⋅的前n 项和为n T ，则使不等式121280n n n T +⋅-->成立的最小正整数n 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos b C ，cos c B 是关于x 的一元二次方程(2cos )cos cos 0x a C x b B C -+=的两根. （1）求角C 的大小；（2）如图，AD 是CAB ∠的平分线，且CD =4AD =，求sin B 的值.18.如图，在Rt ABC ∆中，3AC BC ==，点,E F 分别在,AB AC 上，且2AE EB =，2AF CF =，将AEF ∆沿EF 折起到图中PEF ∆的位置，使得PF AF ⊥，若((0,1))AD AP λλ=∈，且直线,BD CD 与平面PEF 分别交于,M N 两点.（1）求证：MN AP ⊥；（2）问是否存在点D ，使得直线CD 与平PAE，若存在，求出此时λ的值；若不存在，试说明理由.19. 为了鼓励节约用电，国家实行为鼓励节约用电，国家实行“阶梯式”电价。
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．水秀中华[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）水秀中华【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•a6﹣r•，+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故S=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos ＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos ＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分） （Ⅱ）由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）设，， 由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]水秀中华∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
2017-2018年高三数学质检一理科试题及答案
2017-2018年质检一理科答案一.选择题DBDDB CBACB BA二.填空题13. -1 14.12 15.2053π16. 3三.解答题17. 解:（Ⅰ）由1112n n n n n a a n +++=+可得1112n nn a an n +=++………2分1111,,1,1,2nn n n n a b b b a b n +=∴-=== 又由得………4分累加法可得：()()()21321121111222n n n b b b b b b ---+-++-=+++化简并代入11b =得：1122n n b -=-；………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知122n n n a n -=-，设数列12n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T则 01211232222n n n T -=++++ ①123112322222n n nT =++++ ②①-②……………………8分0012111111111221222222212222422n n n n nn n n n nT n n T ---=+++-=--++=-∴=-………10分18. 解（Ⅰ）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯= 解得 0.008m = ……… 3分950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯121.8= ……… 6分（Ⅱ）成绩在[)130,140的同学人数为6，,在[]140,150的同学人数为4，从而ξ的可能取值为0,1,2，3，()0346310106C C P C ξ===， ()1246310112C C P C ξ=== ()21463103210C C P C ξ=== ()30463101330C C P C ξ===ξ……… 10分113160123.6210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……… 12分 19. （Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD 为正方形∴AB//CD ，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD∴AB//平面PCD又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD=EF∴EF // AB ，又AB//CD∴EF //CD ， ………………2分由S △PEF ：S 四边形CDEF =1:3知E 、F 分别为PC 、PD 的中点连接BD 交AC 与G ，则G 为BD 中点，在△PBD 中FG 为中位线，∴ EG//PB ………………4分∵ EG//PB ，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴PB//平面ACE. ………………6分（Ⅱ）∵底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz ，设AB=AD=2a ，AP=2b ，则A （0，0，0），D （0，2a ，0），C （2a ，2a ，0）G （a ，a ，0），P （0，0，2b ），F （a ，a ，b ），∵PA ⊥底面ABCD ，DG ⊂底面ABCD ，∴DG ⊥PA ，∵四边形ABCD 为正方形∴AC ⊥BD,即DG ⊥AC ，AC ∩PA=A∴DG ⊥平面CAF ，∴平面CAF 的一个法向量为(,,0)DG a a =- ………………8分设平面AFD 的一个法向量为(,,)m x y z = 而(0,2,0),(,,)AD a AF a a b ==由00m AD m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得02000x a yz ax ay bz ⋅+⋅+⋅=⎧⎨++=⎩取z a =-可得 (,0,)m b a =- 为平面AED 的一个法向量，………………10分设二面角C —AF —D 的大小为θ则cos ||||||DGm DG m θ⋅===⋅ 得3b a = 又2,2,PA b AB a == ∴λ=∴当二面角C —AF —D的余弦值为53λ=. ………………12分20.解：（Ⅰ）设1AF 的中点为M ，在三角形21F AF 中，由中位线得：11221)2(2121AF a AF a AF OM -=-== ……………3分当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即1213AF OM -=所以3=a ，椭圆长轴长为6. ……………5分（Ⅱ）由已知1=b ，,22=c 3=a ，所以椭圆方程为1922=+y x当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为：)22(+=x k y设),(),,(A 2211y x B y x 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(9922x k y y x 得0972236)19(2222=-+++k x k x k0>∆∴恒成立192362221+-=+∴k k x x 199722221+-=k k x x ……………7分19)22)(22(2221221+-=++=k k x x k y y设)0,(0x T212002121)(y y x x x x x x TB TA +++-=⋅199)712369(2202020+-+++=k x k x x……………9分 当)9(971236920020-=++x x x 即92190-=x 时⋅为定值817920-=-x……………11分当直线AB 斜率不存在时，不妨设)31,22(),31,22(---B A 当)0,9219(-T 时81731923192-=-⋅=⋅），（），（TB TA ，为定值综上：在X 轴上存在定点)0,9219(-T ，使得⋅为定值817-……………12分 21.解：（Ⅰ）若1=a ，则)12(2)(--=x xe x f x ，当0=x 时，2)(=x f ，4)('-+=x x e xe x f ，当0=x 时，3)('-=x f ，所以所求切线方程为23+-=x y 。
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|2的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b ，c ，a +b ，c +d ，a +c ，b +d ，a +b +c +d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|2的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，如图：2对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a ＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，②﹣①得：+a n﹣a n，+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故S△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）（Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
2017-2018学年湖南省长沙市高三数学上第一次模拟考试（理）试题（附答案）
2017-2018学年湖南省长沙市⾼三数学上第⼀次模拟考试（理）试题（附答案）长沙市2018届⾼三第⼀次模拟试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设复数1z ，2z 在复平⾯内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（） A ．2-B ．2C ．1i -D ．1i +2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U A B e的⼦集个数为（）A ．7B ．3C ．8D ．93.函数()sin()f x x ω?=+（0ω>，0?π<<）的图象中相邻对称轴的距离为2π，若⾓?的终边经过点，则()4f π的值为（）A B C ．2 D ．4.如图所⽰的茎叶图（图⼀）为⾼三某班50名学⽣的化学考试成绩，图（⼆）的算法框图中输⼊的i a 为茎叶图中的学⽣成绩，则输出的m ，n 分别是（）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =5.设不等式组,3,4y x y x x y ≤??≥??+≤?表⽰的平⾯区域为1Ω，不等式22(2)(2)2x y ++-≤表⽰的平⾯区域为2Ω，对于1Ω中的任意⼀点M 和2Ω中的任意⼀点N ，||MN 的最⼩值为（）ABCD．6.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所⽰，则m 的范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)7.某多⾯体的三视图如图所⽰，则该多⾯体各⾯的⾯积中最⼤的是（）A ．11BCD8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为（）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10099.已知⾮零向量a ，b ，c 满⾜||||4a b b -== ，()()0a c b c -?-=，若对每个确定的b ，||c的最⼤值和最⼩值分别为m ，n ，则m n -的值（） A ．随||a增⼤⽽增⼤B ．随||a10.已知如图所⽰的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球⾯上，ABC ?和DBC ?所在的平⾯互相垂直，3AB =，AC =，BC CD BD ===则球O 的表⾯积为（）A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π11.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆⼼的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=?，且3OQ OP =，则双曲线C 的离⼼率为（） ABCD12.已知e 为⾃然对数的底数，若对任意的[]0,1x ∈，总存在唯⼀的[]1,1y ∈-，使得20y x y e a +-=成⽴，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,]eB ．1(1,]e e+第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0a >，6)x -展开式的常数项为15，2(a ax x dx -+=? ．14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥⽆公共解，则ab 的取值范围是．15.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+（*n N ∈），设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为．16.已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上⼀点，(2,1)A -，当APF ?周长最⼩时，其⾯积为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ?中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ?= ，sin 3BAC ∠=AB =BD =．（1）求AD 的长；（2）求cos C ．18.如图，在多⾯体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形，ADE ?，BCF ?均为等边三⾓形，//EF AB ，1 2EF AD AB ==．（1）过BD 作截⾯与线段FC 交于点N ，使得//AF 平⾯BDN ，试确定点N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN 与平⾯ABF 所成⾓的正弦值．19.2015年7⽉9⽇21时15分，台风“莲花”在我国⼴东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万⼈受灾，5.6万⼈紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农⽥受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千⽶的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，⼩明调查了梅州某⼩区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如图频率分布直⽅图：（1）试根据频率分布直⽅图估计⼩区平均每户居民的平均损失（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表）；（2）⼩明向班级同学发出倡议，为该⼩区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进⾏捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召⼩区居民为台风重灾区捐款，⼩明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b c +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和⾃⾝经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点在原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线 PA ，PB ，其中A ，。
湖南省五市十校2017-2018学年高一下学期期末考试(7月)数学含答案
2018年上学期期终考试高一数学试卷总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{|＝k 2×180°＋45°，∈}，N ＝{|＝k 4×180°＋45°，∈}，则( ) A ．M ＝N B ．N ⊆M C ．M ⊆N D ．M ∩N ＝∅ 2．在△ABC 中， ()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-， A ∠= ( )A ．6π B. 4π C ． 3π D. 2π 3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12 B.23- C ． 12 D.23 4．执行如图的程序框图，若输出S 的值为55，则判断框内应填入（ ）(第3题)A. 9≥nB. 10≥nC. 11≥nD. 12≥n5．在ABC ∆中， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形6．在ABC ∆中，已知030,2b A c ===，则c b a C B A ++++s i n s i n s i n = （ ） A ．－12 B.23- C ． 12 D.23 7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP→＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC →等于 ( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)8．在△ABC 中，(BC→＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( C ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是( )A ．5 B.6 C ． 7 D. 8 10．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ ( )A ．3 2 B.4 2 C ． 5 2 D. 6 211．已知f ()＝3sin 2＋cos 2－m 在]2,0[π上有两个零点，则m 的取值范围是 ( ) A ．[1,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．[1,2]12．已知函数f ()=f (x -π),且当)2,2(ππ-∈x 时，f ()=+sin,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ ）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知统计某化妆品的广告费用x（千元）与利润y（万元）所得的数据如下表所示：用为6千元，预计利润为__________．14．为了在运行下面的程序之后输出y＝25，键盘输入应该是15．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是____16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程17．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2sin(22-+-.(1) 求tan(α＋β)的值；(2) 求tan β的值．18．南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.19．在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos .cos 2B b C a c=-+（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.20．某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，记成绩不小于80分者为A 等，小于80分者为B 等．(1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从A 等和B 等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A 等和B 等中分别抽几人？(3)在(2)问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A 等的概率．21．已知a ＝(53cos ，cos )，b ＝(sin ,2cos )，设函数f ()＝a ·b ＋|b |2＋32. (1) 求函数f ()的最小正周期和对称中心； (2) 当∈[ π6，π2] 时，求函数f ()的值域；(3) 该函数y ＝f ()的图象可由R x x y ∈=,sin 的图象经过怎样的变换得到? ．22．已知向量=(2sin , sin +cos )m θθθ，)2,(cos m n --=θ，函数()f m n θ=⋅的最小值为 ))((R m m g ∈（1）当1m =时，求)(m g 的值； （2）求)(m g ；（3）已知函数()h x 为定义在R 上的增函数，且对任意的12,x x 都满足1212()()()h x x h x h x +=+问：是否存在这样的实数m ，使不等式)cos sin 4)((ϑθϑ+-f h +(32)0h m +>对所有[0,]2πθ∈恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由2018年上学期期终考试高一数学答案总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{|＝k 2×180°＋45°，∈}，N ＝{|＝k 4×180°＋45°，∈}，那么(C )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M ∩N ＝∅ 2．在△ABC 中， ()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-， A ∠= ( C)A ．6π B. 4π C ． 3π D. 2π 3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( C )A ．－12 B.23- C ． 12 D.23 4．执行如图的程序框图，若输出S 的值为55，则判断框内应填入（ ）(第3题)A. 9≥nB. 10≥nC. 11≥nD. 12≥n答案：C5．在ABC ∆中， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为（ D ） A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形6．在ABC ∆中，已知030,2b A c ===，则cb a C B A ++++s i n s i n s i n = （ C ） A ．－12 B.23- C ． 12 D.23 7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP→＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC →等于 (B ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)8．在△ABC 中，(BC→＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( C ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是( B)A ．5 B.6 C ． 7 D. 810．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ ( A )A ．3 2 B.4 2 C ． 5 2 D. 6 211．已知函数f ()＝3sin 2＋cos 2－m 在]2,0[π上有两个零点，则m 的取值范围是 ( A )A ．[1,2)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]12．已知函数f ()=f (x -π),且当)2,2(ππ-∈x 时，f ()=+sin,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ D ）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知统计某化妆品的广告费用x （千元）与利润y （万元）所得的数据如下表所示：用为6千元，预计利润为__________．答案：8.3解析：程序对应的函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，x<0，x －12，x ≥0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x<0，x ＋12＝25，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x －12＝25，得＝－6或＝6.15．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是______解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4×14×π×22＝16－4π，所以所求概率是16－4π16＝1－π4.16．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点， 则|PA→＋3PB →|的最小值为___5_____． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程17．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2sin(22-+-.(1) 求tan(α＋β)的值；(2) 求tan β的值．17．解(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋2513＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝516＋131－516×13＝3143.18．南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.【答案】(1)86;(2)P=0.319．在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos .cos 2B b C a c=-+（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.【答案】(1) 23B π= ;(2) 1sin 2ABC S ac B ∆∴== 20．某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，记成绩不小于80分者为A 等，小于80分者为B 等．(1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从A 等和B 等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A 等和B 等中分别抽几人？(3)在(2)问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A 等的概率．答案：（1）75.5,81；（2）2,3；（3）107. 21．已知a ＝(53cos ，cos )，b ＝(sin ,2cos )，设函数f ()＝a ·b ＋|b |2＋32. (1) 求函数f ()的最小正周期和对称中心； (2) 当∈[ π6，π2] 时，求函数f ()的值域；(3) 该函数y ＝f ()的图象可由R x x y ∈=,sin 的图象经过怎样的变换得到? ．21解 (1) f ()＝a ·b ＋|b |2＋32＝53sin cos ＋2cos 2＋4cos 2＋sin 2＋32＝53sin cos ＋5cos 2＋52＝532sin 2＋5×1＋cos 2x 2＋52＝5sin(2＋π6)＋5. π=T , Z k k ∈+-)5,212(ππ(2) f ()＝5sin(2＋π6)＋5. 由π6≤≤π2，得π2≤2＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2＋π6)≤1， ∴当π6≤≤π2时，函数f ()的值域为[52，10]． (3) 略22．已知向量=(2sin , sin +cos )m θθθ，)2,(cos m n --=θ，函数()f m n θ=⋅的最小值为 ))((R m m g ∈（1）当1m =时，求)(m g 的值； （2）求)(m g ；（3）已知函数()h x 为定义在R 上的增函数，且对任意的12,x x 都满足1212()()()h x x h x h x +=+ 问：是否存在这样的实数m ，使不等式)cos sin 4)((ϑθϑ+-f h +(32)0h m +>对所有[0,]2πθ∈恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由 22.（1）()sin 2(2)(sin cos )f m θθθθ=-++令sin cos t θθ=+，t ∈，则2sin 21t θ=-当1m =时，2min g(m)=(t 31)1t --=- （2）2()()(2)1f F t t m t θ==-+-，t ∈2(21,2248g(m)=,2241(2m m m m m m m ⎧+≤-⎪++⎪--<<⎨⎪⎪-+≥⎩（3）易证()h x 为R 上的奇函数要使4sin 2(2)(sin cos )(32)0sin cos h m h m θθθθθ⎡⎤-++-++>⎢⎥+⎣⎦成立， 只须4sin 2(2)(sin cos )sin cos h m θθθθθ⎡⎤-++-⎢⎥+⎣⎦(32)(32)h m h m >-+=--， 又由()f x 为单调增函数有4sin 2(2)(sin cos )32sin cos m m θθθθθ-++->--+， 令sin cos t θθ=+，则2sin 21t θ=-，[0,],2πθ∈)4t πθ∴=+∈ 原命题等价于241(2)320t m t m t--+-++>对t ∈恒成立； 24(2)22t m t t t ∴->-+-，即2(2)(2)22t t t t m t t t-+->=+-. 由双勾函数知()g t 在上为减函数，3m ∴>时，原命题成立。
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M 处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）水秀中华【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•a6﹣r•，+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab ＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab ≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故S=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）（Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M 处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D水秀中华依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．水秀中华综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|2的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|2的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，如图：2对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a ＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，②﹣①得：+a n﹣a n，+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故S△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b ，c ，a +b ，c +d ，a +c ，b +d ，a +b +c +d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分） （Ⅱ）由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
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湖南省五市十校联考2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x＞﹣2}，B={x|x＞1}，则集合A∩（∁U B）=（）A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2}2．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系3．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．“若x≠0，则e x≠1”的逆否是“若e x=1，则x=0”B．“x＞2”是“＜1”的充分不必要条件C．若p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1≤0D．若p∧q为假，则p，q均为假4．（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示的程序框图是给出计算+++…+的值，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤403？B．i＜403？C．i≤404？D．i＞404？6．（5分）在等腰三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．[0，1]7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．08．（5分）如图所示，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=θ（θ∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则θ的值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知当x∈[1，2）时，f（x）=|x﹣|；当x∈[1，+∞）时，f（2x）=2f（x），则方程f（x）=log8x（1≤x≤12）的根的个数为（）A．4B．5C．6D．710．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为．12．（5分）在二项式（+）10的展开式中，常数项是．13．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=24π，则tana5=．14．（5分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），∀x∈R，恒有f（x）≥f（），则的值为．15．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．请写出必要的文字说明和演算步骤．16．（12分）如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（2θ+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用S四表示，求S四+•的取值范围．17．（12分）商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元．现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖．（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y=+24．问：x设定为多少最佳？并说明理由．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（13分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．20．（13分）如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）若△OEF2的面积为1，E为直线与曲线的切点，求抛物线C2的方程；（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．21．（13分）设函数f（x）=﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，求证：f（）＜0．湖南省五市十校联考2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x＞﹣2}，B={x|x＞1}，则集合A∩（∁U B）=（）A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，则A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤1}，故选：C．点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合交并补运算，比较基础．2．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系考点：变量间的相关关系．专题：计算题；概率与统计．分析：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．解答：解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．点评：本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．“若x≠0，则e x≠1”的逆否是“若e x=1，则x=0”B．“x＞2”是“＜1”的充分不必要条件C．若p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1≤0D．若p∧q为假，则p，q均为假考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．利用原的逆否定义即可得出；B．由＜1，解得x＞2或x＜1，即可判断出；C．利用的否定定义即可得出；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个均为假，即可判断出．解答：解：对于A．“若x≠0，则e x≠1”的逆否是“若e x=1，则x=0”，正确；对于B．由＜1，解得x＞2或x＜1，∴“x＞2”是“＜1”的充分不必要条件，因此正确；对于C．p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1≤0，正确；对于D．若p∧q为假，则p与q至少有一个均为假，因此不正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．4．（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为锥体．解答：解：易知该几何体为锥体，故其底面面积为1；故俯视图可能为A，B，C三个选项中的图形，若俯视图为三角形，即选项A，则底面面积为，故不成立，若俯视图为扇形，即选项B，则底面面积为，故不成立，若俯视图为正方形，即选项C，则底面面积为1，故成立；故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．5．（5分）如图所示的程序框图是给出计算+++…+的值，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤403？B．i＜403？C．i≤404？D．i＞404？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序图的运行过程，得出该程序运行的结果是什么，由此得出判断框内应填入的条件．解答：解：根据题意，模拟程序图的运行过程，得；该程序运行后是计算+++…+的值，累加变量是i=i+1，且在满足条件的情况下运行循环体，共运行了403次；∴判断框内应填入的条件是i≤403？．故选：A．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．6．（5分）在等腰三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则•的取值范围是（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．[0，1]考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．分析：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，分别求得A，B，C，E的坐标，再设M的坐标，求出向量ME，MC的坐标，再由数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法即可得到．解答：解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，0），E（，），设M（0，m），（0≤m≤1）．则=（，﹣m），=（1，﹣m），=﹣m（﹣m）=m2﹣m+=（m﹣）2+，由于∈[0，1]，则取得最小值，且为，当m=1时，取得最大值，且为1．则有•的取值范围是[，1]．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，考查二次函数的最值问题，属于中档题和易错题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z 的最小值为．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y=6．经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由得，即A（3，3），∵直线y=k过A，∴k=3．由，解得，即B（﹣6，3）．此时z的最小值为z=﹣6+3=﹣3，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．8．（5分）如图所示，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π））及直线x=θ（θ∈（0，π））与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则θ的值是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得，是与面积有关的几何概率，分别求出构成试验的全部区域是矩形OABC 的面积，构成事件A的区域即为阴影部分面积为∫sinxdx=﹣cosx|=1﹣cosa，代入几何概率的计算公式可求．解答：解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为：θ×=4记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积为∫0θsinxdx=﹣cosx|=1﹣cosθ由几何概率的计算公式可得P（A）==，解得cosθ=﹣，所以θ=；故选：B．点评：本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积．9．（5分）已知当x∈[1，2）时，f（x）=|x﹣|；当x∈[1，+∞）时，f（2x）=2f（x），则方程f（x）=log8x（1≤x≤12）的根的个数为（）A．4B．5C．6D．7考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意作图的图象，有图象的交点确定根的个数．解答：解：∵f（2x）=2f（x），∴f（x）=2f（）；故f（x）=；方程f（x）=log8x（1≤x≤12）的根的个数即函数y=f（x）与函数y=log8x的交点的个数，作函数图象如下，共有4个交点，故选A．点评：本题考查了函数的图象的应用及与方程的关系，属于基础题．10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c2﹣ac﹣a2=0，再由离心率公式，计算即可得到．解答：解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF'的中位线，则|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化简可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，则有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故选：A．点评：本题主要考查抛物线和双曲线的标准方程和简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为1+3i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：复数z===1﹣3i，则复数z的共轭复数为1+3i，故答案为：1+3i．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．（5分）在二项式（+）10的展开式中，常数项是180．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：二项式（+）10的展开式的通项公式为T r+1=•2r•，令5﹣r=0，则r=2，∴常数项是=180，故答案为：180．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．13．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=24π，则tana5=．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合S9=24π求得a5，则tana5可求．解答：解：在等差数列{a n}中，由S9=9a5=24π，得，∴tana5====．故答案为：．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），∀x∈R，恒有f（x）≥f（），则的值为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意，当x=时，函数f（x）取得最值|f（）|，即|a+b|=，化为a=b，从而可求的值．解答：解：∵由题意函数f（x）=asinx+bcosx，恒有f（x）≥f（），∴可知：当x=时，函数f（x）取得最值|f（）|，即|a+b|=，化为a=b，∴则的值为，故答案为：．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．15．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：常规题型．分析：由已知当x＞0时，总有f（x）＞xf′（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案．解答：解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∵，x＞0，∴，∴，∴，∴0＜x＜1．故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．请写出必要的文字说明和演算步骤．16．（12分）如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（2θ+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用S四表示，求S四+•的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；单位圆与周期性．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用任意角的三角函数定义可得sinθ，cosθ，再利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式，计算即可得出；（2）利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得S四+•的=sinθ+cosθ+1，再利用两角和的正弦公式和正弦函数的性质即可得出．解答：解：（1）∵B（﹣，），∠AOB=θ，∴tanθ==﹣∴tan2θ===，则tan（2θ+）===﹣；（2）S四=|OA||OB|sin（π﹣θ）=sinθ，∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），∴=+=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴S四+•=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π），∵＜＜，∴﹣＜sin（）≤1，∴0＜S四+•的．点评：本题综合考查了任意角的三角函数定义、二倍角公式、两角和差的正切公式、向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式、两角和的正弦公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．17．（12分）商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元．现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖．（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y=+24．问：x设定为多少最佳？并说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：概率与统计．分析：（1）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为A i，i=1，2，由等可能事件的概率计算可得P（A1）与P（A2），进而由一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率，由相互独立事件的概率公式计算可得答案；（2）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，分析可得X的可能取值为x，，0；计算可得P（X=x）以及P（X=），结合题意计算即可得答案．解答：解：（2）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为A i，i=1，2，则P（A1）=，P（A2）=，则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=．…（4分）（Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，，0．由（Ⅰ）得P（X=x）=，P（X=）=，E（x）=．…（9分）该商场每天销售这种饮品所得平均利润Y=y[（36﹣20）﹣E（x）]=（=﹣（x﹣48）2+432．当x=48时，Y最大．故x设定为48（元）为最佳．…（12分）点评：本题考查与概率有关的应用问题，涉及等可能事件、互斥事件的概率计算以及离散型随机变量的均值的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AB中点O，连结PO，CO，由已知条件推导出AB⊥平面POC，由此能证明PC⊥AB．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．解答：（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB．∴PO⊥AB，CO⊥AB，∵PO∩CO=O，∴AB⊥平面POC，∵PC∈平面POC，∴PC⊥AB．（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，CO⊥AB，PO⊥AB，∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=PB=AB=2，则B（1，0，0），P（0，0，），C（0，，0），D（﹣2，，0），=（1，0，﹣），=（0，），=（﹣2，），设平面BPC的法向量，则，取x=，得=（，1，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=．∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（13分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a n和b n的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a k和b k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a n}，{b n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．解答：解：（1）由条件得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2，那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故==综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．20．（13分）如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）若△OEF2的面积为1，E为直线与曲线的切点，求抛物线C2的方程；（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由于抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，可得．设切点为M（x0，y0）（x0＞0）．由抛物线x2=2py，可得y′=，可得切线l的斜率k=．因此切线的方程为：，与抛物线的方程联立可得x2﹣2x0x+2pc=0，利用△=0，可得x0=2c，即可证明切线l的斜率为定值．（2）由（1）可得=1，可得x 0=p．利用=即可得出．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）可得x0=2c，p=2c，切线方程为y=x﹣c．与椭圆方程联立可得（a2+b2）x2﹣2b2cx﹣b4=0，利用根与系数的关系及其向量运算可得=．根据λ∈[2，4]即可得出．解答：（1）证明：∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴．设切点为M（x0，y0）（x0＞0）．由抛物线x2=2py，可得y′=，∴切线l的斜率k=．∴切线的方程为：，联立，化为x2﹣2x0x+2pc=0，由于△=0，∴=0，把p=2c代入可得x0=2c，∴切线l的斜率k==1．∴切线l的斜率为定值1．（2）由（1）可得=1，∴x0=p．∵△OEF2的面积为1，∴===1，解得p=2．∴抛物线C1的方程为：x2=4y．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）可得x0=2c，p=2c，切线方程为y=x﹣c．联立，化为（a2+b2）x2﹣2b2cx﹣b4=0，∴，x1x2=．（*）∵，∴x2=﹣λx1．（λ∈[2，4]）．代入（*）可得，∴=，化为=．∵λ∈[2，4]，∴e∈．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程联立可得跟与系数的关系、向量运算、切线方程，考查了利用导数研究直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）设函数f（x）=﹣．（1）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，求证：f（）＜0．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：本题（1）先求出原函数的导函数，通过导函数值的正负研究函数的单调性，得到本题结论；（2）根据（1）的结论，可以研究函数f（x）在（0，2）上的函数值正负情况，从而判断出f（）的正负，得到本题结论．．解答：解：∵函数f（x）=﹣，∴f′（x）==．当0＜x＜1时，∵2（x2﹣x）=2x（x﹣1）＜0，x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞1＞0，ln（x2﹣2x+2）=ln[（x﹣1）2+1]＞ln1=0，∴f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；当1＜x＜2时，记h（x）=2（x2﹣x）﹣（x2﹣2x+2）ln（x2﹣2x+2），则h′（x）=4x﹣2﹣（2x﹣2）ln（x2﹣2x+2）﹣（x2﹣2x+2）×=2x﹣（2x﹣2）ln（x2﹣2x+2）=2x[1﹣ln（x2﹣2x+2）]+2ln（x2﹣2x+2）．∵1＜x＜2，∴x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1∈（1，2），∴0＜ln（x2﹣2x+2）＜ln2＜1，∴h′（x）＞0．∵h（1）=0，∴h（x）＞0，即f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）上单调递增．∴函数f（x）在区间（0，2）上的单调减区间为（0，1）；单调减区间为（1，2）．（2）∵x＞0，当x→0时，f（x）→+∞∴f（1）=﹣，f（2）=＞0，∵函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，∴不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2＜2，当x∈（0，x1）时，f（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f（x）＜0，当x∈（x2，2）时，f（x）＞0，∵x1＜＜x2，∴f（）＜0．点评：本题考查了导函数与函数的单调性和最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题计算复杂，难度较大，属于难题．。